CIĄGI, GRANICE CIĄGÓW, GRANICE FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI

1. Z ciągów

n

n

2

2

+













i

{

utworzyć ciąg będący: a) sumą; b) różnicą; c) iloczynem; d) ilorazem tych ciągów oraz

wypisać trzy pierwsze wyrazy tych ciągów.

}

−3n

2. Zbadać monotoniczność ciągu, w którym:

1) a

,

2)

,

3)

n

n

=

+

3

2

a

n n

n

=

−

6

2

a

,

4)

n

n

n

=

+

2

2

1

a

,

5)

n

n

n

=

2

!

a

n

.

n

=

3. Wykazać, że ciąg

n

n

2

2

+













: a) jest ciągiem rosnącym; b) jest ciagiem nieograniczonym.

4. Wykazać, że ciąg

: a) jest malejący; b) nie jest ograniczony.

{

n

n

− 3

2

}

5. Zbadać na podstawie definicji granicy ciągu, czy: 1) lim

n

n

n

→∞

+

=

3

2

3 , 2)

li

n

5 7

.

m

n

→∞

−

= −∞

3

6. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

1) a

n

n

n

n

n

n

=

−

+

+

+ +

2

5

4

3

2

3

3

2

1

,

2) a

n

n

n

n

n

=

+

−

+

−

(

)(

2

3

1

2

1

2

)

,

3) a

n

n

n

n

=

+

+

−

(

)

(

)(

3

1

4

1 3

2

2

)

,

4) a

,

n

n

n

= +

3

1

5) a

n

n

n

= −







+

2

3

5 ,

6) a

n

n

n

=

−

+

( )

1

3

2

, 7)

a

= 



2

, 8)

n

n

n

+

+




3

1

3

9

4

,

3

2

2

n

n

n

+

+

9) a

n

n

n

=

+

−

2

3

2

3

,

10)

a

=

,

11)

n

n

+

2

4

5

a

n

n

=

+

5

2

1

,

12)

,

a

n

n

n

=

+

−

2

3

2

5

13) a

n

n

n

n

=

−

+

−

5

3

1 4

2

2

,

14) a

,

15)

n

n

n

=

+ + +

+

1 2

6

3

2

L

a

n

n

n

n

n

=

+

−

+

+

(

)!

(

)!

1
1

!
!

,

16) a

n

n

n

=

−

+

+

3

7

9

4

2

1

,

17) a

n

n

n

n

=

+

+

2

3

5

2

2

3

3

,

18)

a

, 19)

n

n

=

− 






100

1

100

2

2

a

n

n

n

=

+







1

2

,

20) a

n

n

n

n

=

+







4

2

.

7. Stosując twierdzenie o trzech ciągach wyznaczyć granicę ciągu, w którym: a

n

n

n

n

=

+

+

3

4

5

n

.

8. Wyznaczyć granicę funkcji:

1)

,

2)

, 3)

,

4)

l

(

,

lim(

)

x

x

x

→

−

+

2

2

3

5

2

lim(

)

x

x

x

→

−

−

0

3

2

2

3

3

lim (

)

x

x

x

x

→−

+

−

−

1

3

2

2

3

5

2

im

)

x

x

→−

+

2

4

3

4

5) lim

x

x

x

x

x

→

+ +

+

+

3

2

2

2

2

8

,

6) lim

x

x

x

x

x

→

+

−

+

1

2

3

2

5

2

4

,

7) lim

x

x

x

→

−

−

2

2

2

4

2x

,

8)

li

x

,

m

x

x

→

−

−

3

2

9

3

9) lim

x

x

x

x

→

−

+

−

1

2

3

5

4

1

,

10)

8

6

3

3

2

+

+

−

−

→

x

x

x

x

lim

,

11) lim

(

)

x

x
x

→−

−

+

2

2

3

4

2

,

12) lim

x

x

x

x

→

−
+

0

2

4

3

4

2

,

13) lim

x

x

x

→

−

−

−







2

2

1

2

1

4

,

14) lim

x

x

x

→

−

+

−







1

3

1

1

3

1

, 15) lim

x

x

x

x

→ +∞

−

+

+











3

2

3

4

1

,

16) lim

x

x

x

→ +∞

+

+

2

3

3

1

,

17) lim

x

x

x

x

x

→−∞

+ −

− +











2

2

3

1

2

1

,

18) lim

(

) (

x

x

x

x

x

x

→−∞

+

−

+

+

−

2

3

2

1 5

3

2

2

)

1

, 19) lim

x

x

→

+

1

2

2

5

20) lim

x

x

→

+ −

0

1

1

2

,

21) lim

x

x

x

→

+ −

0

1 1

,

22)

li

x

, 23)

,

24)

m (

)

x

x

→ +∞

+

+

5

3

2

lim (

)

x

x x

→ +∞

−

3

2 3

lim

x

x

x

x

x

→−∞

−

+

+

3

2

2

5

2

2

,

25) lim (

)

x

x x

x

→−∞

+ −

2

1

,

26)

li

x

x

,

27)

m

x

→ +∞

+

+

2

4

2

lim

sin

cos

x

x

x

→

−

π

2

2

1

,

28) lim

sin

x

kx

x

→0

2

2

,

29)

,

30)

lim

x

xctgx

→ 0

lim

x

x

x

→ +∞

+

−







1

3

2

,

31) lim(

)

x

x

x

→

+

+

0

1

2

1

1

,

32) lim

x

x

x
x

→ +∞

+
−







1
1

.

9. Czy funkcja

jest ciągła w punkcie

?

f x

x

( )

=

−

3

5

x = 3

10. Czy funkcja f x

x

x

( )

=

−

+

5

1

3

jest ciągła w punkcie

?

x

= −1

11. Czy funkcja

jest ciągła w punkcie

?

f x

x

x

( ) =

+

+







1

1

2

dla
dla

x
x

<
≥

0
0

x

= 0

12. Dla jakiej wartości funkcja

a

f x

x

x

x

x

a

x

( )

=

−

+

−

≠

=








2

3

2

1

1

1

dla

dla

jest ciągła w punkcie

?

x = 1

1