ITRF a ICRF
(Definicje i transformacje)
wiele elementów wykładu
zwłaszcza część:
Wyznaczenie pozycji z obserwacji sztucznych satelitów
Ziemi
jest autorstwa prof. J. Rogowskiego
ITRF a ICRF
(Definicje i transformacje)
wiele elementów wykładu
zwłaszcza część:
Wyznaczenie pozycji z obserwacji sztucznych satelitów
Ziemi
jest autorstwa prof. J. Rogowskiego
Międzynarodowy niebieski układ odniesienia ICRF
(International Celestial Reference Frame)
Realizacja ICRS-1 została przyjęta przez MUA w 1997 r.
212 radioźródeł
Zasada
działania
VLBI:
rejestrowane
jest tylko
opóźnienie
sygnału z
jednego źródła
na dwu stacjach
Równanie opóźnienia
ijk
VLBI dla radioźródła (
k
,
k
):
)
(
sin
sin
cos
cos
cos
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
1
1
0
0
1
1
0
1
0
t
t
c
c
y
x
y
x
Z
Y
X
c
j
i
i
k
k
k
k
k
j
j
j
j
j
j
j
j
i
i
i
ijk
Chautauqua 2001
Quasars, hotspots, polarization
VLBI jest najdokładniejszą techniką w astrofizyce –
rozdzielczości rzędu dziesiątek mikrosekund kątowych.
Większość radioźródeł to jądra aktywnych galaktyk lub kwazary.
Jądro gigantycznej galaktyki
M87 (supergromada Virgo)
zobrazowane przez VLBI
Nawet odległe radioźródła
(kwazary) używane
w definicji układu
niebieskiego ICRS
wykazują dynamikę
Radioźródła definiujące układ ICRS
mają śledzony kształt (muszą być
możliwie zwarte) i położenie
Niektóre radioźródła
wykazują pewną
niestabilność
pozycji
(rozwiązuje się
ją wielokrotnie,
tzw. łuk - arc)
Stabilność pozycji radioźródeł układu ICRF-1
Osie układu ICRF starano się dopasować do katalogu astrometrycznego FK5
Dwie realizacje
układu niebieskiego
- optyczna (FK5)
- radioastronomiczna
(ICRS)
i rzeczywisty biegun
epoki J2000.0 (faza
precesji osi Ziemi)
nieznacznie się różnią.
Nowa realizacja ICRF–2 (stabilność osi: 10 μas)
zawiera pozycje aż 3414 radioźródeł ale 1217 jest przyjęta a
295 określone jako "defining sources"
295 ICRF2 "defining sources"
Stabilność pomierzonych do układu ICRF radioźródeł
Effelsberg
Mobile VLBI – TIGO (GFZ) i NASA (GSFC)
Mark 4 VLBI Correlator
at Haystack Observatory
Korelator to komputer opracowujący serie
obserwacji VLBI (czyli modulację sygnału
z radioźródła z zarejestrowaną skalą czasu
atomowego) dla jednoczesnych obserwacji
danego radioźródła przez dwa
radioteleskopy
Za pomocą VLBI po raz pierwszy zaobserwowano oddalanie się
Europy od Ameryki Północnej (poszerzanie Atlantyku)
Ziemski układ odniesienia ITRF
Układ ITRF–realizacja systemu ITRS –układ obracający się z Ziemią
ITRF (International Terrestrial Reference Frame) –od 1988r
Ostatnia realizacja to ITRF2008 (powyżej wszystkie stacje rozwiązane),
poprzednie realizacje: ITRF2005, ITRF 2000, ITRF97.
Międzynarodowy Ziemski Układ Odniesienia ITRF (International Terrestial
Reference Frame) – realizacja 1997
Przykład kolokacji technik:
(VLBI i GPS), Matera, Włochy
ITRF wyznaczamy za pomocą
technik 'kosmicznych':
VLBI, SLR, GNSS i DORIS.
A zatem ITRF powstaje przez
nawiązanie do ICRF!
Każde pełne rozwiązanie pozycji z technik kosmicznych musi
obejmować elementy ruchu obrotowego Ziemi (orientacji Ziemi).
Realizacja układu ITRF następuje poprzez kombinację współrzędnych
stacji z 4 technik łącznie z parametrami ruchu obrotowego Ziemi
(EOP).
