ĆWICZENIE NR
19
CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW
ELEKTRYCZNYCH
19.1. Cel ćwiczenia
Celem
ćwiczenia jest poznanie zasad cyfrowego przetwarzania sygnałów
oraz zalet i wad tego sposobu przetwarzania.
19.2. Teoretyczne podstawy pomiaru
19.2.1. Wprowadzenie
Obserwowany w ostatnim dwudziestoleciu szybki rozwój techniki kompute-
rowej - zarówno od strony narzędziowej (komputery osobiste o dużej mocy
obliczeniowej, cyfrowe procesory sygnałowe DSP, specjalizowane układy
scalone ASIC), jak i programowej (algorytm szybkiej transformaty Fouriera) -
sprawił, że konwencjonalne metody analogowego przetwarzania sygnałów są
zastępowane przetwarzaniem cyfrowym. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
(CPS) jest stosowane m.in. do linearyzacji charakterystyk czujników i
przeliczania wyników pomiarów na wybrane jednostki techniczne, obliczania
parametrów statystycznych i
kontroli wiarygodności, całkowania i
różniczkowania numerycznego, filtracji cyfrowej, obliczania szybkiej
transformaty Fouriera FFT i odwrotnej transformaty Fouriera IFFT,
wyznaczania autokorelacji i korelacji wzajemnej, wykreślania histogramu
gęstości amplitudowej sygnału. Układy cyfrowe wykazują szereg zalet
w stosunku do układów analogowych: nie występują w nich ani dryft parame-
trów ani szumy, cechują się wysoką dokładnością oraz zapewniają łatwą zmianę
parametrów, np. częstotliwości granicznej i nachylenia charakterystyki filtrów.
Do wad układów cyfrowych należy zaliczyć mniejszą szybkość działania i węż-
sze pasmo przenoszonych częstotliwości, co wynika głównie z ograniczonej
częstotliwości próbkowania przetwornika A/C.
Czujniki
przetwarzające wielkości fizyczne dostarczają zwykle sygnału
ciągłego x(t), który przez próbkowanie jest sprowadzany do postaci dyskretnego
286
szeregu czasowego próbek x(i
∆
t). Następnie - w procesie kwantyzacji -
próbkom nadawana jest dyskretna wartość liczbowa x
k
(i
∆
t). Sygnał
spróbkowany i skwantowany jest nazywany sygnałem cyfrowym. Rozdzielczość
i szybkość przetwarzania analogowo-cyfrowego ma zasadnicze znaczenie w
pomiarach cyfrowych. W
oscyloskopach cyfrowych stosuje się szybkie
przetworniki o częstotliwości próbkowania do 2 GS/s, ale o małej
rozdzielczości, zwykle 8-bitowe. W niektórych multimetrach cyfrowych można
wybierać liczbę wyświetlanych cyfr wyniku i np. przy rozdzielczości 4 1/2
cyfry (16 bitów) można wykonać 100 000 pomiarów na sekundę, a przy
rozdzielczości 8 1/2 cyfry (29 bitów) - tylko 6 pomiarów na sekundę.
Komputerowe karty pomiarowe są wyposażone najczęściej w przetworniki 12-
bitowe o częstotliwości próbkowania od 100...250 kS/s lub - znacznie droższe -
do 5 MS/s; produkowane są również przetworniki 16-bitowe o częstotliwości
100 kS/s.
19.2.2. Dyskretna transformata Fouriera
Sygnały mogą być analizowane w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Gdy
sygnał składa się z wielu składowych o różnych częstotliwościach,
wygodniejszą metodą jest analiza w dziedzinie częstotliwości. Do przejścia z
funkcji czasu na funkcję częstotliwości można wykorzystać przekształcenie
Fouriera, jeżeli sygnał spełnia warunki Dirichleta. W przypadku sygnału
okresowego otrzymuje się dyskretne widmo częstotliwościowe, a dla sygnału
nieokresowego - widmo ciągłe.
