Materiały przygotowane w ramach projektu „Uruchomienie
unikatowego kierunku studiów Informatyka Stosowana odpowiedzią
na zapotrzebowanie rynku pracy” ze środków Programu Operacyjnego
Kapitał Ludzki współfinansowanego ze środków Europejskiego
Funduszu Społecznego nr umowy UDA – POKL.04.01.01-00-011/09-00
Wprowadzenie do matematyki
Materiały do zajęć (3, 4):
Funkcje elementarne.
Podstawowe własności funkcji.
Funkcja liniowa.
Wartość bezwzględna.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
30
Temat 2: Funkcje elementarne
1. Podstawowe własności funkcji
2. Funkcja liniowa.
Dziedziną (ozn. D
f
) funkcji liniowej jest zbiór R.
Definicja.
Funkcja f jest okresowa wtedy i tylko wtedy, gdy
f
D
x
t
0
[
f
f
D
t
x
D
t
x
)
(
)
(
t
x
f
x
f
].
Definicja.
Funkcja f jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy
f
D
x
x
2
1
,
[
2
1
x
x
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
].
Definicja.
Funkcję f nazywamy nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy
)
(
)
(
,
x
f
x
f
D
x
x
f
.
Definicja.
Funkcję f nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy
)
(
)
(
,
x
f
x
f
D
x
x
f
.
Definicja.
Funkcja f jest malejąca w przedziale
)
,
( d
c
wtedy i tylko wtedy, gdy
)]
(
)
(
[
)
,
(
,
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
d
c
x
x
.
Definicja.
Funkcja f jest rosnąca w przedziale
)
,
( d
c
wtedy i tylko wtedy, gdy
)]
(
)
(
[
)
,
(
,
2
1
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
d
c
x
x
.
Definicja.
Miejscem zerowym funkcji f nazywamy argument
f
D
x
, dla którego
0
)
(
x
f
.
Definicja.
Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci:
b
ax
x
f
)
(
,
b
a,
R,
x R,
a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, b jest wyrazem wolnym.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
31
Wykresem funkcji liniowej jest prosta o równaniu
b
ax
y
,
b
a,
R nachylona do osi OX
pod kątem
takim, że
tg
a
.
f
D
x
nazywamy argumentem funkcji f,
)
(x
f
y
jest wartością funkcji f dla argumentu x.
Jeśli
0
a
, to zbiorem wartości funkcji liniowej jest zbiór R. Dla
0
a
f jest funkcją stałą
o zbiorze wartości
}
{b , jej wykresem jest prosta o równaniu
b
y
, równoległa do osi OX
i przecinająca oś OY w punkcie
)
,
0
( b . Jeśli
0
a
i
0
b
, to wykresem funkcji liniowej jest
prosta
ax
y
przechodząca przez początek układu współrzędnych.
Przykład.
Narysować wykres funkcji:
a)
x
x
f
2
)
(
,
b)
1
)
(
x
x
f
,
c)
5
)
(
x
f
,
podać jej miejsce zerowe oraz omówić podstawowe własności.
x
y
a=0
x
y
α
a<0
x
y
α
a>0
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
32
Wniosek.
Miejsce zerowe funkcji liniowej jest rozwiązaniem równania
0
b
ax
,
b
a,
R,
x R:
dla
0
a
i
b
R miejscem zerowym jest
a
b
x
,
dla
0
a
i
0
b
funkcja ma nieskończenie wiele miejsc zerowych:
f
D
x
,
dla
0
a
i
0
b
funkcja nie ma miejsca zerowego.
Wniosek.
Funkcja liniowa
b
ax
x
f
)
(
,
x R jest:
rosnąca w R, gdy
0
a
,
malejąca w R, gdy
0
a
,
stała dla
0
a
.
Wniosek.
Funkcja liniowa
b
ax
x
f
)
(
,
x R jest:
parzysta, gdy
0
a
i
b
R,
nieparzysta, gdy
0
b
i
a R.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, z kolei wykres funkcji
nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Wniosek.
Funkcja liniowa
b
ax
x
f
)
(
,
x R jest różnowartościowa w R dla
0
a
.
Funkcja jest różnowartościowa w pewnym zbiorze, jeśli różnym argumentom z tego
zbioru odpowiadają różne wartości funkcji. Geometrycznie, każda prosta o równaniu
0
y
y
(
0
y należy do zbioru wartości funkcji f) ma z wykresem funkcji f dokładnie jeden punkt
wspólny.
