0
TADEUSZ STĘPIEŃ
LOGIKA
(ZARYS -TEMATYKI)
SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA
Redaktor:
Ewa Heynar – Skowrońska
Redaktor techniczny:
Ewa Łukasiewicz
Skład komputerowy:
Joanna Kowalczyk
Copyright by Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1996
ISBN 83-86689-31-5
Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej
Warszawa 1996.
Wydanie I. Ark.wyd. 4.40. Ark.druk. 4,25
Zamówienie 15/1/96
Spis treści
Wprowadzenie ........................................................................................ 1
1. Tematyka wykładów ...................................................................... 2
2. Wybrane zagadnienia semantyki .................................................... 4
3. Definicje ......................................................................................... 6
4. Wieloznaczność i nieporozumienia ................................................ 8
5. Podstawowe i pochodne kategorie syntaktyki ............................... 8
6. Funktory ......................................................................................... 9
7. Logika formalna ........................................................................... 11
7. 1 Tautologie rachunku zdań ...................................................... 17
7. 2. Elementy rachunku nazw ...................................................... 20
8. Wnioskowanie pośrednie. Sylogizm kategoryczny ...................... 24
9. Błędy wnioskowania .................................................................... 26
10. Podstawowe wiadomości z teorii relacji ...................................... 28
11. Wypowiedzi modalne ................................................................... 29
12. Elementy metodologii nauki ........................................................ 29
13. Podział logiczny ........................................................................... 36
Zakończenie .......................................................................................... 37
Przykładowe pytania ............................................................................. 37
1
WPROWADZENIE
KaŜdy z nas spotkał się z róŜnego rodzaju wyraŜeniami językowymi, a więc zdaniami czy
wypowiedziami niepełnymi, które zawierały zwroty: logiczny, logiczne, logika. Niekiedy
spotykamy takie, nieco udziwnione wyraŜenia, jak logika dziejów, logika uczuć, logika
działania itp. Te proste obserwacje upowaŜniają nas do stwierdzenia, iŜ termin logika zawiera
określenie czegoś stosunkowo waŜnego i cenionego w praktyce naszego Ŝycia. Uznanie
jakiegoś rozumowania za logicznie poprawne nadaje mówiącemu swoistą nobilitację. I wręcz
przeciwnie, określenie: nielogiczne, pozbawione logiki jest równoznaczne z określeniem
bezwartościowe.
Czym więc jest logika, w jaki sposób moŜna opanować umiejętność logicznego myślenia?
Temu zagadnieniu poświęcony będzie skrypt, a w szczególności wykład z przedmiotu logika.
NaleŜy zaznaczyć, iŜ logika, jako dyscyplina nauczania moŜe nastręczać słuchaczowi pewne
trudności, które związane są z duŜą liczbą nieznanych najczęściej słuchaczom terminów
uŜywanych w czasie wykładu. Trudności sprawiać moŜe równieŜ język formalny stosowany w
logice, szczególnie w dziale nazwanym logiką formalną. Większość praw logicznych
występuje w postaci czysto formalnego zapisu, dlatego konieczne jest opanowanie określonej
symboliki logicznej.
Logika nie naleŜy do przedmiotów „spektakularnie” atrakcyjnych dla słuchacza. W tym
względzie jest ona częściowo porównywalna z takimi przedmiotami, jak matematyka,
statystyka itp.
„Atrakcyjność” logiki kryje się w czymś innym niŜ przyjemny odbiór. Dobre jej
opanowanie i zrozumienie staje się istotnym narzędziem wyraŜania naszych myśli, unikania
chaotycznych wypowiedzi, poprawnego wyprowadzania wniosków z uprzednio przyjętych
załoŜeń. Inaczej mówiąc, pozwala nam w sposób najodpowiedniejszy spoŜytkować wspaniałe
dary człowieka, jakimi są myślenie i mowa.
W procesie uczenia się logiki szczególnego znaczenia nabiera reguła metodyczna, która
mówi o zrozumieniu przyswajanego materiału. Jest to warunek uzyskania korzyści z
uczestnictwa w wykładach z logiki. Nie naleŜy, jak to się zwykło mówić „iść dalej”, jeśli nie
zrozumiałeś materiału poprzedniego. Niektóre formuły trzeba opanować pamięciowo, co
jednocześnie moŜe słuŜyć, jako ćwiczenie pamięci. Szczególnie w logice naleŜy zwracać
uwagę na precyzję i dokładność uczenia się. Pomocą, oprócz wykładów, będą róŜne
podręczniki, których spis słuchacze znajdą na końcu skryptu.
Jako podstawowy zalecam podręcznik Zygmunta Ziembińskiego „Logika praktyczna”,
który miał siedemnaście wydań, a ostatnie ukazało się w 1994 r. (NaleŜy takŜe wykorzystywać
podręczniki, którymi posługiwali się studenci lat ubiegłych, równieŜ w innych niŜ SGH
uczelniach, np. uniwersytecie).
Zachęcam równieŜ do korzystania z konsultacji w czasie moich dyŜurów.
Zaliczenie przedmiotu nastąpi w końcu semestru w postaci pisemnej (pytania otwarte i
zamknięte).
śyczę Studentkom i Studentom duŜo satysfakcji w czasie pracy nad logiką i korzyści z
praktycznego posługiwania się jej zasadami.
Grudzień 1995. Tadeusz Stępień.
2
1.
TEMATYKA WYKŁADÓW
1.1.
Punktem wyjściu wykładu logiki będzie krótka charakterystyka poglądów na źródła
ludzkiego
poznania.
Poglądy
te
zostały
uporządkowane
w
podręcznikach
filozofii w postaci znanych stanowisk w teorii poznania, zwanej inaczej epistemologią
(episteme – poznanie, logos – nauka). A są to:
−
empiryzm,
−
racjonalizm,
−
fideizm.
KaŜde z wymienionych tu stanowisk posiada wiele odmian wyraŜających poglądy
określonych twórców. Na przykład przedstawiciele empiryzmu, jak: Arystoteles, D. Hume, J.
Locke, J. S. Mill, neopozytywiści - prezentują stanowiska znacznie się róŜniące. Istnieje jednak
pewien wspólny element ich poglądów, mówiący o istotnej roli doświadczenia w procesie
poznania. Podobnie rzecz ma się z innymi stanowiskami, które będą przedmiotem wykładu.
1.2. Podstawowym instrumentem wyraŜania naszej wiedzy o sobie i o świecie
jest język. Ludzki język posiada cechy jemu tylko właściwe, a niewystępujące nigdzie w
świecie zwierzęcym. Jest twórczy, podlega przeobraŜeniom, potrafi określić rzeczy, zjawiska,
przeŜycia duchowe i fizyczne. Pozwala na wypowiadanie myśli i zrozumienie myśli
wypowiadanych przez innych.
Zagadnieniem szczególnie godnym zainteresowania z punktu widzenia logiki jest sposób
wyraŜania treści poznawczych czy emocjonalnych za pomocą znaków – nośników tych treści.
To sprawa przekształcania sygnałów i znaków pojedynczych w bardziej złoŜone całości a w
końcu w cały system zwany językiem. „Język, – bowiem – to system obejmujący, wyznaczony
przez pewne reguły, zbiór znaków słownych, znaków, z którymi odpowiednie reguły nakazują
wiązać myśli określone go typu, a inne reguły określają dopuszczalny sposób wiązania tych
znaków w wyraŜenia złoŜone”
1
. Natomiast A. Schaff prezentuje taką interesującą myśl: „JeŜeli
jest prawdą, Ŝe nie potrafimy myśleć bez słów i Ŝe uczymy się myśleć za pomocą słów, tedy
język wyznacza granice i zarys całego ludzkiego poznania”
2
. Wcześniej myśl taką wygłosił
logik, austriacki myśliciel L. Wittgenstein mówiąc, Ŝe granice mojego języka oznaczają granice
mojego świata”
3
WaŜne jest w tym przypadku rozróŜnienie na języki naturalne — gdzie reguły kształtują
się zwyczajowo oraz języki sztuczne — reguły zaprojektowano z góry (esperanto). Na uŜytek
wykładu będziemy uŜywać określenia języki naturalne dla oznaczenia języka uŜywanego w
codziennej praktyce, choć w nim równieŜ występują elementy języków sztucznych.
Język sztuczny wiąŜę z językiem sformalizowanym, którego zarówno symbolika, jak i
reguły zostały ustalone przez twórców określonych systemów sformalizowanych.
1.3.
Szczególną rolę w procesie poznania pośredniego, a z takim mamy do czynienia w
większości aktów poznawczych, odgrywają znaki. „Znak to wszelki — przedmiot — lub
zespół przedmiotów powiązanych w obustronnym akcie poznania pomiędzy podmiotem
poznającym a przedmiotem poznania”
4
.
WyróŜniamy znaki sztuczne, które są zarazem przedmiotami pośredniczącymi w akcie
porozumiewania się. Są to znaki specjalne utworzone dla przekazywania określonych treści,
np. znaki drogowe, napisy i wypowiedzi zdaniowe. Znaki sztuczne nazywane są niekiedy
znakami właściwymi. Znaki naturalne nie są jednoznacznie przedmiotami pośredniczącymi w
procesie porozumiewania się, np. błyski w czasie burzy, dym, jako znak ognia.
1
Z. Ziembiński: Logika praktyczna. WN PWN Warszaua 1994.
2
A. Schaft. Język a poznanie. PWN. Warszawa 1964.
3
L. Wittgenstein: Tractams Logico-Philosophicus. PWN. Warszawa 1970. s. 66.
4
Z. Kraszewski: Logika — nauka rozumowania. PWN, Warszawa 1984.
3
Jednym i drugim znakom przysługuje funkcja znaczenia. Tak, więc w procesie
porozumiewania się naleŜy umieć odczytywać znaczenie zarówno znaków naturalnych, jak i
znaków sztucznych. Szczególną rolę w procesie poznawania świata natury odgrywa
umiejętność pojmowania znaków, które przekazuje nam świat roślin, zwierząt a równieŜ skal,
woda, wiatr.
Warto zaznaczyć pewną charakterystyczną cechę znaków właściwych, czyli sztucznych (np.
nazwa czy zdanie), nazywaną niekiedy przezroczystością semantyczną, co znaczy, Ŝe znak
sam nie zatrzymuje na sobie Ŝadnej świadomości, uwagi podmiotu poznającego.
1.4. Po tych uwagach wstępnych naleŜy przejść do próby podania definicji logiki oraz
charakterystyki jej działów. Encyklopedia logiki podaje definicję najbardziej zwięzłą:
Logika to: analiza języka i czynności badawczych (rozumienia, definiowania,
klasyfikowania itp.) w celu podania takich reguł posługiwania się językiem i wykonywania
owych czynności, które uczyniłyby tę, działalność moŜliwie najbardziej skuteczną.
5
Dla celów niniejszego wykładu tego rodzaju definicja wydaje się wystarczająca, choć moŜna
znaleźć inne, np. logika to nauka o prawach myślenia.
1.5. NajwaŜniejsze działy logiki to:
I. Semiotyka – ogólna teoria znaków ze szczególnym uwzględnieniem znaków tworzących
język, czyli wyraŜeń. Semiotyka dzieli się na trzy działy:
a)
Semantyka – opisuje stosunki zachodzące między znakami a rzeczywistością, do której
znaki się odnoszą: konotowanie, denotowanie, prawdziwość.
b)
Syntaktyka – opisuje stosunki zachodzące między znakami wewnątrz języka.
Przedmiotem są stosunki wewnątrz językowe, które mają charakter formalny, czyli Ŝeby
je stwierdzić, nie trzeba znać znaczenia wyraŜeń.
c)
Pragmatyka – opisuje stosunki zachodzące między znakami a tymi, którzy te znaki
nadają lub odbierają (rozumienie, komunikowanie się, stwierdzanie).
II. Logika formalna dotyczy schematów rozumowań niezawodnych, tj. takich, które od
prawdziwych przesłanek prowadzą zawsze do prawdziwych wniosków. Podstawowymi
działaniami logiki formalnej są:
a)
Rachunek zdań – wiąŜe się on z pojęciem formy rozumowania, czyli formy logicznej
(inaczej schematu, struktury).
W rachunku zdań posługujemy się określonymi schematami formalnymi, które powstają przez
zastąpienie elementów stałych w zdaniu symbolami zmiennych i stałych, np. zdanie: jeśli (jest
tak. Ŝe) grzmi, to błyska, to: jeśli nie błyska, to nie grzmi, moŜna zapisać w postaci
symbolicznej (p → q) → (~q →~ p).
Ten ostatni zapis nazywamy formą zdania (w tym przypadku wyŜej zacytowanego), a
jednocześnie – jak się później okaŜe – jest to przykład określonego prawa logicznego.
b)
Rachunek kwantyfikatorów – przedmiotem zainteresowań rachunku kwantyfikatorów
są określone twierdzenia z uŜyciem takich zwrotów, jaki kaŜdy, niektóre, zwanych
kwantyfikatorami. Do działu zwanego logiką formalną moŜna równieŜ zaliczyć:
c)
Rachunek nazw – zwany niekiedy sylogistyką zdań asertorycznych. Sylogistyka jest
najstarszym systemem logicznym, którego autorem jest Arystoteles. Jest to teoria czterech
stałych logicznych:
kaŜdy... jest, Ŝaden... nie jest..., niektóre... są, niektóre... nie są, oznaczone symbolami: a, e, i, o.
Są to funktory o trzech zmiennych nazwowych reprezentowanych przez S, M, P, których
wartościami są tylko terminy ogólne i niepuste.
5
Mała encyklopedia logiki. Ossolineum, Wrocław – Warszawa - Kraków, 1988.
4
III. Metodologię nauk moŜna podzielić na dwa działy:
a)
Metodologia ogólna rozwaŜa czynności lub rezultaty poznawcze, występujące we
wszystkich naukach (twierdzenia, definicje, klasyfikowanie).
b)
Metodologia szczegółowa dzieli się na metodologię poszczególnych typów nauki,
róŜniących się rodzajem zabiegów poznawczych, np. metodologię nauk formalnych, czyli
dedukcyjnych, metodologię nauk empirycznych.
W ramach szeroko pojętej logiki występuje wiele logik szczegółowych, np. logika:
deontyczna, dialogowa, filozoficzna, intuicjonistyczna, kombinatoryczna, matematyczna.
W dalszym toku wykładu zajmiemy się następującymi dziedzinami logiki:
−
wybranymi zagadnieniami semantyki,
−
podstawowymi i pochodnymi kategoriami syntaktyki,
−
głównymi zagadnieniami logiki formalnej,
−
wybranymi tezami rachunku zdań,
−
sylogistyką zdań asertorycznych (logika klasyczna),
−
wybranymi elementami metodologii nauk,
−
rozumowaniem i jego pochodnymi,
−
podziałem logicznym,
−
klasyfikacją,
−
podziałem nauk.
2.
WYBRANE ZAGADNIENIA SEMANTYKI
2.3.
Kluczem do zrozumienia problemów semantycznych jest pojęcie znaczenia, czyli
sposobu rozumienia danego wyraŜenia w danym języku.
2.4.
Z punktu widzenia znaczenia moŜemy wyróŜnić tzw. kategorie semantyczne, to
znaczy grupy wyrazów, ich zespołów i całych zwrotów językowych wyróŜnionych przez
logikę ze względu na znaczenie.
2.5.
Do podstawowych kategorii semantycznych zaliczamy nazwy i zdania,
2.6.
NaleŜy zwrócić uwagę, Ŝe takie same kategorie zostały podane uprzednio, jako
syntaktyczne. Są one jednak w syntaktyce traktowane z punktu widzenia ich funkcji w
strukturze zdaniowej a nie z punktu widzenia znaczenia. Znaczenie wiąŜe się ściśle z pojęciem
semantyki i dotyczy znaku i rzeczywistości, do której ten znak się odnosi. Oznacza to, Ŝe
kategoria nazwa, zdanie, moŜe być traktowana, w ujęciu semantycznym i syntaktycznym.
Rzecz stanie się jaśniejsza w trakcie dalszych wykładów. NaleŜy jednak pamiętać o
powyŜszych aspektach, aby uniknąć istotnych nieporozumień.
2.7.
Przedmiotem szczególnego zainteresowania semantyki i syntaktyki jest nazwa.
