Zagadnienie brzegowe klasycznej teorii sprężystości
Możliwe sformułowania – ze względu na wielkości zadane na
powierzchni ograniczającej dany obiekt:
1) zadane przemieszczenia – przemieszczeniowe warunki
brzegowe,
2) zadane naprężenia – naprężeniowe warunki brzegowe,
3) zadane przemieszczenia i naprężenia – mieszane warunki
brzegowe.
Przypadek przemieszczeniowych warunków brzegowych – znanych
funkcji
na brzegu danego obiektu
(
1
2
3
, ,
i
i
u
u x x x
=
)
)
Komplet równań podstawowych Teorii Sprężystości sprowadzony
do układu równań z niewiadomymi przemieszczeniowymi
– równaniami Naviera - Cauchy.
(
1
2
3
, ,
i
i
u
u x x x
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 1
Punkt wyjścia: równania konstytutywne liniowosprężyste:
2
ij
ij kk
ij
σ
λδ ε
µε
=
+
Podstawienie: związki geometryczne
(
)
,
,
1
2
ij
i j
j i
u
u
ε
=
+
,
,
kk
k k
u
ε
=
Otrzymujemy:
(
)
,
,
ij
ij k k
i j
j i
u
u
u
σ
λδ
µ
=
+
+
,
Obliczenie:
(
)
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
ij j
ij k kj
i jj
j ji
k ki
i jj
j ji
i jj
j ji
u
u
u
u
u
u
u
u
σ
λδ
µ
λ
µ
µ
λ µ
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 2
Podstawienie do równania równowagi:
,
0
ij j
i
b
σ
ρ
+
=
daje
(
)
,
,
0
i jj
j ji
i
u
u
b
µ
λ µ
ρ
+
+
+
=
– trzy równania różniczkowe cząstkowe z niewiadomymi funkcjami
(
)
1
2
3
, ,
i
u x x x
Zapis absolutny
(
)
grad div
0
u
u
b
µ
λ µ
ρ
∆ +
+
+
=
2
2
2
2
,
,11
,22
,33
2
2
2
1
2
3
i
i
i
i jj
i
i
i
i
u
u
u
u
u u
u
u
u
a
x
x
x
∂
∂
∂
∆ = ∇ =
=
+
+
=
+
+
=
∂
∂
∂
3,3
gdzie
– wektor
– liczba
,
1,1
2,2
div
j j
u u
u
u
u
=
=
+
+
,
1,1
2,2
3,3
grad div
j ji
i
i
i
i
u u
u
u
u
c
=
=
+
+
=
– wektor
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 3
TEORIA PŁYT CIENKICH
Powierzchnie ograniczające – górna i dolna,
Powierzchnia środkowa – równoległa do obu
Płyta – obciążenie
(
)
1
2
,
q x x
zawsze prostopadłe do powierzchni
środkowej.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 4
Płyta cienka: warunek
(
h
L
5
L
h
<
)
– wysokość płyty
h
– mniejszy wymiar charakterystyczny w planie
L
Założenie małych przemieszczeń
(
)
1
2
3
, ,
,
1,2,3
i
u x x x
h
i
=
Praktycznie spełnione w zagadnieniach inżynierii lądowej
Założenia w teorii płyt cienkich:
1) założenie kinematyczne Kirchhoffa, odpowiednik założenia
Bernoulliego w teorii belek: punkty leżące na prostej
prostopadłej do powierzchni środkowej, po odkształceniu
znajdują się na prostej prostopadłej do ugiętej powierzchni
płyty (ściśle: na prostopadłej do płaszczyzny stycznej)
2) założenie o stanie naprężenia: w równaniach konstytutywnych
materiału płyty przyjmujemy warunki PSN, tj.
3
0
i
σ
=
w
całym obszarze
3
2
2
h
h
x
− ≤
≤
.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 5
Oznaczenia przemieszczeń punktów powierzchni środkowej płyty
(
)
(
)
(
) (
)
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
, ,0
,
, ,0
,
u x x
u x x
u x x
v x x
≡
⎫
⎬
≡
⎭
- stan tarczowy
– przemieszczenia pomijane w teorii płyt
(
)
(
3
1
2
1
2
, ,0
,
u x x
w x x
≡
)
– ugięcie płyty – podstawowa niewiadoma
teorii płyt
Zadaniem jest wyprowadzenie równania różniczkowego płyty z
niewiadomą funkcją ugięcia
(
)
1
2
,
w x x
.
