ZADANIA Z RACHUNKU WEKTOROWEGO I GEOMETRII ANALITYCZNEJ

WydziaÃl Budownictwa Wodnego i In˙zynierii ´

Srodowiska, 1. sem., rok akad. 2001/2002

1. Obliczy´c iloczyn skalarny wektor´ow ~a i ~b je˙zeli ~a = 3~p − 2~q, ~b = ~p − 5~q a ~p i ~q s¸a wektorami

jednostkowymi wzajemnie prostopadÃlymi.

2. Znale´z´c wektor ~a wiedz¸ac, ˙ze jest on prostopadÃly do wektor´ow ~b = [2, 3, −1], ~c = [1, −2, 3] oraz

speÃlnia warunek ~a ◦ [2, −1, 1] = −6.

3. Dane s¸a wektory ~a = [2, −1, 3], ~b = [1, −3, 2], ~c = [3, 2, −4]. Znale´z´c wektor ~

d speÃlniaj¸acy

warunki ~

d ◦ ~a = −5, ~

d ◦ ~b = −11 oraz ~

d ◦ ~c = 20.

4. Znale´z´c dÃlugo´s´c wektora ~a = 5~p − 4~q je˙zeli |~p| = 2, |~q| = 5,

6

(~p, ~q) =

2

3

π.

5. Dane s¸a wektory ~a = [3, −2, 1], ~b = [1, 2, 1], ~c = [−1, 4, 3]. Obliczy´c [(~b◦~c)(2~c×~a)]◦[(~a−~b)×(~a+~c)].

6. Obliczy´c k¸at mi¸edzy wektorami ~a i ~b, je´sli wiadomo, ˙ze wektory ~u = −~a + 4~b i ~v = 3~a + 2~b s¸a

prostopadÃle oraz |~a| = |~b| = 1.

7. Znale´z´c k¸at mi¸edzy wektorami ~a = [1, 2, 2] i ~b = [0, 3, 4] oraz pole tr´ojk¸ata rozpi¸etego mi¸edzy

tymi wektorami.

8. Sprawdzi´c, czy tr´ojk¸at ABC, gdzie A(1, −2, 8), B(0, 0, 4), C(6, 2, 0) jest prostok¸atny. Obliczy´c

jego pole.

9. Obliczy´c obj¸eto´s´c czworo´scianu zbudowanego na wektorach ~a = [1, −2, 1], ~b = [3, 1, −2] i ~c =

[7, −14, 0].

10. Obliczy´c obj¸eto´s´c r´ownolegÃlo´scianu zbudowanego na wektorach ~

AB, ~

AC i ~

AD, gdzie A(3, 4, 3),

B(9, 5, −1), C(1, 7, 0), D(3, 2, 5).

11. Napisa´c r´ownanie pÃlaszczyzny:

(a) r´ownolegÃlej do pÃlaszczyzny OXZ i przechodz¸acej przez punkt A(2, −5, 3),

(b) zawieraj¸acej o´s OZ i punkt B(−3, 1, −2),

(c) r´ownolegÃlej do osi OX i przechodz¸acej przez punkty A(4, 0, −2) oraz B(5, 1, 7).

12. Znale´z´c r´ownanie pÃlaszczyzny:

(a) przechodz¸acej przez punkt P (−1, −2, 3) i prostopadÃlej do wektora ~u = [3, 1, 2],

(b) przechodz¸acej przez trzy punkty A(0, 0, 1), B(1, 2, 3) i C(−1, 2, 0),

(c) przechodz¸acej przez punkty A(2, −1, 3) i B(3, 1, 2) i r´ownolegÃlej do wektora ~a = [−1, 1, 4],

(d) przecinaj¸acej osie ukÃladu w punktach A(2, 0, 0), B(0, −3, 0) i C(0, 0, 4),

(e) przechodz¸acej przez punkt A(−2, 7, 3) i r´ownolegÃlej do pÃlaszczyzny π : x − 4y + z − 1 = 0,

(f) przechodz¸acej przez pocz¸atek ukÃladu wsp´oÃlrz¸ednych i prostopadÃlej do dw´och pÃlaszczyzn

π

1

: 2x − y + 5z − 3 = 0 i π

2

: x + 3y − z − 7 = 0.