Pobieranie próbek z sygnału badanego może być dokonywane tylko w
skończonym przedziale czasu. Czas ten jest wyznaczony przez długość okna
pomiarowego (wycinającego). Jeżeli długość okna pomiarowego T
W
dobierzemy równą okresowi badanego sygnału T i zastosujemy okres
próbkowania T
S
= T
W
/M, to otrzymamy M próbek o wartościach: x(0), x(T
S
),
x(2T
S
),... x[(M-1)T
S
], które pozwolą ułożyć układ M równań, zawierających
poszukiwany, skończony szereg Fouriera. Rozwiązując ten układ równań
możemy obliczyć współczynniki tego szeregu, czyli składową stałą a
0
= A
0
oraz
N = M/2 - 1 harmonicznych, złożonych ze składowych a
n
, b
n
lub opisanych
przez amplitudę A
n
i fazę
ϕ
n
∑
∑
=
=
+
+
=
+
+
=
N
n
n
n
N
n
n
n
t
n
A
A
t
n
b
t
n
a
a
t
x
1
0
1
0
)
sin(
)
sin
cos
(
)
(
ϕ
ω
ω
ω
(19.1)
W praktyce współczynniki składowych harmonicznych wyznacza się
transformując M punktowy ciąg próbek x(mT
S
) w M punktowy ciąg dyskretny w
dziedzinie częstotliwości (dyskretna transformata Fouriera DFT)
287
X
X nf
x mT
e
X
X f
X M
f
n
W
S
m
M
j
nm
M
W
W
=
=
⋅
=
−
=
−
−
∑
(
)
(
)
( ), (
),..., [(
)
]
0
1
2
0
1
π
(19.2)
gdzie: n = 0, 1, 2, ..., M - 1, f
W
= 1/T
W
.
Odtworzenie szeregu czasowego próbek uzyskuje się przez odwrotną dyskretną
transformatę Fouriera
x mT
M
X nf
e
S
W
j
mn
M
n
M
(
)
(
)
=
⋅
=
−
∑
1
2
0
1
π
(19.3)
Do wyznaczenia amplitud i kątów fazowych N harmonicznych wystarczy
znajomość połowy ciągu X(nf
W
), gdyż druga połowa składa się z wartości
sprzężonych z pierwszą połową (z wyjątkiem X(M/2) = 0):
a
A
N
X
0
0
1
0
=
=
( )
(19.4)
(
)
( )
a
M
X
X
M
X
n
n
M n
n
=
+
=
−
1
2
Re
(19.5)
(
)
( )
n
n
M
n
n
X
M
X
X
M
j
b
Im
2
−
=
−
=
−
(19.6)
A
M
X
n
n
=
2
(19.7)
( )
ϕ
n
n
X
= − arg
(19.8)
gdzie n = 1, 2, ..., N.
Jeżeli liczba próbek jest równa potędze liczby 2, M = 2
l
, to można zasto-
sować algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT, który przykładowo dla
M = 1024 daje ponad 100-krotne zmniejszenie liczby wykonywanych mnożeń.
Widmo
częstotliwościowe sygnału X(nf
W
) jest przedstawiane w postaci
dwóch wykresów: widma amplitudy A
n
(f) i widma fazy
ϕ
n
(f). Rozdzielczość
częstotliwościowa tych widm wynosi f
W
i dla T
W
= T
1
równa się częstotliwości
podstawowej harmonicznej f
W
= 1/T
1
= f
1
. Jeżeli okno pomiarowe obejmuje
całkowitą liczbę p okresów sygnału T
W
= pT
1
, to wartość f
W
= 1/pT
1
= f
1
/p
zmniejsza się, czyli gęstość prążków w widmach rośnie. Możliwy jest wówczas
pomiar parametrów sub- i interharmonicznych. Szerokość okna T
W
= MT
S
= M/f
S
można powiększyć przez zwiększenie liczby próbek M lub/i zmniejszenie
częstotliwości próbkowania f
S
, przy czym obie te wielkości należy dobierać w
ten sposób, aby liczba okresów p była liczbą całkowitą. Z zależności T
W
= p/f
1
=
M/f
S
wynika wzór na f
S
W
S
Mf
p
Mf
f
=
=
1
(19.9)
288
Jeżeli liczba okresów w oknie nie jest całkowita, to rozdzielczość widma nie
stanowi podwielokrotności harmonicznej podstawowej i każdej harmonicznej
odpowiada kilka prążków widma (rys. 19.1). Dokładny pomiar tych harmonicz-
nych nie jest możliwy.
A
B
a
b
c
d
f
f
Rys. 19.1. Wpływ szerokości okna pomiarowego na kształt widma: A – szerokość okna równa
dwóm okresom sygnału, B - szerokość okna równa niecałkowitej liczbie okresów sygnału, a –
sygnał badany, b – wycięty ciąg próbek, c – sygnał przyjęty do obliczeń, d – wyznaczone widmo
19.2.3. Twierdzenie o próbkowaniu
Zgodnie z twierdzeniem Shannona-Kotielnikowa próbkowanie sygnału nie
spowoduje utraty informacji, przenoszonej przez harmoniczne tego sygnału
w paśmie od zera do interesującej nas częstotliwości granicznej f
g
, jeżeli
spełnione są dwa warunki:
• częstotliwość próbkowania f
S
jest większa od podwojonej częstotliwości f
g
,
• badany sygnał nie zawiera harmonicznych o częstotliwościach większych
od połowy częstotliwości próbkowania.