SLR - Satellite Laser Ranging
Teleskop SLR
w Poczdamie
Okresowe zmiany
geocentrum z satelity
LAGEOS
Satelita Lageos
kulę o średnicy 60 cm
i masie aż 400 kg
pokrywa 426 odbłyśników
Wyspecjalizowane satelity SLR są po prostu kulami pokrytymi zwierciadłami
laserowymi. Pojedyncze odbłyśniki umieszcza się także na wielozadaniowych
satelitach altimetrycznych (Topex/Poseidon, Jason), grawitacyjnych (CHAMP,
GRACE) i niektórych nawigacyjnych (niektóre GPS, wszystkie Glonass).
Satelita
GRACE
i jego zwierciadło
Laserowe (LRR).
DORIS - dopplerowski system typu ‘uplink’(odbiornik na satelicie)
Częstotliwości: główna: 2036,25 MHz, pomocnicza: 401,25 MHz
Pokrycie orbity satelity TOPEX/Poseidon (wysokość 1330 km)
przez stacje (nadajniki) systemu DORIS
Seria współrzędnych
z DORIS.
Stacje GNSS w układzie ITRF 2008
Punkty układu ITRF2008 kolokowane z VLBI, SLR i DORIS.
91 głównych stacji ITRF2008 (core stations) z obwodem 1000 km
Prędkości horyzontalne w układzie ITRF2008
(rys.
Zuheir Altamimi)
Prędkości pionowe w układzie ITRF2008
(rys.
Zuheir Altamimi)
Współrzędne w układzie ziemskim ITRF podawane są w postaci kartezjańskiej
(X ,Y, Z) ECEF Earth Centered Earth Fixed (geocentryczne, związane z Ziemią)
Fragment pliku z pozycjami stacji GPS
w realizacji układu ITRF 2005
Zawiera: identyfikator punktu, stacja, kod, współrzędne XYZ, prędkości
(zmiana współrzędnych) i parametry rozwiązania (sigmy).
Współrzędne stacji w układzie ITRF.XX na daną epokę t obliczamy:
gdzie: t
0
- epoka modelu
v - prędkości stacji w modelu
Δx
i
- poprawki ze względu na różne zjawiska to jest:
- pływy litosfery (solid Earth tides)
- efekty obciążeniowe oceaniczne (ocean loading)
- efekty obciążeniowe atmosferyczne (atmospheric loading)
- rotacyjne deformacje ze względu na ruch bieguna
- efekty instrumentalne (model centrum fazowego anteny itp.)
Prędkości stacji choć empiryczne, zgadzają się
z modelem geologicznym ruchu płyt
kontynentalnych (np. model NNR NUVELL).
Dla układów kontynentalnych związanych z daną płytą jak ETRF prędkości stacji v
są znacznie mniejsze (śródpłytowe) dodatkowo uwzględniamy:
- wypiętrzenie postgalcjalne (postgalcial rebound).
Służba IERS i jej rola w tworzeniu
i konserwacji ziemskich układów odniesienia(1)
Międzynarodowa Służba Ruchu Obrotowego Ziemi (IERS) została powołana
przez Międzynarodową Unię Astronomiczną (IAU) i Międzynarodową Unię
Geodezji i Geofizyki w 1987 roku.
W 2003 roku została przemianowana na
Międzynarodową Służbę Ruchu
Obrotowego Ziemi i Systemów Odniesienia
(International Earth Rotation and
Reference Systems Service).
Do zadań należą:
•Definicja Międzynarodowego Niebieskiego Systemu Odniesienia (ICRS) i jego
realizacja w postaci układu współrzędnych (ICRF).
•Definicja Międzynarodowego Ziemskiego Systemu Odniesienia (ITRS) i jego
realizacja w postaci układu współrzędnych (ITRF).
•Wyznaczenie parametrów orientacji Ziemi (EOP) i ich zmian dla zapewnienia
parametrów transformacji pomiędzy ICR i ITRF.
•Analiza danych geofizycznych dla interpretacji zmian ICRF, ITRF, EOP i ich
modelowanie.
