1
Obszar normalny w przestrzeni
Definicja
Niech
D
będzie obszarem regularnym na płaszczyźnie
OXY
. Wówczas obszar ograniczony i domknięty
V ⊂ R
3 postaci:
V =
(x, y, z) ∈ R
3
: (x, y) ∈ D, h(x, y)
6 z 6 g(x, y)
,
gdzie funkcje
h(x, y)
i
g(x, y)
są ciągłe na
D
oraz
h(x, y) < g(x, y)
dla punktów
(x, y)
z wnętrza obszaru
D
,
nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny
OXY
.
(Analogicznie definiujemy obszary normalne względem płaszczyzn
OXZ
i
OY Z
).
2
V :
(x, y) ∈ D
h(x, y) 6 z 6 g(x, y)
3
Całka potrójna
Definicja
Niech funkcja
f = f (x, y, z)
będzie ograniczona i
ciągła na obszarze
V
normalnym względem płaszczyzny
OXY
.
Wówczas całkę potrójną po obszarze
V
definiujemy wzorem:
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz
def
=
Z
D
Z
dxdy
g(x,y)
Z
h(x,y)
f (x, y, z) dz.
Przykład
Niech
V
oznacza ostrosłup ograniczony płaszczyznami
układu współrzędnych oraz płaszczyzną
x + y + z = 4
. Całkę
Z
Z
V
Z
(4 − x) dxdydz
sprowadzić do całki pojedyńczej.
4
Uwagi:
(o całce potrójnej w prostopadłościanie)
• Jeżeli funkcja
f = f (x, y, z)
jest ograniczona i ciągła w
P =
(
(x, y, z) ∈ R
3
: a
1
6 x 6 a
2
, b
1
6 y 6 b
2
, c
1
6 z 6 c
2
)
,
5
to
Z
Z
P
Z
f (x, y, z) dxdydz =
a
2
Z
a
1
dx
b
2
Z
b
1
dy
c
2
Z
c
1
f (x, y, z) dz =
=
c
2
Z
c
1
dz
a
2
Z
a
1
dx
b
2
Z
b
1
f (x, y, z) dy =
b
2
Z
b
1
dy
c
2
Z
c
1
dz
a
2
Z
a
1
f (x, y, z) dx = . . .
• Jeżeli ponadto funkcja
f (x, y, z) = f
1
(x) · f
2
(y) · f
3
(z)
, to
Z
Z
P
Z
f (x, y, z) dxdydz =
=
a
2
Z
a
1
f
1
(x) dx
·
b
2
Z
b
1
f
2
(y) dy
·
c
2
Z
c
1
f
3
(z) dz
6
Przykład
Oblicz
Z
Z
P
Z
e
x+2y−ln z
dxdydz,
P =
(
(x, y, z) ∈ R
3
: 0
6 x 6 ln 2, 0 6 y 6 ln 3, 1 6 z 6 e
)
.
Przykład
Niech
V
oznacza obszar ograniczony płaszczyznami
z = 0
i
x + z = 4
oraz powierzchniami
y =
√
x
i
y = 2
√
x
.
Oblicz:
Z
Z
V
Z
4yz dxdydz.
7
Własności całki potrójnej
• Jeżeli funkcje
f
1
i
f
2
są całkowalne w
V
, to dla dowolnych
α, β ∈ R
zachodzi
Z
Z
V
Z
( α f
1
(x, y, z) + β f
2
(x, y, z) ) dxdydz =
= α
Z
Z
V
Z
f
1
(x, y, z) dxdydz + β
Z
Z
V
Z
f
2
(x, y, z) dxdydz.
• Jeżeli zbiór
V ∈ R
3 jest sumą skończonej ilości zbiorów normalnych
względem jednej z płaszczyzn układu o parami rozłącznych wnętrzach
tj.
V = V
1
∪ V
2
∪ · · · ∪ V
n , to
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
Z
Z
V
1
Z
f (x, y, z) dxdydz +
+
Z
Z
V
2
Z
f (x, y, z) dxdydz + . . . +
Z
Z
V
n
Z
f (x, y, z) dxdydz.
8
• Jeżeli funkcja
f
jest całkowalna w
V
oraz
f (x, y, z) > 0
dla
(x, y, z) ∈ V
, to
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz > 0.
Objętość bryły V
Z
Z
V
Z
dxdydz
def
=
| V |
Przykład
Oblicz objętość bryły
V
ograniczonej powierzchniami:
a)
y = 1,
y = x
2
,
z = x
2
+ y
2
,
z = 2x
2
+ 2y
2
b)
x
2
+ y
2
= 1,
z = −1,
z = 1 + x
2
+ y
2
9
• Jeżeli funkcja
f
jest całkowalna w
V
, to
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz
6
Z
Z
V
Z
| f (x, y, z) | dxdydz 6 M | V | ,
gdzie
M = max
V
| f (x, y, z) |
.
10
Współrzędne walcowe (cylindryczne)
•
r
- odległość punktu
P
0
od początku układu,
0
6 r < +∞
•
ϕ
- miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor
~
OP
0
z dodatnim kierunkiem osi
OX
,
0
6 ϕ 6 2π
(albo
−π 6 ϕ 6 π
)
•
|z|
- odległość punktu
P
od płaszczyzny
OXY
11
Definicja
Trójkę
(r, ϕ, z)
nazywamy współrzędnymi walcowymi
(lub cylindrycznymi) punktu w przestrzeni.
