OBWODY ELEKTRYCZNE

i

Teoria Obwodów 1

Kurs powtórkowy

Kurs powtórkowy

Sierpie

ń

 2011

Sierpie

ń

 2011

w1

w1

Obwody elektryczne i Teoria 

obwodów 1

• Dr in

Ŝ

.. Adam Guba

ń

ski

• Pok. 205/7 D1

• eportal.eny.pwr.wroc.pl

Wykład

Cel zaj

ęć

 :

Umiej

ę

tno

ść

 obliczania stanu ustalonego w obwodach RLC przy wymuszeniu 

sinusoidalnym z wykorzystaniem: równa

ń

 Kirchhoffa, zasady superpozycji,

metody pr

ą

dów oczkowych, metody potencjałów w

ę

złowych., twierdzenia Thevenina.  

Rozwi

ą

zywanie obwodów ze sprz

ęŜ

eniem magnetycznym. 

Wyznaczanie parametrów czwórników. Rozwi

ą

zywanie obwodów trójfazowych. 

Składowe symetryczne- zagadnienia wst

ę

pne.

Zawarto

ść

 kursu:

Liniowy obwód elektryczny przy wymuszeniu

sinusoidalnym. Metoda symboliczna. 

Prawa i twierdzenia teorii obwodów w zapisie symbolicznym. Wykresy wskazowe. 
Moc zespolona. Rezonans. Obwody ze sprz

ęŜ

eniem magnetycznym. 

Czwórniki. Układy trójfazowe. Metoda składowych symetrycznych. 

Obwody elektryczne

Literatura podstawowa:

1. S. Osowski, K. Siwek, M. 

Ś

miałek – Teoria Obwodów, Oficyna Wydawnicza 

2. Politechniki Warszawskiej, 2006.
2. S. Bolkowski - Teoria Obwodów Elektrycznych -WNT 1995 ;
3. Opracowania  wewn

ę

trzne Zakładu Elektrotechniki Teoretycznej

Literatura uzupełniaj

ą

ca:

M. Uruski, W. Wolski - Teoria Obwodów  t. I, II - skrypt P.Wr.
K. Mikołajuk, Z. Trzaska - Elektrotechnika Teoretyczna - PWN 1984
J. Osiowski, J. Szabatin - Podstawy Teorii Obwodów  t. I, II - WNT 1992  - 1995

Warunki zaliczenia: egzamin 
1 termin:  30.08.2011, godz. 10:00
2 termin:   13.09.2011, godz. 11:00

Sale 104 i 28 bud. D1

Obwody elektryczne

Teoria obwodów stanowi jedn

ą

 z dziedzin elektrotechniki zajmuj

ą

c

ą

 si

ę

 stron

ą

teoretyczn

ą

 zjawisk wyst

ę

puj

ą

cych w obwodach elektrycznych, 

w tym metodami analizy rozpływu pr

ą

dów i rozkładu napi

ęć

 w obwodzie w 

stanie ustalonym i nieustalonym. 
Przyjmuje si

ę

, 

Ŝ

e no

ś

nikami elektryczno

ś

ci s

ą

 cz

ą

stki elementarne: 

elektrony i protony. 
W przypadku przewodników elektrycznych najwa

Ŝ

niejsz

ą

 rol

ę

 odgrywaj

ą

 

elektrony swobodne, stanowi

ą

ce trwałe no

ś

niki ujemnego ładunku q, 

wyzwolone z przyci

ą

gania j

ą

dra atomu oraz jony, stanowi

ą

ce cz

ą

steczki naładowane

dodatnio lub ujemnie. 
Elektron ma ładunek elektryczny równy e = −1,602 176 487(40)·10

−19

C

i mas

ę

 spoczynkow

ą

 m

e 

≈

 9,10938·10

−31

kg

Pr

ą

d elektryczny powstaje jako uporz

ą

dkowany ruch ładunków elektrycznych i

jest uto

Ŝ

samiany w teorii obwodów z poj

ę

ciem nat

ęŜ

enia pr

ą

du elektrycznego. 

Jest wielko

ś

ci

ą

 skalarn

ą

, a jej jednostk

ą

 w układzie SI jest amper (A). 