•Standardy, stałe i modele (konwencje) - opisane w publikacji:
IERS Conventions 2010
Służba IERS i jej rola w tworzeniu
i konserwacji ziemskich układów odniesienia(2)
Międzynarodowa Służba Ruchu Obrotowego Ziemi i Systemów Odniesienia
(International Earth Rotation and Reference Systems Service) posiada
następujące służby obserwacyjne i opracowania danych dla poszczególnych
technik:
o Międzynarodowa Służba GNSS (IGS)
o Międzynarodowa Służba Pomiarów Laserowych Odległości (ILRS)
o Międzynarodowa Służba VLBI (IVS)
o Międzynarodowa Służba DORIS (IDS)
Transformacja współrzędnych ortokartezjańskich
– macierze obrotu
Obrót wokół osi x
y
x
r
Z
Y
X ,
,
Z
Y
X
r
Z
Y
X ,
,
Transformacja:
(
)
z
y
x
x
Z
Y
X
r
R
r
,
,
,
,
e
gdzie macierz obrotu:
(
)
e
e
e
e
e
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
x
R
z
Obrót wokół osi OY
(
)
z
y
x
y
Z
Y
X
r
R
r
,
,
,
,
e
gdzie
:
(
)
e
e
e
e
e
cos
0
sin
0
1
0
sin
0
cos
y
R
Obrót wokół osi OZ
(
)
z
y
x
z
Z
Y
X
r
R
r
,
,
,
,
e
gdzie:
(
)
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
e
e
e
e
e
z
R
Schemat transformacji współrzędnych do starszej wersji układu ITRF:
i
05
- ITRF2005 i
08
- ITRF2008
T - wektor translacji między układami
R - macierz rotacji między układami
Wartości liczbowe parametrów tej i innych transformacji (do innych
wersji układu ITRF i innych układów jak WGS-84, WGS-72) są
podane w literaturze (Altamimi) i mają charakter empiryczny…
Parametry transformacji ITRF2008 » ITRF2005 w epoce 2005.0
(jest to wynik łącznego wyrównania - te same stacje mają w kolejnych
realizacjach odrobinę różne współrzędne - transformacja opisuje najbardziej
zgodne przejście między różnymi realizacjami układu.
Wpływ precesji przedstawiony w postaci transformacji przez obroty
( ) ( ) ( )
P
z
y
z
T
r
R
R
z
R
r
0
0
r
P
r
T
P – macierz precesji
r
T
– wektor określający pozycję ciała
niebieskiego poprawiona o wpływ
precesji
r
T0
– wektor określający pozycję ciała w
układzie ICRT (T0 – epoka początkowa
J2000)
R
z
(z), R
y
(
),R
z
(-
) – macierze obrotowe
gdzie:
3
2
017988
.
0
"
30188
.
0
"
2181
.
2306
t
t
t
3
2
"
041833
.
0
"
42665
.
0
"
3109
.
2004
t
t
t
3
2
018203
.
0
09468
.
1
"
2181
.
2306
t
t
t
z
25
.
365
0
.
2451545
36525
2000
JD
JD
JD
t
P
Po przemnożeniu macierzy elementarnych macierz precesji:
Czasami jest potrzebne jeszcze
e
:
3
2
001813
.
0
00059
.
0
8150
.
46
448
.
84381
t
t
t
e
Wpływ nutacji przedstawiony w postaci transformacji przez obroty
(
) (
) ( )
0
r
R
d
R
d
R
r
N
x
z
x
e
e
e
e
0
r
N
r
gdzie:
r
- wektor określający średni kierunek do ciała niebieskiego (poprawiony o
wpływ precesji)
r
T
– wektor określający prawdziwy kierunek do ciała niebieskiego – kierunek średni
poprawiony o wpływ nutacji
d
- całkowita nutacja w długości
e
e
d
- całkowita nutacja w nachyleniu
Wzajemne położenie osi z
ICRF
i z
ITRF
oraz wektora prędkości
chwilowej
ITRF – International Terrestrial
Refference Frame,
Międzynarodowy Ziemski Układ
Współrzędnych0
ICRF – International Celestial Reference
Frame, Międzynarodowy
Niebieski Układ Współrzednych
- wektor prędkości obrotowej Ziemi
P
chw
– Biegun Chwilowy, kierunek z
chw
układu chwilowego Ziemskiego i
chwilowego niebieskiego układu
odniesienia (biegun CIP)
Nie pokrywanie się osi z
ICRF
osi z
chw
i osi z
ITRF
spowodowane jest wpływem
precesji i nutacji oraz ruchu bieguna
ITRF
ITRF
ICRF
ICRF
Parametryzacja
ruchu obrotowego
Ziemi musi
wejść w tej
czy innej postaci
do transformacji
ICRF » ITRF
Wzajemne położenie osi chwilowego niebieskiego układu
odniesienia i chwilowego ziemskiego układu odniesienia – kąt
obrotu Ziemi (czas gwiazdowy Greenwich)
(
)
.
