dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Uniwersytet Jagielloński
Instytut Informatyki
———
ul. Łojasiewicza 6
30-348 Kraków
Algebra Liniowa I
Semestr zimowy
Zestaw ćwiczeń 14
Kraków, 21.01.2014
1
XIV. Wartości i wektory własne.
Zadanie 14.1. (Wartości i wektory własne)
Dla poniższych macierzy wyznacz ich wartości własne wraz z ich krotnościami algebraicznymi i geome-
trycznymi oraz wektory własne im odpowiadaj¸
ace.
A
1
=
2
1
0
−6
1
−6
−3 −1 −1
,
A
2
=
5
−4 −4
2
−1 −2
1
−1
0
,
A
3
=
10
−19 6
5
−10 4
3
−7 4
,
A
4
=
0
−7 10
1
−6
6
1
−4
3
,
A
5
=
−5 8
0
−2 3
0
−1 2 −1
,
A
6
=
4
2
−2
−5 −2
4
0
0
2
,
A
7
=
1
−2
2
−1
5
−6
−2
2
−3
,
A
8
=
−2 −6 6
−1 −2 4
−4 −6 8
,
B
1
=
−10
1 8 11
−3 −2 1
7
−6
2 6
4
−5 −1 3
8
,
B
2
=
−1
4 2
−1
−3 −2 1
7
0
4 2
−4
−2
0 1
4
,
B
3
=
−5
4 6 3
−3 −2 1 7
−4
4 6 0
−3
0 2 5
,
B
4
=
−1 −11
2
9
−2
0
4
−1
0
−8 −1
8
−1
−4
1
4
,
B
5
=
6
−4 −12 9
1
−1
−3 3
4
−4
−9 8
3
−4
−8 8
,
B
6
=
5
−13 −12 −7
1
−1
−3 −3
−1
1
4
4
2
−5
−6 −4
,
B
7
=
−1
2
6 2
1
−1 −3 0
−1
1
4 1
3
−5 −8 2
,
B
8
=
−6 −10
9
−13
2
3
−2
4
1
1
−2
3
2
3
−4
5
.
B
9
=
−21 −30 −6 −28
8
11
4
10
4
4
3
6
8
12
0
11
,
B
10
=
−1 −2
0
0
4
4
1
0
−4 −1 −2 −2
8
6
6
3
.
Zadanie 14.2. (Zastosowanie twierdzenia Cayley’a-Hamiltona)
Stosując twierdzenie Cayley’a-Hamiltona wyzanczyć macierze odwrotne, drugie oraz trzecie potęgi macie-
rzy z zadania poprzedniego.
dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Uniwersytet Jagielloński
Instytut Informatyki
———
ul. Łojasiewicza 6
30-348 Kraków
Algebra Liniowa I
Semestr zimowy
Zestaw ćwiczeń 14
Kraków, 21.01.2014
2
Odpowiedź:
wielom. charakt.
wart. wł. krotności
wektory własne
A
1
−λ
3
+ 2λ
2
+ λ
− 2
−1
1
[1,
−3, −2]
1
1
[
−1, 1, 1]
2
1
[
−1, 0, 1]
A
2
−λ
3
+ 4λ
2
− 5λ + 2
1
1 + 1
[1, 1, 0], [1, 0, 1]
2
1
[4, 2, 1]
A
3
−λ
3
+ 4λ
2
− 5λ + 2
1
2
[5, 3, 2]
2
1
[4, 2, 1]
A
4
−λ
3
− 3λ
2
− 3λ − 1
−1
3
[4, 2, 1]
A
5
−λ
3
− 3λ
2
− 3λ − 1
−1
1 + 2
[0, 0, 1], [2, 1, 0]
A
6
−λ
3
+ 4λ
2
− 6λ + 4
2
1
[0, 1, 1]
1 + i
1
[
−
3
5
−
i
5
, 1, 0]
1
− i
1
[
−
3
5
+
i
5
, 1, 0]
A
7
−λ
3
+ 3λ
2
− λ − 5
2 + i
1
[
−1,
3
2
+
i
2
, 1]
2
− i
1
[
−1,
3
2
−
i
2
, 1]
−1
1
[0, 1, 1]
A
8
−λ
3
+ 4λ
2
− 14λ + 20
1 + 3i
1
[1,
1
2
−
i
2
, 1]
1
− 3i
1
[1,
1
2
+
i
2
, 1]
2
1
[0, 1, 1]
B
1
λ
4
− 2λ
3
− λ
2
+ 2λ
−1
1
[3, 0, 2, 1]
0
1
[2, 1, 1, 1]
1
1
[5, 1, 4, 2]
2
1
[1, 1, 0, 1]
B
2
λ
4
− 3λ
3
+ 2λ
2
0
2
[3, 0, 2, 1]
1
1
[5, 1, 4, 2]
2
1
[1, 1, 0, 1]
B
3
λ
4
− 4λ
3
+ 4λ
2
0
2
[3, 0, 2, 1]
2
2
[1, 1, 0, 1]
B
4
λ
4
− 2λ
3
+ 2λ
− 1
−1
1
[2, 1, 1, 1]
1
3
[
−1, 1, 0, 1]
B
5
λ
4
− 4λ
3
+ 6λ
2
− 4λ + 1
1
2 + 2
[
−4, 1, −2, 0], [3, 0, 2, 1]
B
6
λ
4
− 4λ
3
+ 6λ
2
− 4λ + 1
1
3 + 1
[5, 1, 0, 1], [3, 0, 1, 0]
B
7
λ
4
− 4λ
3
+ 6λ
2
− 4λ + 1
1
4
[
−4, 1, −2, 1]
B
8
λ
4
+ 2λ
2
+ 1
i
2
[
−4 − i, 1 + i, 0, 1], [2 + 3i, −2i, 1, 0]
−i
2
[
−4 + i, 1 − i, 0, 1], [2 − 3i, 2i, 1, 0]
B
9
λ
4
− 4λ
3
+ 14λ
2
− 20λ + 25
1 + 2i
2
[
−2 −
i
2
,
1
2
+
i
2
, 0, 1], [
−
3
2
+
3i
2
, 1
− i, 1, 0]
1
− 2i
2
[
−2 +
i
2
,
1
2
−
i
2
, 0, 1], [
−
3
2
−
3i
2
, 1 + i, 1, 0]
B
10
λ
4
− 4λ
3
+ 14λ
2
− 20λ + 25
1 + 2i
1
[
−
1
4
+
i
4
,
1
2
,
−
1
2
, 1]
1
− 2i
1
[
−
1
4
−
i
4
,
1
2
,
−
1
2
, 1]