Statystyczna ocena wyników pomiaru
1
1
STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW
.
CEL ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest: uświadomienie studentom, że każdy wynik pomiaru obarczony jest
błędem o nie zawsze znanej przyczynie i wartości, zapoznanie ze statystyczną analizą
wyników pomiarów, sposobami znajdowania i eliminacji wyników obarczonych błędami
grubymi, oceną składowej przypadkowej błędu, wskazanie na konieczność analizy warunków
i wyników pomiarów pod kątem obecności składowej systematycznej błędu.
PROGRAM ĆWICZENIA
1. Pomiary wymiarów liniowych trójkątów, a, b, c, h
a
, h
b
, h
c
.
a. zapoznać się z obsługą suwmiarki i przeprowadzić kilka pomiarów próbnych.
b. przygotować tabele pomiarowe,
Numer
studenta
Nr
Trójkąta
a
[mm]
b
[mm]
c
[mm]
h
a
[mm]
h
b
[mm]
h
c
[mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Numer studenta odpowiada numerowi pierwszego trójkąta jaki mierzył student.
Ten pierwszy trójkąt jest „jego”trójkątem.
c. zmierzyć wymiary a, b, c, h
a
, h
b
, h
c
, swojego trójkąta a wyniki zapisać w tabeli w
wierszu odpowiadającym numerowi trójkąta.
d. wymieniać z kolegami trójkąty (ewentualnie również suwmiarki - patrz uwagi),
zmierzyć ich wymiary a wyniki wpisać w odpowiednie wiersze tabeli.
2. Przekazanie wyników pomiarów
a. podzielić .tabelę z wynikami pomiarów na wyniki pomiaru pojedynczych trójkątów,
Statystyczna ocena wyników pomiaru
2
2
b. zebrać wyniki poszczególnych trójkątów- przekazać wyniki pomiaru każdego trójkąta
„właścicielom” trójkątów. (pierwszy mierzony przez studenta trójkąt jest „jego trójkątem)
c. Przygotować tabelę wyników pomiaru wymiarów liniowych trójkąta „swojego” trójkąta.
3. Przygotowanie tabel z wynikami poszczególnych trójkątów
a. Tabela wyników pomiarów wymiarów liniowych trójkąta nr..
Nr
studenta
a
[mm]
b
[mm]
c
[mm]
h
a
[mm]
h
b
[mm]
h
c
[mm]
1
2
.
.
18
X
s
X
- wartość średnia wyników; s- odchylenie standardowe
b. Tabela wyników pomiaru pośredniego pola trójkąta nr
Nr
studenta
P
a
[mm
2
]
P
b
[mm
2
]
P
c
[mm
2
]
P
H
[mm
2
]
1
2
.
.
18
X
s
P- powierzchnia trójkąta; P
a
, P
b
, P
c
– powierzchnia obliczona z odpowiedniej podstawy i
wysokości, P
H
- powierzchnia obliczona z wzoru Herona.
Analiza i opracowanie wyników pomiarów
Każdy student przeprowadza indywidualną analizę wyników pomiarów swojego trójkąta.
W ramach tej analizy należy:
a) Zbadać, czy są pomiary obciążone błędem grubym i przeprowadzić eliminację lub
korektę tych wyników. W razie potrzeby wyznaczyć wartości parametrów
statystycznych w skorygowanej serii pomiarów.
b) Przeprowadzić analizę miar błędów przypadkowych (odchyleń standardowych s) w
wynikach pomiarów boków i wysokości. Porównać między sobą wartości odchyleń
standardowych w grupie pomiarów boków, w grupie pomiarów wysokości oraz określić
relacje między wartościami odchyleń standardowych s pomiarów boków i wysokości.
c) Porównać niepewność pomiaru wynikającą z błędów przypadkowych pomiarów boków
i wysokości z błędem granicznym suwmiarki. Podać ostateczne wyniki tych pomiarów z
uwzględnieniem przedziałów niepewności.
d) Przeprowadzić analizę wyników obliczeń powierzchni pola badanego trójkąta P za
pomocą różnych wzorów. Sprawdzić czy otrzymane wyniki nie są sprzeczne. Ocenić,
Statystyczna ocena wyników pomiaru
3
3
czy są wyniki obarczone błędami systematycznymi i jaka mogła być ich przyczyna.
e)
*
Wyznaczyć minimalną liczbę pomiarów poszczególnych boków i wysokości, którą
należałoby wykonać, aby błąd przypadkowy wyznaczenia średniej arytmetycznej w
każdym z tych pomiarów, był przynajmniej 10 razy mniejszy niż błąd graniczny
suwmiarki ( a więc pomijalnie mały ).
f)*Wyznaczyć wartości graniczne bezwzględnych i względnych błędów przypadkowych
pomiarów pola trójkąta z różnych wzorów. Sprawdzić czy zachodzi prawo propagacji
błędów przypadkowych, Np. czy :
(δ
p
P
a
)
2
= (δ
p
a)
2
+ (δ
p
h
a
)
2
?
