Wnioskowanie statystyczne

Polega na uogólnianiu wyników otrzymanych na podstawie próby

losowej na całą populację generalną, z której próba została

pobrana.

Wnioskowanie statystyczne dzieli się na:

1.

Estymację – szacowanie wartości parametrów lub postaci

rozkładu zmiennej na podstawie próby – na podstawie

wyników próby formułujemy wnioski dla całej populacji

2.

Weryfikację hipotez statystycznych – sprawdzanie

określonych założeń sformułowanych dla parametrów

populacji generalnej na podstawie wyników z próby –

najpierw wysuwamy założenie, które weryfikujemy na

podstawie wyników próby

Estymacja przedziałowa

Estymator – wielkość (charakterystyka, miara), obliczona na podstawie próby,

służąca do oceny wartości nieznanych parametrów populacji generalnej.

Dobór właściwej statystyki, będącej najlepszym estymatorem parametru w

populacji generalnej na podstawie właściwości estymatorów (nieobciążony,

zgodny, efektywny, dostateczny).

Estymacja przedziałowa – polega na budowie przedziału zwanego

przedziałem ufności, który z określonym prawdopodobieństwem będzie

zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru

α

−

=

<

<

1

)}

(

)

(

{

2

1

n

n

Z

g

Q

Z

g

P

gdzie:

Q – nieznany parametr populacji generalnej

)

(

1

n

Z

g

,

)

(

2

n

Z

g

- końce przedziałów (dolna i górna granica przedziału),

będące funkcją wylosowanej próby

1–α współczynnik ufności – oznacza prawdopodobieństwo tego, że

wyznaczając na podstawie n-elementowych prób wartość funkcji

)

(

1

n

Z

g

i

)

(

2

n

Z

g

średnio w (1-α)·100% przypadków otrzymamy przedziały pokrywające

nieznaną wartość parametru Q – z prawdopodobieństwem (1- α) przedział

ufności pokrywa nieznaną wartość szacowanego parametru.

Im krótszy przedział (różnica między górną i dolną granicą przedziału),

tym bardziej precyzyjna jest estymacja przedziałowa.

Im wyższa jest wartość współczynnika ufności,

tym większa jest długość przedziału.

1. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej (średniej) ze znanym

odchyleniem standardowym.

Estymatorem wartości oczekiwanej (średniej) jest średnia arytmetyczna z próby

X

, która ma rozkład

)

,

(

n

m

N

σ

. Po standaryzacji zmiennej

X

statystyka

n

U

m

X

⋅

=

−

σ

ma rozkład normalny

)

1

,

0

(

N

.

Przedział ufności dla wartości oczekiwanej (średniej) ma postać:

α

σ

α

σ

α

−

=

+

<

<

−

1

}

{

2

/

2

/

n

n

u

X

m

u

X

P

gdzie:

2

/

α

u

- wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego dla danego poziomu

istotności α/2

σ

- odchylenie standardowe w populacji generalnej

Względną precyzję oszacowania oceniamy następująco:

%

1 00

)

(

2

/

⋅

=

⋅

⋅

n

X

u

X

B

σ

α

Jeżeli:

%

5

)

(

≤

X

B

- oszacowanie charakteryzuje się dużą precyzją

%

10

)

(

%

5

≤

≤

X

B

- uogólnienia wyników na populację generalną należy

dokonywać ostrożnie

%

10

)

(

>

X

B

- nie należy dokonywać żadnych uogólnień na populację

generalną

2. Przedział ufności dla wartości oczekiwanej (średniej) z nieznanym

odchyleniem standardowym

Wykorzystujemy statystykę t o rozkładzie Studenta o n–1 stopniach swobody:

1

−

⋅

=

−

n

t

S

m

X

spełniona jest następująca zależność:

α

α

α

−

=

<

<

−

−

−

1

}

{

1

,

2

/

1

,

2

/

n

n

t

t

t

P

Przedział ufności dla wartości oczekiwanej (średniej) ma postać (n < 30):

α

α

α

−

=

+

<

<

−

−

−

−

−

1

}

{

1

1

,

2

/

1

1

,

2

/

n

S

n

n

S

n

t

X

m

t

X

P

gdzie:

∑

=

−

=

n

i

i

n

x

x

S

1

2

1

)

(

- odchylenie standardowe z próby

1

,

2

/

−

n

t

α

- wartość odczytana z tablic rozkładu Studenta dla poziomu istotności α

oraz n–1 stopni swobody

Względną precyzję oszacowania oceniamy następująco:

%

100

)

(

1

1

,

2

/

⋅

=

−

⋅

⋅

−

n

X

S

t

n

X

B

α

Gdy n > 30 wartość

1

,

2

/

−

n

t

α

, odczytaną z tablic rozkładu Studenta możemy

zastąpić wartością

2

/

α

u

, odczytaną z tablic rozkładu normalnego oraz

S

≈

σ

.

Przedział ufności dla wartości oczekiwanej (średniej) ma postać (n >30):

α

α

α

−

=

+

<

<

−

1

}

{

2

/

2

/

n

S

n

S

u

X

m

u

X

P

3. Przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego

Najlepszym estymatorem wariancji w populacji

2

σ

jest wariancja z próby

2

S

Do budowy przedziału stosujemy statystykę

2

χ

o n–1 stopniach swobody:

2

2

2

σ

χ

S

n

⋅

=

Dla danego współczynnika ufności 1–α istnieją wartości

2

1

,

2

−

n

α

χ

2

1

1

2

−

−

n

α

χ

spełniające zależność:

{

}

α

χ

χ

χ

α

α

−

=

<

<

−

−

−

1

2

1

,

2

2

1

,

1

2

2

n

n

P

Przedział ufności dla wariancji ma postaci (n

≤

30):

α

σ

α

α

χ

χ

−

=













<

<

−

−

−

⋅

⋅

1

2

1

,

2

1

2

2

1

,

2

2

2

n

n

S

n

S

n

P

Przedział ufności dla odchylenia standardowego ma postać (n

≤

30):

α

σ

α

α

χ

χ

−

=













<

<

−

−

−

⋅

⋅

1

2

1

,

2

1

2

2

1

,

2

2

n

n

S

n

S

n

P

gdzie:

2

1

,

2

−

n

α

χ

,

2

1

1

2

−

−

n

α

χ

- wartości odczytane z rozkładu

2

χ

dla n–1 stopni swobody

Przedział ufności dla odchylenia standardowego (n > 30):

α

σ

α

α

−

=









<

<

−

+

1

2

2

/

2

2

/

1

1

n

u

n

u

S

S

P

gdzie:

2

/

α

u

- wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego dla poziomu istotności α

Względną precyzję oszacowania

σ

dla licznej próby (n >30) wyznaczamy:

%

100

)

(

2

⋅

=

n

u

S

B

α