Najczęściej przez pojęcie nazwy rozumiemy wyraŜenie językowe, które moŜe wystąpić w
zdaniu w roli podmiotu lub orzecznika.
I tu jest aspekt syntaktyczny tej kategorii, poniewaŜ wskazuje na jej miejsce w strukturze
wyraŜenia złoŜonego.
Natomiast w analizie semantycznej, a więc zajmującej się związkiem między nazwą, jako
znakiem a rzeczywistością, do której się odnosi, wyróŜniamy następujące elementy
semantyczne:
5
Treść nazwy – jest to zespół cech przedmiotu, które dana nazwa wskazuje, określona
niekiedy, jako znaczenie.
Właściwość wskazywania znaczenia nazwy określamy pojęciem konotacja. Na przykład
nazwa krzesło wskazuje na istotne cechy przedmiotu, które pozwalają odróŜnić ten przedmiot
od ławki czy stołu. Te właśnie cechy zawarte niejako w nazwie (ze względu na dany język)
nazywamy konotacją. A więc konotacja moŜe być uŜywana zastępczo z treścią bądź
znaczeniem, a moŜe jednocześnie wskazywać na pewien logiczny proces umoŜliwiający
porozumiewanie się.
WyróŜniamy tzw. cechy konstytutywne i konsekutywne. Cechy konstytutywne to znaczy
takie, bez których nie istnieje dany przedmiot; konsekutywne zaś – to cechy pochodne. Ze
względu na treść mówi się często o trzech róŜnych tzw. supozycjach nazwy prostej,
formalnej, materialnej. OdróŜnić naleŜy pojęcie znaczenia od pojęcia oznaczania. Oznaczać
to nadawać się na orzecznik zdania prawdziwego o tym przedmiocie.
Desygnat nazwy – jest to wszelki przedmiot oznaczony przez tę nazwę przy danym jej
znaczeniu. Desygnatem nazwy koń jest określone zwierzę zajmujące odpowiednie miejsce w
systematyce zwierząt.
Zakres nazwy – przy danym jej znaczeniu to ogól wszystkich jej desygnatów. Zakresy
nazw nazywane są niekiedy denotacjami. Denotować znaczy wskazywać na zakres nazwy.
Wymienione czynniki są podstawowymi elementami semantycznymi nazwy.
2.8.
Podział nazw. WyraŜenia nazwowe mogą występować, jako indywidualne ogólne,
abstrakcyjne.
a)
WyraŜenia nazwowe są przyporządkowane przedmiotom indywidualnym, jako nazwy
indywidualne.
b)
Ogół przedmiotów podobnych do danego pod względem pewnych wyróŜnianych cech
określamy, jako nazwy ogólne.
c)
Nazwy własności, relacji, klas, liczb są nazwami abstrakcyjnymi.
Jest to jeden z moŜliwych podziałów, który moŜna rozwijać do postaci bardzie złoŜonej. Oto
inny, acz podobny w treści, podział:
nazwy
oznaczające
nieoznaczające
(przedmiotowe, niepuste)
(bezprzedmiotowe)
jednostkowe ogólne
Inny nieco podział nazw znaleźć moŜna u Z. Ziembińskiego
6
, to jest według:
−
liczby wyrazów składowych – proste i złoŜone,
−
miejsca odniesienia, (do czego się odnoszą) – konkretne i abstrakcyjne,
−
sposobu wskazywania desygnatu – generalne, indywidualne.
−
natury desygnatów — ogólne, jednostkowe, puste,
−
struktury desygnatów — zbiorowe i nie zbiorowe.
NaleŜy jeszcze wyróŜnić:
−
nazwy równowaŜne, czyli takie, które mają ten sam zakres, np. Jan Matejko największy
polski malarz historyczny.
−
nazwy równoznaczne, czyli nazwy mające tą samą treść: np. odwaga i dzielność.
6
Z. Ziembiński: Logika praktyczna. WN PWN, Warszawa 1994.
6
2.9.
Stosunki miedzy zakresami nazw. Poszczególne stosunki moŜna zilustrować za
pomocą tzw. koła Eulera (logik i matematyk, XVIII w.)
a)
Stosunek
równowaŜności
(zwany
niekiedy
stosunkiem
zamienności). Zachodzi on między zakresem nazwy 5 i nazwy P wtedy
i tylko wtedy, gdy kaŜdy desygnat nazwy S jest desygnatem nazwy P, a
kaŜdy desygnat nazwy P jest desygnatem nazwy S, np. student (5) i
słuchacz szkoły wyŜszej (P).
b)
Stosunek podrzędności – kaŜdy desygnat nazwy S jest
desygnatem nazwy P, natomiast nie kaŜdy desygnat nazwy P jest
desygnatem nazwy S, np. ekonomista (S) człowiek (P).
c)
Stosunek nadrzędności – kaŜdy desygnat nazwy P jest
desygnatem nazwy S, nie kaŜdy desygnat nazwy 5 jest desygnatem
nazwy P, np. kobieta (S), męŜatka (P).
Czy między zakresem dwóch nazw zachodzi stosunek podrzędności czy
nadrzędności zaleŜy od tego, którą nazwę, do której ustosunkowujemy
(moŜe być stosunek kobieta (S) – męŜatka (P) a moŜe być męŜatka (5) –
kobieta (P).
d)
Stosunek krzyŜowania się. Niektóre desygnaty nazwy S są
desygnatami nazwy P i niektóre desygnaty nazwy P są desygnatami
nazwy S, np. Polak – Ŝołnierz, student – sportowiec.
e)
Stosunek wyłączania się, kiedy Ŝaden desygnat nazwy S
nie jest desygnatem nazwy P, np. stół — krzesło.
f)
Nazwy sprzeczne to takie, z których jedna zaprzecza drugiej, np. człowiek –
nieczłowiek, biały – niebiały. Inaczej mówiąc, Ŝe zostaje wydzielona z niej jakaś podklasa, a
pozostała staje się jej zaprzeczeniem.
g)
Nazwy przeciwne, np. dziecko i człowiek dorosły. Suma tych dwóch zbiorów nie da
nam zbioru uniwersalnego, tak jak to ma miejsce przy sumie zbiorów sprzecznych
3.
DEFINICJE
3.1.
Problemy definicji zaliczane są do zagadnień sematycznych. SłuŜą, bowiem
sprecyzowaniu, nadaniu bądź zdaniu sprawy ze znaczenia jakiejś nazwy, pojęcia, terminu
uŜywanego w danym języku. To właśnie definicje są jednym z głównych sposobów
poprawnego porozumiewania się.
3.2.
Dość trudno jest podać określenie definicji głównie ze względów znaczeniowych. W
„Małej encyklopedii logiki” brzmi ona tak:
Termin ten uŜywany bez przydawki, odnoszony bywa z reguły do definicji normalnej, w
którejś z jej postaci (analitycznej lub syntetycznej, słownikowej lub semantycznej itp.)
Ponadto moŜna uwaŜać za zakres nazwy »definicja« sumę zakresów tych wszystkich nazw,
które utworzone są ze słowa »definicja« oraz następującego po nim przymiotnika.
7
7
Mała encyklopedia logiki. Ossolineum. Kraków-Warszawa 1998.
SP
S
P
P
S
SP
P
S
P
S
7
J. Gregorowicz podaje to w sposób następujący:
Wszelka definicja jest wyjaśnieniem znaczenia jakiegoś wyraŜenia w jakimś języku, które
polega na podaniu dla tego wyraŜenia jego równowaŜnika.
8
3.3.
W zaleŜności od tego, czy zdanie definiujące określa bezpośrednio jakiś
konkretny przedmiot, czy znaczenia słowa w danym języku, wyróŜniamy definicje:
−
realną (podaje charakterystykę przedmiotu),
−
nominalną (podaje informacje o znaczeniu słowa).
3.4.
Ze względu na funkcje, jakie pełnią w procesie porozumiewania się, wyróŜniamy
definicje:
−
sprawozdawcze (analityczne) – to znaczy zdaje sprawę ze znaczenia jakiegoś słowa w
danym języku. I w tym sensie ma ona charakter nominalny, choć słowo nominalny nabiera
właściwego znaczenia w zestawieniu ze słowem realny,
−
projektujące (syntetyczne) – mają one zaprojektować znaczenie wyrazu. Są to, więc
propozycje rozumienia jakiegoś słowa. Definicja projektująca moŜe mieć charakter definicji
konstrukcyjnej bądź regulującej.
3.5.
AŜeby zrozumieć dalsze typy definicji niezbędne jest zapoznanie się ze
strukturą definicji. Część definiowaną nazywa się terminem łacińskim definiendum część zaś
definiującą – definiens. Te dwa elementy powiązane są łącznikiem, np. człowiek jest to zwierzę
rozumne. W taki sposób definiuje człowieka Arystoteles. Członem definiującym, czyli
definiendum jest człowiek, natomiast członem definiowanym, czyli definiens – zwierzę
rozumne.
3.6.
Z punktu widzenia budowy moŜemy mówić o definicji równowaŜnościowej, to
znaczy, Ŝe wyraz definicyjny pokrywa się znaczeniowo z wyrazem definiującym.
3.7.
Szczególnym przykładem definicji równowaŜnościowej jest definicja klasyczna.
Przykładem moŜe być cytowane określenie człowieka, jako zwierzęcia rozumnego. Definicja ta
polega na podaniu tzw. rodzaju i róŜnicy gatunkowej. Obydwa te terminy mają znaczenie ściśle
logiczne. Rodzaj oznacza w języku łacińskim – genus a róŜnica gatunkowa – differentia
specifica. Czyli definitio fit per genus et differentiam specificam. Symbolicznie: A jest BC.
−
Definicje moŜna sformułować w trzech wariantach nazywanych stylizacjami. Mówi się
o stylizacji: słownikowej, semantycznej, przedmiotowej.
3.8.
Wymienia się równieŜ definicję przez postulaty.
3.10. KaŜda poprawna definicja musi spełnić następujące warunki:
−
adekwatność oznacza, Ŝe zakresy definiendum i definiens muszą być zamienne,
−
wyrazy występujące w definiens muszą być zrozumiałe dla adresata definicji,
−
w definiens powinny być wymienione te cechy przedmiotów, z powodu których te
przedmioty zostały nazwane tym słowem.
3.11.
Najczęściej popełniane błędy przy definiowaniu:
−
ignotum per ignotum – nieznane przez nieznane, słowo definiujące równie nieznane jak
słowo definiowane;
−
idem per idem to samo przez to samo. Błąd ten nazywany jest niekiedy błędnym,
kołem, które moŜe mieć charakter bezpośredni bądź pośredni;
8
J. Gregorowicz: Zarys logiki dla prawników. PWN, Warszawa 1962, s. 46.
8
−
definicja za szeroka, – o zakres definiens jest nadrzędny w stosunku do zakresu
definiendum;
−
definicja za wąska – sytuacja odwrotna niŜ w definicji za szerokiej.
3.12.
Znaczenie słów moŜemy wyjaśniać takŜe przez przykład, odróŜnienie, po
równanie, wskazanie. Jest to definicja deiktyczna obiektywna bądź ostensywna.
4.
WIELOZNACZNOŚĆ I NIEPOROZUMIENIA
4.1.Wieloznaczność jest źródłem nieporozumienia i polega na tym, Ŝe słowa mają więcej niŜ
jeden sposób ich rozumienia. Mogą to być:
−
nazwy równobrzmiące o róŜnych znaczeniach, np. zamek, język, kultura, pranie;
−
znaczenia przeniesione na przedmioty podobne, np. sól;
−
znaczenia przeniesione na inne rzeczy, np. URM — budynek i instytucja polityczna.
4.2.Wieloznaczność moŜe wynikać z pomieszania supozycji prostej i materialnej.
4.3.Specyficzną formą wieloznaczności jest ekwiwokacja – polega ona na dwukrotnym
uŜyciu jakiegoś słowa w jakiejś wypowiedzi w dwóch róŜnych znaczeniach.
4.4.Źródłem nieporozumień mogą być równieŜ tzw. słowa okazjonalne. Słowa te zmieniają
swoje znaczenie w zaleŜności od tego, kiedy, gdzie i kto je wypowiada, np. dziś, jutro, tam, ja.
4.5.Często spory między ludźmi wynikają z faktu posługiwania się słowami nieostrymi,
tzn. takimi, których zakres nie jest ostatecznie rozstrzygnięty, np. młody, nieletni.
4.6.Do błędów powodujących nieporozumienia zalicza się równieŜ amfibologię (spotyka się
równieŜ określenie amfibolia, np. część programu całkowicie nie została wykonana; na bal
konie nie chodzą — na balkonie nie chodzą.
4.7.Nieporozumienie powodować moŜe nawet emocjonalne zabarwienie wyrazów.
5. PODSTAWOWE I POCHODNE KATEGORIE SYNTAKTYKI
5.1.Do podstawowych kategorii syntaktyki zalicza się nazwę i zdanie. Ich syntaktyczny
sens wynika z faktu tworzenia wraz z innymi kategoriami znaczących całości. Wzajemne
warunkowania oznaczają ich aspekt syntaktyczny.
Na pytanie, jakie są podstawowe kategorie syntaktyczne, naleŜy odpowiedzieć: nazwa i
zdanie.
Natomiast kategorią pochodną jest funktor.
Dwa wyraŜenia naleŜą do tej samej kategorii syntaktycznej, jeśli zastępując w zdaniu jedno
z nich drugim, otrzymamy zdanie.
5.2.Kategoria nazwa została omówiona w rozdziale 2.
5.3.Niezmiernie waŜną kategorią syntaktyczną w logice jest zdanie Przez zdanie w logice
rozumiemy wyłącznie zdanie oznajmiające, jak zauwaŜają autorzy „Malej encyklopedii
logiki”.
9
Tak pojęte zdanie określa się:
−
syntaktycznie, czyli strukturalnie,
−
semantycznie,
−
pragmatycznie.
Zdanie w sensie logicznym jest to wyraŜenie, które jest bądź prawdziwe, bądź fałszywe.
Takie ograniczenie kategorii rozumienia zdania jest niezbędne dla właściwej analizy procesów
wnioskowania, dowodzenia, sprawdzania czy tłumaczenia, czyli w rozmaitych formach
uzasadniania.
Prawdziwość, czy teŜ fałszywość zdania jest zaleŜna od zgodności treści zdania z
rzeczywistością, do której to zdanie się odnosi. Samo zagadnienie prawdziwości zdań będących
elementami składowymi rozumowania nie jest szczególnym przedmiotem zainteresowań
logiki.
Prawdą poznania zajmuje się specjalny dział teorii poznania. W logice, kiedy mówimy o
prawdziwości lub fałszywości zdania, uŜywamy terminu wartość logiczna zdania i oznaczamy
specjalnymi symbolami i tak: prawdę oznaczamy cyfrą arabską 1 lub literą V (Veritas –
prawda), fałsz cyfrą 0 lub literą F (Falsus – fałsz).
W praktyce przewaŜa oznakowanie 1 lub 0.
5.4.Podstawowym podziałem zdań jest podział na zdania proste i zdania złoŜone.
Wyjaśnia się to uŜywając terminologii logicznej, Ŝe zdania proste nie zawierają funktora
zdaniotwórczego od argumentów zdaniowych, zdania złoŜone zaś zawierają taki funktor.
WyróŜnić moŜemy zdania: podmiotowo-orzecznikowe i podmiotowo-orzeczeniowe, np.: Jan
jest studentem – to zdanie podmiotowo-orzecznikowe, a Jan śpiewa to zdanie podmiotowo-
orzeczeniowe.
Innym rodzajem zdania jest zdanie egzystencjalne, np.: istnieje jeden tylko człowiek, który
pełni funkcją papieŜa.
Wśród zdań prostych o strukturze a jest b wyróŜnić moŜemy zdania atomimiczne i zdania
subsumpcyjne, np.: Kowalski jest lekarzem to zdanie atomiczne, a zdanie Koń jest ssakiem jest
zdaniem subsumpcyjnym. W pierwszym przypadku mamy indywiduum zaliczone do zbioru, w
drugim zbiór mniejszy do zbioru większego.
Ze względu na rodzaj spójników łączących zdania proste w zdania złoŜone te ostatnie
dzielimy na zdania: koniunkcyjne, alternatywne, alternatywno-rozłączne, warunkowe,
równowaŜne, negatywne. Ten podział odgrywa szczególnie doniosłą rolę w logice formalnej.