Ka

Ŝ

demu punktowi w 

ś

rodowisku przewodz

ą

cym pr

ą

d elektryczny mo

Ŝ

na 

przyporz

ą

dkowa

ć

 pewien potencjał mierzony wzgl

ę

dem punktu odniesienia. 

Ró

Ŝ

nica potencjałów mi

ę

dzy dwoma punktami tego 

ś

rodowiska nazywana jest 

napi

ę

ciem elektrycznym. Jednostk

ą

 napi

ę

cia elektrycznego jest volt (V). 

Obwody elektryczne

0

0

0

lim

A

A

q

A

dW

V

E d l

q

∞

∞

→

=

=

∫

∫

B

B

AB

A

B

A

A

A

B

U

E dl

E dl

E d l

E d l

E dl

V

V

∞

∞

∞

∞

=

=

+

=

−

=

−

∫

∫

∫

∫

∫

E

dl

AB

U

A

B

( )

dq

i t

dt

=

Obwody elektryczne

Obwód elektryczny słu

Ŝ

y do przekazywania energii 

elektrycznej ze 

ź

ródeł energii do odbiorników.

Za obwód elektryczny b

ę

dziemy uwa

Ŝ

a

ć

 takie 

poł

ą

czenie elementów, które umo

Ŝ

liwia przepływ 

pr

ą

du. 

• Z teori

ą

 obwodów zwi

ą

zane jest poj

ę

cie sygnału.

• Rozró

Ŝ

niamy sygnały:

• - napi

ę

ciowe ( napi

ę

cia ), u(t)

• - pr

ą

dowe ( pr

ą

dy ), i(t)

• - elektromagnetyczne ( fale elektromagnetyczne )

• i wiele innych. 

Obwody elektryczne

• Je

Ŝ

eli rozmiary obwodu s

ą

 małe w porównaniu z 

długo

ś

ci

ą

 fali elektromagnetycznej sygnału to 

wówczas mówimy, ze obwód ma skupione 
elementy ( parametry ) – pomijamy rozmiary 
geometryczne elementu.

• np. dla 50 Hz długo

ść

 fali                               i 

obwody o rozmiarach rz

ę

du kilkunastu 

kilometrów mo

Ŝ

na uwa

Ŝ

a

ć

 za skupione.

• Linie energetyczne o długo

ś

ci setek kilometrów 

stanowi

ą

 obwody o tzw. parametrach 

rozło

Ŝ

onych – musimy wówczas uwzgl

ę

dni

ć

 

rozmiary geometryczne.

km

f

c

6000

≈

⋅

=

λ

Obwody elektryczne

Obwody elektryczne charakteryzuj

ą

 si

ę

 okre

ś

lon

ą

 budow

ą

 

tzw. struktur

ą

.

W strukturze obwodu wyró

Ŝ

nia si

ę

:

• oczka

• gał

ę

zie

• w

ę

zły.

Gał

ę

zie utworzone s

ą

 z elementów obwodu.

• Elementem obwodu jest jego cz

ęść

 niepodzielna pod 

wzgl

ę

dem funkcjonalnym, bez utraty  cech 

charakterystycznych.

• Elementami s

ą

 np. oporniki, kondensatory, cewki, 

akumulatory itp.

Obwody elektryczne

Elementy dzielimy na:
- aktywne
-pasywne.

Element aktywny wytwarza energi

ę

 kosztem innej postaci energii:

- mechanicznej – generator
- chemicznej – ogniwo, akumulator
- słonecznej – ogniwa fotowoltaiczne
- itd.
Elementy pasywne:
- zachowawcze- akumuluj

ą

ce ( cewka, kondensator )

- rozpraszaj

ą

ce ( rezystor ).

Elementy posiadaj

ą

 zaciski słu

Ŝą

ce do doprowadzania sygnału, 

dwu-, trzy-, cztery lub wi

ę

cej zaciskowe.( dwójniki, trójniki, 

czwórniki, itd. )

Obwody elektryczne

a

V

b

V

i

u

b

a

ab

V

V

u

u

−

=

=

Elementy pasywne, dwu zaciskowe - strzałkowanie
Napi

ę

cie i pr

ą

d strzałkuje si

ę

 przeciwsobnie ( nasza umowa ).