Równanie to ma wiązać ze sobą relacje konstytutywne, związki
geometryczne i równania równowagi.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 6
Składowe wektora przemieszczenia
(
)
1
2
3
, ,
i
u u x x x
≡
dowolnego
punktu płyty:
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
2
3
1
2
3
1
2
, ,
,
,
, ,
,
,
, ,
,
w
u x x x
u x x
x
x x
x
w
u x x x
v x x
x
x x
x
u x x x
w x x
∂
⎧
=
−
⎪
∂
⎪
∂
⎪
=
−
⎨
∂
⎪
⎪
=
⎪
⎩
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 7
Związki geometryczne w płaskim stanie naprężenia:
(
)
2
1
11
3
,1
3
,11
3
,11
2
1
1
1
2
2
22
3
,2
3
,22
3
,22
2
2
2
2
1
2
12
,2
,1
3
,12
3
,12
2
1
1
1
2
2
u
u
w
x
u
x w
x w
x
x
x
u
v
w
x
v
x w
x w
x
x
x
u
u
u
v
x w
x w
x
x
ε
ε
ε
⎧
∂
∂
∂
=
=
−
=
−
≈ −
⎪
∂
∂
∂
⎪
⎪
∂
∂
∂
⎪
=
=
−
=
−
≈ −
⎨
∂
∂
∂
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
∂
⎪
=
+
=
+
−
≈ −
⎜
⎟
∂
∂
⎪
⎝
⎠
⎩
,
(
– przemieszczenia stanu tarczowego)
,
0
i
u
≈
,
0
i
v
≈
,
u v
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 8
Równania konstytutywne – materiał sprężysty, jednorodny,
izotropowy, stałe ,
E
ν
(
)
(
)
(
)
(
)
11
11
22
3
,11
,22
2
2
22
22
11
3
,22
,11
2
2
12
12
3
,12
1
1
1
1
1
1
E
E
x w
w
E
E
x w
w
E
E
x w
σ
ε
νε
ν
ν
ν
σ
ε
νε
ν
ν
ν
σ
ε
ν
ν
⎧
=
+
= −
+
⎪
−
−
⎪
⎪
=
+
= −
+
⎨
−
−
⎪
⎪
=
= −
⎪
+
+
⎩
Równania równowagi
,
0
ij j
i
b
σ
ρ
+
=
jak dla stanu przestrzennego
w płytach wielkości
3
(
1,2,3
i
i
)
σ
=
są o kilka rzędów mniejsze niż
składowe
( ,
1,2)
ij
i j
σ
=
,
pochodne wszystkich składowych są jednak ze sobą porównywalne.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 9
Zestawienie powyższych związków: równanie różniczkowe płyty
(niewiadoma funkcja )
w
(
)
4
4
4
1
2
4
2
2
4
1
1
2
2
,
2
q x x
w
w
w
x
x x
x
D
∂
∂
∂
+
+
=
∂
∂ ∂
∂
(
)
1
2
,1111
,1122
,2222
,
2
q x x
w
w
w
D
+
+
=
(
)
3
2
12 1
Eh
D
ν
=
−
– sztywność płytowa
Zapis operatorowy
( )
4
q
w
w
D
∇ = ∆ ∆
=
inaczej
,
q
G
G
D
∆ =
= ∆w
Definicje sił przekrojowych w płytach (siły wewnętrzne na
jednostkę długości)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 10
• momenty zginające i skręcające
(
)
2
2
11
,11
,22
2
2
1
2
w
w
M
D
D w
x
x
ν
ν
⎛
⎞
∂
∂
= −
+
= −
+
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
w
(
)
2
2
22
,22
,11
2
2
2
1
w
w
M
D
D w
x
x
ν
ν
⎛
⎞
∂
∂
= −
+
= −
+
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
w
(
)
(
)
2
12
21
,12
1
2
1
1
w
M
M
D
x x
ν
ν
∂
=
= − −
= − −
∂ ∂
Dw
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 11
• Siły tnące (poprzeczne)
( )
( )
1
1
2
2
Q
D
w
x
Q
D
x
∂
= −
∆
∂
∂
= −
∆
∂
w
można także zapisać
11
12
1
1
1
M
M
Q
x
x
∂
∂
=
+
∂
∂
, itd.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 12