5.
FUNKTORY
6.1.
Bardzo waŜną kategorię syntaktyczną stanowią funktory. Są one z określonego,
omawianego juŜ, punktu widzenia uwaŜane równieŜ za dosyć specyficzną kategorię
semantyczną, a to głównie z powodu, Ŝe te wyraŜenia nie posiadają wyraźnego znaczenia
autonomicznego.
Funktorem nazywamy kaŜde wyraŜenie niebędące zdaniem lub nazwą słuŜące do
konstruowania zdań lub nazw, czy teŜ innych funktorów.
Z definicji wynika, więc to, co wyŜej powiedziano, Ŝe funktor uzyskuje swoje pełne
znaczenie w powiązaniu z innymi kategoriami semantycznymi.
6.2.
WyraŜenia, z którymi funktor tworzy wyraŜenie bardziej złoŜone, nazywamy
argumentami.
10
6.3.
Jeśli w efekcie mamy do czynienia z funktorem łączącym dwa lub więcej zdań w zdanie
złoŜone, mówimy wówczas o funktorze zdaniowym, a w zaleŜności od liczby zdań
składowych o funktorze zdaniotwórczym od jednego, dwóch lub, więcej argumentów
zdaniowych. Jeśli zaś argumentami są nazwy, które tworzą zdanie, mówimy o funktorze
zdaniotwórczym od jednego, dwóch lub więcej argumentów nazwowych, np.: Kwiatkowski
pracuje. Jest to zdanie złoŜone z jednej nazwy indywidualnej (Kwiatkowski) i jednego funktora,
który wraz z tą nazwą tworzy zdanie (pracuje), natomiast w zdaniu Kwiatkowski pracuje i
ś
piewa, mamy do czynienia z funktorem zdaniotwórczym (i) od dwóch argumentów
zdaniowych; Kwiatkowski pracuje i Kwiatkowski śpiewa.
6.4.
Jeśli zaś funktor tworzy bardziej złoŜoną nazwę, nazywamy go funktorem
nazwotwórczym, np. uczony i polityk – wyraŜenie i tworzy złoŜoną nazwę z dwóch
argumentów nazwowych i wówczas mówimy o funktorze nazwotwórczym od dwóch
argumentów nazwowych. W wyraŜeniu piękny kwiat mamy do czynienia z funktorem
nazwotwórczym od jednego argumentu nazwowego (piękny).
6.5.
W przypadku, gdy funktorem jest funktor bardziej złoŜony, to mówimy o funktorze
funktorotwórczym, np. bardzo uŜyteczny, nadzwyczajnie grzeczny, szalenie pracowity —
bardzo, nadzwyczajnie, szalenie to funktory funktorotwórcze.
6.6.
KaŜdy z tych funktorów posiada w logice swoją symbolikę i tak:
−
funktor nazwotwórczy od jednego argumentu nazwowego oznacza się często symbolem
gdzie w liczniku mamy do czynienia z określeniem, jaki charakter ma wyraŜenie
utworzone z funktorem (w tym przypadku nazwa – n), a w mianowniku z liczbą argumentów
(w tym przypadku jeden argument nazwy).
WyraŜenie uczony i polityk opiszemy symbolicznie , bowiem mamy do czynienia z
dwoma argumentami nazwowymi;
−
funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu nazwowego oznaczamy np.
Kwiatkowski pracuje; a od dwóch argumentów zdaniowych np. Kwiatkowski pracuje i
ś
piewa. MoŜe być takŜe funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego, np.
nieprawda, Ŝe dzisiaj pada deszcz – wyraŜenie nieprawda, Ŝe... jest funktorem
zdaniotwórczym od jednego argumentu zdaniowego – symbolicznie .
Symbolikę funktorów funktorotwórczych przedstawia się w sposób nieco udziwniony:
bardzo grzeczny oznaczamy .
Mogą być funktory funktorotwórcze od jednego lub więcej argumentów funktorowych.
6.7. Oto przykład rozbioru syntaktycznego zdania z uŜyciem wspomnianych symboli:
Koń, który pasie się w moim ogrodzie, /pochodzi/ Z bardzo znanej/ stadniny/ janowskiej.
Kreski oznaczają szczegółowe kategorie syntaktyczne.
Koń — n (nazwa),
który pasie się w moim ogrodzie – (funktor nazwotwórczy od jednego argumentu
nazwowego),
pochodzi (funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów nazwowych),
z bardzo znanej (funktor funktorotwórczy),
stadniny – n (nazwa),
janowskiej – (funktor nazwotwórczy od jednego argumentu nazwowego).
n
n
n
n
z
n
z
zz
z
z
n
n
n
n
n
n
z
nn
n
n
n
n
n
n
11
Zestawienie symboliczne przedstawia się następująco:
n n .
7.
LOGIKA FORMALNA
7.1.
Logika formalna jest tym działem logiki, który dotyczy schematów rozumowań
niezawodnych, to jest takich, które od prawdziwych przestanek prowadzą zawsze do
prawdziwych wniosków. A więc, logika zajmuje się tym szczególnym rodzajem rozumowania,
które nazywa się wnioskowaniem. Wnioskowanie, bowiem zajmuje bardzo poczesne miejsce
w naszym opisie świata, jak równieŜ w opisie jego przekształceń.
7.2.
Określenie – formalna – wynika z faktu zajmowania się głównie schematami
rozumowania, to znaczy, Ŝe przedmiotem zainteresowań nie jest treść zdania a forma, budowa
zdania. Jak się, bowiem okaŜe, sama budowa zdania moŜe przebiegać według schematu, który
zawsze gwarantuje jego prawdziwość.
7.3.
NaleŜy wyjaśnić, Ŝe niektóre schematy zdań prawdziwych dadzą się przedstawić w
postaci reguł wnioskowania. Na przykład dzisiaj jest czwartek, zatem jutro jest piątek. Jest to
zdanie, które moŜna zapisać w innej postaci: jeśli dzisiaj jest zwartek, to jutro jest piątek i
dzisiaj jest czwartek, to jutro jest piątek. W tym drugim przypadku mamy do czynienia z
dwiema częściami rozumowania, mianowicie wiadomościami, które posiadaliśmy przed
rozpoczęciem rozumowania oraz z wiadomościami, które wywodzą się z poprzednich drogą
pewnego rozumowania.
Jeśli dzisiaj jest czwartek, to jutro jest piątek i dzisiaj jest czwartek – to jest informacja,
którą znaliśmy wcześniej. W logice nazywa się ona przesłanką, stanowi bowiem, jeśli moŜna
tak powiedzieć, przesłanie części po niej następującej, która nazywa się wnioskiem i w
przypadku naszego zdania będzie to wyraŜenie: to jutro jest piątek.
7.4.
W formule: poniewaŜ, dzisiaj jest czwartek, to jutro jest piątek: mamy do czynienia ze
stosunkiem wnioskowania. W formule np.: jeśli dzisiaj jest czwartek, to jutro jest piątek
mamy do czynienia z wynikaniem czy teŜ implikacją. Wypowiadając taką implikację, nie
mówimy nic o tym, czy uznajemy zdanie poprzedzacie, czy następne. Natomiast mając do
czynienia z wnioskowaniem, stwierdzamy o związku zdania jednego i drugiego.
7.5.
WyróŜnić, zatem naleŜy schematy formalne zdań i schematy formalne
wnioskowań. Schematy formalne uzyskamy wtedy, gdy w zdaniu złoŜonym występują zdania
proste i łączące je spójniki zastępujemy odpowiednimi symbolami. Podobnie naleŜy
postępować tworząc schemat zdań kategorycznych. Aby utrzyma składniowa jednoznaczność,
wprowadzamy nawiasy. I lak, np. przyjmując symbole zmiennych zdaniowych p, q, r-a,
odpowiednie znaki spójników np.: → implikacje, /\ koniunkcja, negacja, moŜemy zdanie typu:
jeŜeli 7 dzieli się przez 6, to 7 dzieli się przez 2 oraz 7 dzieli się przez 3, zapisać symbolicznie:
p → (q /\ r)
gdzie: p – 7 dzieli się przez 6,
q – 7 dzieli się przez 2,
r – 7 dzieli się przez 3,
łącznik zaś: jeŜeli … to … oznacza symbol →.
Zdanie: Zdanie: kaŜdy pies jest ssakiem, mogę symbolicznie zapisać w postaci: S a P, gdzie:
S — pies,
P — ssak.
Mamy tu do czynienia ze zmiennymi nazwowymi.
7.6.
Schematy zdań zawsze prawdziwych nazywamy tautologiami wnioskowania bądź
niezawodnymi schematami wnioskowania. JuŜ wspomniano, Ŝe moŜe zachodzić toŜsamość
między tautologią (zwaną niekiedy tezą lub prawem logicznym) a niezawodnym schematem
wnioskowania.
n
n
z
nn n
n
n
n
n
n
12
Z uwagi powyŜszej wynika, Ŝe niekiedy schemat zdaniowy jest schematem zdania
prawdziwego i podobnie jest ze schematem wnioskowania, np. zdanie: Kościuszko był
Polakiem lub Kościuszko nie był Polakiem, jest zdaniem, którego zapis formalny moŜna
przedstawić. P \/ nie p(p \/ p) i czytamy p lub nie p. Schemat ten moŜe być schematem zdania
tylko prawdziwego.
7.7.
Po tych wstępnych wyjaśnieniach naleŜy wprowadzić kilka podstawowych pojęć.
Logika formalna, jak to było wcześniej powiedziane, posiada kilka waŜnych działów, takich
jak:
−
rachunek zdań,
−
rachunek nazw,
−
rachunek kwantyfikatorów,
−
rachunek relacji,
−
rachunek zbiorów.
7.8.
W niniejszym wykładzie ograniczymy wykład logiki formalnej do elementów rachunku
zdań i rachunku nazw nawiązując, o ile to będzie potrzebne, do działów pozostałych.
Celem, bowiem tego wykładu nie jest przedstawienie słuchaczom skomplikowanych
problemów logiki, jako dyscypliny naukowej, ale pomoc w poprawnym formułowaniu
własnych myśli, własnych wypowiedzi, najczęściej wygłaszanych w języku naturalnym, w
sposób zgodny z zasadami logiki.
Tak więc, trudne zagadnienia formalne, charakterystyczne dla logiki matematycznej, przy
danym wymiarze godzin nie mogą być przedmiotem wykładu. Nie to, ma na celu niniejszy
wykład, zainteresowani zaś mogą korzystać z wykładów logiki prowadzonych przez
matematyków.
7.9.
Rachunek zdań (logika zdań, teoria zdań, teoria dedukcji) zajmuje się związkami
między zdaniowymi ujmowanymi w zdania złoŜone, powstające złączenia zdań funktatorami
zdaniotwórczymi od argumentów zdaniowych. PoniewaŜ w rachunku zdań nie uŜywa się
konkretnych zdań, lecz zmiennych zdaniowych, które reprezentują zdania, dlatego w logice
zdań nie mamy do czynienia ze zdaniem, lecz z funkcjami zdaniowymi. JeŜeli zaś w funkcji
za zmienne podstawimy stałe, to uzyskamy zdanie w sensie logicznym.
7.10.
Język rachunku zdań. W rachunku zdań posługujemy się stałymi logicznymi, które
najczęściej symbolizowane są w sposób następujący:
~ lub niekiedy
– negacja, czytamy nieprawda, Ŝe .... nie,
→ lub niekiedy <
– implikacja – czytamy, jeŜeli... to.
^ lub niekiedy ·
– koniunkcja – czytamy i (ale jednocześnie moŜna zaliczyć do
koniunkcji wyraŜenia typu: oraz, ale, lecz a natomiast
– alternatywa prosta
–
czytamy lub, bądź w sensie: co najmniej jedno z
dwojga,
÷ lub niekiedy
–
alternatywa wyłączająca, zwana niekiedy ekskluzją, czytamy albo,
niekiedy równieŜ lub, w sensie do dokładnie jedno z dwojga,
–
dysjunkcja czytamy bądź – bądź, lub w sensie: co najwyŜej jedno
z dwojga,
–
równowaŜność, czytamy zawsze i tylko wtedy ... jeŜeli, pod tym
warunkiem i tylko pod tym warunkiem, ze.
–
binegacja
, czytamy ani ... ani
7.11. W rachunku zdań posługujemy się równieŜ
zmiennymi logicznymi
, których
symbolem
są najczęściej małe łacińskie litery i to tradycyjnie rozpoczynające się od litery p, q, s, t, ..., ale
moŜna się równieŜ spotkać z inną symboliką. NaleŜy wówczas zwracać uwagę czy chodzi o
zmienne zdaniowe, czy nazwowe.
7.12. Zmienne zdaniowe stanowią argumenty, niekiedy nazywane czynnikami.
Argumenty wraz z funktorami tworzą funkcje zdaniowe, a dokładniej funkcje logiczne, jeŜeli
funktory przedstawione są w postaci symbolicznej. Przedstawione funktory mogą występować
z jednym bądź dwoma argumentami.
13
Ściślej rzecz biorąc, tylko funktor negacji stanowi funktor jednoargumentowy. Zastępując
zmienne zdaniowe i stałe logiczne odpowiednio zdaniami i spójnikami, otrzymamy zdanie wła-
ś
ciwe. Funkcje zdaniowe same nie posiadają wartości logicznej, uzyskują je po odpowiednim
podstawieniu
7.13. Funktory takie określamy w logice mianem funktorów prawdziwościowych, a
niekiedy funktorów ekstensjonalnych. „Mała encyklopedia logiki” określa funktor
prawdziwościowy, czyli ekstensjonalny następująco: „Jeśli wyraŜeniem utworzonym przez
funktory jest zdanie złoŜone, a denotacją zdania jest wartość logiczna (prawdziwość lub
fałszywość), to funktor jest wówczas ekstensjonalny, gdy wartość logiczna zdania zaleŜy
wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych a nie zaleŜy np. od ich treści. Taki funktor
nazywa się prawdziwościowy (ekstensjonalny) z racji zaleŜności pomiędzy prawdziwością
argumentów a prawdziwością całego zdania złoŜonego”
9
.
ZaleŜność wartości logicznej zdania złoŜonego od wartości logicznej zdań składowych
(argumentów) przedstawia się w tzw. matrycach (tablicach rachunku zdań).
Konsekwencje tej formuły sprawiają niekiedy słuchaczom spore trudności. MoŜna się,
bowiem spotkać z przykładami zdań, które logika formalna uznaje za zdania prawdziwe, a
potoczne odczucie nie dostrzega związku wynikania między elementami danego zdania
złoŜonego. Oto przykład podany trafnie przez T. Kotarbińskiego: „Jeśli ptaki mają skrzydła,
to niedziela jest dniem świątecznym”
10
. Implikacja laka wyraŜona symbolicznie
p → q jest prawdziwa z punktu widzenia matrycy implikacji, natomiast nie jest prawdziwa,
jeśli uŜyty spójnik warunkowy rozumieć tak, jak w języku potocznym. Od zdania
warunkowego wymaga się potocznie, aby moŜna było słusznie wnioskować następnik z
poprzednika. Przykład ten wskazuje na pewne rozbieŜności w pojmowaniu spójnika
prawdziwościowego w języku potocznym i w logice. Z punktu widzenia logiki te dwa zdania
(w przytoczonym przykładzie) dają nam całość, którą z punktu widzenia zasad logiki uznać
trzeba za prawdziwą, poniewaŜ prawdziwość tej całości zaleŜy li tylko od prawdziwości zadań
składowych.
7.14. Za pomocą zmiennych i stałych logicznych konstruujemy schematy formalne zdań
zwane funkcjami logicznymi, a z nich te, które przy kaŜdej wartości argumentów (0, 1) (w
logice dwuwartościowej) prowadzą do zdania prawdziwego, nazywają się tautologiami, bądź
prawami logicznymi, czy teŜ tezami rachunku zdań.
7.15. Oto podstawowe funkcje zdaniowe, czyli wyraŜenia złoŜone z argumentów i
funktatorów prawdziwościowych wraz z odpowiednimi matrycami, czyli tabelami. Tabele są
zbudowane w ten sposób, Ŝe za poszczególne zmienne, w tym przypadku dwie: p i q,
podstawiamy wartości 1 lub 0. Wartość całości funkcji zdaniowej jest zasadniczą
charakterystyką danego funktora. Stanie się to bardziej zrozumiałe, jeŜeli przedstawimy
konkretne przykłady.
a) Oto zapis symboliczny i tablica implikacji (matryca); p → q (czytamy: jeśli p to q).