Na elemencie pasywnym zawsze

∫

∞

−

≥

t

uidt

0

Obwody elektryczne

Przykłady elementów pasywnych:

• Opornik, rezystor  - opisuje si

ę

 zale

Ŝ

no

ś

ci

ą

 

mi

ę

dzy u i i ( sygnały )

i

u

R

u

i

α

R

tg

=

α

Liniowy - u =R i   R – parametr zwany rezystancj

ą

 lub oporem 

( Ohm )

- kondunktancja, przewodno

ść

                   ( Simens )

[ ]

Ω

=

1

R

G

R

=

1

[ ]

S

G

1

=

Obwody elektryczne

Nie zawsze element rezystancyjny musi mie

ć

 charakterystyk

ę

 liniow

ą

 ( np. 

warystor )

Obwody elektryczne

Najcz

ęś

ciej opornik jest wykonywany z metalowego drutu. 

Je

Ŝ

eli drut ma długo

ść

 l, pole przekroju poprzecznego S i

rezystancj

ę

 wła

ś

ciw

ą

 ( rezystywno

ść

 ) 

ρ

, to rezystancja 

opornika jest wprost proporcjonalna do l i 

ρ

, a odwrotnie 

proporcjonalna do S,  st

ą

d R=

ρ

l/S.

Obwody elektryczne

Wartość 

MnoŜnik 

Tolerancja 

Współczynnik 

temp.  ± ppm/K 

Kolor 

1 pasek 

2 pasek 

3 pasek 

4 pasek 

Ostatni pasek 

brak 

 

 

 

20 

 

srebrny 

 

 

0,01 Ω 

10 

 

złoty 

 

 

0,1 Ω 

5 

 

czarny 

0 

0 

x 1 Ω 

20 

200 

brązowy 

1 

1 

x 10 Ω 

1 

100 

czerwony 

2 

2 

x 100 Ω 

2 

50 

pomarańczowy 

3 

3 

x 1 kΩ 

3 

15 

Ŝ

ółty 

4 

4 

x 10 kΩ 

0,1 

25 

zielony 

5 

5 

x 100 kΩ 

0,5 

 

niebieski 

6 

6 

x 1 MΩ 

0,25 

10 

fioletowy 

7 

7 

x 10 MΩ 

0,1 

5 

szary 

8 

8 

 

0,05 

1 

biały 

9 

9 

 

 

 

 

Obwody elektryczne

Uwagi:
- pasków lub kropek jest trzy, cztery, pi

ęć

 lub sze

ść

 

je

ś

li jest ich trzy, to wszystkie trzy oznaczaj

ą

 oporno

ść

 

(w tym trzeci oznacza mno

Ŝ

nik), a tolerancja wynosi ±20%

je

ś

li jest ich cztery, to trzy pierwsze oznaczaj

ą

 (tak jak w przypadku powy

Ŝ

ej) 

oporno

ść

, a czwarty – tolerancj

ę

je

ś

li jest ich pi

ęć

, to trzy pierwsze oznaczaj

ą

 cyfry oporno

ś

ci, czwarty mno

Ŝ

nik, 

a pi

ą

ty tolerancj

ę

je

ś

li jest ich sze

ść

, to jest to opornik precyzyjny i trzy pierwsze oznaczaj

ą

 cyfry 

oporno

ś

ci, czwarty – mno

Ŝ

nik, pi

ą

ty – tolerancj

ę

, szósty – temperaturowy współczynnik 

rezystancji (ten pasek mo

Ŝ

e znajdowa

ć

 si

ę

 na samym brzegu opornika)

pierwsz

ą

 cyfr

ę

 oznacza pasek bli

Ŝ

szy ko

ń

ca, a mi

ę

dzy mno

Ŝ

nikiem i

tolerancj

ą

 jest czasem wi

ę

kszy odst

ę

p

stare oporniki s

ą

 oznakowane: 

1 cyfra – kolor opornika
2 cyfra – kolor paska
mno

Ŝ

nik – kolor kropki

Obwody elektryczne

Szereg warto

ś

ci - warto

ś

ci nominalne ("znamionowe") rezystancji oporników i 

Pojemno

ś

ci kondensatorów produkowanych seryjnie pochodz

ą

 z ustalonej w tym celu 

tabeli szeregów.

