22.05.2013r.
Sterowanie Cyfrowe
"Projekt układu sterowania dla zadaniej transmitancji"
Piotr Przybylski
Nr indeksu 133811
Mechatronika Sem VI
Grupa dziekańska III
22.05.2013r.
Sterowanie Cyfrowe
"Projekt układu sterowania dla zadaniej transmitancji"
Piotr Przybylski
Nr indeksu 133811
Mechatronika Sem VI
Grupa dziekańska III
Dla danej transmitancji obiektu sterowania G(s):
G (s)=35
s+0.3
0.15s
3
+
0.4s
2
+
0,7 s
1. Narysuj wykres Bode’a określić zapas modułu i fazy oraz położenie
pierwiastków (RLOCUS) układu otwartego.
2. Odpowiedź skokowa.
3. Narysuj wykres RLOCUS, gdy układ jest w jednostkowej pętli sprzężenia
zwrotnego.
4. Odpowiedź skokowa.
5. Stosując metodę częstotliwościową określić zapas modułu i fazy.
6. Zaprojektować kompensator bazując na metodzie czestotliwościowej i root
locus. Czas Ts=6s, Tr=2 s, przesterowanie do 20%, zapas fazy >40 stopni.
Odpowiedź skokowa układu.
7. Wykonać dyskretyzację układu za pomocą wybranej metody dla wybranego
okresu próbkowania Tp, i wykreślić odpowiedź skokową oraz obliczyć
parametry układu zamkniętego (parametry stanowiące wymagania jakościowe
układu regulacji) określone przez:
czas ustalania ts
czas narastania tr
przesterowania Mp(over shoot)
Obliczyć uchyb statyczny (steady state) i uchyb na sygnał rampy.
8. Podać krótkie opisy dla użytych metod i (ważne!) wnioski wynikające z
analizy wykresów. Sposób podejmowania decyzji projektowych.
1.Wykres Bode'a oraz RLOCUS układu otwartego:
Zapas modułu: nieskończony
Zapas fazy : 8.95 stopnia
Położenie pierwiastków: lewa półpłaszczyzna zespolona
2.Odpowiedź skokowa układu otwartego
3. Wykres RLOCUS układu w jednostkowej pętli sprzężenia
zwrotnego
4.Odpowiedź skokowa układu ze sprzężeniem zwrotnym
5. Określenie zapasu modułu oraz fazy
Określenia zapasu fazy oraz modułu stosując metodę częstotliwościową dokonuje się
poprzez analizę wykresów Bode'a układu otwartego. Zatem:
Zapas modułu: nieskończony
Zapas fazy : 8.95 stopnia
6. Wykres Bode'a i odpowiedź skokowa układu z
kompensatorem
Przesterowanie układu wynosi 19% i mieści się w zadanych 20%. Czas narastania Tr
wynosi w przybliżeniu 0.1 s, natomiast czas Ts można ocenić na niecałe 5 sekund, a
zapas fazy wynosi 52.1 stopnia co spełnia kryterium większego niż 40 stopni.
7. Odpowiedź skokowa układu dyskretnego
Czas próbkowania tp=0.001s
Czas narastania definiowany jest jako czas potrzebny do wzrostu odpowiedzi skokowej
układu od 10% do 90% wartości ustalonej.
Zatem:
t
r
=
t
90
−
t
10
=
0.097s−0.022s=0.075s
< 2 s
Czas ustalania definiowany jako czas potrzebny do tego aby przejściowa odpowiedź
skokowa znalazła sie i pozostała przy wartości równej ±1% wartości ustalonej.
Zatem:
t
s
=
t
99
=
4.7s < 6 s
Przesterowanie definiowane jest jako różnica maksymalnej wartości odpowiedzi na skok i
wartości odpowiedzi w stanie ustalonym.