Zwykle stosuje się częstotliwość próbkowania f
S
= 2
λf
g
, gdzie
λ > 1 jest współ-
czynnikiem nadpróbkowania. Jeżeli jednak drugi warunek nie jest spełniony, to
dowolna harmoniczna o częstotliwości f większej od f
S
/2 zostanie przetransfor-
mowana - bez zmiany amplitudy - na częstotliwość f
p
w paśmie
<0, f
S
/2) i może
zniekształcić harmoniczną niosącą informację
289
S
p
if
f
f
−
=
(19.10)
gdzie i jest liczbą całkowitą spełniającą nierówność
−
< −
<
f
f
if
f
S
S
S
/
/
2
2 (19.11)
Pomierzona harmoniczna f
p
może zatem zawierać w sobie wszystkie
harmoniczne określone zależnością
f
f
if
i
p
S
= ± +
=12
, ,... (19.12)
Zjawisko nakładania się (odbicia) widm (ang. aliasing) jest przedstawione grafi-
cznie na rys. 19.2 w dziedzinie czasu i na rys. 19.3 w dziedzinie częstotliwości.
Z pierwszego rysunku wynika, że sygnał złożony z dwóch sinusoid o
częstotliwościach 150 Hz i 250 Hz, próbkowany z częstotliwością 200 Hz, jest
odczytywany jako sinusoida o częstotliwości 50 Hz. Drugi rysunek obrazuje
odbijanie się wyższych harmonicznych od barier ustawionych na
częstotliwościach 0 i f
S
/2.
-6
-4
-2
0
2
4
6
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
czas [ms]
Rys. 19.2. Zjawisko nakładania się harmonicznych
A
n
0
f /2
s
f
s
f
Rys. 19.3. Zjawisko odbicia widm
290
W celu uniknięcia nakładania się widm usuwa się z sygnału analogowego
harmoniczne o częstotliwościach f > f
S
/2 za pomocą filtrów dolnoprzepusto-
wych, zwanych antyaliazingowymi. Inną metodą jest nadpróbkowanie o współ-
czynniku
λ
>> 1 (ang. oversampling). Wówczas wartość częstotliwości f
S
/2
zostaje przesunięta w zakres harmonicznych o znikomej amplitudzie. Tak
spróbkowany sygnał można dodatkowo przepuścić przez dolnoprzepustowy filtr
cyfrowy i po znacznym zmniejszeniu liczby próbek dokonać szybkiej
transformaty Fouriera. Dzięki temu uzyskuje się lepszą rozdzielczość
częstotliwościową widma przy krótszym czasie obliczeń.
Przykład
W cyfrowych przetwornikach dźwięku częstotliwość próbkowania wynosi
f
S
= 44,1 kHz, co w stosunku do granicznej, słyszalnej częstotliwości f
g
=
= 20 kHz daje współczynnik
λ = 1,10. Jeżeli mikrofon przetwarza dźwięki do
30 kHz, to wówczas harmoniczne z zakresu od f
S
/2 = 22,05 kHz do 30 kHz
zostaną przekształcone w harmoniczne w zakresie od |30 - 44,1| = 14,1 kHz do
|22,05 – 44,1| = 22,05 kHz. Harmoniczne te znajdą się w zakresie słyszalnym
i zakłócą odtwarzany dźwięk. W celu usunięcia tego zjawiska należy przed
próbkowaniem przepuścić sygnał przez analogowy filtr dolnoprzepustowy,
silnie tłumiący częstotliwości powyżej 22 kHz.
Przeciwieństwem nadpróbkowania jest podpróbkowanie. Stosuje się je przy
analizie sygnałów o wąskim paśmie częstotliwości
∆
f, zawierającym
informację, w stosunku do częstotliwości środkowej (nośnej) f
0
, np. dla
sygnałów modulowanych amplitudowo. W celu osiągnięcia dobrej
rozdzielczości widma w paśmie
∆
f konieczne jest zmniejszenie częstotliwości
próbkowania do wartości wielokrotnie mniejszej od f
0
, zgodnie ze wzorem
(19.9).
