1
Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej nieosobliwej
Na ogół nie ma sensu mówić o iloczynie macierzy A, B. Także nie można dzielić macie-
rzy. Zanim podamy jak dzielić macierze musimy zdefiniować pojęcie macierzy odwrotnej do
macierzy kwadratowej nieosobliwej.
Definicja
Niech A = [a
i j
] będzie macierzą kwadratową stopnia n > 1.
Dopełnieniem algebraicznym wyrazu a
i j
macierzy A nazywamy liczbę
D
i j
= (–1)
i+j
det A
i j
,
gdzie A
i j
oznacza macierz stopnia n – 1 otrzymaną przez skreślenie i – tego wiersza
oraz j – tej kolumny macierzy A.
Mówiąc poglądowo: Niech A
n
będzie macierzą kwadratową. Najpierw z macierzy A
n
wyrzucamy (skreślamy) wiersz o numerze i oraz kolumnę o numerze j ( ten wiersz oraz ko-
lumnę wskazują wskaźniki wyrazu a
ij
). Otrzymujemy macierz rzędu n – 1, której wyznacznik
oznacza się det A
ij
. Ten wyznacznik mnożymy przez (-1)
i+j
; otrzymaną liczbę nazywa się
dopełnieniem algebraicznym wyrazu a
ij
macierzy A
n
.
Przykład 1.
Dopełnienie D
23
wyrazu a
23
macierzy A =
−
4
7
4
1
5
1
0
3
2
wyznaczamy następująco:
1. Skreślamy wiersz 2 i kolumnę 3 macierzy A i otrzymujemy macierz B =
7
4
3
2
,
2. Obliczamy wyznacznik macierzy B: det
7
4
3
2
= 14 – 12 = 2.
3. Obliczamy dopełnienie D
23
wyrazu a
23
: D
23
= (–1)
2+3
det
7
4
3
2
= – 2.
Definicja
Jeśli A
n
jest macierzą kwadratową nieosobliwą, to macierzą odwrotną A
n
-1
do macierzy
A
n
nazywamy macierz, która spełnia
warunek A
n
A
n
-1
= A
n
-1
A
n
= I
n
, gdzie I
n
jest
macierzą jednostkową wymiaru n.
Inaczej iloczyn macierzy danej i odwrotnej jest macierzą jednostkową.
2
Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej do danej nieosobliwej
Niech A
n
będzie macierzą kwadratową nieosobliwą (czyli det A
n
≠ 0).
1.
Obliczamy wyznacznik macierzy A
n
, czyli det A
n
.
2.
Wyznaczamy dopełnienia każdego wyrazu macierzy A
n
.
3.
Tworzymy macierz D otrzymanych dopełnień.
4.
Transponujemy macierz D ; otrzymujemy macierz D
T
.
5.
Dzielimy każdy wyraz macierzy D
T
przez det A
n
– otrzymujemy macierz A
n
-1
.
Inaczej mówiąc macierz odwrotną
A
n
-1
wyznaczamy ze związku
A
n
-1
=
n
A
det
1
D
T
.
Przykład 2.
Dana jest macierz A =
−
−
1
0
1
1
2
1
3
1
0
1.
Wyznacznik macierzy A, czyli det A = –6.
Wniosek A jest macierzą nieosobliwą. Istnieje zatem macierz A
-1
odwrotna do
macierzy A.
2.
Obliczamy dopełnienia wyrazów macierzy A:
D
11
= (–1)
1+1
1
0
1
2
−
= –2 ; D
12
= 0 ; D
13
= –2 ;
D
21
= 1 ; D
22
= –3 ; D
23
= 1;
D
31
= –5 ; D
32
= –3 ; D
33
= 1.
3.
Tworzymy macierze D i D
T
D =
−
−
−
−
−
1
3
5
1
3
1
2
0
2
; D
T
=
−
−
−
−
−
1
1
2
3
3
0
5
1
2
.
4.
Wyznaczamy macierz A
-1
=
n
A
det
1
D
T
= –
6
1
−
−
−
−
−
1
1
2
3
3
0
5
1
2
=
−
−
−
6
1
6
1
3
1
2
1
2
1
0
5
5
6
1
3
1
.
Można sprawdzić, że A A
-1
= I
3
(jest macierzą jednostkową stopnia 3).
3
Definicja
Niech A, B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia oraz det B ≠ 0.
A : B = A
⋅⋅⋅⋅
B
-1
.
Przykład 3.
Rozwiąż równanie X
⋅
−
−
4
3
1
1
=
−
−
4
3
1
2
.
Jest to równanie postaci X
⋅
A = B.
Skoro det A ≠ 0, to każdą ze stron tego równania mnożymy prawostronnie przez A
-1
(za-
stanów się dlaczego prawostronnie) bądź dzielimy przez A i otrzymujemy:
(X
⋅
A)
⋅
A
-1
= B
⋅
A
-1
.
Następnie X
⋅
(A
⋅
A
-1
) = B
⋅
A
-1
; X
⋅
I
2
= B
⋅
A
-1
; X = B
⋅
A
-1
.
Wystarczy zatem pomnożyć macierz B przez A
-1
, aby otrzymać macierz X.
Mamy: X
⋅
−
−
4
3
1
1
=
−
−
4
3
1
2
; X =
−
−
4
3
1
2
.
1
4
3
1
1
−
−
−
;
X =
−
−
4
3
1
2
.
−
−
1
3
1
4
; X =
−
−
1
0
1
5
.
Ćwiczenia
1. Wyznacz macierz odwrotną do danej.
a) [5] , b)
−
4
0
1
2
, c)
−
−
0
1
1
0
, d)
−
a
a
a
a
cos
sin
sin
cos
, e)
−
−
2
3
1
1
2
0
5
1
2
.
2. Rozwiąż równanie macierzowe wykorzystując operację odwracania macierzy.
a)
1
0
2
3
⋅
X =
−
−
1
0
1
5
, b)
−
3
2
1
2
⋅
X
⋅
−
2
0
1
1
=
−
0
2
5
3
,
c)
1
2
1
3
⋅
X
⋅
2
1
3
1
=
2
2
3
3
, d )
−
−
1
0
0
2
1
2
−
X
⋅
−
1
2
5
1
=
−
−
1
0
2
1
2
5
.