.
,
,
ziem
chw
z
y
x
(
)
.
.
,
,
ziem
chw
z
y
x
osie chwilowego ziemskiego
układu odniesienia
-osie chwilowego niebieskiego
układu odniesienia
S
GR
– Prawdziwy czas gwiazdowy
Greenwich (w nowej nomenklaturze kat
obrotu Ziemi ERA Earth Rotation Angle)
( )
nieb
chw
z
ziem
chw
r
S
R
r
(
)
nieb
chw
z
ziem
chw
r
ERA
R
r
Oś z obu układów chwilowych czyli kierunek na
CIP - Celestial Inermediate Pole
(dawniej CEP- Celestial Ephemeris Pole) jest ta sama!
Transformacja chwilowych współrzędnych ziemskich do układu
odniesienia ITRF (poprawka ze względu na wpływ ruchów bieguna)
(rysunek: Seeber)
CTP - biegun układu ITRF
X
T
Y
T
Z
T
- ziemski układ chwilowy
Transformacja chwilowych współrzędnych ziemskich do układu
odniesienia ITRF (poprawka ze względu na wpływ ruchów bieguna)
( ) ( )
ziem
chw
W
x
y
ITRF
r
y
R
x
R
r
ziem
chw
ITRF
r
W
r
gdzie:
W – macierz wpływu ruchów bieguna
R
x
(-y) – macierze obrotowe o kąty x, y
x, y – chwilowe pozycje bieguna podawane przez Międzynarodową Służbę Ruchu
Obrotowego Ziemi i Układów Odniesienia IERS (dostępne na stronie
internetowej IERS)
Transformacja z układu odniesienia ICRF do układu odniesienia
ITRF
sin
sin
cos
cos
cos
r
z
y
x
r
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
(
)
(
)
(
)
ITRF
ITRF
ITRF
w
w
w
ITRF
z
y
x
B
H
e
N
L
B
H
N
L
B
H
N
r
sin
1
sin
cos
cos
cos
2
nieb
chw
nieb
chw
nieb
chw
z
y
x
r
r
sin
sin
cos
cos
cos
ICRF
r
Precesja
Nutacja
nieb
chw
r
S
GR
lub ERA
chw
ziem
r
Ruch
bieguna
ITRF
r
Macierze transformacji:
P(ζ,θ,z) i N(Δε+dε,Δψ+dψ, ε)
lub Q(X,Y) w nowym
systemie IAU2000
Alternatywne wielkości to
także: UT1, UT1-UTC lub
LOD; omówione na
wykładzie o skalach czasu
W(x,y) macierz transformacji
z bieguna chwilowego CIP do
bieguna ITRF; omówione na
poprzednim wykładzie
ICRF
ITRF
r
WSNP
r
gdzie:
P – macierz precesji
N – macierz nutacji
S – macierz obrotu o czas gwiazdowy
Greenwich lub ERA
W – macierz ruchu bieguna
Porównanie 'starego' (precesja IAU1976 i nutacja IAU1980) systemu
współrzędnych niebieskich z 'nowym' IAU 2000/2009
IAU 1976/1980
IAU2000 A/B
Quasikartezjańskie współrzędne średnie i
chwilowe
Współrzędne kartezjańskie
Układ newtonowski, dynamiczny
Układ relatywistyczny, kinematyczny
Średni równik i średni punkt Barana na daną
epokę
Stały Pośredni System Odniesienia (IRS):
biegun CIP i początek CEO
Biegun konwencjonalny CIO*
Biegun układu ITRS
Ruch bieguna: CEP -jako oś obrotu Ziemi
Model ruchu Pośredniego Bieguna Niebieskiego
CIP
Precesja-nutacja i ruch bieguna rozdzielone za
pomocą CEP
Precesja-nutacja i ruch bieguna rozdzielone
jednoznacznie w dziedzinie częstotliwości
Model nutacji IAU 1980: d
, d
e
Model nutacji-precesji MHB2000, później IAU
2006 (ruchu CIP względem BCRS) dany w