Związek pomiędzy współrzędnymi walcowymi a kartezjańskimi jest
następujący:
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z = z
Przekształcenie
(r, ϕ, z)
−→
(x, y, z)
nazywamy przekształceniem walcowym (cylindrycznym) a Jakobian
tego przekształcenia jest równy:
12
J =
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
∂z
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂z
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂z
=
cos ϕ
−r sin ϕ
0
sin ϕ
r cos ϕ
0
0
0
1
= r
Twierdzenie
Niech obszar
V
0 dany we współrzędnych walcowych
będzie regularny oraz niech funkcja
f (x, y, z)
będzie ciagła na
obszarze
V
będącym obrazem
V
0
w przekształceniu walcowym.
Wówczas
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
Z
Z
V
0
Z
f (r cos ϕ, r sin ϕ, z) r drdϕdz
13
Uogólnione współrzędne walcowe
x = a r cos ϕ
y = b r sin ϕ
J = a b r
z = z
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
Z
Z
V
0
Z
f (a r cos ϕ, b r sin ϕ, z) ab r drdϕdz
14
Współrzędne sferyczne
•
r
- odległość punktu
P
od początku układu,
0
6 r < +∞
•
ϕ
- miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor
~
OP
0
z dodatnim kierunkiem osi
OX
,
0
6 ϕ 6 2π
•
ψ
- miara kąta zorientowanego, jaki tworzy wektor
~
OP
z wektorem
~
OP
0 ,
−
π
2
6 ψ 6
π
2
15
Definicja
Trójkę
(r, ϕ, ψ)
nazywamy współrzędnymi sferycznymi
punktu w przestrzeni.
Związek pomiędzy współrzędnymi sferycznymi a kartezjańskimi jest
następujący:
x = r cos ϕ cos ψ
y = r sin ϕ cos ψ
z = r sin ψ
Przekształcenie
(r, ϕ, ψ)
−→
(x, y, z)
nazywamy przekształceniem sferycznym a Jakobian tego przekształcenia
jest równy:
16
J =
cos ϕ cos ψ
−r sin ϕ cos ψ
−r cos ϕ sin ψ
sin ϕ cos ψ
r cos ϕ cos ψ
−r sin ϕ sin ψ
sin ψ
0
r cos ψ
= r
2
cos ψ
Twierdzenie
Niech obszar
V
0 dany we współrzędnych sferycznych
będzie regularny oraz niech funkcja
f (x, y, z)
będzie ciagła na
obszarze
V
będącym obrazem
V
0 w przekształceniu sferycznym.
Wówczas
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
=
Z
Z
V
0
Z
f ( r cos ϕ cos ψ , r sin ϕ cos ψ , r sin ψ ) r
2
cos ψ drdϕdψ
17
Przykład
Oblicz objętość bryły
V
ograniczonej sferą
x
2
+ y
2
+
z
2
= 2
i górną częścią stożka
x
2
+ y
2
= z
2 .
V ←− V
0
:
0
6 ϕ 6 2π
π
4
6 ψ 6
π
2
0
6 r 6
√
2
18
Ćwiczenie
Zrób powyższe zadanie korzystając z współrzędnych
walcowych.
Uogólnione współrzędne sferyczne
x = a r cos ϕ cos ψ
y = b r sin ϕ cos ψ
J = a b c r
2
cos ψ
z = c r sin ψ
Z
Z
V
Z
f (x, y, z) dxdydz =
Z
Z
V
0
Z
f (a r cos ϕ cos ψ , b r sin ϕ cos ψ , c r sin ψ ) abc r
2
cos ψ drdϕdψ
19
Zastosowania całki potrójnej w mechanice
Niech
% = %(x, y, z)
będzie dana ciągłą gęstością masy bryły
V
.
• Masa obszaru normalnego
V ⊂ R
3 :
M
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) dV,
( dV = dxdydz )
• Momenty statyczne bryły
V
względem płaszczyzn układu:
M
XY
def
=
Z
Z
V
Z
z %(x, y, z) dV,
M
XZ
def
=
Z
Z
V
Z
y %(x, y, z) dV,
M
Y Z
def
=
Z
Z
V
Z
x %(x, y, z) dV,
20
• Współrzędne środka ciężkości:
x
c
def
=
M
Y Z
M
=
1
M
Z
Z
V
Z
x %(x, y, z) dV,
y
c
def
=
M
XZ
M
=
1
M
Z
Z
V
Z
y %(x, y, z) dV,
z
c
def
=
M
XY
M
=
1
M
Z
Z
V
Z
z %(x, y, z) dV,
• Momenty bezwładności bryły
V
względem osi układu:
I
X
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) ( y
2
+ z
2
) dV,
I
Y
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) ( x
2
+ z
2
) dV,
I
Z
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) ( x
2
+ y
2
) dV,
21
• Moment bezwładności bryły
V
względem początku układu:
I
O
def
=
Z
Z
V
Z
%(x, y, z) ( x
2
+ y
2
+ z
2
) dV,
Przykład
Oblicz masę bryły
V
ograniczonej powierzchniami:
z = 1
i
x
2
+ y
2
= z
2 , jeżeli jej gęstość w każdym punkcie
(x, y, z)
wyraża się wzorem
%(x, y, z) =
s
x
2
+ y
2
22
Przykład
Korzystając z całki potrójnej obliczyć moment bezwładności
jednorodnej bryły ograniczonej powierzchniami:
z = 2
i
x
2
+ y
2
−
2z = 0
względem osi
OZ
.
Uwaga
Bryła jednorodna to bryła o stałej gęstości rozkładu masy,
tj. przyjmiemy, że
%(x, y, z) = %
0
> 0.