Minimalnym
wartościom M, N i p odpowiadają maksymalne wartości pozo-
stałych wielkości. Zwiększanie liczby próbek M powoduje wzrost gęstości wi-
dma (f
W
maleje) i praktycznie nie wpływa na szerokość widma f
g
. Wzrost
częstotliwości próbkowania f
S
zwiększa proporcjonalnie szerokość widma, ale
zmniejsza jego gęstość.
19.2.4. Analiza widmowa sygnału okresowego
Przypadek 1 - znamy wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej f
1
i numer najwyższej harmonicznej n
max
, istotnej z metrologicznego punktu wi-
dzenia.
Wzory używane w analizie fourierowskiej FFT
291
Tabela 19.1
Nazwa Wzory Wartość
minimalna
maksymalna
Liczba próbek
)
1
(
2
2
max
+
≥
=
n
M
l
4
M
max
Liczba składowych
widma
max
2
1
1
n
M
N
≥
−
=
1
1
2
1
M
max
−
Liczba okresów
w oknie
( )
s
f
Mf
w
f
f
n
N
Ent
p
1
1
max
=
=
=
1
N
Częstotliwość
próbkowania
f
Mf
f
S
W
Mf
p
M
N
=
=
≥
1
max
M
N
f
1
Mf
1
Rozdzielczość
widma
f
W
f s
M
f
p
=
=
1
f N
1
f
1
Szerokość widma
f
Nf
f
f
f
g
W
N
M
S
N
p
=
=
=
≥
1
max
f
1
Nf
1
Liczba mierzalnych
harmonicznych
( )
( )
1
1
Mf
s
Nf
f
g
f
MAX
Ent
Ent
n
=
=
1
N
Współczynnik
nadprókowania
p
n
M
f
n
s
f
max
2
1
max
2
=
=
λ
max
2 n
N
M
max
2n
M
Oznaczenia: f
1
- częstotliwość podstawowej harmonicznej badanego sygnału, f
max
= n
max
f
1
– czę-
stotliwość najwyższej harmonicznej, która wskutek nakładania się widm może zakłócić pomiar
Dobieramy
taką liczbę próbek M, aby liczba obliczonych składników
szeregu Fouriera N (bez składnika zerowego) była równa co najmniej n
max
(patrz
wzór na obliczenie M w tabeli 19.1). Dla sygnału poliharmonicznego
największą wartością rozdzielczości widma, jaką można zastosować, jest f
Wmax
=
f
1
. Rozdzielczość tę uzyskujemy nastawiając częstotliwość próbkowania na
wartość f
Smax
= Mf
1
. Osiągamy wówczas maksymalną szerokość analizowanego
widma f
gmax
= Nf
1
.
W celu wykrycia w sygnale subharmonicznych i interharmonicznych należy
zmniejszyć wartość f
W
przez zwiększenie liczby próbek M. Dla nowej liczby M
obliczamy kolejno N, p i f
S
. Najmniejszą gęstość widma f
Wmin
= f
1
/N uzyskuje
się, gdy badana jest tylko podstawowa harmoniczna, czyli gdy n
max
= 1.
Przypadek 2 - nie znamy wartości częstotliwości podstawowej harmonicznej
ani liczby harmonicznych.
W celu osiągnięcia maksymalnej szerokości widma stosujemy największą
częstotliwość próbkowania, dopuszczalną dla karty pomiarowej, a dla uzyskania
najlepszej rozdzielczości widma wybieramy maksymalną liczbę próbek, jaką
posiadany algorytm FFT może przetransformować. Kolejność pomiarów i
obliczeń prześledzimy na przykładzie.
Wykonujemy pomiary dla M
max
= 2048 i f
Smax
= 100 000 Hz. Sprawdzamy
na monitorze, czy przebieg zawiera co najmniej jeden okres badanego sygnału.
292
Jeżeli nie zawiera, to zmniejszamy częstotliwość próbkowania. W tabeli 19.2
notujemy częstotliwość i amplitudę najniższej i najwyższej harmonicznej. Dla
najniższej harmonicznej zapisujemy również częstotliwości i amplitudy sąsied-
nich prążków.