postaci szeregu X, Y
Dokładność do 0”.001
Dokładność do 0”.000001 (wersja A)
IAU 1976/1980
IAU2000 A/B
Tempo rotacji Ziemi opisuje na UT1
Tempo rotacji Ziemi opisuje ERA (Kąt Obrotu
Ziemi) będący kątem między CEO i TEO,
mierzonym na równiku CIP
ICRS bazuje na FK5
ICRS bazuje na katalogu Hipparcos i i ICRS z
obserwacji VLBI
Punkt Barana jako kierunek osi X
zmienny z roku na rok ze względu na precesję
CEO – z grubsza zgodny z punktem równonocy
epoki J2000.0 (NRO), stały w przestrzeni
TDT/TT – zmienną niezależną efemeryd
(przedłużenie TE)
TT – zmienną niezależną efemeryd
W równaniach: TCB i TCG
Czas gwiazdowy S bazuje na UT1
Czas gwiazdowy bazuje na ERA i modelu
precesji (obecnie P03)
Wielki potencjał dokładności nowego systemu (nawet na poziomie mikrosekund łuku) ma znaczenie praktyczne w
pomiarach VLBI lub satelitów astronomicznych.
Np. czas TT odniesiony do TCG uwzględnia relatywistyczne efekty potencjału Ziemi. Podobnie czas TCG względem
TCB uwzględnia fakt, że Ziemia porusza się w potencjale Słońca.
ICRS ma dwa ‘wcielenia’: BCRS – Barycentryczny (Układ Słoneczny) i GCRS – Geocentryczny Niebieskie Układy
Odniesienia są zdefiniowane z myślą o metryce relatywistycznej (czasoprzestrzennej) wobec czego mają inne czasy
TCB i TCG. Spełniają warunek zerowego wzajemnego obrotu.
Nowa filozofia systemu IAU 2000 bierze się m.in. stąd, że bazuje on na układzie niebieskim, realizowanym jako
katalog na epokę J2000.0 (układ nierotujący), dopiero na tej bazie definiujemy początek CIP (w postaci szeregu
funkcyjnego współrzędnych X,Y CIP względem BCRS), cała niezamodelowana reszta ruchów Ziemi traktowana jest
jako ruch bieguna.
Tradycyjny model precesji
IAU 1976
i nutacji
IAU 1980
W nowym systemie współrzędnych niebieskich
IAU 2000
Na macierz precesji składają się trzy obroty:
)
(
)
(
)
(
3
2
3
R
R
z
R
P
kąty precesji:
3
2
3
2
3
2
041833
.
0
42665
.
0
3109
.
2004
018203
.
0
09468
.
1
2182
.
2306
017998
.
0
30188
.
0
2182
.
2306
T
T
T
T
T
T
z
T
T
T
Nutację także realizuje osobna macierz nutacji:
)
(
)
(
)
(
1
3
1
e
e
e
R
R
R
N
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
4
3
2
3
s
R
E
R
d
R
E
R
t
Q
Macierz precesja-nutacja:
ITRS
GCRS
e
t
W
t
R
t
Q
e
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3
R
t
R
R(t) – rotacja związana z obrotem Ziemi
gdzie θ to po prostu kąt obrotu Ziemi ERA jednoznacznie związany z czasem UT1
1
1
0
0
1
)
(
)
(
1
2
y
x
y
x
y
R
x
R
W
p
p
Transformacja ze względu na ruch bieguna:
W nieco innym, częściej stosowanym ujęciu, nowego systemu (IAU2000)
macierz precesja nutacja Q(t) to po prostu położenie bieguna chwilowego
CIO względem bieguna niebieskiego (współrzędne CIO w układzie
niebieskim to X, Y).