Korzystając z zasady kontrapozycji powiemy, że funkcja f jest różnowartościowa
wtedy i tylko wtedy, gdy
f
D
x
x
2
1
,
[
)
(
)
(
2
1
x
f
x
f
2
1
x
x
].
Przykład.
Narysować podzbiory płaszczyzny:
a)
}
3
:
)
,
{(
x
y
y
x
y
x
A
R
R
,
b)
}
1
:
)
,
{(
y
y
x
y
x
B
R
R
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
33
3. Wartość bezwzględna.
Definicja.
Wartością bezwzględną (modułem) liczby
x R jest:
.
0
gdy
,
0
gdy
,
x
x
x
x
x
Podstawowe własności wartości bezwzględnej:
0
x
,
x
x
,
y
x
y
x
,
0
,
y
y
x
y
x
,
y
x
y
x
,
y
x
y
x
,
x
x
2
,
2
2
x
x
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
34
Wartość bezwzględna liczby
x R: x , jest liczbą nieujemną i interpretujemy ją na
osi liczbowej jako odległość liczby x od 0. Stąd dla dowolnych liczb rzeczywistych
b
a,
R,
wyrażenie
a
b
b
a
określa na osi liczbowej odległość między a i
b
.
Dla
0
a
równanie
a
x
nie ma rozwiązania,
0
0
x
x
. Dla nierówności
ostrych
a
x
,
a
x
otrzymujemy rozwiązania w postaci przedziałów otwartych.
Ponadto:
dla
0
a
:
0
0
x
x
,
x
x
0
,
x
x
0
R,
x
x
0
R\{0},
dla
0
a
:
x
a
x
,
x
a
x
,
x
a
x
R,
x
a
x
R.
Przykład.
Rozwiązać równania:
a)
2
x
,
b)
1
2
2
x
x
.
Rozwiązanie:
Własności wartości bezwzględnej dla
0
a
:
)
(
a
x
a
x
a
x
,
]
,
[
)
(
)
(
a
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
,
)
,
[
]
,
(
)
(
a
a
x
a
x
a
x
a
x
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
35
Przykład.
Rozwiązać nierówności:
a)
3
1
x
,
b)
5
2
2
x
x
.
Rozwiązanie:
Przykład.
Narysować wykres funkcji
x
x
f
)
(
i omówić jej własności (dziedzina, zbiór wartości,
miejsca zerowe, parzystość, nieparzystość, różnowartościowość, monotoniczność).
Przykład.
Narysować wykres funkcji
x
x
g
)
(
.
Przykład.
Narysować wykres funkcji
3
1
)
(
x
x
h
.
Przykład.
Narysować wykres funkcji
1
5
,
0
)
(
x
x
f
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
36
Zadania
Funkcja liniowa
zad. 1) Znaleźć wzór funkcji liniowej
b
ax
x
f
)
(
wiedząc, że jej wykres przecina oś OY
w punkcie o rzędnej
3
, a oś OX w punkcie o odciętej
2
3
.
zad. 2) Miejscem zerowym funkcji
b
ax
x
f
)
(
jest liczba
5
, a jej wykres nachylony jest do
osi OX pod kątem
45 . Obliczyć współczynniki
a i
b
.
zad. 3) Dla jakich wartości parametru k funkcja
2
7
5
4
)
(
k
x
k
x
f
jest rosnąca?
zad. 4) Znaleźć wzór funkcji liniowej f wiedząc, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi
równość
3
2
)
2
(
)
(
x
x
f
x
f
.
zad. 5) Dla jakich argumentów funkcja
2
3
)
(
x
x
f
przyjmuje wartości niedodatnie?
Wartość bezwzględna
zad. 6) Rozwiązać równania:
a)
1
3
2
x
,
b)
0
3
1
2
x
x
.
zad. 7) Rozwiązać nierówności:
a)
1
2
1
x
x
,
b)
3
3
2
x
,
c)
4
1
3
x
x
.
zad. 8) Narysować wykres funkcji:
a)
2
2
)
(
x
x
x
f
,
b)
3
1
)
(
x
x
f
.
i na jego podstawie określić dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe oraz omówić
podstawowe własności.
zad. 9) Narysować podzbiory płaszczyzny:
a)
0
2
0
2
:
,
2
x
y
x
y
y
x
A
R
,
b)
1
:
,
2
x
y
y
x
B
R
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
37
Zadania do samodzielnego rozwiązania
zad. 1) Narysować wykres funkcji:
a)
x
x
f
)
(
,
b)
1
5
,
0
)
(
x
x
f
,
c)
3
)
(
x
f
,
podać jej miejsce zerowe oraz omówić podstawowe własności.