Wyniki pomiarów harmonicznych o nieznanych częstotliwościach
Tabela 19.2
Lp. f
S
f
1-
f
1
f
1+
A
1-
A
1
A
1+
f
m
A
m
Hz Hz Hz Hz V V V Hz V
1. 100000 0 48,8281 97,6562 1,2031 9,1698 2,8522 439,453 1,4815
2. 884,9553
59,6308
60,0629 60,4950 1,1783 9,6802 1,5695 420,872 1,9973
3. 75,0786
14,9204
14,9571 14,9937 0,4161 9,9728 0,3823 29,6209 1,7514
4. 961,9696 0 60,1231 120,246 8E-06 10,000 2E-05 420,862 2,0000
Obliczamy numer najwyższej harmonicznej n
max
, liczbę okresów p i nową
częstotliwość próbkowania f
S
:
000
,
9
8281
,
48
453
,
439
1
max
=
=
=
f
f
n
m
113
9
1
2
2048
max
=
−
=
=
Ent
n
N
Ent
p
f
Mf
p
Hz
S
=
=
⋅
=
1
2048 48 8281
113
884 9553
,
,
Po wykonaniu FFT okazuje się, że amplitudy sąsiednich prążków stanowią wię-
cej niż 10
-3
amplitudy podstawowej harmonicznej, co świadczy, że pomiary
należy kontynuować. W celu wyznaczenia dokładnej wartości częstotliwości f
1
zwiększamy gęstość widma stosując podpróbkowanie. Nastawiamy
częstotliwość próbkowania zaledwie o 25 % większą od częstotliwości f
1
f
f
Hz
S
P
=
= ⋅ ⋅
=
⋅
=
2
2
60 0629 1 25 60 0629 75 0786
1
5
8
λ
,
,
,
,
Podpróbkowanie sprowadza wszystkie harmoniczne w zakres małych częstotli-
wości, powodując jednak nakładanie się widm. Wartość współczynnika
podpróbkowania
λ
P
= 5/8 jest korzystna, gdyż w pobliżu podstawowej
harmonicznej pojawią się harmoniczne 9., 11., 19., 21. itd. o stosunkowo
małych amplitudach.
Po kolejnym wykonaniu FFT wykorzystujemy amplitudy sąsiednich
prążków do interpolacyjnego obliczenia częstotliwości f
1P
293
(
)
(
)
f
f
A
A
A
f
f
Hz
P
1
1
1
1
1
1
1
14 9204
0 3823
0 4161 0 3823
14 9937 14 9204
14 9555
=
+
+
−
=
=
+
+
−
=
−
+
−
+
+
−
,
,
,
,
,
,
,
(19.13)
Rzeczywistą częstotliwość f
1
wyznaczamy z zależności
f
f
f
Hz
S
P
1
1
75 0786 14 9555 60 1231
=
−
=
−
=
,
,
,
(19.14)
Do końcowego pomiaru przyjmujemy wartości zgodne ze wzorami w tabeli
19.1:
000
,
7
1231
,
60
872
,
420
1
max
=
=
=
f
f
n
m
(
) (
)
4
max
2
16
1
7
2
1
2
=
=
+
=
+
≥ n
M
1
7
1
2
16
max
=
−
=
=
Ent
n
N
Ent
p
f
Mf
p
Hz
S
=
=
⋅
=
1
16 60 1231
1
961 9696
,
,
Wyniki ostatniej transformaty Fouriera świadczą, że osiągnięto wystarcza-
jącą dokładność pomiaru - amplitudy A
1-
i A
1+
są mniejsze od 10
-3
A
1
.
Rzeczywiste parametry badanego sygnału były: A
1
= 10 V, f
1
= 60,1230 Hz,
A
7
= 2 V, f
7
= 420,861 Hz.
19.3. Wykonanie ćwiczenia
19.3.1. Pomiary harmonicznych sygnału okresowego
Układ połączeń
G
GNO
DMM
KP
PC
Monitor
p
Rys. 19.4. Schemat układu pomiarowego
294
Oznaczenia
G – generator napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego
GNO – generator napięcia odkształconego
DMM – multimetr cyfrowy
PC – komputer
KP – karta pomiarowa
Uwaga: W czasie ćwiczenia należy dla stosowanej aparatury pomiarowej
podać wielkości charakterystyczne.
OPROGRAMOWANIE – program wykorzystujący program narzędziowy Test-
Point umożliwia:
- generację cyfrowych sygnałów: sinusoidalnego, poliharmonicznego,
trójkątnego i prostokątnego
- monitorowanie przebiegów sygnałów i modułów sygnałów, ich widm
amplitudowych i fazowych, odwrotnej transformaty Fouriera, przebiegów
podstawowej harmonicznej oraz sumy wyższych harmonicznych
- pomiar wartości maksymalnej U
m
sygnału, średniej z jego modułu |U|
śr
, sku-
tecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej U
1
, skutecznej sumy
wyższych harmonicznych U
wh
, maksymalnej sumy wyższych
harmonicznych U
whm
, amplitudy A
n
i częstotliwości f
n
dowolnej składowej
szeregu Fouriera
- symulację filtru antyaliazingowego.