Tablica implikacji
p
q
p → q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Rubryka p oznacza wartość logiczną jednej zmiennej zdaniowej (oczywiście w skali 0, 1);
rubryka q wartość logiczną drugiej zmiennej zdaniowej. Rubryka trzecia – p → q – oznacza
wartość całości w związku z wartością części składowych.
9
Mała encyklopedia logiki. Ossolineum, Wrocław – Kraków - Warszawa 1988.
10
T. Kotarbiński: Wykłady z dziejów logiki. PWN, Warszawa 1985.
14
Ta część, która występuje, jako pierwsza, czyli przed wyraŜeniem „to”, nazywa się
poprzednik, a część następująca po „to” nazywa się następnik. Zgodnie z tabelą moŜemy
stwierdzić, Ŝe implikacja jest zawsze prawdziwa z wyjątkiem, gdy poprzednik jest
prawdziwy a następnik fałszywy.
Przy tej okazji naleŜy teraz, (choć później będziemy o tym jeszcze mówić) wspomnieć o
zaleŜności między związkiem implikacyjnym a związkiem wynikania jednego zdania z
drugiego, czyli związkiem wnioskowania. Te zaleŜności w sposób klarowny wyraŜa Z.
Ziembiński
11
.
Ze zdania Z
1
wynika zdanie Z
2
wtedy i tylko wtedy, gdy:
1)
implikacja zbudowana ze zdania, Z
1
, jako poprzednika i zdania, Z
2
jako następnika jest
prawdziwa oraz
2)
prawdziwość tej implikacji opiera się na jakimś związku między tym, co głosi zdanie
Z
1
, a tym, co głosi zdanie Z
2
.
O charakterze tych związków będzie mowa później. Warto wspomnieć jeszcze o innej
charakterystyce.
JeŜeli z poprzednika implikacji wynika jej następnik, to poprzednik nazywamy racją, a
następnik implikacji następstwem.
Racja i następstwo są to dwa człony stosunku zwanego wnioskowaniem. JeŜeli uŜywamy,
zatem terminu racja i następstwo, to mówimy tylko o zdaniach składowych implikacji
prawdziwej i zarazem o odpowiednim charakterze związku między jednym a drugim zdaniem.
a)
Funktor koniunkcji połączeniu z argumentami tworzy funkcję zdaniową zwaną
równieŜ koniunkcją; symbolicznie: p /\ q (czyt. p i q).
Tablica koniunkcji
p
q
p/\q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
NaleŜy pamiętać o tym, Ŝe funktor i moŜe równieŜ pełnić rolę funktora nazwotwórczego od
dwóch i więcej argumentów nazwowych. W uŜyciu koniunkcyjnym i występuje w wyraŜeniu A
jest B i C, w znaczeniu enumeracyjnym A i B to C.
b)
Funktor alternatywy prostej (symbol v) tworzy funkcję zwaną alternatywą prostą;
symbolicznie: p v q (czyt. p lub q).
Tablica koniunkcji
p
q
p v q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
MoŜemy się spotkać z symbolem, + jako symbolem alternatywy. Jest ona przyrównywana w
rachunku zdań do dodawania w matematyce, tak jak koniunkcja jest czasem oznaczana
symbolem ·, bowiem traktuje się ją na podobieństwo mnoŜenia.
11
Z. Ziembiński: Logika praktyczna. WN PWN. Warszawa 1994, s. 89.
15
c)
Funktor alternatywy rozłącznej lub wyłączającej tworzy funkcję o tej karnej
nazwie; symbolicznie: p ÷ q (czyt. p albo q).
Tablica alternatywy rozłącznej
p
q
p ÷ q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
W języku potocznym często nie odróŜnia się funkcji znaczeniowych spójnika lub, albo,
bądź. Przykład podany w ksiąŜce Z. Ziembińskiego moŜe nieco sprawę wyjaśnić, choć dotyczy
problemów prawnych. Na przykład według danego przepisu za pewien czyn przestępca
powinien być ukarany przynajmniej jedną z dwóch kar przy moŜliwości wymierzeniu obu na
raz, czy teŜ jedną i tylko jedną, czy teŜ, co najwyŜej jedną. Jeśli sami wystąpilibyśmy w roli
oskarŜonych, znaczenie słowa lub nie byłoby dla nas obojętne. Czasami lub moŜe wystąpić,
jako funktor nazwotwórczy, np. uczony lub szarlatan.
d)
Funktor dysjunkcji tworzy funkcję dysjunkcji; Prawdziwość obu zdań jest
warunkiem wystarczającym do uznania fałszywości dysjunkcji.
symbolicznie: p / q, (czyt. bądź p, bądź q).
Tablica dysfunkcji
p
q
p ÷ q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
e)
Funktor równowaŜności tworzy funkcję równowaŜności;
symbolicznie: p ≡ q (czytamy: p zawsze i tylko wtedy, gdy q).
Tablica równowaŜności
p
q
p ≡ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Przy tworzeniu zdań złoŜonych z więcej niŜ dwóch naleŜy stosować nawiasy celem
uniknięcia nieporozumień. Zdania równowaŜne naleŜy odróŜniać od zdań równoznacznych.
g) Funktor negacji tworzy funkcję negacji; symbolicznie: ~p (lub p′) (czyt.: nieprawda, Ŝe
p lub nie p).
Tablica negacji
p
~q
1
0
0
1
WyraŜenie nieprawda jest tak, Ŝe, synonimiczne nieprawda, Ŝe, w języku polskim zaznacza
się umieszczeniem partykuły przeczenia przed odpowiednimi czasownikami np. nieprawda, Ŝe
Jan jest ekonomistą, mówimy Jan nie jest ekonomistą.
16
NaleŜy wyraźnie odróŜnić zdania sprzeczne od zdań przeciwnych. Zdania typu: Szkoła
Główna Handlowa została zbudowana przed II wojną światową i nieprawda, Ŝe Szkoła Główna
Handlowa została zbudowana przed II wojną światową są zdaniami sprzecznymi.
W odniesieniu do zdań sprzecznych moŜna sformułować waŜne twierdzenia logiczne,
nazywane takŜe zasadami myślenia. Są to:
−
Zasada sprzeczności (symbolicznie: ~(p/\ ~p)). Dwa zdania względem siebie sprzeczne
nie mogą być zarazem prawdziwe (czytamy: nieprawda, Ŝe p i nie p).
−
Zasada wyłączonego środka (symbolicznie: p v ~p; czytamy p lub nie p). Dwa zdania
względem siebie sprzeczne nie mogą być oba fałszywe.
−
Zasada podwójnego przeczenia (symbolicznie: p = ~(~p)) czytamy p jest równowaŜne
nieprawda, Ŝe nie p;).
Zdanie podwójnie zaprzeczone ma wartość logiczną taką samą jak zdanie, które jest
niezaprzeczone.
Wymienione trzy zasady nazywane są w logice równieŜ podstawowymi prawami
myślenia.
NaleŜy odróŜnić, jak juŜ zaznaczone, zdania sprzeczne od zdań przeczących. Na przykład
para zdań przeczących to: Kwiatkowski jest znakomitym pisarzem i Kwiatkowski jest
analfabetą. Te zdaniu mogą być obydwa prawdziwe i obydwa fałszywe, po nie moŜe się
zdarzyć parze zdań sprzecznych.
f)
Funktor binegacji tworzy funkcję binegacji; symbolicznie: p ↓ q (czyt. ani p ani q).
Tablica binegacji
p
q
p ↓ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Funktor binegacji ma tę właściwość, Ŝe z jego pomocą moŜna zdefiniować wszystkie
pozostałe funktory, podobnie jest z funktorem dysjunkcji.
7.16. Języki naturalne posiadają o wiele więcej spójników prawdziwościowych niŜ te, o
których mówiliśmy. Chodzi, bowiem o moŜliwość bardziej adekwatnego zapisu jakiejś
rzeczywistości.
Mówimy
równieŜ
o
moŜliwości
zdefiniowania
jednego
spójnika
prawdziwościowego za pomocą innego, to znaczy, Ŝe zastosowanie w zdaniu spójnika b
zamiast spójnika a ni e zmieni sensu tego zdania Powstanie natomiast zdanie równowaŜne,
które danego spójnika nie zawiera.
Na przykład funktor dysjunkcji moŜna zastąpić funktorami negacji i alternatywy:
p/q = ~p \/ ~q.
Na przykład funktor binegacji moŜe być zastąpiony przez negację i koniunkcje:
p↓q = ~p /\ ~q.
Problem ten nie będzie przedmiotem naszego szczegółowego wywodu, choć naleŜy
wiedzieć, Ŝe wszystkie spójniki prawdziwościowe są definiowalne za pomocą odpowiednio
dobranych zbiorów spójników np.: {~, →}. {~, /\}. {~, \/. }
12
. W związku z tym moŜna
stwierdzić, Ŝe „kaŜdy schemat prawdziwościowy moŜna, korzystając z odpowiednich definicji,
»przetłumaczyć« na schemat, w którym występują tylko owe wyróŜnione spójniki”
13
.
12
B. Stanosz. Wprowadzenie do logiki formalnej. PWN, Warszawa 1985. S. 23
13
Ibidem. S. 23.
17
Ograniczenie do minimum liczby funktorów stosuje się przy konstrukcji tzw. aksjomatycznych
systemów rachunku zdań.
7.17. W zapisach symbolicznych posługujemy się równieŜ nawiasami w celu wydzielenia
określonych całości syntaktycznych i uniknięcia tym samym nieporozumień.
7.18. W niektórych przypadkach, np., jeŜeli chcemy podkreślić tezowy charakter danej
formuły zdaniowej, korzystamy dodatkowo z symboliki rachunku kwantyfikatorów.
7.19. Rachunek kwantyfikatorów nazywany bywa równieŜ rachunkiem predykatów, to
jest nazw odnoszących się do własności lub stosunków, np. wyraŜenie zapisane symbolicznie:
/\
(x)
P
(x)
→
Q
(x)
,
czytamy: dla kaŜdego x, jeśli P od x to Q od x. Na przykład dla kaŜdego, przedmiotu, jeśli jest
to przedmiot metalowy, stosuje się prawo mówiące o rozszerzaniu się metalu pod wpływem
wysokiej temperatury. W wyraŜeniu tym występują zmienne i symbole stałe wzbogacone w
stosunku do symboli występujących w rachunku zdań.
Symbol /\
x
lub ∏
x
jest to symbol kwantyfikatora duŜego lub ogólnego, niekiedy
nazywanego równieŜ kwantyfikatorem generalnym. Tak rozumianemu kwantyfikatorowi
odpowiadają w języku naturalnym wyraŜenia typu kaŜdy, wszelki, dowolny, dla kaŜdego, dla
dowolnego.
Symbol P reprezentuje predykaty (własności lub stosunki), które przysługują przedmiotom
rozwaŜanego zbioru — nazywamy je symbolami predykatowymi. Predykaty mogą być
wieloargumentowe.
Symbol x, y, z reprezentuje przedmioty (indywidua) danego rodzaju, które nazywane są
symbolami zmiennych indywidualnych.
Symbol V
x
lub Σ
x
jest symbolem kwantyfikatora małego, nazywanego niekiedy
kwantyfikatorem szczegółowym, a takŜe kwantyfikatorem egzystencjalnym. Czytamy: dla
pewnego x istnieje takie x, niektóre x. Oto kilka przykładów formuł zdaniowych z uŜyciem
symboli rachunku kwantyfikatorów.
/\
x
P
(x)
(dla kaŜdego x P od x) Jest to schemat zdania np. wszyscy jesteśmy omylni.
~/\ P
(x)
(nieprawda, Ŝe dla kaŜdego x P od x). Jest to schemat zdania np. nie kaŜdy jest
bezinteresowny.
UŜycie kwantyfikatora pozwala podkreślić powszechność określonej właściwości w
stosunku do określonego zbioru przedmiotów czy indywiduów. Inaczej mówiąc pozwala na
osiąganie właściwego stopnia ogólności danego stwierdzenia. Stąd uŜywając w logice
rachunku zdań symboli kwantyfikatorów i wiąŜąc je z określoną formułą zdaniową,
podkreślamy bądź jej charakter ogólny, czyli, Ŝe odnosi się ona do zbioru wszelkich zdań,
które będą zbudowane w taki sam sposób, bądź podkreśla się, Ŝe dziedzina zdań prawdziwych
zbudowanych na danej formule ma zasięg ograniczony.
Zagadnienia rachunku kwantyfikatorów, jak sądzę, są słuchaczom znane z racji studiowania
niektórych działów matematyki wykładanej na naszej uczelni.
7.1. TAUTOLOGIE RACHUNKU ZDAŃ
7.1.1. Metoda zero-jedynkowa. Poprawnie zbudowane formuły rachunku zdań, które przy
wszelkich podstawieniach wartości za zmienne zdaniowe stają się zdaniami prawdziwymi,
nazywamy tautologiami, czyli prawami logicznymi, (o czym juŜ mówiliśmy). Czy jakieś
wyraŜenie jest tautologią, czy nie, moŜna sprawdzić podstawiając odpowiednie wartości na
miejsce zmiennych i porównując efekt z tablicami odpowiednich funkcji. NaleŜy przy tym
sprawdzić wszystkie moŜliwości, których liczba odpowiada wzorowi 2
n
, gdzie n oznacza liczbę
zmiennych w formule. I tak w wyraŜeniu p → q mamy do czynienie z 2
2
= 4 moŜliwości, p →
(q → r) mamy 3 zmienne, czyli liczba moŜliwości wynosi 2
n
= 8.
18
W związku z problemem tautologii B. Stanosz czyni interesującą uwagę: „Celem formalno-
logicznego opisu języka jest wyznaczanie zbioru zdań logicznie prawdziwych. Cel ten osiąga
się poprzez 1° przyporządkowanie zdaniom ich form logicznych 2° ustalenie, które z tych
form są tautologiczne, czyli formami zdań logicznie |prawdziwych”
14
. Pierwsze zdanie wiąŜe
się z gramatyką i tu jest niewielki udział logiki, głównie w postaci symboliki, drugie zaś jest
całkowicie związane z logiką. Właśnie rachunek zdań wymaga zbioru takich form logicznych.
„Mówiąc, Ŝe dane zdanie jest prawdziwe na mocy znaczenia występujących w nim
spójników prawdziwościowych i sposobu, w jaki zostało zbudowane za pomocą spójników ze
zdań prostych, chcemy powiedzieć, Ŝe prawdziwe jest kaŜde zdanie zbudowane tak samo za
pomocą tych spójników z dowolnych innych zdań; innymi słowy, – Ŝe prawdziwe jest po
prostu kaŜde zdanie, reprezentowane przez schemat prawdziwościowy, pod który podpada
zdanie dane. Takie schematy nazywać będziemy tautologiami rachunku zdań”
15
.
Formuła rachunku zdań (logika zdań) jest tautologią tego działu logiki zawsze i tylko
wtedy, gdy jest schematem wyłącznie prawdziwych zdań.
7.1.2. Wróćmy do przykładów weryfikacji tautologii metodą 0, 1. Zweryfikujemy
metodą 0,1 np. zasado wyłączonego środka: p \/ → p.
I. Za p podstawiamy 1
I. Za p podstawiamy 0
1 \/ ~ 1
0 \/ ~ 0
1 \/ 0
0 \/ 1
1
1
Zapis ten prowadzi zawsze do symbolu 1. Formuła ta jest więc tautologią. A oto przykład:
zasada sprzeczności ~(p /\
~
p)
p/1 ~(1 /\ ~ 1)
p/0 ~(0 /\ ~ 0)
~(1 /\ ~ 0)
~(0 /\ ~ 1)
~ 0
~ 0
1
1
W podobny sposób moŜna sprawdzać formuły logiczne bardziej złoŜone.
7.1.3. Tautologii rachunku zdań jest bardzo wiele. PoniŜej zebrane tautologie są
najbardziej znane wraz z ich symboliką i specjalnymi nazwami, które ustalały się
w ciągu rozwoju logiki.
1.
p → p
zasada toŜsamości, (jeŜeli p to p)
2.