• Siły normalne i styczne [kN/m]
– charakterystyczne dla stanu tarczowego
Matematyczne definicje sil przekrojowych (jako wypadkowe
naprężeń)
• momenty płytowe – zginające i skręcające – z definicji
(porównanie - zginanie belek
A
M
zdA
σ
=
∫
)
(
)
(
)
/2
1
2
3
3
1
2
/2
,
,
h
h
M
x x
x dx
M
x x
αβ
αβ
βα
σ
−
=
≡
∫
– z symetrii tensora naprężeń (
,
1, 2
α β
=
)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 13
• Siły tnące płytowe
(
)
/2
1
2
3
3
/2
,
h
h
Q x x
dx
α
α
σ
−
=
∫
• Siły normalne i styczne
(
)
(
)
/2
1
2
3
1
2
/2
,
,
h
h
N
x x
dx
N
x x
αβ
αβ
βα
σ
−
=
=
∫
Obciążenie można wyrazić równaniem
(
)
(
)
33
3
33
3
/ 2
/ 2
q
x
h
x
h
σ
σ
=
=
−
= −
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 14
Paraboliczny przebieg naprężeń stycznych
(
)
3
1,2
α
σ
α
=
:
1
2
13
23
3
3
max
,
max
2
2
Q
Q
h
h
σ
σ
=
=
– równanie równowagi:
11,1
21,1
31,3
0
σ
σ
σ
+
+
=
(brak sił masowych)
stąd
31,3
11,1
21,1
σ
σ
σ
= −
−
(prawa strona jest liniowa funkcją zmiennej ),
3
x
Przez całkowanie
31
σ
→
jako funkcja zmiennej stopnia
drugiego
3
x
Zachodzi zależność:
3
,
1,2,3,
1,2
i
i
αβ
σ
σ
α
=
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 15
Warunki brzegowe:
Siły brzegowe:
moment zginający
nn
M
moment skręcający
ns
M
siła poprzeczna
n
Q
przemieszczenia brzegowe:
ugięcie
w
kąt obrotu
n
ϕ
Pięć niewidomych równania płyt,
rząd równania różniczkowego – czwarty
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 16
Warunki brzegowe mogą zawierać cztery niezależne wielkości –
dwie geometryczne, dwie statyczne.
Redukcja sił brzegowych do dwóch – zastępcza siła poprzeczna
na brzegu
ns
n
n
M
V
Q
s
∂
=
+
∂
Uzasadnienie (brzeg prostoliniowy).
Siła poprzeczna, równoważna działaniu momentu skręcającego
12
M
obliczona na jednostkę długości brzegu wynosi
12
2
/
M
x
∂
∂
.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 17
Stąd całkowita zastępcza siła poprzeczna
(łączne działanie siły
i momentu skręcającego
1
Q
12
M
)
12
1
1
2
M
V
Q
x
∂
=
+
∂
Uwaga: w narożu prostokątnym występuje reakcja
12
2
[kN /
R
M
=
m]
(płyty żelbetowe krzyżowo zbrojone – dodatkowe zbrojenie
dwukierunkowe w narożu)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 18
Sposób podparcia płyt (warunki brzegowe) – układ kartezjański
Swobodne podparcie
1
11
,11
0
0 :
0
0
w
x
M
w
=
⎧
=
⎨
= ⇒
=
⎩
2
22
,22
0
0 :
0
0
w
x
M
w
=
⎧
=
⎨
= ⇒
=
⎩
Utwierdzenie
1
,1
0
0 :
0
w
x
w
=
⎧
=
⎨
=
⎩
2
,2
0
0 :
0
w
x
w
=
⎧
=
⎨
=
⎩
Swobodny brzeg
11
1
1
0
0 :
0
M
x
v
=
⎧
=
⎨ =
⎩
22
1
2
0
0 :
0
M
x
v
=
⎧
=
⎨
=
⎩
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 19
RÓWNANIA TEORII PŁYT W UKŁADZIE BIEGUNOWYM
