Macierz odwrotna
Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej nieosobliwej
Na ogół iloczyn macierzy AB nie ma sensu. Jeszcze rzadziej moŜna macierze dzielić.
MoŜna dzielić tylko przez macierz kwadratową i tylko, gdy jest ona „nieosobliwa" (dzielenie
przez macierz osobliwą odpowiada dzieleniu liczb przez zero).
Dopełnienie algebraiczne elementu a
ij
macierzy A
n
Niech A
n
będzie macierzą kwadratową. Najpierw z macierzy A
n
wyrzucamy (skreśla-
my) wiersz o numerze i oraz kolumnę o numerze j ( ten wiersz oraz kolumnę wskazują
wskaźniki elementu a
ij
). Otrzymujemy podmacierz, której wyznacznik oznacza się det A
ij
.
Liczba D
ij
= (-1)
i+j
. det A
ij
nazywa się
dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
macierzy A.
Przykład 1.
D
23
macierzy
−
4
7
4
1
5
1
0
3
2
obliczamy następująco:
1. Skreślamy wiersz 2 i kolumnę 3 otrzymujemy macierz
7
4
3
2
2. Obliczamy wyznacznik det
7
4
3
2
= 14 – 12 = 2
3. Obliczamy D
23
= (-1)
2+3
det
7
4
3
2
= - 2.
Definicja
Jeśli A
n
jest macierzą kwadratową nieosobliwą, to macierzą odwrotną A
n
-1
do macierzy
A
n
nazywamy macierz, która spełnia
warunek
A
n
A
n
-1
= A
n
-1
A
n
= I
n
,
gdzie I
n
jest macierzą jednostkową wymiaru n.
Inaczej iloczyn macierzy danej i odwrotnej jest macierzą jednostkową.
Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej do danej:
Niech A
n
będzie macierzą kwadratową nieosobliwą.
1.
Obliczamy wyznacznik macierzy A
n
, czyli det A
n
.
2.
Wyznaczamy dopełnienia kaŜdego wyrazu macierzy A
n
.
3.
Tworzymy macierz D otrzymanych dopełnień.
4.
Transponujemy macierz D ; otrzymujemy macierz D
T
.
5.
Dzielimy kaŜdy wyraz macierzy D
T
przez det A
n
– otrzymujemy macierz A
n
-1
inaczej mówiąc macierz odwrotną
A
n
-1
wyznaczamy ze związku
A
n
-1
=
n
A
det
1
D
T
.
Przykład 2.
Dana jest macierz A =
−
−
1
0
1
1
2
1
3
1
0
1.
Wyznacznik macierzy A, czyli det A = -6.
Wniosek A jest macierzą nieosobliwą. Istniej zatem macierz A
-1
odwrotna do ma-
cierzy A.
2.
Obliczamy dopełnienia wyrazów macierzy A:
D
11
= (-1)
1+1
1
0
1
2
−
= -2
D
12
= 0
D
13
= -2
D
21 = 1
D
22
= -3
D
23
= 1
D
31
= -5
D
32
= -3
D
33
= 1
3.
Tworzymy macierze D i D
T
D =
−
−
−
−
−
1
3
5
1
3
1
2
0
2
D
T
=
−
−
−
−
−
1
1
2
3
3
0
5
1
2
4.
Wyznaczamy macierz A
-1
=
n
A
det
1
D
T
= -
6
1
−
−
−
−
−
1
1
2
3
3
0
5
1
2
=
−
−
−
6
1
6
1
3
1
2
1
2
1
0
5
5
6
1
3
1
.
Sprawdzenie: A A
-1
=
−
−
1
0
1
1
2
1
3
1
0
−
−
−
6
1
6
1
3
1
2
1
2
1
0
5
5
6
1
3
1
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
co potwierdza
poprawność wyznaczenia A
-1
.
Macierz A
-1
moŜna równieŜ wyznaczyć metodą operacji elementarnych. W tym celu
macierz A naleŜy zblokować z macierzą jednostkową I , czyli utworzyć macierz [A| I] .
Następnie operacjami elementarnymi na wierszach (tylko na wierszach) doprowadzić ją
do macierzy [I | B]. Wtedy B = A
-1
.
Przykład 3.
Dana jest macierz A =
1
1
2
2
1
0
3
2
1
.
1.
Tworzę macierz [A| I ] , czyli
[A| I ] =
1
0
0
1
1
2
0
1
0
2
1
0
0
0
1
3
2
1
2. Wykonuję kolejno na wierszach operacje elementarne („nowe” wiersze oznaczam z
uŜyciem znaczka
,
).
w
3
’ = w
3
– 2w
1
w
1
’ = w
1
– 2w
2
w
3
’ = w
3
+ 3w
2
w
1
’ = w
1
+ w
3
w
2
’ = w
2
– 2w
3
3. W efekcie otrzymuję macierz
−
−
−
−
1
3
2
1
0
0
2
5
4
0
1
0
1
1
1
0
0
1
4. Wydzielam (kreską) w niej dwie podmacierze
−
−
−
−
1
3
2
1
0
0
2
5
4
0
1
0
1
1
1
0
0
1
5. Macierz A
-1
=
−
−
−
−
1
3
2
2
5
4
1
1
1
jest macierzą odwrotną do macierzy A.
___________________________________________________________
Ujęcie ogólne
Definicja
Niech A = [a
i j
] będzie macierzą kwadratową stopnia n > 1.
Dopełnieniem algebraicznym elementu a
i j
macierzy A nazywamy liczbę
D
i j
= (-1)
i+j
det A
i j
,
gdzie A
i j
oznacza macierz stopnia n – 1 otrzymaną przez skreślenie i – tego wiersza
oraz j – tej kolumny macierzy A.
Definicja
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą, gdy det A
≠
0.
Definicja
Niech A będzie macierzą kwadratową nieosobliwą.
Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczaną przez A
-1
, która
spełnia warunek A A
-1
= A
-1
A = I.
Twierdzenie
JeŜeli macierz A stopnia n jest nieosobliwa, to
A
-1
=
A
det
1
T
nn
n
n
n
n
D
D
D
D
D
D
D
D
D
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
, gdzie D
i j
oznacza dopełnienie
algebraiczne elementu a
i j
macierzy A.
Ćwiczenia
1. Wyznacz macierz odwrotną do danej.
a) [5] , b)
−
4
0
1
2
, c)
1
0
0
1
, d)
−
−
0
1
1
0
, e)
−
a
a
a
a
cos
sin
sin
cos
f)
−
−
2
1
3
5
1
2
1
1
1
, g)
−
−
2
3
1
1
2
0
5
1
2
, h)
−
−
−
0
1
0
4
5
2
2
3
1
.
2. RozwiąŜ równanie macierzowe wykorzystując operację odwracania macierzy.
a)
1
0
2
3
⋅
X =
−
−
1
0
1
5
, b) X
⋅
−
−
4
3
1
1
=
−
−
4
3
1
2
c)
−
3
2
1
2
⋅
X
⋅
−
2
0
1
1
=
−
0
2
5
3
, d)
1
2
1
3
⋅
X
⋅
2
1
3
1
=
2
2
3
3
,
e) X
⋅
−
−
2
1
1
1
0
3
1
2
1
= [3 -2 1] , f)
−
−
1
0
0
2
1
2
−
X
⋅
−
1
2
5
1
=
−
−
1
0
2
1
2
5
.