(Microsoft PowerPoint - miernictwo1

Dużo rysunków mało

rachunków

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Podobnie  jak  przedstawione  uprzednio  wzory  całkowe  służą do
rozkładania  budowli  złożonych  z  funkcji  ciągłych  na  elementarne
cegły funkcji trygonometrycznych  tak samo  możliwe  jest  rozbijanie
przebiegów  dyskretnych.  Operatory  całkowe  posiadały  czynniki  o
zmieniającej się częstotliwości. Wykorzystując technikę przestrzeni
zespolonej  zobaczymy,  że  wektory  o  różnej  szybkości  wirowania
pełnią taką samą funkcję.    Zrobimy  to  wykorzystując  prawie
wyłącznie obrazki.

Sygnał ciągły…

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Sygnał ciągły reprezentowany przez obieg w przestrzeni zespolonej
wiedzie swój wyjątkowo monotonny żywot, który składa się z kolejnych
okresów.

Każdemu przyrostowi czasu

∆

odpowiada

stały przyrost kąta

∆ ϕ

. W czasie równym

okresowi sygnał przebywa 2π. Szybkość
wirowania jest stała.

)

(

Sygnał

podglądany jest w określonych chwilach czasu

wyznaczanych przez częstotliwość próbkowania.

… i cyfrowy paparazzi

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

tym

przypadku

sygnał

„fotografowany” jest  cztery  razy  w
ciągu  swojego  okresu.  Częstotliwość
przebiegu  analogowego  może  być
wyrażona  względem  częstotliwości
próbkowania.

częstotliwość

osi

częstotliwości

można

oznaczyć

częstotliwość próbkowania i
częstotliwość sygnału, która
jest 4 razy mniejsza.

Widok na osi czasu

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

czasie

wierci

okresu

próbkowania  sygnał obraca  się
o  π/2.  „A” to  amplituda  sygnału
a  czerwone  punkty  oznaczają
jego chwilowe wartości.

Wzajemna

relacja

częstotliwości

próbkowania  i  częstotliwości  sygnału
próbkowanego  w  tym  przykładzie  zostały
tendencyjnie  dobrane  w  taki  sposób  aby
łatwo  było  określić wartości  próbek  i
narysować je na osi czasu.

czas

-A

-Ai

Zamiast całek wektory

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Przedstawiony  sygnał poddany  zostanie  analizie  podobnej  do  analizy
dotyczącej  szeregu  Fouriera.  Podobnie  jak  poprzednio  rozważania
dotyczyć będą jednego  okresu. Tu  jednak  nie  ma  miejsca  na  całki.  W  ich
zastępstwie  wystąpią wektory  analizujące.  Są one  dyskretne  zatem
przeskakują w różnym tempie między punktami próbkowania.

Drugi

wektor

ciągu

okresu

przeskakuje o π/2.

Konsekwentnie,
trzeci przeskoczy o
π,

a czwarty o 3/2 π.

Pierwszy wektor jest
nieruchomy.

Nie ma sensu wprowadzania piątego wektora bo jest on tym samym co
pierwszy. Wszystkie wektory mają taką samą długość równą 1.

Cztery wektory i starcie

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Teraz będziemy fotografować wzajemne położenia sygnału dyskretnego i
kolejnych wektorów. Najpierw wektor nieruchomy. Mnożymy położenia
sygnału (niebieskie) i wektora analizującego (czerwone).

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

iloczyn = A

iloczyn = Ai

iloczyn = -A

iloczyn = -Ai

Na koniec sumujemy otrzymane iloczyny:

suma = 0

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Drugi wektor

Drugi z wektorów obraca się tak samo szybko jak sygnał:

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

iloczyn = A

iloczyn = Aii=-A

iloczyn = -A(-1)=A iloczyn = -Ai(-i)=-A

Dwa  podobne  wektory  dały  zero.  Wprowadźmy  pewną modyfikację
polegającą na  zastąpieniu  czerwonego  wektora  analizującego  wektorem
sprzężonym.  Poprzedniego  rysunku  nie  musimy  modyfikować gdyż
pierwszy wektor analizujący był wskazywał zawsze liczbę rzeczywistą.

suma = 0

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Drugi wektor po raz drugi

Zmodyfikowana sytuacja wygląda tak:

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

Ai(-i)=A

-A(-1)=A

-Aii=A

W wyniku sumowania otrzymujemy wartość niezerową.

suma = 4A

suma = 0

Trzeci i czwarty

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

(-1)-Ai=Ai

suma = 0

Dla dwóch ostatnich wektorów znowu otrzymujemy zero.

Aii=-A

-Ai(-i)=-A

Podsumowanie

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Uzyskane rezultaty przedstawiają się następująco:

wektor 0

suma 0

wektor ¼ f

suma 4A

wektor 2/4 f

suma 0

wektor ¾ f

suma 0

Można to narysować otrzymując
widmo częstotliwościowe badanego
sygnału:

częstotliwość

3/4f

Otrzymaliśmy  wynik  zgodny  z  intuicją,  ponieważ jeden  z  wektorów  o
szybkości  zgodnej  z  szybkością sygnału  dał niezerową odpowiedź.
Rzeczywista  wartość prążka  widmowego  wskazuje  na  fakt,  że  faza
początkowa sygnału wynosi zero czyli startuje on z osi rzeczywistej.