~(p /\ ~p)
zasada sprzeczności (nieprawda, Ŝe p i nie p)
3.
p \/ ~p
zasada wyłącznego środka, (p lub nie p)
4.
p → ~ (~p)
(jeśli p to nieprawda, Ŝe nie p)
5.
~ ( ~ p ) → p
prawo podwójnego przeczenia, (jeŜeli nieprawda, Ŝe nie p, to p)
6.
~ ( p → p) → p
prawo Claviusa
7.
(p → ~p) → ~p
prawo redukcji do absurdu
8.
~p → (p → q)
prawo Dunsa Szkota
9.
~( p \/ q ) ≡ ~p /\ ~q
I prawo De Morgana
10.
~(p /\ q) ≡ ~p \/ ~q
II prawo De Morgana
11.
(~p → ~q) → (q → p)
prawo transpozycji prostej
12.
(p → q) → (~q → ~p)
prawo transpozycji prostej
13.
(p → q) /\ (q → ~p) → ~p
prawo redukcji do absurdu z dwiema zmiennymi
14.
q → (p → q)
prawo symplifikacji
15.
p /\ q ≡ q /\ p
16.
p \/ q ≡ q \/ p
prawo przemienności
17.
(p ≡ q) ≡ (q ≡ p)
14
B. Stanosz: Wprowadzenie do …, Op. Cit., s. 29.
15
Ibidem. S. 29.
19
18.
[(p → q) /\ p] → q
modus ponendo ponens
19.
[(p → q) /\ ~p] → ~p
modus tollendo tollens
20.
[(p \/ q) /\ ~p)] → p
modus tollendo ponens
21.
[(p / q) /\ p)] → ~p
modus ponendo tollens
(czytaj: jeśli bądź p, bądź q i p, to nie q)
22.
~(p → q) → (~q → ~p)
prawo negacji implikacji
23.
[(p → q) /\ (q → r)] → p → r
prawo sylogizmu hipotetycznego
24.
(p /\ q → r) → [p → (q → r)]
prawo eksportacji
25.
[p → (q → r)] → (p /\ q) → r
prawo importacji
26.
(p → q) → [(~p → q) → q]
prawo dylematu konstrukcyjnego
27.
(p → q) → [(p → ~q) → ~p]
prawo dylematu destrukcyjnego
Wiele praw rachunku zdań znano w staroŜytności, równieŜ średniowiecze ma swój wkład w
teorię zdań. W postaci współczesnej rachunek zdań stworzyli G. Frege, który ogłosił rachunek
zdań w wersji implikacyjno-negacyjnej oraz A. Whitehead i B. Russel z negacją i alternatywą.
7.1.4. PosłuŜymy się funkcją zdaniową bardziej złoŜoną, o której nie wiemy, czy jest
prawdziwa, czy nie:
[(p \/ q)
→ r] →
[p
→ (q /\ r)]
W celu wydzielenia całości syntaktycznych moŜemy posłuŜyć się techniką pomocniczą w
postaci nawiasów.
1
2
3
4
p
q
r
p \/ q
(p \/ q) →
q /\ r
p → (q /\ r)
[(p \/ q) → r] → [p → (q /\ r)]
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
Za pomocą metody zero-jedynkowej wykazaliśmy, Ŝe badana funkcja zdaniowa nie jest
tautologią rachunku zdań. Dokładna analiza tego przykładu pozwoli słuchaczowi zrozumieć
samą operację weryfikacyjną.
Metodę zero-jedynkową moŜna skrócić eliminując te sytuacje, kiedy mamy udowodnić
końcową wartość 1.
JeŜeli udowodnimy, Ŝe kombinacja wartości, która powinna doprowadzić do wartości 0 (jak
np. w implikacji p → q, jeŜeli za p będzie 1, za q będzie 0), zawsze doprowadzi do wartości 1,
tzn., Ŝe mamy do czynienia z tautologią.
7.1.5. Nie wnikając bliŜej w sprawę, naleŜy stwierdzić, Ŝe istnieją jeszcze inne metody
dowodzenia tautologicznego charakteru funkcji.
Jedną z takich metod jest aksjomatyzacja rachunku zdań, która polega na wymienianiu
explicite twierdzeń, które postanawia się przyjąć bez dowodu.
Takie twierdzenia nazywamy aksjomatami lub twierdzeniami pierwotnymi, te natomiast,
które się dowodzi na podstawie tych załoŜeń, nazywają się twierdzeniami pochodnymi. Jest
rzeczą oczywistą, Ŝe twierdzenia pochodne czy pierwotne ujawniają się dopiero w ujęciu
całościowym systemu aksjomatycznego. Drugim elementem systemu aksjomatycznego są
zasady dowodzenia zwane regułami inferencyjnymi.
20
Systemy aksjomatyczne logiki formalnej spełniają podstawowe wymogi: to znaczy kaŜda
prawda systemu musi być bądź aksjomatem, bądź twierdzeniem pochodnym. Spełniają one
równieŜ wymóg, aby takie twierdzenia, tzn. aksjomaty i pochodne, były prawdziwymi
twierdzeniami systemu. Udowodnienie prawdziwości tych stwierdzeń w odniesieniu do
systemu aksjomatycznego rachunku zdań jest sprawą nieco skomplikowaną. Dlatego teŜ tym
zagadnieniem nie będziemy się zajmować. W trakcie wykładu będzie zademonstrowany jeden
taki przykład.
7.1.6. Rachunek zdań moŜna zbudować równieŜ metodą tzw. systemu załoŜeniowego, w
którym istotną rolę odgrywają odpowiednie reguły, np.:
−
odrywania,
−
dołączania koniunkcji,
−
opuszczania koniunkcji,
−
dołączania alternatywy,
−
opuszczania alternatywy,
−
dołączania równowaŜności,
−
opuszczania równowaŜności.
7.2. ELEMENTY RACHUNKU NAZW
7.2.1. Najprościej rachunek nazw lub teorię nazw, jak wolą niektórzy, moŜna określić,
jako dział logiki formalnej obejmującej formuły, czyli wzory ze zmiennymi nazwowymi.
Na miejsca zmiennych nazwowych moŜna podstawić tzw. terminy, czyli nazwy ogólne i
niepuste.
7.2.2. Zdania, które są przedmiotem rachunku nazw, nazywają się zdaniami
kategorycznymi, subsumpcyjnymi lub asertorycznymi.
7.2.3. Język rachunku nazw. Symbolika rachunku nazw. Zmienne nazwowe oznaczane są
duŜymi literami alfabetu łacińskiego i jest ich trzy: S (łac. Subiectum – podmiot), P (łac.
praedicatum – orzecznik), M (łac., terminus medius – termin średni).
Symbole stałe funktorów zdaniotwórczych od argumentów nazwowych pochodzą od dwóch
łacińskich słów – affirmo – twierdzę i nego – przeczę. Dwie pierwsze samogłoski z tych słów
są symbolami funktorów, czyli a, i, e, o.
7.2.4. Podział zdań kategorycznych. Odpowiednie funktory klasyfikują zdania kategoryczne
na poszczególne grupy, które zgodnie z charakterem funktorów naleŜą do zdań twierdzących
bądź przeczących – podział ze względu, na jakość oraz ogólnych i szczegółowych – podział ze
względu na ilość.
7.2.5. KrzyŜując owe kategorie uzyskujemy następujący podział zdań kategorycznych na:
−
ogólnotwierdzące,
−
szczególowotwierdzące.
−
ogólnoprzeczące,
−
szczególowoprzeczące.
Stosując odpowiednią symbolikę moŜemy poszczególne formuły zdaniowe przedstawić
następująco:
−
ogólnotwierdzące S a P czytamy: kaŜde S jest P,
−
szczegółowotwierdzące S i P czytamy: niektóre S są P,
−
ogólnoprzeczące S e P czytamy: Ŝadne S nie jest P,
−
szczegółowoprzeczące S o P czytamy: niektóre S nie są P.
21
Zdania te moŜna równieŜ zapisać uŜywając prostej symboliki rachunku zbiorów i rachunku
zdań:
•
Zdanie S a P moŜe być zapisane:
/\
x
[(x ε S) → (x ε P)],
czytamy: dla kaŜdego x jeśli x jest S, to x jest P.
•
Zdanie S e P:
/\
x
[(x ε S) → (x ε P)′], gdzie znak ′ oznacza przeczenie,
czytamy: dla kaŜdego x, jeśli x jest S, to nie prawda, Ŝe x jest P.
•
Zdanie S i P:
Σ
x
[(x ε S) /\ (x ε P)],
czytamy: istnieją takie x, Ŝe x jest S i x jest P.
•
Zdanie S o P:
Σ
x
[(x ε S) /\ (x ε P)′],
czytamy: istnieje takie x, Ŝe x jest S i nieprawda, Ŝe x jest P.
NaleŜy jeszcze zaznaczyć, Ŝe wszystkie funkcje zdaniowe sformułowane przez Arystotelesa,
twórcę teorii zdań kategorycznych, zostały sformułowane z uŜyciem funktora implikacji,
jeśli...to i funktora koniugacji i.
7.2.6. Termin rozłoŜony. „Przez techniczne określenie »rozłoŜenie terminu« rozumiemy
uŜycie terminu w całym zakresie”
16
. Praktycznie rozpoznajemy, czy termin jest rozłoŜony, czy
nie, po tym czy stoi przed nim jawnie, czy domyślnie słowo kaŜdy, ewentualnie Ŝaden
17
. MoŜna
tutaj przyjąć kilka reguł:
a)
W zdaniach ogólnotwierdzących rozłoŜony jest podmiot, a nierozłoŜony orzecznik, np.:
kaŜdy lekarz jest absolwentem WyŜszej Szkoły Medycznej. Termin rozłoŜony – to lekarz.
b)
W zdaniach ogólnoprzeczących rozłoŜony jest zarówno podmiot, jak i orzecznik.
c)
W zdaniach szczegółowotwierdzących ani podmiot, ani orzecznik nie jest rozłoŜony, np.
niektórzy ekonomiści są naukowcami.
d)
W zdaniach szczegółowoprzeczących nierozłoŜony jest podmiot, natomiast rozłoŜony
jest orzecznik, np. niektóre kobiety nie są matkami, czyli: niektóre kobiety nie naleŜą do klasy
kobiet.
Ogólna formuła na temat rozłoŜenia terminu brzmi:
W zdaniach kategorycznych rozłoŜone są terminy figurujące w roli podmiotów zdań
ogólnych oraz terminy będące w zdaniach przeczących orzecznikami.
7.2.7. Prawa rachunku nazw odnoszące się do wnioskowania bezpośredniego. Między
zdaniami kategorycznymi, czyli subsumpcyjnymi, a ściślej między ich wartościami logicznymi
mogą zachodzić róŜnorodne związki, które mają charakter wnioskowania. W rachunku nazw
wyróŜniamy dwa rodzaje wnioskowania i związane z tym prawa logiczne:
a)
wnioskowanie bezpośrednie, które polega na tym, Ŝe do wniosku dochodzimy na
podstawie jednej przesłanki;
b)
wnioskowanie pośrednie, kiedy wniosek wyprowadzony jest z dwóch przesłanek, przy
czym odbywa się to z udziałem tzw. terminu średniego. Punkt wyjścia obydwóch wniosków
nazywa się przesłanką, punkt zaś dojścia konkluzją.
16
J. Gregorowicz: Zarys logiki dla prawników. PWN, Warszawa 1962, s. 107.
17
Ibidem.
22
7.2.8. Podstawowymi zasadami wnioskowania bezpośredniego są konwersja, obwersja,
kontrapozycja.
a)
Konwersja polega na wyprowadzaniu z klasycznego zdania kategorycznego tego
odwrócenia i moŜe występować w postaci prostej i z ograniczeniem.
Konwersja prosta polega na zmianie miejsca podmiotu i orzecznika.
Konwersja z ograniczeniem, oprócz zmiany jak w konwersji prostej, wprowadza jeszcze
zmianę ilości zdania odwróconego.
I tak, konwersji prostej podlegają zdania ogólnoprzeczące i szczegółowotwierdzące. Zapis
symboliczny tej zasady:
S e P → P e S
W tych przypadkach moŜemy uŜyć równieŜ symbolu toŜsamości:
S, P → P i S, S e P = P e S, S i P = P i S.
Na przykład:
Ŝaden koń nie jest psem = Ŝaden pies nie jest koniem;
niektórzy ludzie są wegetarianami = niektórzy wegetarianie są ludźmi;
niektórzy studenci są ludźmi wierzącymi zawsze i tylko wtedy, gdy niektórzy ludzie wierzący
są studentami.
b) Obwersja polega na wyprowadzeniu ze zdania twierdzącego równowaŜnego mu zdania
przeczącego i na odwrót, ze zdania przeczącego wyprowadza się zdanie twierdzące.
Aby dokonać obwersji jakiegoś zdania kategorycznego, musimy zmienić przede wszystkim,
jakość a następnie dodać negację do orzecznika.
Zapis symboliczny: S a P → S e P′ (czytamy: jeśli kaŜde S jest P, to Ŝadne S nie jest nie P).
Na przykład:
jeŜeli kaŜda konstytucja jest ustawą, to Ŝadna konstytucja nie jest nie-ustawą – to jest obwersja
zdania ogólnotwierdzącego.
S i P → S o P'
(czytamy: jeŜeli niektóre S są P, to niektóre S nie są nie P); jeśli niektórzy ekonomiści nie są
biznesmenami, to niektórzy ekonomiści są nie-biznesmenami.
S e P → S a P' (czytamy: jeŜeli Ŝadne S nie jest P, to kaŜde S jest nie P); jeŜeli Ŝaden złodziej
nie jest uczciwy, to kaŜdy złodziej jest nieuczciwy.
S o P → S i P' (czytamy: jeŜeli niektóre S nie są P, to niektóre S są nie P). MoŜna we
wszystkich wzorach obwersji postawić zamiast znaku implikacji znak równowaŜności, oznacza
to moŜliwość wnioskowania w obydwie strony.
J. Gregorowicz pisze, Ŝe „Obwersja nie jest jakimś szczególnie płodnym rodzajem
wnioskowania. MoŜe jednak oddać pewne usługi przy rozstrzyganiu np. kwestii czy dwaj
przeciwnicy, wypowiadający swoją tezę róŜnymi słowami twierdzą to samo, czy teŜ nie”
18
.
c) Kontrapozycja powstaje przez przestawienie i zanegowanie obu terminów zdania
kategorycznego. MoŜe występować w postaci prostej i ograniczonej.
Zapis symboliczny zasady kontrapozycji prostej:
S a P → P' a S' (czytamy: kaŜde S jest P. to kaŜde nie P jest nie S),
S o P → P' o S' (czytamy: jeśli niektóre S nie są P, to niektóre nie P nie są nie S).
Prawa te mogą być zapisane z ujęciem równowaŜności.
Zapis symboliczny zasady kontrapozycji ograniczonej:
S e P → P' o S' (czytamy: jeŜeli Ŝadne S nie jest P, to niektóre nie P nie są nie S).
18
Ibidem. S. 113.
23
7.2.9. Szczególnym przypadkiem związków między zdaniami kategorycznymi jest kwadrat
logiczny, czyli opozycja zdań. Obraz graficzny kwadratu logicznego:
S a P
Przeciwieństwo
S e P
S i P
Podprzeciwieństwo
S o P
7.2.10. Z przedstawionych tu symbolicznie zaleŜności wynikają bardzo ściśle zasady
wnioskowania.
a) Stosunek przeciwieństwa określają symbolicznie formuły:
S a P → (S e P)', czyli zachodzi tu stosunek równowaŜności
S e P → (S a P)'.
Niepoprawne są wzory:
(S a P)' → S e P; (S a P)' → (S e P)'; (S e P) → S a P oraz (S e P)' → (S a P)'.
b)
Stosunek podprzeciwieństwa zaś określają takie symboliczne formuły wnioskowania:
(S i P)' → S o P czytamy: jeśli nie jest tak, Ŝe niektóre S są P, to niektóre S nie są P.
(S o P)' → S i P czytamy: jeŜeli nieprawdą jest, Ŝe niektóre S nie są P, to niektóre S są P.
Nieprawidłowe są wzory:
S i P → S o P; S i P → (S o P)';
S o P → S i P, S o P - (S i P)'.
c)
Stosunek sprzeczności zachodzi wtedy, kiedy zdania sprzeczne me mogą być ani
zarazem prawdziwe, ani zarazem fałszywe.