WPROWADZENIE DO TEMATU
Pomiar jest czynnością doświadczalną, wykonywaną w celu wyznaczenia wartości jakiejś
wielkości. Do wykonania pomiaru potrzebne są odpowiednie środki techniczne - narzędzia
pomiarowe, i obserwator - człowiek wykonujący pomiary i analizujący ich wyniki.
Po wykonaniu pomiaru dysponujemy zbiorem wartości odczytanych z przyrządów
pomiarowych. Są to surowe wyniki pomiarów. Mogą być one uporządkowane i
zarejestrowane w postaci pliku danych, tabeli lub wykresu. Wynik pomiaru odczytany z
przyrządu różni się prawie zawsze od wartości prawdziwej ( rzeczywistej ) mierzonej
wielkości, to jest tej którą ma ta wielkość w chwili przeprowadzania pomiaru.
Dokładność pomiaru określa bliską zgodność wyniku pomiaru z wartością prawdziwą.
Miarą dokładności jest błąd pomiaru, będący różnicą między otrzymanym wynikiem a
wartością prawdziwą. Wartość prawdziwa jest pojęciem teoretycznym, idealnym . W
praktyce możemy się tylko przybliżyć do jej wartości za pomocą wartości poprawnej,
określonej tak dokładnie, że można na tej podstawie, z pewną niepewnością, wyznaczyć błąd
pomiaru. Najczęściej jednak nie dysponujemy wartością poprawną i błędu pomiaru nie
potrafimy określić jednoznacznie .
Umiejętność przewidywania przyczyn i miejsc występowania błędów pozwala ocenić
ich charakter, oszacować największą możliwą wartość dodatnią i ujemną błędu, znaleźć
wzajemne korelacje między błędami w pomiarach pośrednich i złożonych itd.
Źródłami błędów i niepewności w pomiarach są m.in.:
• narzędzia pomiarowe,
• metoda pomiaru,
• wpływy zewnętrzne,
• obliczenia,
• obserwator.
Nieuchronność istnienia błędów w pomiarach i trudność z ich zidentyfikowaniem
powoduje niepewność wyników pomiarów i rozrzut wartości, które można w uzasadniony
sposób przypisać wielkości mierzonej. Wynikiem pomiaru jest zatem zawsze para liczb
charakteryzująca przedział wartości w obrębie którego znajduje się z maksymalnie dużym
prawdopodobieństwem wartość prawdziwa mierzonej wielkości.
Szacowanie przedziału niepewności otrzymanych wyników pomiarów jak i szukanie metod
ograniczenia przyczyn i miejsc występowania błędów jest w metrologii dużą sztuką.
Losowość zjawisk decydujących w dużym stopniu o wynikach pomiaru powoduje, że
Statystyczna ocena wyników pomiaru
4
4
do analizy błędów i oceny niepewności otrzymywanych wyników wykorzystuje się modele i
metody rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.
Przeprowadzenie serii pomiarów- czyli n-krotne powtórzenie pomiaru tej samej wielkości ,
daje szansę na wyznaczenie błędów o charakterze przypadkowym i nadmiernym. Zmiana
metody pomiaru pozwala na zauważenie błędu systematycznego. Sposób doboru metod
pomiarowych i powtórzenia pomiaru musi być wybrany świadomie, dając szansę na wykrycie
błędów jednej z wymienionych kategorii.
Błędy systematyczne w pomiarach tej samej wartości pewnej wielkości , w
niezmiennych warunkach, tym samym narzędziem i metodą pomiarową, przeprowadzonych
przez tego samego obserwatora pozostają stałe. Wykrycie tych błędów jest możliwe przez
powtórzenie pomiarów po zmianie jednego z czynników wpływających na wynik, np. innym
narzędziem, w innej temperaturze, w innym miejscu, w przypadku pomiarów pośrednich
przez skorzystanie z innej zależności funkcyjnej między wynikiem a wielkościami
mierzonymi bezpośrednio. ( w ćwiczeniu wyniki pomiaru pola trójkąta można okręcić z
różnych wzorów i- z długości podstawy i wysokości lub tylko długości boków trójkąta)tp.
