instrukcja 8 -regulatory PID, wskaźniki jakości

REGUALTORY PID, WSKAŹNIKI JAKOŚCI

Projektując układy sterowania, w szczególności liniowe, staramy się, aby zaprojektowany
układ sterowania był stabilny i posiadał pewne dodatkowe własności, np. miał odpowiedni
zapas stabilności, miał podane wartości parametrów jakości statycznej i dynamicznej itd.

W wielu wypadkach powyŜsze warunki moŜna spełnić włączając w strukturę

sterowania dodatkowe układy pomocnicze, między innymi regulatory.

Podstawowe rodzaje korekcji

Chcąc uzyskać odpowiednie zmiany transmitancji układu regulacji moŜna stosować
następujące rodzaje korekcji:

korekcja szeregowa – polega na wałczeniu w dogodnym miejscu do pętli układu
regulacji, szeregowo, wybranego członu korekcyjnego,

korekcja polegająca na utworzeniu dodatkowych pętli wokół jednego lub kilku
członów układu:

• korekcja równoległa,
• korekcja w sprzęŜeniu zwrotnym

Regulatory – szeregowe człony korekcyjne, w których moŜliwe jest wielokrotne nastawienie
jednego  lub  kilku  parametrów.  Głównym  zadaniem  regulatora,  jak  zresztą  kaŜdego
urządzenia sterującego, jest wytwarzanie w oparciu o sygnał uchybu sterowania e(t), sygnału
sterującego  obiektem  regulacji  m(t),  w  sposób  zapewniający  jego  zachowanie  zgodnie  z
przyjętymi wymaganiami.
Działanie  regulatorów  oparte  jest  o  przetwarzanie  sygnału  uchybu  z  wykorzystaniem  trzech
elementarnych  operacji:  wzmocnienia  –  operacja  P,  całkowania  –  operacja  I  oraz
róŜniczkowania  –  operacja  D.  Ogólna  struktura  tak  działających  regulatorów  została
przedstawiona na Rysunku 2.

Sygnał wyjściowy z regulatora jest postaci:

gdzie:

(s)

– składowa proporcjonalna do uchybu regulacji wytwarzana przez blok P,

(s)

– składowa całkująca proporcjonalna do całki uchybu regulacji wytwarzana przez blok

(s)

– składowa róŜniczkująca proporcjonalna do pochodnej uchybu regulacji wytwarzana

przez blok D.

Działanie proporcjonalne:
Działanie to zmniejsza uchyb regulacji w stanie ustalonym, nieznacznie wpływa na skrócenie
czasu regulacji (zwiększa prędkość odpowiedzi) i zwiększa przeregulowanie.
Działanie całkujące:
Działanie to sprowadza uchyb regulacji w stanie ustalonym do zera, wpływa na wydłuŜenie
czasu regulacji i zwiększa przeregulowanie
Działanie róŜniczkujące:
Działanie to nie wpływa na uchyb regulacji w stanie ustalonym, wpływa na skrócenie czasu
regulacji i zmniejsza przeregulowanie.

Ze względu na wykorzystanie poszczególnych składowych w sygnale generowanym przez
regulator, praktyczne zastosowanie znalazły następujące rodzaje regulatorów:

proporcjonalny P,

proporcjonalno - całkujący PI,

proporcjonalno - róŜniczkujący PD,

proporcjonalno – całkująco - róŜniczkujący PID.

Regulator całkujący I nie znalazł zastosowania, poniewaŜ jego obecność w układzie regulacji
pogarsza właściwości dynamiczne tego układu.
Regulator róŜniczkujący D nie jest stosowany, poniewaŜ jego obecność w układzie regulacji
ogranicza się tylko do przebiegów przejściowych.