Obwody elektryczne

[ ]

Wb

1

=

Ψ

i

u

dt

d

u

Ψ

=

L

Cewka, zwojnica – opisuje si

ę

 sygnałami 

Ψ

, i  ( 

Ψ

=w

Φ

)                            Weber

Cewka, zwana inaczej induktorem, nale

Ŝ

y do klasy elementów pasywnych.

Ma ona zdolno

ść

 gromadzenia energii w polu magnetycznym. Cewce idealnej 

przypisuje si

ę

 tylko jedn

ą

 wła

ś

ciwo

ść

, zwan

ą

 indukcyjno

ś

ci

ą

 własn

ą

(w skrócie indukcyjno

ś

ci

ą

) i oznacza liter

ą

L. Dla cewki liniowej indukcyjno

ść

 

definiuje si

ę

 jako stosunek strumienia Y skojarzonego z cewk

ą

 do pr

ą

du płyn

ą

cego

przez ni

ą

, to znaczy 

Dla liniowej  

Ψ

=L i   , L – parametr - indukcyjno

ść

 własna                                 Henr

[ ]

H

L

1

=

Napi

ę

cie cewki wyra

Ŝ

ane jest jako pochodna strumienia wzgl

ę

dem 

czasu

Obwody elektryczne

dt

di

L

dt

d

w

u

=

Φ

=

W przypadku cewki liniowej, dla której strumie

ń

 jest iloczynem 

pr

ą

du i indukcyjno

ś

ci,            , relacja napi

ę

ciowo-pr

ą

dowa 

upraszcza si

ę

 do postaci

Jest to element zachowawczy

2

2

1

,

'

1

Li

W

idt

L

i

t

L

∫

∞

−

=

=

gdzie w – liczba zwoi w cewce

Obwody elektryczne

drut

cylinder

Linia 2-przewodowa

Kabel koncentryczny

P

ę

tla kołowa

selenoid

toroid

płyta

Obwody elektryczne

Zauwa

Ŝ

my, 

Ŝ

e przy stałej warto

ś

ci indukcyjno

ś

ci i pr

ą

du cewki, napi

ę

cie na niej 

jest równe zeru, gdy

Ŝ

 pochodna stałej wzgl

ę

dem czasu jest równa zeru. 

St

ą

d cewka w stanie ustalonym obwodu, przy pr

ą

dzie stałym zachowuje si

ę

 jak 

zwarcie (napi

ę

cie mi

ę

dzy ko

ń

cówkami elementu jest równe zeru).

Interesuj

ą

ce zjawiska powstaj

ą

 w układzie dwóch cewek poło

Ŝ

onych blisko siebie, 

w których zachodzi wzajemne przenikanie si

ę

 strumieni magnetycznych. 

Je

ś

li dwie cewki o indukcyjno

ś

ciach własnych i s

ą

 tak usytuowane, 

Ŝ

e strumie

ń

 

wytworzony przez jedn

ą

 z nich przenika drug

ą

, to takie cewki nazywamy sprz

ęŜ

onymi

magnetycznie. 

∗

∗

M

1

L

2

L

1

u

2

u

1

i

2

i

Obwody elektryczne

Obok indukcyjno

ś

ci własnej, dla cewek sprz

ęŜ

onych wprowadza si

ę

 poj

ę

cie

indukcyjno

ś

ci wzajemnej M

gdzie 

Ψ

21

oznacza strumie

ń

 skojarzony z cewk

ą

 drug

ą

, wytworzony przez pr

ą

d 

płyn

ą

cy w cewce pierwszej, a 

Ψ

12

– strumie

ń

 skojarzony z cewk

ą

 pierwsz

ą

, 

wytworzony przez pr

ą

d płyn

ą

cy w cewce drugiej. 

Jednostk

ą

 indukcyjno

ś

ci wzajemnej jest henr.

Istnienie sprz

ęŜ

enia magnetycznego powoduje indukowanie si

ę

 napi

ęć

 na cewce 

pierwszej wskutek zmian pr

ą

du płyn

ą

cego w cewce drugiej (i na odwrót). 

Zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej napi

ę

cia obu cewek wytworzone 

na skutek indukcji wzajemnej okre

ś

lone s

ą

 wzorami

21

12

1

2

M

i

i

Ψ

Ψ

=

=

1

2

1

1

di

di

u

L

M

dt

dt

=

±

2

1

2

2

di

di

u

L

M

dt

dt

=

±

Obwody elektryczne

Znak plus lub minus wyst

ę

puj

ą

cy we wzorze zale

Ŝ

y od rodzaju sprz

ęŜ

enia:

( + ) - sprz

ęŜ

enie zgodne ( dodatnie ) 

( - ) - sprz

ęŜ

enie przeciwne ( ujemne ).

W tym celu wprowadza si

ę

 poj

ę

cie zacisków jednakoimiennych ( * )

Je

Ŝ

eli pr

ą

dy do zacisków jednakoimiennych jednocze

ś

nie wpływaj

ą

 lub 

wypływaj

ą

 to strumie

ń

 własny i wzajemny si

ę

 dodaj

ą

 . Wtedy istnieje 

sprz

ęŜ

enie dodatnie

Z powy

Ŝ

szych zale

Ŝ

no

ś

ci wynika, 

Ŝ

e w elementach sprz

ęŜ

onych magnetycznie 

energia elektryczna mo

Ŝ

e by

ć

 przekazywana z jednego elementu do drugiego 

za po

ś

rednictwem pola magnetycznego. Co wi

ę

cej, nawet przy braku

przepływu pr

ą

du przez cewk

ę

, mo

Ŝ

e na niej pojawi

ć

 si

ę

 napi

ę

cie pochodz

ą

ce 

ze sprz

ęŜ

enia magnetycznego od cewki drugiej.

Obwody elektryczne

[ ]

C

q

1

=

Kondensator – opisuje si

ę

 sygnałami u i q                   Culomb

Kondensator jest elementem pasywnym w którym mo

Ŝ

e gromadzi

ć

 si

ę

 energia 

w polu elektrycznym. Kondensatorowi idealnemu przypisuje si

ę

 tylko jedn

ą

 

wła

ś

ciwo

ść

, zwan

ą

 pojemno

ś

ci

ą

C. W przypadku kondensatora liniowego 

pojemno

ść

 jest definiowana jako stosunek ładunku q zgromadzonego w

kondensatorze do napi

ę

cia mi

ę

dzy okładkami tego kondensatora

Dla liniowego q = C u   C – parametr – pojemno

ść

                  Farad

Jest to element zachowawczy 

[ ]

F

C

1

=

2

2

1

,

'

,

'

Cu

W

idt

q

idt

D

u

t

C

t

∫

∫

∞

−

∞

−

=

=

=

D

C

=

1

i

u

dt

dq

i

=

C

. Zale

Ŝ

no

ść

 wi

ąŜą

ca napi

ę

cie i pr

ą

d kondensatora

dana jest w postaci równania ró

Ŝ

niczkowego 

Podobnie jak w przypadku cewki, je

ś

li napi

ę

cie na 

zaciskach kondensatora jest stałe, to jego pr

ą

d jest 

równy zeru (pochodna stałej wzgl

ę

dem czasu 

jest równa zeru). Kondensator zachowuje si

ę

 wtedy

jak przerwa (mimo istnienia napi

ę

cia pr

ą

d nie płynie).

elastancja

Obwody elektryczne

Tak przedstawione elementy s

ą

 wyidealizowane – idealne

idealne 

 

 

 

rzeczywisty 

 

L

R

L

 

C

u

R

 

 

Obwody elektryczne

•

Gał

ąź

 – zbiór tak poł

ą

czonych elementów, tak 

Ŝ

e na zewn

ą

trz 

wyprowadzone s

ą

 tylko dwa zaciski zwane w

ę

złami – ko

ń

cówkami 

gał

ę

zi.

•

W

ę

zeł sieci to ko

ń

cówka gał

ę

zi do której mog

ą

 by

ć

 podł

ą

czone inne 

gał

ę

zie  ( 1, 2, 3 itd. )

•

Najprostsze poł

ą

czenia gał

ę

zi to:

•

szeregowe 

3

R

1

R

1

i

2

R

2

i

3

i

 

Płynie ten sam 
prąd 

3

2

1

i

i

i

i

=

=

=

 

równoległe 

u

1

G

2

G

3

G

 

Na kaŜdej 
gałęzi jest to 
samo napięcie 

3

2

1

u

u

u

u

=

=

=

 

 

Oczkiem obwodu nazywamy zbiór gał

ę

zi tworz

ą

cych drog

ę

 zamkni

ę

t

ą

 i o takiej 

własno

ś

ci, 

Ŝ

e po usuni

ę

ciu dowolnej gał

ę

zi pozostałe nie tworz

ą

 drogi zamkni

ę

tej.