Błąd przypadkowy powoduje , że wyniki kolejnych pomiarów zmieniają się w
sposób losowy, mimo, że mierzona jest ta sama wartość wielkości w warunkach praktycznie
niezmiennych. Wynikami pomiarów obarczonymi błędami przypadkowymi rządzą prawa
statystyki i ich modelem matematycznym jest rozkład normalny ( Gaussa).
Błędy nadmierne (grube, omyłki) powodują wyraźne odstępstwo wyniku pomiaru w
serii od pozostałych wyników otrzymanych w praktycznie niezmiennych warunkach. Bardzo
często ich bezpośrednim źródłem jest wykonujący pomiary człowiek.
Opracowanie serii wyników pomiarów x
i
( dla i = 1,2 ...... n ) i wnioskowanie o ich
niepewności rozpoczyna się od wyznaczenia podstawowych parametrów statystycznych danej
serii n-elementowej:
- wartości średniej arytmetycznej z n pomiarów:
∑
=
=
n
1
i
i
x
n
1
X
- odchylenia standardowego ( odchylenia średniokwadratowego ) wyników pomiarów od
wartości średniej:
1
n
2
X
x
s
n
i
1
i
i
−
−
=
∑
=
=
)
(
Różnica miedzy wartością średnią z wyników pomiarów i wartością, którą można uznać
za poprawną wyznacza błąd systematyczny popełniany w każdym z pomiarów w serii.
Modelem matematycznym błędów przypadkowych jest rozkład normalny (Gaussa)
opisany funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x) zdarzeń losowych, którymi są
kolejne wyniki pomiarów x :
σ
µ
−
−
π
σ
=
2
2
2
x
2
1
x
f
)
(
exp
)
(
Statystyczna ocena wyników pomiaru
5
5
gdzie:
µ
- wartość oczekiwana E{x}
σ
- odchylenie standardowe .
Parametr
σ
2
nazywany jest wariancją. Wariancja i odchylenie standardowe są miarą
rozproszenia wartości x wokół wartości oczekiwanej
µ
, czyli tej najbardziej prawdopodobnej.
Z
właściwości
funkcji
gęstości
prawdopodobieństwa
f(x)
wynika
określone
prawdopodobieństwo następujących zdarzeń losowych ( wyników pomiarów ):
P {
µ
- 3
σ
≤
x
≤
µ
+ 3
σ
}= 0,997
P {
µ
- 2
σ
≤
x
≤
µ
+ 2
σ
}= 0955
P {
µ
-
σ
≤
x
≤
µ
+
σ
} = 0,683
W tabelach rozkładu normalnego można znaleźć wartości współczynników k, określających
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wartość x
≤
µ±
k
σ
.
Wyznaczona z serii pomiarów: wartość średnia
X
i odchylenie standardowe
s
są
odpowiednio estymatorami (ocenami ) parametrów
µ
(wartości oczekiwanej) i
σ
(odchylenia
standardowego) tego rozkładu .
Oznacza to, że po wykonaniu bardzo wielu wyników pomiarów, w przedziale
wartości
s
3
X
±
powinno znaleźć się 99,7 % wyników pomiarów. Wniosek ten można wykorzystać
do eliminowania z serii wyników, pomiarów obciążonych błędem nadmiernym.
Korekta wyników poprzez eliminację wyników podejrzanych wymaga przeliczenia
parametrów
X
i
s
dla skróconej serii.
Określająca przedział niepewności wartości 3s może być interpretowana jako wartość
graniczna błędu przypadkowego. Prawdopodobieństwo p, z jakim określa się wartość błędu
przypadkowego, może być mniejsze niż p=0,997. W wielu przypadkach wystarczająca jest
wartość p=0,95 dająca błąd przypadkowy pojedynczego pomiaru
∆
p
x
i
=
±
2s .
Wartość średnia wyznaczona z serii pomiarów jest tym bliższa wartości oczekiwanej
im większa jest liczba pomiarów n w serii. Odchylenie standardowe wartości średniej z n
wyników o odchyleniu standardowym s zależy od liczby n i jest równe:
n
s
s
x
=
Tak więc błąd przypadkowy przypisany wyznaczonej z n pomiarów wartości średniej jest
mniejszy niż błąd przypadkowy pojedynczego pomiaru w serii i wynosi :
n
s
k
X
p
=
∆
gdzie k jest odpowiednim współczynnikiem dla rozkładu normalnego ( najczęściej przyjmuje
się k=2 lub k=3).
