1. Czesław konsumuje antonówki i banany. Jego funkcję użyteczności określa funkcja
(
)
2
,
B
A
B
A
x
x
x
x
U
=
. Cena antonówek wynosi 1 dol., cena bananów 2 dol., a tygodniowy
dochód Czesława 30 dol. Jeśli cena bananów spadnie do 1 dol. to:
a) Czesław zgłosi mniejszy popyt na antonówki i większy na banany.
b) efekt substytucyjny spadku ceny bananów redukuje jego konsumpcję antonówek, ale
efekt dochodowy zwiększa konsumpcję antonówek o tę samą wielkość.
c) efekt substytucyjny spadku ceny bananów redukuje jego konsumpcje bananów, ale
efekt dochodowy zwiększa konsumpcje bananów o tę samą wielkość.
d) dochód używany do obliczenia efektu substytucyjnego jest wyższy niż jego oryginalny
dochód, ponieważ zmiana ceny poprawia sytuację Czesława.
e) więcej niż jedno stwierdzenie jest prawdziwe.
Początkowy koszyk popytu Czesława możemy wyznaczyć rozwiązując układ
równań złożony z równania ograniczenia budżetowego i warunku styczności:
.
2
1
2
2
;
30
2
2
=
=
=
=
=
=
+
B
A
A
B
B
A
B
B
A
B
A
p
p
x
x
x
x
x
MU
MU
MRS
x
x
Rozwiązawszy powyższy układ równań, otrzymujemy x
A
* = 10; x
B
* = 10.
Aby wyznaczyć efekt substytucyjny spadku ceny bananów; musimy znaleźć
równanie linii budżetu przechodzącej przez początkowy koszyk popytu, (x
A
, x
B
) = (10,
10), przy nowych cenach; p
A
= 1, p
B
’ = 1. Wartość koszyka (10, 10) przy tych cenach
wynosi 20 i taka powinna być wysokość dochodu, aby konsumenta po zmianie cen było
stać dokładnie na początkowy koszyk popytu. Musimy zatem rozwiązać teraz
następujący układ równań:
.
'
1
1
2
;
20
=
=
=
=
+
B
A
A
B
B
A
p
p
x
x
MRS
x
x
Rozwiązanie tego układu równań stanowi koszyk
.
3
1
13
3
40
;
3
2
6
3
20
=
=
=
=
s
B
s
A
x
x
Efekt
substytucyjny
wynosi
zatem:
3
1
3
10
3
1
13
*
;
3
1
3
10
3
2
6
*
=
−
=
−
=
∆
−
=
−
=
−
=
∆
B
s
B
s
B
A
s
A
s
A
x
x
x
x
x
x
.
Ostateczny popyt na antonówki i banany możemy wyznaczyć rozwiązując układ
równań złożony z ostatecznego równania ograniczenia budżetowego i warunku
styczności:
.
'
1
1
2
;
30
=
=
=
=
+
B
A
A
B
B
A
p
p
x
x
MRS
x
x
Rozwiązaniem tego układu równań jest x
A
’ = 10; x
B
’ = 20, zatem efekt dochodowy
wynosi
3
2
6
3
1
13
20
'
;
3
1
3
3
2
6
10
'
=
−
=
−
=
∆
=
−
=
−
=
∆
s
B
B
m
B
s
A
A
m
A
x
x
x
x
x
x
.
2. Tewie Mleczarz posiada farmę mleczną. Jego preferencje względem mleka, x, i
pozostałych dóbr, y, wyraża funkcja użyteczności postaci: U(x, y) = x(y + 1).
Wyposażenie początkowe Tewiego stanowi 10 jednostek mleka dziennie i zero jednostek
pozostałych dóbr. Jeżeli cena mleka wynosi 1/2, cena pozostałych dóbr równa jest 1, ile
wynosi jego popyt netto na mleko?
a)
−
4;
b) 10;
c) 6;
d)
−
7,5;
e) 2,5.
Koszyk popytu Tewiego możemy znaleźć rozwiązując układ równań złożony z
równania ograniczenia budżetowego i warunku styczności:
.
2
1
1
;
5
2
1
=
=
+
=
=
+
=
=
+
=
+
y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
p
p
x
y
MU
MU
MRS
p
p
y
x
y
p
x
p
ω
ω
Rozwiązanie tego układu równań stanowi koszyk x* = 6; y* = 2. Ponieważ popyt netto to
różnica pomiędzy popytem brutto a zasobem początkowym, zatem popyt netto na mleko
wynosi
4
10
6
*
−
=
−
=
−
=
x
x
x
z
ω
.
3. Krzysztof posiada funkcję użyteczności postaci U(c
1
, c
2
) = min{c
1
, c
2
}, gdzie c
1
oznacza konsumpcję w okresie 1, a c
2
konsumpcje w okresie 2. Krzysztof zarobi 200 dol.
w okresie 1 i spodziewa się zarobić 220 dol. w okresie 2. Może oszczędzać i pożyczać
pieniądze z banku po stopie procentowej 10% (inflacja jest zerowa). Konsumpcja w
okresie 1 będzie równa:
a) więcej niż 200 dol., ale mniej niż 220 dol.;
b) dokładnie 200 dol.;
c) więcej niż 200 dol.;
d) dokładnie 180 dol.;
e) więcej niż 180 dol., ale mniej niż 200 dol.