Obwód rozgał

ęź

ny - zawiera wi

ę

cej ni

Ŝ

 jedno oczko.

Obwody elektryczne

Elementy aktywne –

ź

ródła

Idealne, niesterowalne

napięciowe 

E

E

+
−

 

u

i

E

 

prądowe 

zr

I

 

u

i

zr

I

 

 

Obwody elektryczne

Ź

ródła sterowane

Ź

ródło napięciowe sterowane prądowo 

1

i

1

ri

 

Ź

ródło napięciowe sterowane napięciowo 

1

u

1

u

µ

 

Ź

ródło prądowe sterowane napięciowo 

1

u

1

qu

 

Ź

ródło prądowe sterowane prądowo 

1

i

1

i

α

 

 

Obwody elektryczne

Wielko

ś

ci r, µ oraz q i 

α

stanowi

ą

 współczynniki 

proporcjonalno

ś

ci mi

ę

dzy wielko

ś

ci

ą

 steruj

ą

c

ą

 i 

sterowan

ą

 tych 

ź

ródeł. Przyjmuj

ą

 one najcz

ęś

ciej 

warto

ś

ci rzeczywiste, cho

ć

 w ró

Ŝ

nego rodzaju modelach 

mog

ą

 by

ć

 równie

Ŝ

 opisane liczb

ą

 zespolon

ą

. Nale

Ŝ

y 

nadmieni

ć

, 

Ŝ

e 

ź

ródła sterowane stanowi

ą

 bardzo 

popularne modele wielu elementów elektrycznych i 
elektronicznych, takich jak transformatory idealne, 
maszyny elektryczne, tranzystory bipolarne i polowe, 

wzmacniacze operacyjne napi

ę

ciowe i pr

ą

dowe, itp.

Obwody elektryczne

Prawa Kirchhoffa

Pr

ą

dowe Prawo Kirchoffa ( PPK )

0

n

n

i

± =

∑

1

2

3

4

5

0

i

i

i

i

i

+ + − − =

Obwody elektryczne

Napi

ę

ciowe Prawo Kirchoffa ( NPK ):

Suma napi

ęć

 i sił elektromotorycznych w ka

Ŝ

dym oczku obwodu 

elektrycznego jest równa zeru.

0

k

k

k

u

E

± ±

=

∑

1

u

2

u

3

u

4

u

4

E

1

2

3

4

4

0

u

u

u

u

E

+ + − +

=

Obwody elektryczne

Sygnały sinusoidalne, zwane równie

Ŝ

 harmonicznymi, s

ą

 opisane w dziedzinie 

czasu nast

ę

puj

ą

cym wzorem (w opisie przyj

ę

to oznaczenie sygnału 

napi

ę

ciowego)

•

u(t) - warto

ść

 chwilowa napi

ę

cia,

•

U

m

- warto

ść

 maksymalna (szczytowa) napi

ę

cia, zwana równie

Ŝ

 

amplitud

ą

,

•

ψ

- faza pocz

ą

tkowa napi

ę

cia odpowiadaj

ą

ca chwili t=0,

•

ω

t+

ψ

- k

ą

t fazowy napi

ę

cia w chwili t,

•

ω

= 2

Π

f - pulsacja mierzona w radianach na sekund

ę

,

•

f =1/T - cz

ę

stotliwo

ść

mierzona w hercach (Hz),

•

T - okres przebiegu sinusoidalnego.

( )

sin(

)

m

u t

U

t

ω

=

+ Ψ

Obwody elektryczne

UWAGA: Warto

ś

ci chwilowe sygnałów b

ę

dziemy oznacza

ć

 mał

ą

 liter

ą

, a warto

ś

ci 

maksymalne, skuteczne i wielko

ś

ci operatorowe du

Ŝą

.