Trudniejszy przykład

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Poprzedni  przykład  pokazał nam  algorytm  ekstrakcji  informacji  z  obiegu
zespolonego.  Teraz  przyjrzymy  się jak  będzie  wyglądało  to  w  przypadku
funkcji  o  wartościach  rzeczywistych.  Będzie  to  funkcja  sinus,  która  jak
wiemy  jest  złożeniem  dwóch  wektorów  wirujących  w  przestrzeni
zespolonej.  Najpierw  rysunek  kolejnych  zdjęć powstających  w  wyniku
próbkowania sinusa.

( )

exp

(

)

−

− exp

czas

Znów wektory

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Ponownie wykonamy korelację, tym razem sygnału sinusoidalnego
z tym samym zbiorem wektorów analizujących:

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

Częstotliwość

sinusoidy

również

wynosi

częstotliwości

próbkowania.

Dla

pierwszego

(nieruchomego)

wektora

otrzymujemy zerową sumę iloczynów.

Wektor synchroniczny

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Teraz znowu wektor o częstotliwości równej częstotliwości funkcji
próbkowanej…

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-iA

Suma podobnie jak w poprzednim przypadku jest niezerowa, ale w
przeciwieństwie do niego jest urojona.

Trzeci wektor

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Iloczyny znoszą się wskazując, że wektory analizujące nie obracają
się w zgodzie z wektorem sygnału analizowanego.

Korelacja z wektorem poruszającym się co

π/2

nie wnosi nic

zaskakującego do naszego obrazu:

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

Czwarty wektor…

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Tutaj spotyka nas niespodzianka. Trzeci wektor o innej szybkości w
wyniku korelacji dał wartość niezerową. Wydaje się to być ciosem w
zaprezentowaną metodykę, jednakże…

Podobnie jak poprzednio na końcu wykonujemy korelację z
czwartym wektorem…

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-A

-Ai

-i(-A)=iA

…i jego drugie oblicze

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

wektor przeskakuje o 3/2 π:

3/2

-1/2

ale w takich samych miejscach znajdzie się skacząc o minus

π/2

DFT…

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Procedura  prześledzona  przez  nas  na  obrazkach  wektorów  w  przestrzeni
zespolonej  jest  to  dyskretne  przekształcenie  Fouriera.  Ostatni  wynik  jest
potwierdzeniem  postawionej  dużo  wcześniej  tezy  mówiącej,  że  przekształcenie
sygnału  prowadzące  do  jego  reprezentacji  częstotliwościowej  widzi  wektory
wirujące  w przestrzeni  zespolonej  a  nie  rzeczywisty  sygnał w  dziedzinie  czasu.
Przekształcenie  zsynchronizowało  się (dało  niezerowy  wynik)  w  dwóch
przypadkach.

częstotliwość

3/4f

Jeden z prążków to wirowanie składowej z częstotliwością dodatnią. Drugi to wirowanie
składowej sprzężonej z taką samą co od wartości częstotliwością ujemną.

3/4f

-f

…widzi funkcje zespolone

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Kolejny dowód to wartości otrzymanych prążków widmowych.

3/4f

-f

częstotliwość

-2Ai

2Ai

Są to wartości urojone, z których
można wyznaczyć ich kąt fazowy:

Kąt fazowy

wynosi

90º

Kąt fazowy -

wynosi

-90º

Wektory startują od kąta zero. Jednak
aby sinus był rzeczywisty oba zostały
podzielone

przez

Podzielenie/pomnożenie

przez

jednostkę urojoną to właśnie obrót o 90

º.

Zatem faza początkowa sinusa

wynosi zero ale wektorów zespolonych
nie.

Podsumowanie

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Zespolona

reprezentacja

sygnału

dyskretnego

umożliwiła

pokazanie jak działa algorytm dyskretnego przekształcenia
Fouriera.
DFT wytwarza widmo sygnału informujące o amplitudach i fazach
początkowych jego składowych zespolonych.
Widmo sygnału dyskretnego jest również dyskretne.

Następne zagadnienie

Publikacja współfinansowana

ze środków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Dyskretne przekształcenie Fouriera to potężne narzędzie w analizie
cyfrowej i nie jest ono oczywiście wykonywane w sposób graficzny.
Z tego względu wypada zapisać

matematycznie algorytm

zrealizowany  językiem  obrazkowym.  Jak  się okaże  zależność
będzie  miała  wiele  wspólnego  z  wyrażeniem  obowiązującym  dla
poznanych  uprzednio  ciągłych  sygnałów  periodycznych.  Należy
jeszcze  sprawdzić jak  zareaguje  DFT  na  jawne  pogwałcenie
twierdzenia o próbkowaniu.