a) Pomiary gdy znana jest wartość częstotliwości podstawowej
harmonicznej
Postępowanie podczas pomiaru
W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fali polihar-
monicznej. Dla zadanych wartości częstotliwości f
1
i f
max
= n
max
f
1
obliczamy
minimalną liczbę próbek M
min
= 2(n
max
+ 1). Dla celów badawczych wybieramy
kilkakrotnie większą wartość M = 2
l
i wyznaczamy liczbę składników szeregu
Fouriera N = M/2 – 1, która jest jednocześnie równa maksymalnej liczbie
okresów p
max
, jakie można objąć oknem pomiarowym. Pomiary
przeprowadzamy dla następujących liczb okresów p: 0,5 p
min
= 1, p
opt
= Ent
(N/n
max
), p = 1,001 p
opt
(w celu zbadania wpływu niecałkowitej liczby okresów
na wynik pomiaru), p
max
= N i p = N + 2. Zadaną liczbę okresów uzyskujemy
przez nastawienie częstotliwości próbkowania f
S
na wartość obliczoną ze wzoru
(19.9) (z dokładnością do 0,0001 Hz). Pozostałe wielkości w tabeli 19.3
295
wyznaczamy doświadczalnie. Podczas pomiarów wygodnie jest posługiwać się
“kursorem f ”, sterowanym myszą lub klawiszami
↑,↓ łącznie z klawiszem
“shift” lub bez niego.
Następnie badamy wpływ zmian częstotliwości f
1
badanego sygnału na do-
kładność analizy widmowej przy zachowaniu stałej częstotliwości próbkowania
f
S
, odpowiadającej p
opt
. Częstotliwość f
1
zmieniamy o 0,05 %, 0,1 %, 0,5 %,
i 1 %. Wyniki notujemy w tabeli 19.4.
Na
zakończenie sprawdzamy, jaki wpływ na wyniki pomiarów ma dobór
liczby próbek, niespełniający warunku M = 2
l
. Zmieniamy liczbę próbek i obli-
czamy odpowiadającą jej częstotliwość f
S
. Po wykonaniu FFT obliczamy
rzeczywistą liczbę próbek (uzupełnioną przez algorytm zerami) M
rz
= 2(N
rz
+1),
gdzie N
rz
- liczba składników szeregu Fouriera - jest wskazywana jako górny
zakres “kursora f ”. Wyniki zapisujemy w tabeli 19.5.
Protokół wyników pomiaru
Sygnał – fala poliharmoniczna: A
1
= 10 V, f
1
= 50 Hz, A
2
= 3 V, f
2
= f
max
= 250 Hz, M = 128,
N = p
max
= ......
Tabela 19.3
Lp.
p
f
S
A
1p
f
1p
A
2p
f
2p
f
Wp
f
gp
n
MAXp
U
p
Hz V Hz V Hz Hz Hz
V
1.
0,5
2.
1
3.
4.
5.
6.
Sygnał – fala poliharmoniczna: A
1
= 10 V, f
1
= var, A
2
= 3 V, f
2
= n
max
f
1
, M = 128, N = ...... ,
p
opt
= ...... , f
S
= .................. Hz
Tabela 19.4
Lp.
f
1
A
1p
f
1p
A
2p
f
2p
U
p
Hz V Hz V Hz V
1.
2.
3.
4.
296
Sygnał – fala poliharmoniczna: A
1
= 10 V, f
1
= 50 Hz, A
2
= 3 V, f
2
= 250 Hz, p = 8,
f
W
= f
1
/p = ........ Hz
Tabela 19.5
Lp.
M
f
S
M
rz
A
1p
f
1p
A
2p
f
2p
f
Wp
f
gp
U
p
Hz
V Hz V Hz Hz Hz V
1.
96
2.
136
Wzory i przykłady obliczeń
Dla kilku wybranych pomiarów w tabeli 19.3 należy sprawdzić, czy ich wy-
niki są zgodne ze wzorami w tabeli 19.1.