Siły wewnętrzne płytowe w układzie biegunowym są
wypadkowymi naprężeń:
3
3
,
,
,
,
rr
r
r
r
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
σ σ
σ
σ σ σ
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 20
Siły wewnętrzne w układzie biegunowym:
rr
M
– moment zginający radialny (promieniowy)
M
ϕϕ
– moment zginający obwodowy
r
r
M
M
ϕ
ϕ
=
– momenty skręcające
,
r
Q Q
ϕ
– siły tnące (poprzeczne)
Siły wewnętrzne wyrażone poprzez ugięcie:
(
)
(
) (
)
1
2
1
2
,
,
,
w r
w r x x
x x
ϕ
ϕ
= ⎡
⎤
⎣
⎦
,
Przyjmując kierunek radialny
(
)
0
ϕ
=
pokrywający się z osią ,
mamy
1
x
(
)
2
2
11
0
,11
,22
0
2
2
1
1
1
rr
w
w
w
M
M
D w
w
D
r
r r
r
ϕ
ϕ
ν
ν
ϕ
=
=
2
⎡
⎤
⎛
⎞
∂
∂
∂
=
= −
+
= −
+
+
⎢
⎥
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎣
⎦
(
)
2
2
22
0
,22
,11
0
2
2
2
1
1
w
w
M
M
D w
w
D
r r
r
r
ϕϕ
ϕ
ϕ
ν
ν
ϕ
=
=
w
⎡
⎤
∂
∂
∂
=
= −
+
= −
+
+
⎢
⎥
∂
∂
∂
⎣
⎦
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 21
(
)
(
)
12
0
,12
0
1
1
1
r
r
w
M
M
M
D
w
D
r r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ν
ν
ϕ
=
=
⎛
⎞
∂
∂
=
=
= −
−
= −
−
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
(
r
Q
D
w
r
∂
= −
∆
∂
)
gdzie
2
2
2
2
1
1
w
w
w
r
r r
r
2
w
ϕ
∂
∂
∂
∆ =
+
+
∂
∂
∂
( )
1
Q
D
r
ϕ
ϕ
∂
= −
∆
∂
w
Równanie płyty
(
)
(
)
(
)
,
,
q r
w r
D
ϕ
ϕ
∆ ∆
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 22
PŁYTY – PRZYPADEK OBROTOWOSYMETRYCZNY
Gdy własności geometryczne, obciążenie i warunki brzegowe płyty
spełniają warunek obrotowej symetrii, równanie różniczkowe płyty
staje się równaniem różniczkowym zwyczajnym względem
zmiennej
r
( )
( )
(
)
( )
4
q r
w r
w r
D
∇
= ∆ ∆
=
2
2
1
1
w
w
w
w
r
r
r r
r r
r
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞
∆ =
+
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
Siły wewnętrzne:
2
2
1
rr
w
w
M
D
r
r r
ν
⎛
⎞
∂
∂
= −
+
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
2
2
1 w
w
M
D
r r
r
ϕϕ
ν
⎛
⎞
∂
∂
= −
+
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 23
0
r
r
M
M
ϕ
ϕ
=
=
( )
2
2
1
r
w
w
Q
D
w
D
r
r
r
⎛
⎞
∂
∂ ∂
= −
∆
= −
+
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
r r
∂
∂
0
Q
ϕ
=
Zastępcza siła poprzeczna jest zawsze równa sile
r
V
r
Q
Przekształcenie równania różniczkowego płyty:
( )
(
)
( )
q r
w r
D
∆ ∆
=
,
( )
1
r
r r
r
∂
∂
⎛
⎞
∆
=
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
i
i
( )
1
1
q r
w
r
r
r r
r r r
r
D
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎡
⎤
⎛
⎞ =
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎣
⎦
⎝
⎠
Inna forma
, gdzie
0
G
∆ =
1
w
G
w
r
r r
r
∂
∂
⎛
⎞
= ∆ =
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 05 – str. 24
Document Outline