X,Y  - przestrzenie wektorowe nad K 
(e

1

, … , e

n

) – baza przestrzeni X 

T: X->Y odwz. Liniowe  
 

Cztery możliwości: 

T - bijekcja 
T - iniekcja 
T - suriekcja 
T - nie jest iniekcją, nie jest suriekcją 
 

Tw. 1.  

 

T – iniekcja      

 

             

 

     liniowo niezależne 

Dw. nie wprost  

(=>) 
 

   

 

 

              

 

     liniowo zależne =>   

 

       

 

   

 

 

 

       

 

 

   

 

  

 

   

        

     

 

 

 

 

                         

 

 

 

 

                       

 

   

 

   

 

(<=) 

    

 

        

 

 

 

 

 

    

 

     

 

   

 

 

 

 

 

 

    

 

       

 

        

 

   

 

 

          

 

          

 

 

     

 

 

 dla co najmniej 

jednego                     

 

          

 

          

 

 

 

 

 

       

 

   

 

 

 

 

 

 

  

 

   

      

  

 

 

 

   

 

 

 

 

  

 

             

  

 

 

 

   

   

 

 

    

 

                

 

   nie są liniowo niezależne. 

 

Tw. 2. 

 

T – suriekcja     

 

             

 

     generują Y. 

( => ) 
 

T suriekcja                                         

 

 

      

 

 

  

 

   

            

 

 

   

 

  

 

   

     

( <= ) 
 

              

 

 

   

 

  

 

   

     

 

 

 

 

  

 

   

        

Tw. 3.   

 

T bijekcja     

 

   są liniowo niezależne i generują Y     

 

   tworzą bazę w Y. 

Wniosek: 
 

Jeżeli dimX = dimY = n , to T bijekcja     

 

            

 

     są liniowo niezależne. 

 

Tw. 4. 

  

Niech dimX= dimY = n, T:X->Y liniowe 
A-  Reprezentacja macierzowa T. 

Wtedy kolumny A są liniowo niezależne  detA   0  wiersze A są liniowo niezależne. 
 

Dw.  

 

Kolumny A  -    

 

   w bazie przestrzeni Y. 

 

Macierz A jest macierzą wymiaru nxn. 

( => ) 
 

Kolumny A są liniowo niezależne =>    

 

   są liniowo niezależne => T bijekcja =>  

 

  T

-1

 oraz A

-1

 => det I = det (A*A

-1

) = detA*detA

-1

=1 => detA   0 

( <= )  
 

Jeżeli kolumna numeru n jest liniowo zależna od pozostałych, to  x

1

,…,x

n-1

 : 

 

    

  

   

 

 

 

  

   

   

, tzn. n-ta kolumna jest lin. komb. pozostałych => jeżeli tą kombinację 

 

liniową odejmiemy od ostatniej kolumny, to ostatnia kolumna bęcie kolumną zerową detA=0. 

 

Ponieważ detA = detA

T

 , to samo tyczy się wierszy. 

 
Niech X,Y – przestrzenie wektorowe nad K, dimX=n, dimY=m, T:X->Y liniowe 
 

Df. 

 

Rząd macierzy A = rząd odwzorowania T (rządA = r(A)) 

Wniosek: 
 

Rząd A = ilośd liniowo niezależnych kolumna. 

Dw.  

 

Kolumny A =    

 

   => ilośd liniowo niezależnych kolumn V = dim T(X), bo    

 

   generują T(X). 

Tw. 5. 

 

Ilośd liniowo niezależnych kolumn A = ilośd liniowo niezależnych wierszy A. 

lemat 

 

Ilośd liniowo niezależnych wierszy A   ilośd liniowo niezależnych kolumn A. 

 

 

 

(a

11

 , … , a

1k

 , … , a

1n

 ) 

 

(… 

 

       ) 

A= 

(a

k1

 , … , a

kk

 , … , a

kn

 ) 

 

(… 

 

       ) 

 

(a

m1

 , … , a

mk

 , … , a

mn

) 

 

 (   Kol.lin.niez.  ) 

 
 

(a

11

 , … , a

1n

 ) 

A

K

= 

(… 

       ) 

 

(a

k1

 , … , a

kn

 ) 

 
Kolumny A

K

 są liniowo niezależne => detA

K

  0 => wiersze A

K

 są liniowo niezależne. 

 

Dw. tw. 

 

Stosujemy lemat macierzy A i A

T

. 

Wniosek 2 
 

r(A)   min(m,n). 

 

Tw.6. 

 

Rząd macierzy A = wymiar największy nieosobliwej podmacierzy kwadratowej. 

Tw. 

 

Niech X,Y,Z – przestrzenie wektorowe nad K, T:X->Y, S:Y->Z liniowe. Wtedy  

 

rząd(S◦T)  min(rządT, rządS. 

Dw. 

 

(S◦T)(X)=S(T(X)) S(Y) => dim(S◦T(X))   dimS(Y) => rząd(S◦T)   rządS 
(S◦T)(X)=S(T(X)) => dimS(T(X))  dimT(X) => rząd(S◦T)(X)  rządT 

 
Wniosek 

(Tw. Sylwestera)

 

 

r(A*B)  min{r(A),r(B)}. 

 
Dany jest układ równao liniowych (1) 
 

 

 

  

 

 

           

  

 

 

   

 

 

 

  

 

 

           

  

 

 

   

 

  

 

 

Macierz układu równao 

 

     

 

  

 

 

  

 

 

 

 

  

   

  

  

 

Macierz uzupełniona

 (macierz A do której dostawiono kolumnę) 

 

     

 

  

      

 

  

      

 

 

 

 

 

  

 

 

  

      

 

  

 

Tw. Kroneckera – Capelliego 

 

Układ równao (1) posiada (co najmniej jedno) rozwiązanie  r(A)=a(A

u

). 

Dw. 

( <= ) 

 

r(A)=a(A

u

) => kolumna 

 

 

 

 

  

(między y

1

 i y

n

 „ …” tak samo niżej)

 jest  kombinacją liniową pozostałych 

o współrzędnych x

1

 , … , x

n

 .      

 

 

 

  

 

  

     

 

 

 

  

 

  

         

 

 

 

  

 

  

     

 

 

 

 

  czyli istnieje 

rozwiązanie układu (1). 

 
( => ) 

Jeżeli  

 

 

 

 

  liniowo niezależne od pozostałych to nie istnieją x

1

 , … , x

n

  j.w. i układ (1) nie ma 

rozwiązania. 

 

Wnioski z twierdzenia Kroneckera-Capelliego: 

Wniosek 1: 
 

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by układ (1) posiadał rozwiązanie dla każdej 

kolumny wyrazów wolnych jest aby r(A)=m oraz n(ilośd równao) m(ilośd niewiadomych). 
Wniosek 2: 
 

Jeżeli m=n i A jest macierzą nieosobliwą to                  

  

  . 

 

Df. 

 

Jeżeli         to układ (1) nazywamy układem jednorodnym. 

Wniosek 3: 
 

Jeżeli r(a)=k to jednorodny układ ma n-k rozwiązao liniowo niezależnych. 

Wniosek 4: 
 

Jeżeli n=m oraz detA 0 to układ jednorodny ma tylko rozwiązanie zerowe. 

Wniosek 5: 
 

Układ jednorodny ma tylko rozwiązanie zerowe  dla każdej prawej strony istnieje co 

najwyżej jedno rozwiązanie.