Poprawnych jest osiem wzorów:
S a P → (S o P)'
S e P → (S i P)'
(S a P)' → S o P
(S e P)' → S i P
S o P → (S a P)'
S i P → (S e P)'
(S o P)'→ S a P
(S i P)' → S e P
d) Stosunek nadrzędności. Jeśli zdanie nadrzędne jest prawdziwe, to zdanie podrzędne jest
prawdziwe, natomiast, jeśli zdanie nadrzędne jest fałszywe, to zdanie podrzędne jest
nieokreślone, poprawne są dwie zaleŜności:
S a P → S i P;
S e P → S o P.
e) Stosunek podrzędności jest odwrotnością stosunku nadrzędności. JeŜeli zdane
podrzędne jest prawdziwe, to zdanie nadrzędne jest nieokreślone, a jeśli zdanie podrzędne jest
fałszywe, to nadrzędne jest fałszywe.
Występują, więc dwa wzory:
(S i P)' → (S a P)',
(S o P)1 → (S e P)'.
N
a
d
rz
ę
d
n
o
ść
P
o
d
rz
ę
d
n
o
ść
24
8. WNIOSKOWANIE POŚREDNIE
SYLOGIZM KATEGORYCZNY
8.1. Wnioskowanie sylogistyczne określa się, jako wnioskowanie z dwóch lub więcej
przesłanek. UwaŜny słuchacz zetknął się juŜ z tym problemem w teorii zdań.
Określa się go równieŜ mianem wnioskowania pośredniego właśnie z tego powodu, Ŝe
między przesłanką a wnioskiem znajduje się jeszcze jedna przesłanka pośrednia.
Na przykład [(p → q) /\ (q → r)] → (p → r). MoŜna bez trudu zauwaŜyć, Ŝe wnioskowanie
sylogistyczne posiada zawsze więcej niŜ dwie zmienne.
8.2. Sylogizm kategoryczny, jak nie trudno się domyśleć, skonstruowany jest ze zdań
kategorycznych.
Oto przykład konstrukcji zdaniowej:
kaŜda zbrodnia jest przestępstwem;
kaŜdy rabunek jest zbrodnią,
A więc:
kaŜdy rabunek jest przestępstwem.
MoŜna to zdanie zapisać za pomocą znanej juŜ symboliki rachunku nazw:
M a P w postaci implikacji
S a M (M a P /\ S a M) → S a P
A więc:
S a P
KaŜde zdanie poprzednika tej implikacji nazywa się przesłanką, czyli przesłanką jest M a P
i S a M, następnik zaś jest wnioskiem, który w tym przypadku nazywa się konkluzją. Ta
przesłanka, która zawiera orzecznik konkluzji, nazywa się przesłanką większą, ta zaś, która
zawiera podmiot konkluzji jest przesłanką mniejszą.
Nazwa taka wynika jeszcze ponadto z faktu, iŜ zakres nazwy będącej orzecznikiem
konkluzji jest szerszy od dwóch pozostałych zakresów nazw. Stąd teŜ termin (nazwa) będący
orzecznikiem konkluzji, czyli w cytowanym przykładzie termin oznaczony symbolem P
nazywamy terminem większym a oznaczony symbolem S – terminem mniejszym.
Natomiast termin, który powtarza się w obydwóch przesłankach, nazywamy terminem
ś
rednim. W trybie sylogistycznym umownie przyjęto najpierw umieszczać przesłankę większą.
Warto podkreślić, Ŝe w sylogizmie hipotetycznym elementem wspólnym jest zdanie a w
sylogizmie kategorycznym nazwa.
8.3. Formy sylogizmu kategorycznego mogą być róŜne i dzielą się na cztery typy zwane
figurami, róŜniące się od siebie miejscem terminu średniego.
Figura I
Figura II
Figura III
Figura IV
MP
PM
MP
PM
SM
SM
MS
MS
SP
SP
SP
SP
Aby mogło nastąpić wnioskowanie, poszczególne figury muszą być wypełnione
odpowiednimi funktorami, które zamieniają układ symboli w schematy zdań róŜniących się
ilością i jakością, czyli w zdania bądź to ogólnotwierdzące, ogólnoprzeczące,
szczegółowotwierdzące, szczegółowoprzeczące. Taki zabieg moŜna wykonać wstawiając do
figur znane juŜ litery a, e, i, o.
25
8.4. Tak powstałe schematy wnioskowania nazywają się trybami. Na przykład:
M a P
jest trybem figury I zbudowanym przez wstawienie funktorów,
S a M
symbolizujących zdanie ogólnotwierdzące, między symbole
S a P
zmiennych nazwowych.
Oto przykłady innych trybów zbudowanych na bazie figury I, z uŜyciem innych funktorów:
M e P
M a P
M e P
S a M
S i M
S i M
S e P
S i P
S o P
8.5. Wszystkich moŜliwych trybów, a więc schematów wnioskowania opartych a czterech
figurach, jest 256, z tym, Ŝe poprawnych jest tylko 24.
AŜeby ułatwić zapamiętanie trybów poprawnych w średniowieczu wymyślono odpowiednie
popomocnicze wyraŜenia o charakterze mnemotechnicznym, to znaczy pomagają one
zapamiętać odpowiednią kolejność funktorów, ale same nie posiadają Ŝadnego znaczenia.
Przyporządkowane są odpowiednim figurom po 6 do kaŜdej. SłuŜą pomocą w ten sposób, ze
zawarte w nich symbole funktorów wstawia się kolejno do przesłanki I, II i konkluzji,
przytaczam zapis tych wyraŜeń:
−
do figury I
- Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barban, Celaront;
−
do figury II
- Cesare, Camestres, Festino, Baroco, Cesaro, Camestros;
−
do figury III - Darapti, Dismais, Datisi, Felapton, Bocardo, Farison:
−
do figury IV - Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemos.
8.6. Pośród sylogizmów moŜna wyróŜnić tryby doskonałe, których nie trzeba dowodzić i
które pełnią rolę aksjomatów, słuŜąc tym samym do udowadniania pozostałych sylogizmów.
Takie sprawdzanie nazywa się niekiedy redukcją trybów niedoskonałych do doskonałych. Do
trybów doskonałych zaliczamy: Barbara, Celarent.
8.7. Oprócz metody aksjomatycznej weryfikacji poprawności trybów moŜna jeszcze
stosować dwie inne; jedna to tzw. warunki niepoprawności, a druga diagramy Venna.
8.8. Niepoprawny jest sylogizm, który posiada:
a) Więcej niŜ trzy terminy. Zdarza się to w szczególności, gdy termin szeroki uŜyty jest w
dwóch znaczeniach
19
.
KaŜdy zamek jest okazałą budowlą
M
x
a P
KaŜdy suwak jest zamkiem
S a M
2
KaŜdy suwak jest okazałą budowlą
S a P
b) Termin środkowy ani razu nierozłoŜony.
KaŜdy ptak jest stworzeniem dwunoŜnym
P a M
KaŜdy człowiek jest stworzeniem dwunoŜnym
S a M
KaŜdy człowiek jest ptakiem
S a P
19
Wszystkie przykłady tu podane pochodzą z pracy J. Gregorowicza: Zarys logiki dla prawników. PWN. Warszawa 1962.
26
c) Obie przesłanki przeczące.
śadna kobieta nie jest męŜczyzną
M e P
śadna kobieta nie jest ojcem
M e S
śaden ojciec nie jest męŜczyzną
S e P
d) Obie przesłanki szczegółowe.
Niektóre zwierzęta są kotami
M i P
Niektóre zwierzęta są psami
M i S
Niektóre psy są kotami
S i P
e) Termin większy lub mniejszy rozłoŜony w konkluzji a nierozłoŜony w przesłankach.
KaŜde prawo jest związane z interesem społecznym
M a P
śadne społeczeństwo nie jest prawem
S e M
śadne społeczeństwo nie jest związane interesem społecznym
S i P
f) Konkluzję twierdzącą, gdy jedna przesłanka jest przecząca.
KaŜda zbrodnia jest karalna
M a P
Niektóre czyny ludzkie są zbrodniami
S o M
KaŜdy czyn ludzki jest karalny
S a P
g) Konkluzję ogólną, gdy jedna z przesłanek jest szczegółowa.
KaŜdy adwokat jest prawnikiem
M a P
Niektórzy ludzie są prawnikami
S i M
KaŜdy człowiek jest prawnikiem
S a P
h) Konkluzję przeczącą, gdy ani jedna z przesłanek nie jest przecząca.
KaŜdy uczciwy człowiek jest zwolennikiem pokoju
M a P
Niektórzy obywatele Polski są ludźmi uczciwymi
S i M
śaden obywatel Polski nie jest zwolennikiem pokoju
S e P
9.
BŁĘDY WNIOSKOWANIA
9.1. MoŜemy mieć do czynienia z takimi wnioskowaniami, Ŝe prawdziwość wniosku nie
będzie przesądzać o poprawności wnioskowania a wniosek fałszywy nie będzie wykluczał
formalnie poprawnego wnioskowania.
9.2. Przykład.
KaŜdy prokurator jest oskarŜycielem publicznym.
KaŜdy urzędnik państwowy jest prokuratorem.
KaŜdy urzędnik państwowy jest oskarŜycielem publicznym.
Wnioskowanie powyŜsze przebiega według poprawnego trybu (Barbara) a jednak wniosek
jest fałszywy. Tego rodzaju błąd, gdy mamy do czynienia z fałszywą, choć jedną z przesłanek
27
(w przytoczonym przykładzie fałszywe jest zdanie: kaŜdy urzędnik państwowy jest
prokuratorem), nazywa się błędem materialnym. Właśnie z takiego błędu materialnego (zdanie
fałszywe) bierze się fałszywy wniosek.
9.3. Innym rodzajem błędu w procesie wnioskowania moŜe być błąd formalny. Mówimy o
błędzie formalnym wtedy, gdy wniosek nie wynika logicznie przesłanek, to znaczy wzór,
według którego przebiega wnioskowanie, nie opiera się na prawie logicznym.
9.4. NaleŜy jeszcze wspomnieć o wnioskowaniu entymematycznym. Nie jest to
wnioskowanie błędne, choć odbiega schematem od sformułowania klasycznego.
Wnioskowanie entymematyczne występuje wtedy, gdy jedna z przesłanek jest załoŜona
milcząco, czyli nie występuje w formie mówionej, bądź pisemnej.
Przykład.
KaŜdy absolwent SGH jest inteligentem.
Opuszczamy tu aŜ dwie przesłanki:
KaŜdy absolwent szkoły wyŜszej jest inteligentem.
KaŜdy absolwent SGH jest absolwentem szkoły wyŜszej.
KaŜdy absolwent SGH jest inteligentem.
9.5. Uzupełnieniem tematu wnioskowanie pośrednie będzie inna jeszcze metoda
sprawdzania poprawności trybów niŜ zaprezentowana wcześniej, chodzi o diagramy Venna
20
.
Są to wykresy, za pomocą, których moŜna wykazać prawidłowości konkretnych twierdzeń
rachunku zdań. W przypadku twierdzeń o dwóch terminach podstawą dowodu jest następujący
schemat graficzny:
Na takim schemacie moŜna „zapisać” graficznie poszczególne
zdania, np. S e P, S i P
„Zapisywanie” tych zdań polega na zakreskowaniu pola przedstawiającego zakres pusty,
natomiast oznakowanie krzyŜykiem zakresu niepustego.
Przykład. Zdanie S e P oznaczamy:
(pole zakreskowane jest polem pustym, tzn. nie istnieją S, które są P i odwrotnie)
Za pomocą tego schematu sprawdzić formule prostej konwersji prostej S e P → P e S.
Przykład. Formuła podporządkowania S a P → S i P.
20
Opublikował je J. Venn w pracy: Symbolic Logic, 1881.
S P
P
SP′
S′P
SP
S
P
-
P
-
S
+
28
Natomiast weryfikacja trybów polega na korzystaniu z następujących schematów:
Weryfikacja typu Barbara: wniosek naleŜy uznać, bo formuła jest sprawdzalna
10.
PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z TEORII RELACJI
10.1 Jednym z waŜniejszych działów logiki formalnej jest teoria relacji, która wchodzi
równieŜ w zakres teorii mnogości. Z przyczyn wymienionych wcześniej ograniczę się tutaj
tylko do kilku niezbędnych informacji.
10.2. Najprostszą definicję relacji podaje „Mała encyklopedia logiki”:
„...wszelki związek, czy zaleŜność zachodząca między przedmiotami danego (dowolnego)
rodzaju np. równość między liczbami, dłuŜszość między odcinkami, wynikanie między
zdaniami, róŜnobarwność między przedmiotami fizycznymi, pokrewieństwo między ludźmi. W
logice współczesnej utoŜsamia się zwykle relacje ze zbiorami par (trójek itd.)
uporządkowanych, złoŜonych z przedmiotów, między którymi te zaleŜności zachodzą.”
Autor tego hasła B. Stanosz problem ten wyjaśnia następująco: tak, więc kaŜda relacja
między elementami zbioru A jest pewnym podzbiorem zbioru wszystkich par
uporządkowanych, jakie moŜna utworzyć z przedmiotów naleŜących do A. Relację laką
nazywamy relacją określoną w zbiorze A; (symbolicznie: <a
1
, a
2
> → R)
21
. Zachodzenie
relacji między przedmiotami zaznacza się symbolicznie: x R y.
Wszelkie przedmioty, które są pewnymi elementami par, nazywamy dziedziną relacji R i
oznaczamy symbolicznie Ď(R).
x є D(R) = V
yx
R
y
lub inaczej: ≡ V
y
<x, y>R,
df
np. dziedziną relacji ojcostwo jest zbiór wszystkich dzieci, dla których ktoś jest ojcem.
Te przedmioty, które są drugimi elementami nazywają się przeciwdziedziną relacji R i
oznaczamy je symbolicznie: D(R).
X є Ď (R) = V
yy
R
x
lub inaczej: V
y
(x,x) є R.
df
21
B. Stanosz: Wprowadzenie do logiki formalnej. PWN. Warszawa 1985, s. 99.
S′MP
SM′P
S′M′P′
S′MP′′
SMP′′
SM′P
SMP
P
M
S
29
11.
WYPOWIEDZI MODALNE
11.1. Logikę zdań kategorycznych chciałbym uzupełnić kilkoma uwagami o wypowiedziach
modalnych, do których zalicza się wyraŜenia moŜe, musi.
11.2. Dla lepszego zrozumienia sprawy naleŜy wyróŜnić podział zdań wedle modalności.
WyróŜniamy zdania:
−
asertoryczne
– między podmiotem a orzecznikiem występuje łącznik jest,
−
problematyczne
– łącznikiem jest moŜe być,
−
apodyktyczne
– łącznik o postaci musi być.
Słowo musi moŜe występować w interpretacji logicznej, np. suma kątów w trójkącie jest
wielkością stałą i wynosi 180°. Jeśli jakaś figura geometryczna jest trójkątem, to suma jej
kątów musi wynieść 180°.
Słowo musi moŜe równieŜ występować w interpretacji aksjologicznej, np. temperatura w
salach muzealnych musi być stała.
Występuje takŜe niekiedy w interpretacji etycznej, np. kaŜdy lekarz musi być absolwentem
Akademii Medycznej. UŜywamy niekiedy wyraŜenia musi w interpretacji psychologicznej i
oznacza to swego rodzaju przeświadczenie o konieczności jakiegoś stanu rzeczy.
Analogiczne interpretacje odnoszą się do moŜe, np.:
trójkąt moŜe mieć tylko i wyłącznie 180
o
– interpretacja logiczna;
dla lepszego efektu wychowawczego moŜna posłuŜyć się:
pochwałą – interpretacja aksjologiczna;
policjant moŜe ukarać mandatem – interpretacja etyczna;
moŜe ten student rzeczywiście chorował a nie tylko udawał? – interpretacja psychologiczna, w
tym przypadku uŜyta w pytaniu.
11.3. JeŜeli formułujemy zdania z uŜyciem wyraŜenia, Ŝe ktoś coś musi ze względu na jakąś
normę, mówimy wówczas o tzw. zdaniu deontycznym.
