Przekształcenia przestrzeni 3D 



reprezentacja za pomocą 
macierzy 4x4 



zastosowanie 
współrzędnych 
jednorodnych 



prawoskrętny układ 
współrzędnych 
 

Przekształcenia przestrzeni 3D 



przedstawimy macierze przekształceń 

obiektów względem układu współrzędnych 



jeśli dokonujemy przekształceń 

osi układu 

współrzędnych, to macierze przekształceń 

będą 

podobne 



przykładowo 

rotacja

 

obiektów wokół osi 

układu współrzędnych o 

pewien kąt 

jest 

równoważna rotacji układu współrzędnych 

wokół tej samej osi o 

kąt przeciwny 

Translacja 3D 



Przesunięcie w układzie 3D jest 
rozszerzeniem operacji 2D 

 

 

 

To znaczy: 































1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

,

,

dz

dy

dx

d

d

d

z

y

x

T













T

z

y

x

T

z

y

x

d

z

d

y

d

x

z

y

x

d

d

d

1

1

,

,











T

Skalowanie 3D 



Skalowanie w układzie 3D jest 
rozszerzeniem operacji 2D 

 

 

 

To znaczy: 

 































1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

,

,

z

y

x

z

y

x

S

S

S

S

S

S

S













T

z

y

x

T

z

y

x

z

S

y

S

x

S

z

y

x

S

S

S

S

1

1

,

,











Rotacja 3D 



obrót wokół osi z 



obrót wokół osi y 



obrót wokół osi x 



obrót wokół dowolnej osi 

 

Rotacja 3D 



macierz obrotu wokół osi z – rozszerzenie 
obrotu 2D 

 

 

 

 

 

 





























1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos











z

R

Rotacja 3D 



macierz obrotu wokół osi x 

 

 

 

 

 

 





























1

0

0

0

0

cos

sin

0

0

sin

cos

0

0

0

0

1











x

R

Rotacja 3D 



macierz obrotu wokół osi y 

 

 

 

 

 

 





























1

0

0

0

0

cos

0

sin

0

0

1

0

0

sin

0

cos











y

R

Pochylenie 3D 



pochylenie w płaszczyźnie (x, y) 
 

 

 

 



stosując operację w stosunku do wektora         
[x, y, z, 1]

T 

otrzymujemy 

 































1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

 

,

y

x

y

x

xy

sh

sh

sh

sh

SH





T

y

x

z

z

sh

y

z

sh

x

1









Pochylenie 3D 



pochylenie w płaszczyźnie (x, z) 
 

 

 

 



stosując operację w stosunku do wektora          
[x, y, z, 1]

T 

otrzymujemy 

 

 































1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

 

,

z

x

z

x

xz

sh

sh

sh

sh

SH





T

z

x

y

sh

z

y

y

sh

x

1

,

,

,









Pochylenie 3D 



pochylenie w płaszczyźnie (y, z) 
 

 

 

 



stosując operację w stosunku do wektora          
[x, y, z, 1]

T 

otrzymujemy 

 

 































1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

 

,

z

y

z

y

yz

sh

sh

sh

sh

SH





T

z

y

x

sh

z

x

sh

y

x

1









Przekształcenia przestrzeni 3D 



wszystkie macierze przekształceń posiadają 
macierze odwrotne 



dla macierzy T poprzez negację T

x

, T

y

, T

z 



dla macierzy S poprzez odwrotność S

x

, S

y

, S

z

 



dla macierzy R poprzez negację kąta 