Zatem:
M
p
=
y
max
−
y
t
=
1.19−1=0.19
Procentowo:
M
%p
=
M
p
y
t
∗
100 % = 19% < 20%
Uchyb statyczny jest to różnica między wartością zadaną sygnału oraz wartością sygnału
wyjściowego w stanie ustalonym.
Zatem:
e
ss
=
1
lim (
2.36s+13.7
s+32.37
)(
35
s+0.3
0.15s
3
+
0.4s
2
+
0.7s
)
=
1
∞ =0
Uchyb na sygnał rampy
e
sr
=
1
lim (
2.36s+13.7
s+32.37
)(
s⋅35
s+0.3
0.15s
3
+
0.4s
2
+
0.7s
)
e
sr
=
1
lim (
2.36s+13.7
s+32.37
)(
s
35s+10.5
s(0.15s
2
+
0.4s+0.7)
)
e
sr
=
1
lim ((
2.36s+13.7
s+32.37
)
35s+10.5
0.15s
2
+
0.4s+0.7
)
=
1
13.7⋅10.5
32.37⋅0.7
=
22.7
144.3
=
0.157
8. Krótkie opisy i wnioski
W metodzie częstotliwościowej bazujemy na wykresie Bode'a układu otwartego i na
podstawie niego jesteśmy w stanie określić zapas fazy i zapas amplitudy (modułu).
W przypadku gdy zapas fazy jest ujemny, układ jest niestabilny. Gdy nie mamy
wystarczającego, wymaganego zapasu fazy stosujemy kompesator Lead
(wyprzedzający). Poprzez włączenie go szeregowo w układ, otrzymujemy wyższy
zapas fazy, oraz określone parametry czasu ustalania, narastania czy też
przesterowania.
W metodzie root locus bazujemy na wykresie Rlocus układu zamkniętego, czyli na
położeniu pierwiastków na płaszczyźnie zespolonej. Jeżeli pierwiastki leżą w prawej
półpłaszczyźnie zespolonej wykresu Rlocus to układ jest niestabilny, jeśli w lewej to
stabilny. Jeśli na osi to układ jest na granicy stabilności.
Wykresy odpowiedzi skokowej dają nam informacje na temat tego, w jaki sposób
układ reaguje na skok jednostkowy, czyli jaka jest jego odpowiedź właśnie na taki
sygnał.
Decyzje o zastosowaniu kompensatora podjąłem na podstawie wykresu Bode'a oraz
Rlocus, gdyż wymagany był zapas fazy większy niż 40 stopni, a układ bez
kompensatora zapewniał nam jedyne 9 stopni zapasu fazy. Dobierając wartości
współczynników kompensatora kierowałem się zmianami odpowiedzi na skok, oraz
zapasu fazy na wykresie Bode'a układu wraz z kompensatorem. Układ bez
kompensatora zapewniał mi dobry czas ustalania oraz narastania, jednak nie
zapewniał odpowiedniego zapasu fazy ani wartości przesterowania.
Wnioski:
–
odpowiedź skokowa układu otwartego nie daje nam wiele informacji
–
głównym ich źródłem w przypadku układu otwartego jest wykres Bode'a
–
określenie zapasu fazy oraz amplitudy jest pomocne na każdym etapie
projektowania
–
odpowiedź na skok układu ze sprzężeniem zwrotnym może świadczyć o jego
stabilności
–
kompensacja pozwala nam spełniać założenia projektowe
–
wykres odpowiedzi na skok w przypadku układu dyskretnego bardzo zależy
od czasu próbkowania
–
możemy uzyskać wykres bardzo "schodkowy" przy większym czasie
próbkowania i bardzo zbliżony do układu ciąglego w przypadku małych
czasów próbkowania, czyli zmniejszając czas próbkowania otrzymujemy
większą dokładność
–
wprowadzając kompensator jesteśmy w stanie otrzymać lepsze parametry
przesterowania, zapasu fazy oraz czasów ustalania i narastania układu