Zacytuję wypowiedź Z. Ziembińskiego: ,,Zdanie orzekające o kwalifikacji danego czynu
danej osoby ze względu na jakąś normę (zdanie deonetyczne) charakteryzują modalność
normatywną czynów”
22
.
Autor omawia sześć podstawowych modalności normatywnych (deontycznych). Ze względu
na pewną normę rozwaŜamy, czy danej osobie czyn moŜe być nakazany, zakazany, dozwolony,
fakultatywny, indyferentny, czy teŜ moŜe być przedmiotem obowiązku.
12. ELEMENTY METODOLOGII NAUKI
12.1. Metodologia – etymologicznie to nauka o metodach, czyli o sposobach czy drogach
postępowania, w tym przypadku badawczego.
Zakres samego pojęcia jest dość szeroki, obejmuje zarówno procedury badawcze, jak i
efekty tych proce dur, tzn. pojęcia, twierdzenia, teorie.
Inaczej mówiąc, powyŜsze rozróŜnienie refleksji metodologicznej dotyczącej czynności
badawczych i ich metod oraz rezultatów tych czynności wiąŜe się z dwoma sposobami
pojmowania nauki, jako:
22
Z. Ziembiński: Logika praktyczna. VVN PWN. Warszawa 1994. s. 127.
30
−
ogółu czynności wykorzystywanych przez uczonych w procesach badawczych,
−
ogółu wytworów tych czynności
23
.
12.2. Metodologia dzieli się równieŜ na ogólną i szczegółową w zaleŜności od tego, czy
zajmuje się ogółem nauk czy jakąś nauką szczegółową. W tym drugim przypadku moŜna
otrzymać dość obszerną listę róŜnych metodologii, w tym równieŜ metodologię nauk
ekonomicznych. KaŜdy szanujący się autor podręcznika uwaŜa za stosowne poświęcić jeden
rozdział problemom metodologicznym uprawia-lej przez siebie dyscypliny. Mówimy np. o
metodologii nauk dedukcyjnych czy nauk empirycznych. KaŜda z nich zawiera wiele waŜnych
i interesujących problemów, z których jeden wydaje się mieć znaczenie najwaŜniejsze, jest to
mianowicie prawa uzasadniania twierdzeń. Do tego, więc problemu ograniczę swoje uwagi.
12.3. Co to jest uzasadnianie jakiegoś twierdzenia lub moŜe precyzyjniej, co to znaczy
uzasadnić jakieś twierdzenie?
Wszystkie spotykane definicje podkreślają, Ŝe:
Uzasadnić jakieś twierdzenie, to tyle, co podać argumenty, na których to twierdzenie jest
oparte... Uzasadnić jakieś zdanie, ewentualnie uzasadnić uznanie jakiegoś zdania za
prawdziwe, to tyle, co wykazać, ze zostały spełnione warunki wystarczające do uznania tego
zdania za prawdziwe
24
12.4. Rodzaje uzasadnień. W podręczniku logiki wymienia się cztery rodzaje uzasadnień:
a) Odpowiednie spostrzeŜenia. Tu moŜemy zaliczyć np. obserwację rozumianą, jako
postrzeŜenie celowe. W ramach obserwacji wyróŜnić moŜemy:
−
obserwacje bezpośrednią – moŜe ona mieć charakter obserwacji zjawisk zewnętrznych
w stosunku do obserwatorów i zjawisk wewnętrznych, psychicznych, w tym przypadku
moŜemy mówić o tzw. introspekcji;
−
obserwację pośrednią – za pomocą przyrządów lub za pomocą śladów, np.
historycznych.
Oprócz obserwacji stosować moŜemy równieŜ eksperyment.
b) Odwołanie się do odpowiednich konwencji terminologicznych, na przykład, jeśli chcemy
wykazać, Ŝe jakaś droga ma trzy kilometry długości.
c) Odwołanie się do intuicji.
d) Odwołanie się do pewnych zdań juŜ uznanych za prawdziwe.
12.5. Pierwsze dwa z wymienionych rodzajów uzasadniania określa się mianem uzasadnień
bezpośrednich i słuŜą one do uzasadniania bądź zdań obserwujących (obserwacja,
eksperyment), bądź zdań analitycznych (konwencja terminologiczna).
Trzeci rodzaj uzasadniania wywołuje wiele dyskusji.
Czwarty rodzaj uzasadniania nazywa się pośrednim. Uzasadnić jakieś zdanie w sposób
pośredni, to znaczy wykazać, Ŝe w efekcie jakiegoś rozumowania zdanie to zostało
wywnioskowane z innych zdań uznanych juŜ, jako prawdziwe. To znaczy, Ŝe uzasadnienie
pośrednie ma zawsze postać jakiegoś rozumowania. Właśnie rozumowanie jest szczególnym
przedmiotem zainteresowania metodologii nauki a szczególnie tego jej aspektu, który
interesuje się rezultatami badań naukowych. Uzasadnienie pośrednie, jako rozumowanie jest
zawsze operacją na zdaniach. Nawet wtedy, kiedy mamy do czynienia z takim rodzajem
rozumowania, które nazywa się indukcją eliminacyjną, to, jeśli pozostajemy na gruncie
formułowania wniosków, mamy zawsze do czynienia ze zdaniem. NaleŜy jednak pamiętać, Ŝe
moŜe być taka metoda postępowania badawczego o charakterze indukcyjnym, ale jest to nieco
inne zagadnienie metodologiczne.
23
Mała encyklopedia logiki. Ossolineum, Wrocław – Warszawa - Kraków, 1988.
24
Ibidem.
31
12.6. Co to jest rozumowanie? Cytuję definicję wybitnego logika J. Łukasiewicza:
Rozumowanie to... taka czynność umysłu, która na podstawie zdań danych, będących
punktem wyjścia rozumowania, szuka zdań innych, będących celem rozumowania a
połączonych z poprzednim stosunkiem wynikania
25
.
Inaczej mówiąc, rozumowanie jest to proces myślowy polegający na dobieraniu dla danego
zdania następstwa albo racji. A jest racją dla zdania B, oznacza, Ŝe ze zdania A wynika
logicznie zdanie B.
Aby lepiej zrozumieć pojęcie wynikania logicznego, przytoczę dwie jego definicje:
„Między zdaniem p a zdaniem q istnieje związek wewnętrzny, jeŜeli zdanie q wynika ze
zdania p logicznie.
O wyniku logicznym mówimy wtedy, gdy dana implikacja stanowi podstawienie stałych
za zmienne w formule jakiegoś prawdziwego ogólnego twierdzenia logicznego”
26
.
„Ze zdania Z
1
wynika logicznie, Z
2
, gdy implikacja, której poprzednikiem jest Z
1
, jest
podstawieniem prawa logicznego, czyli formuły, która przy wszystkich podstawieniach
przechodzi w zdania prawdziwe.”
27
J. Gregorowicz wymienia jeszcze inne rodzaje związku wewnętrznego między zdaniem, np.:
„Między zdaniem p i q istnieje równieŜ związek wewnętrzny, jeŜeli istnieje jakieś
empiryczne prawo następstwa zdarzeń gwarantujące nam istnienie tego związku, np.
jeŜeli podgrzeję pręt metalowy, to zmieni on swoją długość.”
Oraz:
„Związek wewnętrzny zachodzi między zdaniem p i q takŜe wtedy, gdy istnieje
prawidłowość ogólna ustanowiona przez ustawodawcę, gwarantująca nam zachodzenie
tego związku.”
28
W tych przypadkach naleŜy pamiętać, chociaŜ nas w tych rozwaŜaniach interesuje głównie
związek wynikania logicznego.
12.7. Klasyfikacja rozumowań. W literaturze polskiej mamy do czynienia róŜnymi
klasyfikacjami, które łączą się z nazwiskami wybitnych polskich logików. I tak mówimy o
klasyfikacjach Łukasiewicza, CzeŜowskiego i Ajdukiewicza.
Z braku czasu ograniczam się głównie do klasyfikacji CzeŜowskiego, który dzieli
rozumowanie w sposób następujący:
25
Cytowanie za „Małą encyklopedią... Op. Cit.
26
J. Gregorowicz: Zarys logiki dla prawników. PWN. Warszawa 1962. s. 158.
27
Mała encyklopedia ... Op. cit. Hasło opracowane przez K. Czarnotę.
28
J. Gregorowicz: Zarys logiki.... Op. Cit.
rozumowanie
redukcja
dedukcja
wnioskowanie
dowodzenie
wyjaśnianie
niekiedy tłumaczenie
sprawdzanie
32
12.8. Czym róŜni się rozumowanie dedukcyjne od redukcyjnego?
Rozumowanie dedukcyjne jest wtedy, gdy kierunek rozumowania zgadza się z kierunkiem
wynikania logicznego, tzn. Ŝe dana jest racja a dobiera się następstwo; gdy racja jest zdaniem
juŜ uznanym za prawdziwe i na podstawie tej racji uznaje się następstwo (wnioskowanie,
dowodzenie).
Rozumowanie redukcyjne występuje wtedy, kiedy kierunek rozumowania i kierunek
wynikania są sobie przeciwne, tzn. gdy dane jest następstwo a dobiera się rację; gdy następstwo
jest zdaniem skądinąd uznanym i na podstawie następstwa uznane są racje (sprawdzanie,
wyjaśnianie, tłumaczenie).
12.9. T. CzeŜowski dzieli ponadto rozumowanie na:
−
progresywne (wnioskowanie, sprawdzanie) – dana jest racja a szuka się następstwa;
−
regresywne (dowodzenie, wyjaśnianie) – dane jest następstwo a szuka się racji).
12.10. Rozumowanie moŜe być równieŜ odkrywcze (wnioskowanie, wyjaśnianie) i
uzasadniające (dowodzenie, sprawdzanie).
12.11. Zapoznamy się teraz z charakterystyką poszczególnych rodzajów rozumowania. I tak:
a)
Wnioskowanie – dobieranie następstwa do racji znanej skądinąd, jako prawdziwa,
dobieranie następstwa do zdań pewnych, np., jeśli będę miał pieniądze, to załatwię bardzo
waŜną dla mnie sprawę, b) ( będę miał pieniądze, c) to załatwię sprawę. Zdanie pierwsze i
drugie są przesłankami, są racją dla zdania trzeciego.
b)
Dowodzenie moŜe być róŜnie definiowane, ale zawsze podkreśla się fakt dobierania
racji pewnej do zdania niepewnego. Inaczej:
Dowodzenie jest to dobieranie racji znanej skądinąd, jako prawdziwa wraz z
wnioskowaniem polegającym na wynikaniu z dobranej racji tego danego następstwa.
29
I na tym tle moŜna zrozumieć podział na rozumowanie regresywne i progresywne. Prof. T.
Kotarbiński pisał:
,,idzie tu raczej o róŜnicę w dziedzinie dydaktyki niŜ w dziedzinie metodologii
dowodzenia... Progresywny tok wykładu odpowiada dedukcyjnemu tokowi rozumowania (od
racji do następstwa), regresywny tok wykładu - redukcyjnemu tokowi rozumowania (od
następstw do racji)”.
30
I jeszcze dalszy etap charakterystyki dowodzenia T. Kotarbińskiego:
„OtóŜ dowodzenie, rozumiane najpełniej, składa się z dwóch stadiów: pierwszego, które
polega na poszukiwaniu dla danej tezy, dla zadanego następstwa, innej tezy, która by była, Ŝe
tak powiem, powaŜną kandydatką na rację, i drugie (stadium), które polega na wysnuwaniu
naszego zadanego następstwa z tej właśnie I wyróŜnionej tezy.
31
Przy okazji omawiania dowodzenia naleŜy wyróŜnić dowodzenie wprost i dowodzenie nie
wprost, nazywane niekiedy apagogicznym (odwodowym). To drugie polega na tym, Ŝe
dowodzi się fałszywości negacji tezy dowodowej i stąd wnosi się o jej prawdziwości. JeŜeli z
negacji dowodzonej tezy wywodzimy jakąś tezę sprzeczną z dowodzoną, to zabieg ten nazywa
się redukcją do absurdu.
29
J Gregorowicz: Zarys logiki..., Op. Cit., s. 161. Ibideem, s. 249.
30
T. Kotarbiński: Elementy teorii poznania, ligiki formalnej i metodologia nauki. W: Dzieła wszystkie. T.1. Ossolineum,
Wrocław – Kraków – Warszawa 1990, s. 249.
31
Ibidem, s. 249.
33
Często przy dowodzeniu nie wprost wykorzystujemy prawo zwane modus tollendo tollens i
zasadę podwójnego przeczenia.
Na przykład: jeŜeli egzaminator chce udowodnić, Ŝe student nie jest przygotowany dobrze z
logiki, przeprowadza następujący tok rozumowania:
jeŜeli pan byłby przygotowany z logiki, – czyli jest to zaprzeczenie tezy wyjściowej brzmiącej:
pan nie jest przygotowany do egzaminu z logiki, – to znałby pan bez problemu formułę zwaną
modus tollendo tollens, poniewaŜ pan jej nie zna, a przy okazji nie zna pan kilku innych rzeczy
(egzaminator stwierdza sprzeczne następstwa z przyjętą racją), stąd wnioskuję, Ŝe pan nie jest
przygotowany do egzaminu z logiki.
Jest to rozumowanie przebiegające według następującego schematu: [(~p → q) /\ → q] → p.
W tym przypadku zmienna p jest zaprzeczeniem tezy: pan nie jest przygotowany do
egzaminu z logiki.
Sens dowodzenia wprost jest zawarty w samej definicji dowodzenia juŜ omawianej.
c)
Sprawdzanie jest to rozumowanie zaliczane do grupy rozumowań redukcyjnych. Mówi
się w sposób zasadny o wnioskowaniu redukcyjnym, rozumiejąc przez wnioskowanie sam tok
rozumowania. NaleŜy pamiętać przy tym. Ŝe w rozumowaniu redukcyjnym dane jest
następstwo a dobiera się rację.
Sprawdzanie definiujemy, jako dobieranie następstw pewnych dla zdań nie pewnych. Na
przykład prowadzący ćwiczenia sprawdza czy student przeczytał zadaną literaturę. Poprawna
odpowiedź studenta na zadane pytanie utwierdza pro wadzącego ćwiczenia w przeświadczeniu,
Ŝe pytany lekturę przeczytał. A moŜe się okazać, Ŝe po prostu przed zajęciami wysłuchał
sprawozdania kolegów, czyli moŜe my powiedzieć, Ŝe sprawdzanie to dobieranie następstwa
znanego skądinąd, jako prawdziwe do nieznanej, jako prawdziwa racji.
W nauce sprawdzaniu często poddaje się hipotezy.
Hipotezy są to przypuszczenia (domysły), za pomocą których tłumaczymy dane
faktyczne.
Jest to definicja uproszczona, ale oddaje istotę tego, co naleŜy rozumieć przez hipotezę.
Innym przykładem rozumowania redukcyjnego jest wyjaśnianie lub inaczej tłumaczenie.
Tłumaczenie jest to dobieranie racji do znanego skądinąd, jako prawdziwe następstwa.
Na przykład: zauwaŜyłem, Ŝe nie mam portfela w kieszeni. Stwierdzając jego brak,
poszukuję przyczyny, czyli tzw. racji dla znanych następstw. I racji tych moŜe być wiele.
NaleŜy jednak pamiętać, Ŝe jeśli jakieś zdanie jest racją dla prawdziwego następstwa, nie
przesądza to sprawy, Ŝe ono samo jest prawdziwe. Na przykład twierdzenie, Ŝe portfel został
skradziony, moŜe być racją dla opisanego prawdziwego następstwa, ale nie oznacza, Ŝe samo
zdanie jest prawdziwe. Portfel mogłem po prostu zostawić w domu.
Szczególnego rodzaju wnioskowaniem redukcyjnym jest indukcja. Odgrywa ona w
naszym postępowaniu poznawczym ogromną rolę. Dlatego teŜ poświęcimy jej nieco uwagi.
Zagadnienie indukcji, jako metody naukowej ma swoją długą tradycję sięgającą
staroŜytności. Powszechnie wiąŜe się dwa nazwiska nowoŜytne z metodyczną refleksją nad
logiką indukcji. Są to F. Bacon ze swoją pracą. „Novum Organum” (1620) i J. S. Mill z
„Systemem logiki dedukcyjnej i indukcyjnej” (1843) Oni to stworzyli teorię indukcji
eliminacyjnej.