Rodzaje regulatorów:
Najczęściej wykorzystywane w praktyce regulatory to :

Proporcjonalny P

Rys.3 Charakterystyka skokowa regulatora P

Proporcjonalno - całkujący PI,

Rys.4 Charakterystyka skokowa regulatora PI

- czas zdwojenia - czas potrzebny na to, aby przy skokowym wymuszeniu podanym na

wejście regulatora PI, część sygnału wyjściowego tego regulatora, wywołana całkowaniem,
stała się równa drugiej części sygnału wyjściowego wywołanej działaniem proporcjonalnym,
dzięki czemu sumaryczny sygnał wyjściowy z regulatora staje się po czasie

dwukrotnie

większy niŜ w chwili początkowej.

Proporcjonalno - róŜniczkujący PD,

Rys.5 Charakterystyka skokowa regulatora PD

– czas wyprzedzania - czas potrzebny na to, aby przy liniowo narastającym wymuszeniu

podanym na wejście regulatora PD, sygnał związany z działaniem proporcjonalnym zrównał
się z sygnałem pochodzącym od działania róŜniczkującego.

Proporcjonalno – całkująco - róŜniczkujący PID.

Rys.6 Charakterystyka skokowa regulatora PID

Regulator PD z realnym członem róŜniczkującym

Rys.7 Charakterystyka skokowa regulatora PID

Regulator PID z realnym członem róŜniczkującym

Rys.8 Charakterystyka skokowa regulatora PID

Wskaźniki jakości określane na podstawie odpowiedzi skokowej

Charakter przebiegów przejściowych w liniowych układach sterowania bardzo często

jest badany po podaniu funkcji skokowej (jednostkowej) 1(t) na wejście układu. Wówczas
odpowiedź układu sterowania nazywana jest odpowiedzią skokową. Na rysunku 9
przedstawiona została typowa odpowiedź skokowa liniowego układu II rzędu.

Rys.9 Odpowiedź skokowa liniowego układu II rzędu

Na podstawie tej odpowiedzi definiowane są

następujące wskaźniki jakości charakteryzujące liniowe

ady sterowania w dziedzinie czasu:

1. Maksymalne przeregulowanie M

gdzie:
y(t)

−

odpowiedź

skokowa uk

adu,

max

−

maksymalna wartość

y(t),

−

wartość

y(t) w stanie ustalonym (y

max

Maksymalne przeregulowanie często określane jest jako procentowy udzia

końcowej wartości

odpowiedzi skokowej

Maksymalne  przeregulowanie  bardzo  często  wykorzystywane  jest  do  pomiaru  stabilności  względnej
układu  sterowania.  Układ  z  bardzo  duŜym  przeregulowanie  jest  zazwyczaj  niepoŜądany.  Na  etapie
projektowania  układu  zazwyczaj  określa  się  wartość  tego  przeregulowania.  Odpowiedź  skokowa
układu  z  rysunku  2  pokazuje,  Ŝe  maksymalne  przeregulowanie  pojawia  się  przy  pierwszym
przeregulowaniu. W pewnych układach maksymalne przeregulowanie moŜe pojawiać się w jednym z
następnych  pików  i  jest  tak  wówczas  gdy  transmitancja  układu  posiada  nieparzystą  liczbę  zer  w

prawej  półpłaszczyźnie  i  mogą  się  wówczas  pojawiać  pierwsze  przeregulowanie  przy  wartościach
ujemnych.
2.  Czas  opóźnienia

definiowany jako czas po którym odpowiedź skokowa osiąga 50% swojej

wartości końcowej. Pokazane jest to na rysunku 2.

3. Czas narastania

definiowany jest jako czas potrzebny do wzrostu odpowiedzi skokowej układu

od 10% do 90% wartości ustalonej.

4. Czas ustalania (regulacji)

definiowany jako czas potrzebny do tego aby przejściowa odpowiedź

skokowa znalazła się i pozostała w pewnej określonej strefie dokładności ( ±1%, ± 2%, itd.,

patrz tabela 1) od wartości ustalonej. Najczęściej jest to 5% wartości ustalonej.