Parametry rozkładu normalnego stosuje się do oceny wyników pomiarów
powtórzonych co najmniej 30 razy. W seriach pomiarów mniej licznych korzysta się z
właściwości rozkładu t-Studenta. Współczynniki t tego rozkładu są stabelaryzowane jako
Statystyczna ocena wyników pomiaru
6
6
funkcja liczby pomiarów n i przyjętego prawdopodobieństwa p i podobnie jak współczynniki
k pełnią funkcję współczynników rozszerzenia przy wyznaczaniu przedziału niepewności
spowodowanego błędem przypadkowym.
W tabeli poniżej podano przykładowe wartości t dla typowych wartości p i liczby pomiarów n.
n
p=0,95
p=0,997
5
2,78
6,62
10 2,26
4,08
12
2,20
3.64
13
2,15
3,58
14
2,13
3,53
15
2,12
3,49
16
……2,11
3,46
17
2,10
3,43
18 2,09
3,40
19 2,08
3,38
20 2,08
3,35
30
2,04
3,22
W takim przypadku, błędy przypadkowe wyznacza się z zależności analogicznych jak dla
rozkładu normalnego zastępując współczynnik k odpowiednią wartością współczynnika t.
ZADANIA
1. W celu sprawdzenia błędu wskazań woltomierza cyfrowego wykonano nim trzydzieści
pomiarów SEM ogniwa wzorcowego i otrzymano wyniki:
1.0187
1.0188
1.0186
1.0187
1.0187
1.0187
1.0187
1.0187
1.0187
1.0185
1.0189
1.0187
1.0188
1.0186
1.0188
1.0187
1.0188
1.0187
1.0187
1.0187
1.0187
1.0188
1.0187
1.0188
1.0187
1.0188
1.0185
1.0181
1.0186
1.0187
a) zbadać, czy są wyniki pomiarów obciążone błędami grubymi i ewentualnie dokonać ich
eliminacji.
b) wyznaczyć średnią
U
dla podanych wyników pomiarów,
c) wyznaczyć z tej próby odchylenie standardowe: pojedynczego pomiaru-
s
, oraz średniej
s
u
,
d) oszacować błąd systematyczny woltomierza jeśli wartość poprawna wzorca SEM
wynosi U
p
= (1.018620
±
0.000002) V.
2. Za pomocą suwmiarki elektronicznej o błędzie granicznym 0.03 mm i rozdzielczości 0.01
mm zmierzono wymiary liniowe trójkąta i otrzymano wyniki, boki:
a
= 90.00 mm,
b
=
63.80 mm,
c
= 81.00 mm, wysokości:
h
a
= 55.67 mm
, h
b
= 78.50 mm
, h
c
= 61.80 mm.
Który ze wzorów
P
a
, P
b
, P
c
czy
P
H
pozwala na wyznaczenie powierzchni
P
trójkąta z
najmniejszym błędem granicznym (przy założeniu że błąd graniczy pomiaru boków i
wysokości nie jest większy niż błąd suwmiarki).
3. Obliczono średnią arytmetyczną
R
z
n
pomiarów rezystancji,
R
1
,R
2
,...,R
n
. Okazało się
Statystyczna ocena wyników pomiaru
7
7
następnie, że
k
-ty wynik,
R
k
, 1
≤
k
≤
n,
jest obarczony błędem grubym. Wyprowadzić wzór
obliczający nową skorygowaną wartość średnią
R ′
(bez ponownego sumowania wyników)
dla przypadków gdy:
a)
usunięto
k
-ty wynik z serii.
b)
skorygowano błędny,
k
-ty wynik
R
k
,
zastępując go wynikiem
R
k
’
po
stwierdzeniu, że omyłkowo wpisano inną cyfrę na pierwszym miejscu
znaczącym.
4
*
. Trójkąt ABC ma zaokrąglone wierzchołki o promieniu krzywizny równym
r
każdy, przy
czym promień
r
jest bardzo mały w porównaniu z bokami,
r
<<
a,b,c
. Obliczyć składową
systematyczną błędu pomiaru trójkąta przy użyciu różnych wzorów
P
a
, P
b
, P
c
oraz
P
H
spowodowaną zaokrągleniami w zależności od wartości
r
. Założyć, że trójkąt jest w
przybliżeniu równoboczny:
a
≅
b
≅
c.