Nawiasami kwadratowymi oznaczyłem nieczytelne miejsca.
1. Niech S := {z ∈ C; z
4
− 1 = 0}. Wykazać, że {S, ·}, gdzie · [oznacza mnożenie?], [w ciele liczb?] zespolonych, jest grupą
abelową.
2. Obliczyć:
(
√
3 − i)
11
(1 + i)
5
i wynik podać w postaci kanonicznej.
3. Wykazać, że wekory u = (1, 0, −1), v = (1, 1, 0), w = (0, 1, 2) tworzą [baze?] w R
3
. Wyznaczyć podprzestrzeń R
3
generowaną przez wektory u i v i w.
{(x, y, z) ∈ R
3
: ax + by + cz = 0}
przy stosownie dobranych a, b, c ∈ R
4. Znaleźć macierz odwzorowania liniowego f : R
4
→ R
2
danego przez f (x, y, z, t) = (x + 3y − 2z, x − y + z − t) w bazach
odpowiednio: {(2, 0, 1, 0), (−1, 1, 0, 3), (0, 1, 1, 0), (1, −1, 2, 3)} i {(1, 1), (−1, 0)}.
5. Obliczyć wyznacznik stosując rozwinięcie Laplace’a.
0
1
2
3
1
2
3
0
2
3
0
0
3
0
0
1
6. W najprostrzy sposób pokazać, że:
1
a
a
2
1
b
b
2
1
c
c
2
= (b − a)(c − a)(c − b)
Rozwiązanie: od drugiego i trzeciego odjąć pierwszy wiersz, drugi pomnożyć razy (-1) i dodać do trzeciego. Otrzymamy
macierz schodkową (wyznacznik to iloczyn diagonalnych)
1
a
a
2
1
b
b
2
1
c
c
2
=
1
a
a
2
0
b − a
b
2
− a
2
0
c − a
c
2
− a
2
= (b − a)(c − a)
1
a
a
2
0
1
b + a
0
1
c + a
= (b − a)(c − a)
1
a
a
2
0
1
b + a
0
0
c − b
= (b − a)(c − a)(c − b)
7. Metodą eliminacji Gaussa rozwiazać układ równań:
x + y + z
=
4
2x + y + 2z
=
6
3x − y − z
=
0
8. Znajdź macierz odwrotną do:
A =
2
7
3
3
9
4
1
5
3
a nastepnie wykorzystaj ją dla znalezienia rozwiązania układu równań:
2x + 7y + 3z
=
−2
3x + 9y + 4z
=
−2
x + 5y + 3z
=
−1
1