13. Znale´z´c k¸at mi¸edzy pÃlaszczyzn¸a π : x − y +

√

2z = 0 i pÃlaszczyzn¸a OY Z.

14. Znale´z´c r´ownanie pÃlaszczyzny wiedz¸ac, ˙ze punkt A(3, −6, 2) jest rzutem prostok¸atnym pocz¸atku

ukÃladu wsp´oÃlrz¸ednych na t¸e pÃlaszczyzn¸e.

15. W p¸eku wyznaczonym przez pÃlaszczyzny π

1

: 2x + y − 3z + 2 = 0 i π

2

: 5x + 5y − 4z + 3 = 0

znale´z´c dwie wzajemnie prostopadÃle do siebie pÃlaszczyzny, z kt´orych jedna przechodzi przez
punkt A(4, −3, 1).

16. Znale´z´c r´ownanie pÃlaszczyzny przechodz¸acej przez krawed´z przeci¸ecia pÃlaszczyzn π

1

: 4x − y +

3z − 1 = 0 i π

2

: x + 5y − z + 2 = 0 prostopadÃlej do pÃlaszczyzny π

3

: 2x − y + 5z − 3 = 0.

17. Zbada´c wzajemne poÃlo˙zenie pÃlaszczyzn

(a) π

1

: x − y + 2z − 1 = 0 i π

2

: 2x − 2y + 4z + 3 = 0,

(b) π

1

: x − y − z + 1 = 0 i π

2

: x + y + z + 1 = 0.

18. Znale´z´c posta´c kanoniczn¸a prostej

(

2x − 3y − 3z − 9 = 0
x − 2y + z + 3 = 0

19. Przedstawi´c prost¸a

(

3x − 2y + 5z − 1 = 0
2x − y + 2z − 2 = 0

w postaci parametrycznej.

20. Napisa´c r´ownanie parametryczne prostej przechodz¸acej przez punkt P (1, 2, 0) i r´ownolegÃlej do

prostej l :

(

x − y = 0
2x + z − 4 = 0

.

21. Napisa´c r´ownanie prostej przechodz¸acej przez punkt P (2, −1, 1) i r´ownolegÃlej do kraw¸edzi pÃlaszczyzn

2x − y + z + 1 = 0 i x + 2y − z + 4 = 0.

22. Sprawdzi´c, czy proste l

1

:

(

4x + z − 1 = 0
x − 2y + 3 = 0

i l

2

:

(

3x + y − z + 4 = 0
y + 2z − 8 = 0

s¸a r´ownolegÃle.

23. Dane s¸a dwie proste r´ownolegÃle l

1

: x − 1

4

= y − 3

−2 =

z + 1

3 , l

2

: x

4 =

y

−2 =

z

3 . Znale´z´c odlegÃlo´s´c

mi¸edzy nimi.

24. Sprawdzi´c, czy proste l

1

i l

2

przecinaj¸a si¸e i ewentualnie znale´z´c punkt przeci¸ecia

(a) l

1

: x − 1

2

= y − 7

1

= z − 5

4 , l

2

: x − 6

3

= y + 1

−1 =

z − 2

−1 ,

(b) l

1

:

(

4x + z − 1 = 0
x − 2y + 3 = 0

, l

2

:

(

3x + y − z + 4 = 0
y + 2z − 8 = 0

25. Znale´z´c k¸at mi¸edzy prostymi

(a) l

1

:

(

3x + −4y − 2z = 0
2x + y − 2z = 0

, l

2

:

(

4x + y − 6z − 2 = 0
y − 3z + 2 = 0

(b) l

1

: x

1 =

y − 1

−2 =

z

3 , l

2

:

(

3x + y − 5z + 1 = 0
2x + 3y − 8z + 3 = 0

26. Znale´z´c rzut punktu A(3, −2, 4) na pÃlaszczyzn¸e π : 5x + 3y − 7z + 1 = 0.

27. Znale´z´c odlegÃlo´s´c punktu M (−1, 2, 5) od pÃlaszczyzny π : x + 2y − 5z + 1 = 0.

28. Znale´z´c odlegÃlo´s´c pocz¸atku ukÃladu od pÃlaszczyzny 4x − 6y + 12z − 21 = 0.

29. Wyznaczy´c odlegÃlo´s´c punktu P (1, 0, 2) od prostej

x

1

=

y+1

2

=

z−1

3

.

30. Napisa´c r´ownanie pÃlaszczyzny

(a) przechodz¸acej przez punkt A(3, 1, −2) i zawieraj¸acej prost¸a 2(x − 4) = 5(y + 3) = 10z,

(b) przechodz¸acej przez punkt A(0, 2, 1) i prost¸a

(

2x + 4y − z + 1 = 0
3x + y − 6z + 3 = 0

,

(c) przechodz¸acej przez punkt B(4, −3, 1) i r´ownolegÃlej do prostych l

1

: x = 3y = −2z i

l

2

: 4(x + 1) = 5(y − 3) = 10(z − 4),

(d) przechodz¸acej przez punkty A(2, −1, 3) i B(1, 4, 2) i r´ownolegÃlej do wektora ~u = [3, 1, 5],

(e) przechodz¸acej przez punkt A(1, 5, 1) i r´ownolegÃlej do wektor´ow ~u = [2, 1, 6] i ~v = [−3, 5, 6].

31. Dla jakiej warto´sci parametru k ∈ IR pÃlaszczyzna π przechodz¸aca przez punkty A(1, 1, 1),

B(2, −1, 3) i C(0, k, 2) jest r´ownolegÃla do wektora ~u = [4, 1, 5].

32. Dla jakiej warto´sci parametru k pÃlaszczyzny π

1

: 2x − y + kz − 2 = 0 i π

2

: 3kx + y + 2z + 1 = 0

s¸a prostopadÃle?

33. Dla jakiej warto´sci parametr´ow k i p pÃlaszczyzny

(a) π

1

: x + ky − z − 6 = 0 i π

2

: px + y − kz + 3 = 0,

(b) π

1

: 4x − 3y + 6kz − 8 = 0 i π

2

: 2px + y − 4z + 4 = 0,

s¸a r´ownolegÃle?

34. Obliczy´c odlegÃlo´s´c mi¸edzy r´ownolegÃlymi pÃlaszczyznami π

1

: 30x − 32y + 24z − 75 = 0 i π

2

:

15x − 16y + 12z − 25 = 0.

35. Wykaza´c, ˙ze pÃlaszczyzny π

1

: x + 2y − z − 1 = 0, π

2

: 2x + 4y − 2z − 1 = 0 i π

3

: x + 3y − z − 3 = 0

nie maj¸a punktu wsp´olnego.

36. Napisa´c r´ownanie parametryczne prostej przechodz¸acej przez punkt A(2, 3, 1) oraz

(a) prostopadÃlej do pÃlaszczyzny 5x − 3y + 2z − 1 = 0,

(b) przechodz¸acej przez punkt przebicia pÃlaszczyzny 4x − y + 3z + 1 = 0 prost¸a x = 1 + t, y =

5t, z = 1 + 3t,

(c) r´ownolegÃlej do pÃlaszczyzn o r´ownaniach 6x − y + z − 2 = 0 i x + 3y − 2z + 1 = 0.

37. Napisa´c r´ownanie parametryczne i kierunkowe prostej l okre´slonej r´ownaniem kraw¸edziowym

(

2x − 3y + z + 4 = 0
x + y − z + 3 = 0

.