Ponieważ konsumpcja bieżąca i konsumpcja przyszła są doskonale
komplementarne, zatem optymalną strukturę konsumpcji można wyznaczyć rozwiązując
układ równań złożony z równania ograniczenia budżetowego oraz z równania optymalnej
proporcji konsumpcji, czyli c
1
= c
2
. Równanie ograniczenia budżetowego w kategoriach
wartości przyszłej ma postać
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
1
440
1
,
1
1
m
m
r
c
c
c
c
r
+
+
=
=
+
=
+
+
. Podstawiając za
c
2
do równania ograniczenia budżetowego c
1
, otrzymujemy 2,1c
1
= 440, czyli optymalna
konsumpcja w okresie bieżącym wynosi
1
,
2
440
, zaś
220
2
440
1
,
2
440
2
,
2
440
200
=
<
<
=
.
4. Obrazy Vincenta van Dogha nie są obecnie w cenie u koneserów sztuki. Prawdę
mówiąc, żaden z nich nie jest skłonny zapłacić ani centa za działa van Dogha. Jednak, co
wiemy z całą pewnością, za 5 lat obrazy van Dogha zaczną się cieszyć olbrzymią
popularnością. Kolekcjonerzy sztuki będą zawsze skłonni płacić 1
000 dol. tylko za to,
aby obraz van Dogha wisiał przez rok na ścianie ich galerii. Jeżeli dowiedzą się o tym
również inwestorzy, a stopa procentowa będzie stałą na poziomie r, wartość obrazu van
Dogha wzrośnie do:
a)
(
)
4
1
1
1000
r
r
+
dol.;
b)
−
r
r
500
1000
dol.;
c) 1000
(1 + r)
5
dol.;
d)
5
1000
r
dol.;
e)
r
200
dol.
Zadanie to rozwiążemy w dwóch etapach: najpierw zastanówmy się ile za cztery
lata będzie wart obraz przynoszący co roku dochód w wysokości 1
000 dol., jeżeli stopa
procentowa wynosi r; oczywiście tyle samo, ile depozyt bankowy przynoszący co roku
1
000 dol. przy stopie procentowej r, czyli
r
1000
dol. Następnie, ponieważ 1 dol.
otrzymany za 4 lata jest warty obecnie
(
)
4
1
1
r
+
dol., zatem obraz, który za 4 lata będzie
warty
r
1000
dol. musi dzisiaj kosztować
(
)
4
1
1
1000
r
r
+
dol.
5. Wartość obecnego majątku Harvey’a wynosi 600 dol., ale z prawdopodobieństwem
0,25 może on stracić 100 dol. Harvey jest obojętny (neutralny) względem ryzyka i ma
możliwość zakupienia polisy ubezpieczeniowej, która wypłaci mu 100 dol. w przypadku
wystąpienia wyżej opisanej straty.
a) Harvey będzie skłonny zapłacić nieco ponad 25 dol. za tą polisę;
b) Harvey będzie skłonny zapłacić co najwyżej 25 dol. za tą polisę;
c) Ponieważ Harvey jest obojętny względem ryzyka, zatem nie będzie chciał nic płacić
za taką polisę;
d) Ponieważ nie znamy funkcji użyteczności Harvey’a, zatem nie jesteśmy w stanie
powiedzieć, ile Harvey będzie skłonny zapłacić za tą polisę;
e) Harvey będzie skłonny zapłacić nie więcej niż 16,67 dol. za tą polisę.
Skoro Harvey jest obojętny względem ryzyka, więc uważa wszystkie rozkłady majątku
o takiej samej wartości oczekiwanej (średniej) za tak samo dobre. Ponieważ pełne
ubezpieczenie gwarantuje Harvey’owi majątek o wartości równej wartości oczekiwanej
tylko w przypadku, gdy nie musi on nic płacić za polisę ubezpieczeniową, zatem Harvey
nie będzie skłonny zapłacić ani centa za ubezpieczenie.
6. Aktywa wolne od ryzyka przynoszą stopę zwrotu w wysokości 5%. Inne aktywa
przynoszą średnią stopę zwrotu 15%, ale odchylenie standardowe stopy zwrotu wynosi
5%. Inwestor rozważa inwestycję w portfel złożony z pewnej ilości obu aktywów. Na
wykresie z odchyleniem standardowym odłożonym na osi poziomej i średnią stopą
zwrotu na osi pionowej, linia budżetu przedstawiająca różne możliwe kombinacje
średniej stopy zwrotu i odchylenia standardowego portfela zawierającego te dwa aktywa:
a) jest linią prostą o nachyleniu 2;
b)
jest linią prostą o nachyleniu
−
3;
c) jest linią o rosnącym nachyleniu w miarę jak poruszamy się wzdłuż niej na prawo;
d)
jest linią prostą o nachyleniu
−
1;
e)
jest linią prostą o nachyleniu
−
1/3.
Linia budżetu przechodzi w tym przypadku przez punkty (
σ
f
, r
f
) = (0, 5) i (
σ
m
, r
m
) =
(5, 15). Ogólny wzór linii budżetu możemy zapisać jako r
x
= a + b
σ
x
, gdzie a oznacza
wyraz wolny (punkt przecięcia z osią pionową), zaś b jest współczynnikiem kierunkowym
(nachyleniem). Podstawiając współrzędne tych dwóch punktów do równania ograniczenia
budżetowego, otrzymujemy układ równań:
5 = a + b0;
15 = a + b5.
Z rozwiązania tego układu równań otrzymujemy a = 5 i b = 2.
Alternatywnie, nachylenie linii budżetu znane jest jako cena ryzyka, która dana
jest wzorem
2
=
−
m
f
m
r
r
σ
.
KWWS QRWDWHNSO]DGDQLD]PLNURHNRQRPLL"QRWDWND