Należy sformułować wnioski dotyczące doboru wartości p, f
S
i M,
zapewniających dokładny pomiar parametrów badanych harmonicznych i
wartości skutecznej (oddzielnie dla amplitudy, dla częstotliwości i dla wartości
skutecznej).
b) Pomiary gdy nie jest znana wartość częstotliwości podstawowej
harmonicznej
Postępowanie podczas pomiaru
Źródłem sygnału jest generator napięć odkształconych o częstotliwości har-
monicznej podstawowej około 50 Hz. W celu uzyskania stabilnej częstotliwości
należy go włączyć 20 minut przed rozpoczęciem pomiaru. Najpierw ustawiamy
wartość skuteczną pierwszej harmonicznej na 4...5 V i mierzymy jej wartość
multimetrem. Następnie dodajemy wyższe harmoniczne o coraz mniejszych
amplitudach, tak aby wartość szczytowa sygnału – obserwowana na monitorze –
nie przekroczyła zakresu przetwornika A/C. Pomiary przeprowadzamy według
opisu w punkcie 19.2.4 dla przypadku 2. Po ostatnim pomiarze sprawdzamy
multimetrem częstotliwość sygnału i porównujemy ją oraz wartość skuteczną
pierwszej harmonicznej z wynikami pomiaru. Wyniki notujemy w tabeli 19.6.
297
Protokół wyników pomiaru
Sygnał – fala sinusoidalna odkształcona: U
1
= ...... V, f
1
= ........ Hz
Tabela 19.6
Lp. f
S
f
1-
f
1
f
1+
A
1-
A
1
A
1+
f
m
A
m
Hz Hz Hz Hz V V V Hz V
1.
2.
3.
4.
Wzory i przykłady obliczeń
Podać przykłady obliczeń niezbędnych do wykonania pomiarów.
Oszacować niepewność pomiaru częstotliwości i wartości skutecznej
podstawowej harmonicznej za pomocą multimetru.
Na podstawie porównania wyników pomiarów częstotliwości i wartości
skutecznej podstawowej harmonicznej, wykonanych multimetrem i metodą
analizy widma, ocenić niepewność pomiarów drugą metodą.
19.3.2. Badanie zjawiska nakładania się widm
Postępowanie podczas pomiaru
W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fal sinuso-
idalnych. Badamy sygnał złożony z dwóch sinusoid: pierwszej o stałej częstotli-
wości f
1
i drugiej o regulowanej częstotliwości f
2
. Po każdej zmianie f
2
wykonujemy FFT i odczytujemy z widma amplitudowego częstotliwość f
2p
i
odpowiadający jej numer harmonicznej n
p
. Gdy wyższa harmoniczna nakłada
się na pierwszą, obserwujemy czy jej amplituda dodaje się czy odejmuje od
amplitudy pierwszej harmonicznej. Dla dwóch ostatnich pomiarów
wyznaczamy najbliższe częstotliwości f
2
, które nakładają się na pierwszą
harmoniczną.
298
Protokół wyników pomiaru
Sygnał – 2 sinusoidy: A
1
= 10 V, f
1
= 300 Hz,
ϕ
1
= 90
°, A
2
= 4 V, f
2
= var,
ϕ
2
= 90
°, M = 128,
f
S
= 1600 Hz
Tabela 19.7
f
2
Hz 600 700 800 900 1000 1300 1400 1500 1600
f
2p
Hz
n
p
Tabela 19.7 cd
f
2
Hz 1700 1900 2200 2600 2900 3200 3500
f
2p
Hz
n
p
1
1
Wzory i przykłady obliczeń
Należy podać wzory, z których można obliczyć częstotliwości f
2p
dla
f
2
= 1300 Hz i f
2
= 3500 Hz.
19.3.3. Przeciwdziałanie nakładaniu się widm
Postępowanie podczas pomiaru
Badamy
widmo
sygnału prostokątnego, bipolarnego o amplitudach
±A
i współczynniku wypełnienia w. Amplituda n-tej harmonicznej tego sygnału
opisana jest wzorem
π
π
nw
nw
Aw
A
n
sin
4
=
(19.15)
i stanowi mniej niż a % pierwszej harmonicznej, jeżeli
π
w
a
n
n
a
sin
100
=
>
(19.16)
Do pomiaru amplitud pierwszych pięciu harmonicznych stosujemy minimalną
częstotliwość próbkowania f
S1
nieco większą od 2f
5
, a następnie - w celu usunię-
cia nakładania się widm - zwiększamy częstotliwość próbkowania do wartości
f
S2
≈ n
a
f
1
, gdzie a przyjmujemy równe 0,5 %. Sprawdzamy również działanie fil-
tru antyaliazingowego w postaci cyfrowego, dolnoprzepustowego filtru Butter-
299
wortha 10. rzędu o częstotliwości granicznej f
gr
= 0,5 f
S1
. Przefiltrowany sygnał
poddajemy szybkiej transformacji Fouriera z częstotliwością próbkowania f
S1
.