Te cztery powyŜsze wskaźniki umoŜliwiają bezpośredni pomiar charakterystyk przejściowych
układu sterowania na podstawie odpowiedzi skokowej. Wskaźniki te są łatwe do określenia
na pomierzonej charakterystyce odpowiedzi skokowej, natomiast trudno jest je wyprowadzić
analitycznie za wyjątkiem układów, których rząd jest mniejszy od trzeciego.

Wzory aproksymujące czasowe wskaźniki jakości

Jednostkowa odpowiedź skokowa wyznaczona z odwrotnej transformaty Laplace'a
transmitancji
opisana jest wzorem

Na podstawie odpowiednich przekształceń wzoru analitycznego (5) opisującego

odpowiedź skokową układu II rzędu moŜliwe jest określenie wzorów pozwalających na
zaprojektowanie układu II rzędu spełniającego odpowiednie wymagania. PoniŜej znajdują się
wzory aproksymujące czasowe wskaźniki jakości układu II rzędu:

amplituda maksymalnego przeregulowania wyraŜona procentowo

chwila czasu t

w której pojawia się maksymalne przeregulowanie

czas opóźnienia t

czas narastania t

Gdzie

ξ – współczynnik tłumienia

– częstotliwość drgań własnych

σ - ω

n *

czas ustalania t

(regulacji) według tabeli

Dobór nastaw regulatora

W praktycznych zastosowaniach, regulator PID strojony jest w układzie regulacji w którym
akurat jest zastosowany. Reguły strojenia w skrócie moŜna streścić następująco:

1. Ustalenie wartości Kp celem uzyskania wymaganej prędkości odpowiedzi.

Zwiększanie wzmocnienia proporcjonalnego zwiększa prędkość odpowiedzi i

redukuje uchyb w stanie ustalonym.

2. Dobór sterowania całkującego 1 TI celem osiągnięcia poŜądanej jakości w stanie

ustalonym (moŜe zaistnieć konieczność skorygowania wartości wzmocnienia Kp).

Zwiększanie działania całkującego 1 TI pogarsza stabilność, ale słuŜy do

likwidacji uchybu w stanie ustalonym.

3. Dodanie sterowania róŜniczkującego celem zredukowania przeregulowań i

poprawy czasu regulacji. Zwiększanie stałej róŜniczkowania poprawia stabilność i

słuŜy do tłumienia oscylacji

Sterowanie proporcjonalne z nastawą KP ma wpływ na zmniejszanie czasu narastania i będzie
zmniejszało  uchyb  w  stanie  ustalonym,  lecz  nigdy  nie  będzie  go  eliminowało.  Sterowanie
całkujące z nastawą KI ma wpływ na eliminowanie uchybu w stanie ustalonym, lecz pogarsza
odpowiedź  w  stanie  przejściowym.  Sterowanie  róŜniczkujące  z  nastawą  KD  ma  wpływ  na
zwiększenie  stabilności  układu,  zmniejszając  przeregulowanie  i  poprawiając  odpowiedź
przejściową.  Wpływ  nastawy  kaŜdego  sterowania  KP,  KD  oraz  KI  na  układ  zamknięty
zebrany został w tabeli pokazanej poniŜej

Związki te nie zawsze są dokładnie takie jak podane w tabeli, faktycznie zmiana jednej z tych
zmiennych  moŜe  powodować  zmianę  pozostałych.  Z  tego  powodu  tabela  ta  powinna  być
uŜywana jako odniesienie przy określaniu wartości KP, KI oraz KD.
Przy  strojeniu  regulatora  PID  dla  danego  układu  naleŜy  wykonać  następujące  kroki  w  celu
uzyskania poŜądanej odpowiedzi :
1.   Wyznaczenie odpowiedzi układu regulacji z obiektem, ale bez regulatora i określenie co

powinno zostać poprawione;

2. Dodanie sterowania proporcjonalnego w celu poprawienia czasu narastania i zmniejszenia

uchybu w stanie ustalonym;

3.   Dodanie sterowania róŜniczkującego w celu poprawienia przeregulowania;
4.   Dodanie sterowania całkującego w celu wyeliminowania uchybu w stanie ustalonym;
5.   Dostrojenie kaŜdej z nastaw KP, TI oraz TD aŜ uzyska się poŜądaną odpowiedź całego

układu.