W najprostszej wersji:
Gdzie: τ - liczba dni od JD2000.0
Dokładniejsze wersje:
Według: P. T. Wallace and N. Capitaine: IAU 2006 precession-nutation procedures, Online Material
Wyznaczenie pozycji z obserwacji sztucznych satelitów Ziemi
1. Z pomiarów odległości do satelity
d
1
, d
2
, d
3
– pomierzone odległości do
satelitów, na ogół każda w
innym momencie, przypadek
trudniejszy będzie omówiony
później
W przypadku pomiaru w tym samym
momencie (n.p. do kilku satelitów) ma to
n.p. miejsce w przypadku technologii GPS.
Rozwiązanie polega na obliczeniu
przestrzennego wcięcia liniowego.
Równania układamy w tym układzie współrzędnych, w którym znamy położenie satelity
(układzie niebieskim ICRF)
X
i
ICRF
,
Y
i
ICRF
, Z
i
ICRF
– współrzędne i-tego satelity w układzie ICRF
x
ICRF
, y
ICRF
, z
ICRF
– współrzędne punktu P w układzie ICRF
Równania dla kul przyjmują postać
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
d
z
Z
y
Y
x
X
d
z
Z
y
Y
x
X
d
z
Z
y
Y
x
X
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
W tym układzie będą trzy niewiadome x
ICRF
, y
ICRF
, z
ICRF
– wyznaczane współrzędne
punktu w układzie ICRF.
Tych jednoczesnych pomiarów może być więcej niż 3. W tym przypadku:
(
) (
) (
)
2
2
2
z
Z
y
Y
x
X
d
i
i
i
i
(1)
Napiszemy równanie obserwacyjne w metodzie pośredniczącej:
(
)
dz
dxdy
dd
d
v
d
i
obl
i
i
obs
i
,
gdzie:
i
v
obs
i
d
obl
i
d
dz
z
d
dy
y
d
dx
x
d
dd
i
i
i
i
- poprawka do pomierzonej i-tej odległości
- zaobserwowana odległość do satelity
- obliczona przy pomocy wzoru (1) wartość odległości, gdzie podstawiamy
przybliżone wartości współrzędnych wyznaczanego punktu x
przybl
, y
przybl
,
z
przybl
Równanie obserwacyjne przy założeniu bezbłędnej orbity przyjmie postać
i
l
obs
i
obl
i
i
i
i
i
d
d
dz
z
d
dy
y
d
dx
x
d
v
gdzie: dx, dy, dz – poszukiwane niewiadome (poprawki do przybliżonych współrzędnych
punktu wyznaczanego)
i
i
i
i
i
i
c
dz
d
b
dy
d
a
dx
d
Współczynniki przy niewiadomych uzyskujemy różniczkując (1)
obs
i
obl
i
i
d
d
l
wyraz wolny w równaniu poprawek
podstawiając otrzymamy:
i
i
i
i
i
l
dz
c
dy
b
dx
a
v
W zapisie macierzowym
równanie obserwacyjne:
L
AX
V
gdzie:
dz
dy
dx
X
n
n
n
c
b
a
c
b
a
c
b
a
...
...
...
2
2
2
1
1
1
A
n
l
l
l
...
2
1
L
dla obserwacji niejednakowo dokładnych, używając macierzy wag:
n
P
P
P
1
...
1
B
P
2
0
σ
n
n
σ
PV
V
T
2
0
ˆ
gdzie:
2
0
ˆσ
- estymator współczynnika wariancji
n
n
- liczba stopni swobody (obserwacji nadliczbowych)
Równania normalne mają postać:
0
PL
A
PA
A
T
T
niewiadome i ich charakterystyki dokładności
PL
A
PA
A
X
T
T
1
ˆ
n
n
σ
PV
V
T
2
0
ˆ
( )
1
2
0
cov
PA
A
T
x
B = cov(X)
albo w postaci krakowianowej
l
a
x
v
dz
dy
dx
x
n
n
n
c
b
a
c
b
a
c
b
a
...
...
...
2
2
2
1
1
1
a
n
l
l
l
...
2
1
l
gdzie:
v – krakowian poprawki do obserwacji
x – krakowian niewiadomych
τ – krakowian jednostkowy
l – krakowian wyrazów wolnych
następnie układamy krakowianowy układ równań normalnych
la
xa
2
rozwiązując otrzymamy:
( )
( )
1
2
a
la
x
Schemat obliczeń
Dane: a, e, i ,
,
, t
p
– parametry orbity oskulacyjnej na moment obserwacji t obliczamy
na przykład następująco dla każdego z powyższych elementów:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
...
