CIĄGI, GRANICE CIĄGÓW, GRANICE FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
1. Z ciągów
n
n
2
2
+
i
{
utworzyć ciąg będący: a) sumą; b) różnicą; c) iloczynem; d) ilorazem tych ciągów oraz
wypisać trzy pierwsze wyrazy tych ciągów.
}
−3n
2. Zbadać monotoniczność ciągu, w którym:
1) a
,
2)
,
3)
n
n
=
+
3
2
a
n n
n
=
−
6
2
a
,
4)
n
n
n
=
+
2
2
1
a
,
5)
n
n
n
=
2
!
a
n
.
n
=
3. Wykazać, że ciąg
n
n
2
2
+
: a) jest ciągiem rosnącym; b) jest ciagiem nieograniczonym.
4. Wykazać, że ciąg
: a) jest malejący; b) nie jest ograniczony.
{
n
n
− 3
2
}
5. Zbadać na podstawie definicji granicy ciągu, czy: 1) lim
n
n
n
→∞
+
=
3
2
3 , 2)
li
n
5 7
.
m
n
→∞
−
= −∞
3
6. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
1) a
n
n
n
n
n
n
=
−
+
+
+ +
2
5
4
3
2
3
3
2
1
,
2) a
n
n
n
n
n
=
+
−
+
−
(
)(
2
3
1
2
1
2
)
,
3) a
n
n
n
n
=
+
+
−
(
)
(
)(
3
1
4
1 3
2
2
)
,
4) a
,
n
n
n
= +
3
1
5) a
n
n
n
= −
+
2
3
5 ,
6) a
n
n
n
=
−
+
( )
1
3
2
, 7)
a
=
2
, 8)
n
n
n
+
+
3
1
3
9
4
,
3
2
2
n
n
n
+
+
9) a
n
n
n
=
+
−
2
3
2
3
,
10)
a
=
,
11)
n
n
+
2
4
5
a
n
n
=
+
5
2
1
,
12)
,
a
n
n
n
=
+
−
2
3
2
5
13) a
n
n
n
n
=
−
+
−
5
3
1 4
2
2
,
14) a
,
15)
n
n
n
=
+ + +
+
1 2
6
3
2
L
a
n
n
n
n
n
=
+
−
+
+
(
)!
(
)!
1
1
!
!
,
16) a
n
n
n
=
−
+
+
3
7
9
4
2
1
,
17) a
n
n
n
n
=
+
+
2
3
5
2
2
3
3
,
18)
a
, 19)
n
n
=
−
100
1
100
2
2
a
n
n
n
=
+
1
2
,
20) a
n
n
n
n
=
+
4
2
.
7. Stosując twierdzenie o trzech ciągach wyznaczyć granicę ciągu, w którym: a
n
n
n
n
=
+
+
3
4
5
n
.
8. Wyznaczyć granicę funkcji:
1)
,
2)
, 3)
,
4)
l
(
,
lim(
)
x
x
x
→
−
+
2
2
3
5
2
lim(
)
x
x
x
→
−
−
0
3
2
2
3
3
lim (
)
x
x
x
x
→−
+
−
−
1
3
2
2
3
5
2
im
)
x
x
→−
+
2
4
3
4
5) lim
x
x
x
x
x
→
+ +
+
+
3
2
2
2
2
8
,
6) lim
x
x
x
x
x
→
+
−
+
1
2
3
2
5
2
4
,
7) lim
x
x
x
→
−
−
2
2
2
4
2x
,
8)
li
x
,
m
x
x
→
−
−
3
2
9
3
9) lim
x
x
x
x
→
−
+
−
1
2
3
5
4
1
,
10)
8
6
3
3
2
+
+
−
−
→
x
x
x
x
lim
,
11) lim
(
)
x
x
x
→−
−
+
2
2
3
4
2
,
12) lim
x
x
x
x
→
−
+
0
2
4
3
4
2
,
13) lim
x
x
x
→
−
−
−
2
2
1
2
1
4
,
14) lim
x
x
x
→
−
+
−
1
3
1
1
3
1
, 15) lim
x
x
x
x
→ +∞
−
+
+
3
2
3
4
1
,
16) lim
x
x
x
→ +∞
+
+
2
3
3
1
,
17) lim
x
x
x
x
x
→−∞
+ −
− +
2
2
3
1
2
1
,
18) lim
(
) (
x
x
x
x
x
x
→−∞
+
−
+
+
−
2
3
2
1 5
3
2
2
)
1
, 19) lim
x
x
→
+
1
2
2
5
20) lim
x
x
→
+ −
0
1
1
2
,
21) lim
x
x
x
→
+ −
0
1 1
,
22)
li
x
, 23)
,
24)
m (
)
x
x
→ +∞
+
+
5
3
2
lim (
)
x
x x
→ +∞
−
3
2 3
lim
x
x
x
x
x
→−∞
−
+
+
3
2
2
5
2
2
,
25) lim (
)
x
x x
x
→−∞
+ −
2
1
,
26)
li
x
x
,
27)
m
x
→ +∞
+
+
2
4
2
lim
sin
cos
x
x
x
→
−
π
2
2
1
,
28) lim
sin
x
kx
x
→0
2
2
,
29)
,
30)
lim
x
xctgx
→ 0
lim
x
x
x
→ +∞
+
−
1
3
2
,
31) lim(
)
x
x
x
→
+
+
0
1
2
1
1
,
32) lim
x
x
x
x
→ +∞
+
−
1
1
.
9. Czy funkcja
jest ciągła w punkcie
?
f x
x
( )
=
−
3
5
x = 3
10. Czy funkcja f x
x
x
( )
=
−
+
5
1
3
jest ciągła w punkcie
?
x
= −1
11. Czy funkcja
jest ciągła w punkcie
?
f x
x
x
( ) =
+
+
1
1
2
dla
dla
x
x
<
≥
0
0
x
= 0
12. Dla jakiej wartości funkcja
a
f x
x
x
x
x
a
x
( )
=
−
+
−
≠
=
2
3
2
1
1
1
dla
dla
jest ciągła w punkcie
?
x = 1
1