Zawsze  moŜna  posiłkować  się  tabelą  pokazaną  w  tym  opracowaniu,  aby  odszukać  na  jakie
wielkości  charakterystyczne  wpływają  poszczególne  sterowania.  Nie  jest  konieczne
zastosowanie  wszystkich  trzech  elementów  regulatora  (proporcjonalnego,  róŜniczkującego,
oraz  całkującego)  w  pojedynczym  układzie.  Dla  przykładu,  jeśli  regulator  PI  daje
wystarczającą  odpowiedź,  wówczas  nie  ma  potrzeby  stosowania  regulatora  róŜniczkującego
w układzie. NaleŜy stosować moŜliwie najprostszy regulator.

Dla  kaŜdego  procesu  istnieje  moŜliwość  ścisłej  analizy  teoretycznej  układów  sterowania,
która pozwala na dowolne wyznaczenie właściwości projektowanego układu, metodyka taka
nie  jest  jednak  przydatna  w  praktyce,  gdyŜ  w  tym  przypadku  przy  dobieraniu  nastaw
regulatorów bardzo rzadko dysponuje się dokładnymi danymi dotyczącymi obiektu. Zadanie
doboru  nastaw  regulatorów  polega  na  takim  ustaleniu  wartości  parametrów,  aby  otrzymać
zadowalające działanie układu sterowania.

Pomiary własności dynamicznych obiektów regulacji metodą skoku jednostkowego

Optymalne  nastawy  regulatorów  opracowywane  są  zazwyczaj  w  postaci  tabel,  wykresów,
wzorów empirycznych zwykle dla obiektów podzielonych na dwie klasy: obiekty statyczne i
obiekty astatyczne, których charakterystyki aproksymuje się następującymi transmitancjami :

obiekty statyczne - czyli takie, w których wielkość sterowana (regulowana) „y”

osiąga stan ustalony w otwartym układzie sterowania (bez pomocy

regulatora).W obiektach tych po pewnym czasie od zaistnienia zmiany

wielkości wejściowej na wyjście samoczynnie ustala się nowa wartość:

obiekty astatyczne - czyli takie, w których wielkość sterowana „y” nie moŜe

osiągnąć stanu ustalonego bez pomocy regulatora:

Sposób wyznaczania parametrów modelu K, T, To odwzorowującego obiekt na podstawie
odpowiedzi na skok jednostkowy pokazano na rysunku

Rys. 10. Sposób określania parametrów K, T, T

na podstawie odpowiedzi skokowej

(jednostkowej) dla (a) obiektu statycznego, (b) obiektu astatycznego

(1)

(2)

Gdzie
K – zastępczy współczynnik proporcjonalności obiektu
T

– zastępcze opóźnienie obiektu

T – zastępcza stała czasowa obiektu

Metody doboru nastaw regulatorów według zasad Zieglera-Nicholsa

Na  bazie  obserwacji  eksperymentalnych  strategii  strojenia  regulatorów  PID  w  procesach
przemysłowych,  Ziegler  i  Nichols  zaproponowali  dwie  metody  doboru  nastaw.  Metody  te
wymagają  pomiaru  odpowiedzi  układu  i  są  powszechnie  stosowane  dla  układów  typu  0
najczęściej  spotykanych  w  układach  sterowania  (np.  sterowanie  poziomem,  temperaturą,
ciśnieniem, przepływem, itd.). Metody doboru nastaw opracowane przez Zieglera i Nicholsa
opierająca się odpowiedzi skokowej i moŜliwe są do zastosowania w tych układach w których
odpowiedź skokowa układu otwartego jest bez przeregulowań tak jak ta pokazana na rysunku
a. Ziegler i Nichols opracowali dwie metody strojenia regulatorów dla takich modeli.