2
1
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
2
1
...
2
1
2
0
2
2
0
0
2
0
2
2
0
0
2
0
2
2
0
0
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
t
t
t
e
e
e
t
t
t
a
t
t
t
a
a
a
p
p
p
p
lub też n.p. dla elementu a:
t
t
dt
t
a
a
a
0
0
gdzie:
a
0
, e
0
, t
0
,
0
,
0
, (t
p
)
0
– wartości średnich elementów orbity na moment
t
0
Mając dane parametry orbity oskulacyjnej obliczamy X
i
ICRF
, Y
i
ICRF
, Z
i
ICRF
na moment
wykonania obserwacji
i dalej według schematu:
Dane początkowe
a
0
, e
0
, t
0
,
0
,
0
, (t
p
)
0
na moment t
0
Obliczenie parametrów orbity
oskulacyjnej na moment obserwacji t
a, e, i,
,
, t
p
Obliczenie współrzędnych „n” satelitów w układzie ICRF
ICRF
n
ICRF
n
ICRF
n
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
ICRF
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
,
,
.......
..........
..........
,
,
,
,
2
2
2
1
1
1
Ułożenie i rozwiązanie równań obserwacyjnych –
obliczenie pozycji punktu w układzie ICRF
Transformacja współrzędnych punktu do układu ITRF
(precesja, nutacja, ruch bieguna, kąt ERA)
Podobnie można wyznaczyć pozycję punktu z niejednoczesnych obserwacji odległości do
satelitów, w tym przypadku jednak będziemy posługiwali się pozycją satelity w układzie
ziemskim ITRF.
Schemat obliczeń będzie następujący dla i-tego satelity w momencie obserwacji
Dane początkowe
na moment t
0
a
0
, e
0
, t
0
,
0
,
0
, (t
p
)
0
Obliczenie parametrów orbity oskulacyjnej
na moment obserwacji i-tego satelity t
i
a, e, i,
,
, t
p
Obliczenie współrzędnych i-tego satelity w momencie
czasu t
i
w układzie ICRF
ICRF
i
ICRF
i
ICRF
i
Z
Y
X
,
,
TRANSFORMACJA współrzędnych i-tego satelity w
momencie , do układu ITRF obliczenie X
i
ITRF
, Y
i
ITRF
, Z
i
ITRF
Transformacja o precesję, nutację, ruch bieguna i kąt ERA
Ułożenie równań obserwacyjnych w układzie ITRF
Podobnie układy równań obserwacyjnych dla kolejnych obserwacji i = 1,2,3 ....
Rozwiązujemy metodą najmniejszych kwadratów.
Ogólny schemat układów odniesienia używanych
w geodezji satelitarnej:
inercjalne, ziemskie, lokalne.
Układ globalny
(geograficzny)
a układ lokalny
ECEF -
Earth Centered
Earth Fixed
Układ współrzędnych geograficznych astronomicznych
g
-
wektor przyspieszenia
siły ciężkości
-
szerokość geograficzna
-
długość geograficzna
Układ współrzędnych elipsoidalnych (szerokość i długość geodezyjna)
P
– punkt na fizycznej
powierzchni Ziemi
O
– środek masy Ziemi
n
e
– wektor jednostkowy
normalnej do elipsoidy
n
g
– wektor jednostkowy
kierunku przyspieszenia
siły ciężkości
B
– szerokość geodezyjna
L
– długość geodezyjna
– odchylenie pionu
B
L
B
L
B
n
e
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
g
g
n
g
g
e
n
n
cos
iloczyn skalarny!
(
)
g
e
n
n
arccos
Odchylenie pionu
– ważna wielkość
W geodezji wiąże pomiary geodezyjne wykonane instrumentami zorientowanymi zgodnie
z kierunkiem pionu z elementami które zostaną zredukowane na elipsoidę.
Dlaczego w geodezji używamy elipsoidy jako powierzchni aproksymującej
powierzchnię Ziemi?
Jest to wynikiem:
1. Tradycji
2. Łatwości odwzorowania elementów przedstawionych na jej powierzchni na
płaszczyznę (mapę)
3. Niewielkie zniekształcenie przy redukcji pomierzonych elementów z fizycznej
powierzchni Ziemi na elipsoidę.