38. Znale´z´c pÃlaszczyzn¸e zawieraj¸ac¸a prost¸a 2(x − 2) = 10(y − 3) = 5(z + 1) i prostopadÃl¸a do

pÃlaszczyzny x + 4y − 3z + 7 = 0.

39. Znale´z´c rzut prostej

x

4

=

y−4

3

=

z+1

−2

na pÃlaszczyzn¸e x − y + 3z + 8 = 0.

40. Pokaza´c, ˙ze proste x + 3 =

1

2

(y + 1) = z + 1 i x = −4 + 3t, y = 2 + t, z = t przecinaj¸a si¸e i znale´z´c

punkt ich przeci¸ecia.

41. Sprawdzi´c, czy proste l

1

:

x−3

5

=

y−1

2

=

z−2

4

i l

2

:

x−8

3

=

y−1

1

=

z−6

−2

przecinaj¸a si¸e i znale´z´c punkt

przeci¸ecia oraz napisa´c r´ownanie pÃlaszczyzny zawieraj¸acej te proste.

42. Napisa´c r´ownanie pÃlaszczyzny zawieraj¸acej prost¸a

x−3

2

=

y+4

1

=

z−2

−3

i r´ownolegÃlej do prostej

x+5

4

=

y−2

7

=

z−1

2

.

43. Na prostej

x

1

=

y+7

2

=

z−3

−1

znale´z´c punkt le˙z¸acy najbli˙zej punktu P (3, 2, 6).

44. Dla jakiej warto´sci parametru a pÃlaszczyzna

(a) π : ax + 3y − 5z − 1 = 0 jest r´ownolegÃla do prostej l : x = 4t + 1, y = 3t − 2, z = t,

(b) π : x − 3y + z − 4 = 0 jest r´ownolegÃla do prostej l :

(

2x − ay + z − 1 = 0
x − y + z + 2 = 0

.

45. Znale´z´c odlegÃlo´s´c punktu A(1, −1, −2) od prostej

x+1

1

=

y−1

−1

=

z

2

.

46. Obliczy´c wysoko´s´c tr´ojk¸ata M N P o wierzchoÃlkach M (1, 0, 0), N (0, 1, 0), P (0, 0, 1) poprowadzon¸a

z wierzchoÃlka P na bok M N .

47. Znale´z´c punkt symetryczny do punktu P (4, 3, 10) wzgl¸edem prostej

x−1

2

=

y−2

4

=

z−3

5

.

48. Znale´z´c odlegÃlo´s´c mi¸edzy

(a) prost¸a

x+3

4

=

y−6

−3

=

z−3

2

i osi¸a OY ,

(b) prostymi l

1

:

x−2

3

=

y+1

2

=

z−1

2

i l

2

: x = −1 + 3t, y = 1 − 2t, z = −3 − t, t ∈ IR,

(c) l

1

:

x+5

4

=

y−5

−3

=

z−5

−5

i l

2

: x = 2t − 4, y = −t + 4, z = −2t − 1, t ∈ IR,

(d) prostymi l

1

: x = 3 + t, y = 1 − t, z = 2 + 2t i l

2

: x = −t, y = 2 + 3t, z = 3t.

49. Znale´z´c odlegÃlo´s´c mi¸edzy prostymi sko´snymi l

1

:

x−9

4

=

y+2

−3

=

z

1

i l

2

:

x

−2

=

y+7

9

=

z−2

2

.

50. Wykaza´c, ˙ze proste l

1

: x = 2 + 4t, y = −6t, z = −1 − 8t i l

2

:

x−7

−6

=

y−2

9

=

z

12

s¸a r´ownolegÃle.

Obliczy´c odlegÃlo´s´c mi¸edzy nimi i wyznaczy´c r´ownanie pÃlaszczyzny, w kt´orej one le˙z¸a.

51. Przez punkt A(4, 0, −1) poprowadzi´c prost¸a przecinaj¸ac¸a dwie proste

x−1

2

=

y−2

4

=

z−5

3

i

x

5

=

y−2

−1

=

z+1

2

.