Metoda bazująca na odpowiedzi skokowej

Ziegler  i  Nichols  zauwaŜyli,  Ŝe  odpowiedź  skokowa  większości  układów  sterowania  ma
kształt  podobny  do  tego  z  rysunku  10a.  Krzywa  ta  moŜe  być  otrzymana  z  danych
eksperymentalnych  lub  symulacji  dynamicznej  obiektu.  Krzywa  o  kształcie  S  jest
charakterystyczna dla układów wyŜszych rzędów.
Transmitancja  (1)  aproksymuje  układy  wyŜszych  rzędów  prostym  układem  I  rzędu  z
dodatkowym  opóźnieniem  To  wyraŜonym  w  sekundach.  Stałe  w  równaniu  (1)  mogą  być
określone  z  odpowiedzi  skokowej  procesu.  Jeśli  styczna  narysowana  jest  w  punkcie
przegięcia krzywej odpowiedzi, wówczas nachylenie linii jest wyznaczane ze wzoru R=K/T, a
przecięcie stycznej z osią czasu określa czas opóźnienia To

W  pierwszej  metodzie  wybór  parametrów  regulatora  opiera  się  na  współczynniku  zanikania
równym  w  przybliŜeniu  0.25.  Oznacza  to,  Ŝe  dominująca  składowa  przejściowa  zanika  do
jednej  czwartej  swojej  wartości  maksymalnej  po  jednym  okresie  oscylacji  (rys.  11a).  Takie
zanikanie  odpowiada  współczynnikowi  ζ  =  0.21  w  układzie  II  rzędu  i  wartość  ta  ustalona
została  na  zasadzie  kompromisu  pomiędzy  szybką  odpowiedzią  i  wystarczającym  zapasem
stabilności.
Autorzy  symulowali  równania  dla  róŜnych  układów  na  komputerze  analogowym  i  stroili
parametry  regulatorów,  aŜ  uzyskali  odpowiedzi  przejściowe  zanikające  do  25%  poprzedniej
wartości w jednym okresie. Metoda Zieglera-Nicholsa bazująca na odpowiedzi skokowej daje
dobre rezultaty gdy spełniony jest następujący warunek:

Rys. 13. Przebiegi czasowe (a) kwadratowy współczynnik zanikania, (b) układ na granicy

stabilności

Metoda z wyznaczaniem wzmocnienia krytycznego

W praktyce inŜynierskiej zdarza się, Ŝe transmitancja obiektu regulacji nie jest znana i nie ma
moŜliwości  jej  wyznaczenia,  a  mimo  to  regulator  naleŜy  zastosować  i  dobrać  jego  nastawy.
Wówczas  moŜna  wykorzystać  drugą  zasadę  Zieglera-Nicholsa  pozwalającą  dobrać  nastawy
regulatora  bez  znajomości  transmitancji  obiektu.  Z  zasady  tej  wynika  następujący  tok
postępowania:

regulator zainstalowany przy obiekcie naleŜy nastawić na działanie proporcjonalne P

i zwiększać stopniowo współczynnik wzmocnienia k

regulatora dochodząc do

granicy stabilności

w stanie wzbudzonych oscylacji naleŜy zmierzyć ich okres T

osc

oraz współczynnik

wzmocnienia k

, przy którym powstały oscylacje

zaleŜnie od typu regulatora naleŜy przyjąć parametry z tabeli 1.

Oczywiście, podana zasada tu nie zapewnia optymalnych nastaw regulatora, a pozwala
jedynie dobrać nastawy, przy których układ regulacji moŜe poprawnie działać.

Przykład 1

Obiektem regulacji jest komora grzejna o transmitancji :

( )

(

)

300

exp

−

Obliczyć optymalne nastawy regulatora PID współpracującego z tym obiektem, tak aby przy
20% przeregulowaniu przebiegu przejściowego czas regulacji t

był minimalny.

Korzystamy z tabeli 3 – kryterium 20% przeregulowania i minimum czasu regulacji t

. Z

tabeli otrzymujemy :

300

⋅