Protokół wyników pomiaru
Sygnał – fala prostokątna: A = 10 V, f = 300 Hz, A
0
= 6 V, w = 0,2, M = 1024, f
S1
= 3200 Hz,
f
S2
= 102400 Hz
Tabela 19.8
Lp
Częstotliwość Amplitudy
składowych widma
składowej
teoretyczne
bez filtru dla f
S1
bez filtru dla f
S2
z filtrem dla f
S1
Hz V V V V
1.
100
...
15.
1500
Wzory i przykłady obliczeń
Należy podać przykłady obliczeń amplitud harmonicznych A
n
, numeru har-
monicznej n
a
oraz częstotliwości próbkowań f
S1
i f
S2
.
Ocenić przydatność obu zastosowanych metod do zmniejszenia wpływu na-
kładania się widm. Porównać uzyskane rozdzielczości widm w obu
przypadkach.
19.3.4. Pomiary współczynników zniekształceń
Wykorzystujemy
analizę widmową do pomiaru współczynników zniekształ-
ceń napięcia. Na podstawie pomiarów następujących wartości napięć:
maksymalnej U
m
, średniej U
śr
, skutecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej
U
1
, skutecznej wyższych harmonicznych U
wh
i szczytowej przebiegu czasowego
sumy wyższych harmonicznych U
whm
obliczamy współczynniki:
• współczynnik kształtu k
-
wzór
(23.1)
• współczynnik szczytu s -
wzór
(23.2)
• współczynnik niesinusoidalności n -
wzór
(23.3)
• współczynnik zniekształceń harmonicznych THD
f
-
wzór
(23.4)
• współczynnik zniekształceń harmonicznych THD - wzór (23.5)
• współczynnik odkształcenia K
-
wzór
(23.7).
Oprogramowanie ćwiczenia zapewnia bezpośredni odczyt mierzonych wartości
napięć. Zostały w nim wykorzystane następujące zależności:
U
u
m
m
= max
(19.17)
300
U
A
n
jeżeli
A
śr
n
n
n
N
=
−
=
−
−
=
+
∑
2
2
1
0
2
1
2
1
1
1 2
0
π
ϕ
cos
(
)/
(19.18)
(
)
U
A FFT u
jeżeli
A
śr
m
=
≠
0
0
0 (19.19)
U
A
A
n
n
N
=
+
=
∑
0
2
1
2
2
1
(19.20)
U
A
1
1
2
=
(19.21)
U
U
U
A
wh
=
−
−
2
1
2
0
2
(19.22)
U
IFFT
A
whm
n
n
N
=
=
∑
max
2
(19.23)
gdzie u
m
= u(mT
S
) dla m = 0, 1,..., M-1, A
n
= A
n
[FFT(u
m
)] dla n = 0, 1,..., N.
Pomiary wykonujemy dla napięć dostarczanych przez generator napięcia
odkształconego GNO i generator napięcia sinusoidalnego G. W pierwszym
przypadku ustawiamy wartości skuteczne i kąty fazowe poszczególnych harmo-
nicznych oraz liczbę próbek M i częstotliwość próbkowania f
S
takie, jak w pun-
kcie 19.3.1b. W drugim przypadku nastawiamy z pomocą multimetru U = 5 V,
f = 50 Hz i obliczamy M oraz f
S
zakładając, że mamy pomierzyć 50 harmonicz-
nych. Wyniki pomiarów notujemy w tabeli 19.9, a wyniki obliczeń - w tabeli
19.10.
Protokół wyników pomiaru
Tabela 19.9
Lp.
U
m
U
śr
U
U
1
U
wh
U
whm
V V V V V V
1.
2.
Tabela 19.10
Lp.
k
s
n
THD
f
THD
K
1.
2.
Wzory i przykłady obliczeń
301
Podać wzory i przykłady obliczeń współczynników zniekształceń.
19.4. Uwagi o wynikach pomiaru
19.5. Literatura
[1] Praca zbiorowa
(red. Sydenham P. H.): Podręcznik metrologii. Pod-
stawy teoretyczne. Tom I. WKiŁ, Warszawa 1988
[2] Oppenheim A. V., Schafer R. W.
: Cyfrowe przetwarzanie
sygnałów. WkiŁ, Warszawa 1979
[3] PN-EN 61000-4-7
: Polska Norma. Kompatybilność elektromagnety-
czna (EMC). Metody badań i pomiarów. Ogólny przewodnik
dotyczący pomiarów harmonicznych i interharmonicznych oraz
stosowanych do tego celu przyrządów pomiarowych dla sieci
zasilających i przyłączonych do nich urządzeń. (Projekt normy)