D.Hume sformułował swoisty paradoks metodologiczny, który zainspirował do rozwaŜań
nad indukcją. Mianowicie: albo wiedza jest pewna i dotyczy tylko idei skonstruowanych przez,
nasz umysł (matematyka), albo dotyczy faktów realnego świata, ale wtedy pozbawiona jest
pewności. Ten właśnie paradoks zainspirował wielu myślicieli do wysiłku znalezienia lak ich
reguł wnioskowania dotyczących faktów, a ściślej zdań o faktach, które były równoprawne w
34
stosunku do reguł wnioskowania dedukcyjnego. Podobnie jak w innych przypadkach, nie
moŜemy szczegółowo zajmować się ciekawymi problemami z tym związanymi. Omówimy
jedynie poszczególne przykłady indukcji.
Ogólnie moŜna powiedzieć, Ŝe:
„Indukcja jest to wnioskowanie, w którym zdania stwierdzające jakąś ogólną
prawidłowość uznaje się, jako wniosek na podstawie uznanych juz zdań jednostkowych,
stwierdzających poszczególne przypadki tej prawidłowości”
32
.
Inaczej mówiąc, indukcja to tłumaczenie uogólniające, jak stwierdza to słusznie J.
Gregorowicz. Bardzo trafnie definiuje indukcję T. Kotarbiński:
„Przez indukcję rozumiemy częstokroć takie tłumaczenie, (czyli takie dobieranie racji do
danego, skądinąd uznanego następstwa), przy którym jako następstwo występuje koniunkcja
zdań jednostkowych o wspólnym orzeczniku, a jako racja – zdanie ogólne z tymŜe
orzecznikiem i z podmiotem nadrzędnym do podmiotów tamtych zdań”.
Schematem następstwa jest, przeto:
A
1
jest B, A
2
jest B i A
3
jest B i... A
n
jest B,
natomiast schematem racji jest kaŜde A jest B.
Indukcja jest wyczerpująca (lub zupełna), kiedy desygnaty podmiotów zdań składowych
danego następstwa wyczerpują ogół desygnatów dobranej racji, a jest niewyczerpująca
(niezupełna), kiedy tak nie jest
33
.
Schematycznie indukcję zupełną moŜna przedstawić następująco:
S
l
jest P, S
2
jest P, S
3
jest P... S
n
jest P
S
1
jest S, S
2
jest S, S
3
jest S… S
n
jest S
KaŜde P jest S, albo S
2
albo S
3
albo S
n
zatem kaŜde S jest P.
Natomiast schemat indukcji niezupełnej wygląda następująco:
S
1
, jest P, S
2
jest P, S
3
jest P… S
n
jest P
S
1
, S
2
, S
3
… jest S
KaŜde S jest P.
Czyli uznaję jakąś ogólną prawidłowość na podstawie uznanych zdań jednostkowych, lecz
te zdania jednostkowe nie wyczerpują wszystkich desygnatów nazwy S.
Obydwa omówione przykłady indukcji zalicza się do indukcji enumeracyjnej, czyli
indukcji przez proste wyliczanie.
Innego rodzaju indukcją opartą na tym samym schemacie podstawowym jest indukcja
eliminacyjna Milla.
Definiuje się ten przypadek indukcji, jako rozumowanie zmierzające do wykazywania
związków między faktami. Na przykład zawsze ilekroć jest A, to jest B. Inaczej mówiąc, jest to
teoria wnioskowania pozwalająca na podstawie jednostkowych obserwacji dojść do wniosku
stwierdzającego związki przyczynowe. Podkreślam — dojść do wniosku, a nie empirycznie
stwierdzić. Empiryczne stwierdzenie moŜe być podstawą wnioskowania, ale samo nie jest
procesem wnioskowania. Podkreślam ten fakt, bo często mamy do czynienia w odpowiedziach
studentów z uproszczonym pojmowaniem sprawy.
32
Mała encyklopedia... Op. Cit.
33
T. Kotarbiński: Elementy teorii..., Op. Cit., s. 252
35
Przy okazji naleŜy wspomnieć o dwóch sposobach rozumienia terminu przyczyna.
1.
Przyczyną zjawiska B jest takie zjawisko A, po którym B stale następuje (warunek
dostateczny zjawiska B. nie ma A bez B).
2.
Przyczyną zjawiska B jest takie zjawisko A, które stale poprzedza zjawisko B (warunek
konieczny zjawiska B. nie ma B bez A). Poszukiwanie związków przyczynowych sprawdza się
w sposób oczywisty bądź do poszukiwania przyczyn A dla zjawiska B, bądź do poszukiwania
skutków B danego zjawiska A.
Indukcja eliminacyjna zakłada pięć kanonów wnioskowania:
−
jedynej zgodności,
−
jedynej róŜnicy,
−
zmian towarzyszących.
−
połączonej metody zgodności i róŜnicy.
−
reszt.
Dla ilustracji posłuŜę się schematem trzech najwaŜniejszych kanonów w ujęciu
poszukiwania przyczyny i poszukiwania skutków.
Kanon jedynej zgodności. JeŜeli jakaś okoliczność stale towarzyszy występowaniu badanego
zjawiska, to jest albo przyczyną, albo skutkiem.
I. A
1
A
2
A
3
→ B
I. A B
1
B
2
B
3
II. A
1
A
2
Ā
3
→
B
II. A → B
1
B
2
B
3
III. A
1
Ā
2
A
3
→ B
III. A → B
1
B
2
B
3
IV. A
1
Ā
2
Ā
3
→
B
IV. A → B
1
B
2
B
3
Zatem A
l
jest przyczyną B Zatem B
1
jest skutkiem A
Kreska nad literą oznacza brak występowania danego zjawiska. Kanon jedyne, zgodności
upowaŜnia do stwierdzeń dotyczących warunku koniecznego zjawiska B.
Kanon jedynej róŜnicy. JeŜeli jakaś okoliczność zachodzi, gdy dane zjawisko występuje a
nie zachodzi, gdy dane zjawisko nie występuje, to okoliczność ta jest skutkiem albo przyczyną
danego zjawiska.
Schematycznie moŜna ten kanon przedstawić następująco:
I. A
1
A
2
A
3
→ B
I. A → B
1
B
2
B
3
II. A
1
A
2
Ā
3
→
B
II. A → B
1
B
2
B
3
Zatem A
l
jest przyczyną B Zatem B
1
jest skutkiem A
Kanon zmian towarzyszących. JeŜeli jedno zjawisko zmienia się równolegle ze zmianą
drugiego, to zachodzi między nimi związek przyczynowy.
I. A
1
A
2
A
3
→ B
I. A → B
1
B
2
B
3
II. zm. A
1
A
2
Ā
3
→
zm. B
II.
zm.
A → zm. B
1
B
2
B
3
Zatem A
l
jest przyczyną B
Zatem B
1
jest skutkiem A
Jest rzeczą zrozumiałą, iŜ uzyskanie tak „sterylnych” wyników, jak to formułują kanony
indukcji eliminacyjnej, jest niemal niemoŜliwe. Mimo tego metoda indukcji [eliminacyjnej jest
wielce poŜyteczną w nauce a szczególnie w procesie badań nad 'zaleŜnościami przyczynowymi
wielu zjawisk. Kanony te, jak słusznie zauwaŜa Z. Ziembiński, mogą stać się wskazówkami
heurystycznymi, czyli pomagającymi w odkryciach naukowych. Przy zastosowaniu pewnych
zabiegów formalnych te kanony mogłyby się stać dyrektywami inferencyjnymi wnioskowania
dedukcyjnego.
36
12.12. RozwaŜania o rozumowaniu naleŜy zakończyć omówieniem rozumowania przez
analogię lub inaczej wnioskowaniem przez analogię. „Przesłanki stwierdzają, Ŝe kaŜdy z
kolejno napotkanych przedmiotów pewnego rodzaju ma pewną własność. Wniosek stwierdza,
ze i następny napotkany przedmiot tego rodzaju tez będzie posiadał tę własność”
34
. Na
przykład, jeŜeli przeczytałem pięć ksiąŜek autora x i były dla mnie interesujące, wnioskuję, Ŝe i
następna teŜ będzie interesująca.
Jest jeszcze jeden aspekt rozumowania przez analogię polegający na tym, Ŝe na podstawie
zdań stwierdzających podobieństwo pod względem wielu cech jednego przedmiotu do drugiego
wnioskuję o podobieństwie tych przedmiotów pod względem innych cech, które dotychczas nie
były rozpatrywane.
JeŜeli jakiś przedmiot jest podobny do przedmiotu B pod względem cech a, b, c i przedmiot
A posiada cechę d, to wnioskujemy, Ŝe przedmiot B posiada równieŜ cechę d.
Ten rodzaj wnioskowania, podobnie jak inne o charakterze redukcyjnym, naleŜy do
wnioskowania zawodnego.
12.13. Na bazie dotychczasowych uwag moŜna poczynić kilka uwag na temat teorii
naukowej, przez którą rozumiemy najogólniej zbiór zdań orzekających o badanej dziedzinie
rzeczywistości. Jest to uporządkowany, według określonych zasad, zbiór zdań. Z racji statusu
ontologicznego przedmiotów badań wyróŜniamy:
−
teorię nauk formalnych,
−
teorię nauk empirycznych.
Zagadnienia te dokładniej zostaną omówione na wykładzie.
13. PODZIAŁ LOGICZNY
13.1. Mówiąc o podziale logicznym naleŜy zaznaczyć, Ŝe jest to podział zakresu pojęcia
(nazwy), w skrócie mówimy o podziale pojęcia (nazwy). Jest to wydzielanie z zakresu nazwy
jej zakresów podrzędnych, czyli wymienianie pojęć podrzędnych względem tego pojęcia, tak
dobranych, Ŝe kaŜdy desygnat dzielonego pojęcia jest desygnatem jednego i tylko jednego z
tych pojęć podrzędnych.
Pojęcie nadrzędne nazywa się pojęciem dzielonym a części powstałe z podziału nazywają
się członami podziału.
13.2. Aby podział był poprawny logicznie, musi spełnić dwa warunki. Powinien być:
−
wyczerpujący (zupełny) – kaŜdy desygnat nazwy dzielonej naleŜy do zakresu któregoś
członu podziału. Suma zakresów członów podziału musi się równać zakresowi pojęcia
dzielonego;
−
rozłączny – kaŜdy desygnat dzielonego pojęcia jest desygnatem (tylko jednego członu
podziału.
13.3. Biorąc pod uwagę sposób dzielenia, wyróŜniamy podział dychotomiczny
i podział wedle pewnej zasady.
Z podziałem dychotomicznym mamy do czynienia wtedy, gdy z zakresu pojęcia
dzielonego wydzielamy dwie części, z których jedna powstaje przez dołączenie do niej jakiejś
cechy, a druga przez zanegowanie danej cechy, np. podział ludzi na pełnoletnich i
niepełnoletnich, zdolnych i niezdolnych do wojska itp. Nazwa dychotomiczny pochodzi od
greckiego wyraŜenia dichotomos, tzn. podzielony na potowy.
34
Mała encyklopedia… Op. Cit., s 217.
37
13.4. Co oznacza podział wedle określonej zasady lub podstawy podziału?
Podstawą podziału jest właściwość przedmiotów dzielonych, które bierzemy pod uwagę,
kiedy dokonujemy podziału, np. podział ludzi na męŜczyzn i kobiety przyjmuje płeć, jako
zasadę podziału. Warunkiem poprawności podziału jest zachowanie jednej i tej samej zasady.
Nie moŜna np. dzielić mieszkańców Warszawy na: kobiety, męŜczyzn i osoby duchowne. Taki
podział nie zachowuje jednej zasady podziału.
13.5. Wielostopniowy podział logiczny, polegający na kolejnym dzieleniu członów
podziału, nazywa się klasyfikacja. Jest rzeczą oczywistą, Ŝe nie kaŜda klasyfikacja wprowadza
porządek i nie kaŜda jest podziałem naturalnym. Z podziałem naturalnym mamy wtedy do
czynienia, kiedy wydzielone podzakresy pomnaŜają naszą wiedzę o dzielonym zakresie,
wnoszą coś nowego.
13.6. MoŜna się niekiedy spotkać z pojęciem typowania. Jest to zabieg polegający na
porządkowaniu jakiegoś zbioru wedle pewnego typu idealnego, wzorcowego, tzn. takiego,
który moŜe w rzeczywistości nie występować a stanowi istotę naszego o nim wyobraŜenia.
Mówimy wtedy o tzw. typie idealnym.
ZAKOŃCZENIE
Przedstawiona w tym skrypcie charakterystyka tematów jest daleka od „typu idealnego” i
nie pretenduje do roli podręcznika. Ma to być rodzaj pomocy w czasie słuchania wykładów,
które będą rozwinięciem pewnych treści połączonym z analizą przykładów. Dlatego byłoby
wskazane uzupełnienie tezowych ujęć skryptu dobrymi notatkami z wykładu.
Przypominam, Ŝe zalecanym podręcznikiem jest „Logika praktyczna” Z. Ziembińskiego
(WN PWN, Warszawa 1994).
MoŜna jednocześnie korzystać z wielu innych podręczników, z których kilka wymienię.
Tadeusz Kotarbiński: Kurs logiki dla prawników. Wyd. 6. PWN, Warszawa 1963.
Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. PWN, Warszawa 1953.
Kazimierz Ajdukiewicz: Logika pragmatyczna. PWN, Warszawa 1965.
Jan Gregorowicz: Zarys logiki dla prawników. PWN, Warszawa 1962.
A. Gregorczyk: Logika popularna. PWN, Warszawa 1955.
Z. Kraszewski: Logika – nauka rozumowania. PWN, Warszawa 1984.
Mała encyklopedia logiki. Ossolineum, Wrocław – Kraków – Warszawa 1988.
Zaliczenie logiki przeprowadzone będzie w formie pisemnej i w postaci określonej liczby
pytań otwartych i zamkniętych.
Otrzymanie określonej liczby punktów będzie warunkiem zaliczenia. Szczegóły zostaną
podane na wykładzie.
Załączone pytania mają charakter kontrolny i wskazują na zakres materiału
egzaminacyjnego. Nie są to przykłady pytań egzaminacyjnych.
38
PRZYKŁADOWE PYTANIA
1.
Podać jedną z definicji logiki.
2.
Co rozumiemy przez pojęcie logiki formalnej?
3.
Co to jest denotacja i konotacja?
4.
Co to jest nazwa i co to jest jej funkcja?
5.
Przytocz znany ci podział nazw.
6.
Co to jest desygnat nazwy, a co zakres?
7.
Co to jest treść nazwy?
8.
Co to są nazwy jednostkowe, ogólne i puste?
9.
Co to jest nazwa ostra i nazwa nieostra?
10.
Wymień i przedstaw graficznie stosunki między zakresami nazw.
11.
Co to są nazwy okazjonalne?
12.
Co jest źródłem wieloznaczności?
13.
Co to jest definicja i jakie są jej funkcje?
14.
Omów strukturę definicji.
15.
Wyjaśnij pojęcie definicji klasycznej.
16.
Co to jest definicja analityczna, inaczej sprawozdawcza?
17.
Co to jest definicja syntetyczna?
18.
Co to jest definicja regulująca?
19.
Co to jest zdanie w sensie logicznym?
20.
Jaki jest stosunek zdań logicznych do zdań w sensie gramatycznym?
21.
Co to są funktory i jakie są ich rodzaje?
22.
Podaj przykład funktora od dwóch argumentów zdaniowych.
23.
Podaj przykład funktora nazwotwórczego.
24.
Co to są zmienne zdaniowe?
25.
Wymień podstawowe znaki stałe uŜywane w rachunku zdań.
26.
Co to jest funkcja zdaniowa?
27.
Wymień podstawowe funkcje rachunku zdań.
28.
Scharakteryzuj funkcję implikacji.
29.
Scharakteryzuj funkcję koniunkcji.
30.
Przy jakiej wartości argumentów alternatywa będzie fałszywa?
31.
Omów znaczenie i podaj zapis formalny następujących zasad:
−
sprzeczności,
−
wyłącznego środka,
−
podwójnego przeczenia.
32.
Przedstaw sposoby sprawdzania tez logicznych.
33.
Co to jest zdanie kategoryczne?
34.
Wymień cztery zasadnicze zdania kategoryczne. Zapisz je w symbolice rachunku zbiorów.