Odpowiedź:
a) Miejsce zerowe:
0
x
;
tg
a
1
; funkcja jest rosnąca i różnowartościowa,
wykres nachylony jest do osi OX pod kątem
45
; funkcja jest nieparzysta; wyraz
wolny
0
b
,
b)
1
,
2
1
b
a
; miejsce zerowe:
2
x
; funkcja jest malejąca i różnowartościowa;
wykres nachylony jest do osi OX pod kątem
takim, że
5
,
0
tg
, stąd
,
2
,
c)
3
,
0
b
a
; funkcja stała, parzysta.
zad. 2) Wyznaczyć wzór funkcji liniowej f wiedząc, że:
a)
4
)
2
(
f
i
5
)
1
(
f
,
b) jej wykres przecina oś OY w punkcie o rzędnej 2, a 1
jest miejscem zerowym
funkcji
f ,
c) jej wykres jest nachylony do osi OX pod kątem
60 i przechodzi przez punkt
)
3
,
1
(
D
.
Odpowiedź:
a)
2
3
)
(
x
x
f
,
b)
2
2
)
(
x
x
f
,
c)
3
3
3
)
(
x
x
f
.
zad. 3) Dla jakich wartości parametru
p
R funkcja
3
2
)
2
7
(
)
(
p
x
p
x
f
jest malejąca?
Odpowiedź:
7
2
,
p
.
zad. 4) Dla jakich argumentów funkcja
3
2
1
)
(
x
x
f
przyjmuje wartości:
a) nieujemne,
b) mniejsze od 4?
Odpowiedź:
a)
]
6
,
(
x
,
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
38
b)
)
,
2
(
x
.
zad. 5) Narysować podzbiory płaszczyzny:
a)
2
2
1
:
)
,
(
2
x
y
y
x
A
R
,
b)
}
1
2
:
)
,
{(
2
x
y
y
x
A
R
.
zad. 6) Rozwiązać równania:
a)
2
3
x
,
b)
3
5
1
x
,
c)
0
1
2
x
x
,
d)
4
3
1
x
x
.
Odpowiedź:
a)
}
5
,
1
{
x
,
b)
}
7
,
1
,
3
,
9
{
x
,
c)
2
1
x
,
d)
]
1
,
3
[
x
.
zad. 7) Rozwiązać nierówności:
a)
2
x
,
b)
3
2
x
,
c)
0
2
3
2
x
x
.
Odpowiedź:
a)
]
2
,
2
[
x
,
b)
)
5
,
1
(
x
,
c)
R
x
.
zad. 8) Narysować wykres funkcji oraz określić zbiór jej wartości i miejsca zerowe:
a)
2
)
(
x
x
f
,
b)
1
1
)
(
x
x
f
,
c)
1
3
)
(
x
x
f
,
d)
x
x
x
f
2
)
(
.
Odpowiedź:
a)
,
2
1
f
D
; miejsca zerowe:
}
2
,
2
{
x
,
b)
,
1
1
f
D
; brak miejsc zerowych,
c)
,
0
1
f
D
; miejsca zerowe:
}
4
,
2
{
x
,
d)
2
,
2
1
f
D
; miejsce zerowe:
1
x
.
Materiały pomocnicze dla studentów
Wprowadzenie do matematyki
© Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
39
Literatura
(do zajęć: 3 – 7)
1) Borowska M., Gałązka K. [2009], „Obowiązkowa matura z matematyki, zakres
podstawowy”, Wydawnictwo Pedagogiczne Operon Sp. z o. o., Gdynia.
2) Dobrowolska M., Braun M., Karpiński M., Lech J., Urbańczyk W. [2004],
„Matematyka I”, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk.
3) Dobrowolska M., Braun M., Karpiński M., Lech J. [2004], „Matematyka III”, Gdańskie
Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk.
4) Gurgul H., Suder M. [2009], „Matematyka dla kierunków ekonomicznych. Przykłady
i zadania wraz z repetytorium ze szkoły średniej”, Wydawnictwo Wolters Kluwer
Polska Sp. z o. o., Kraków.
5) Kiełbasa A. [2008], „Matematyka, Matura 2009, Matura 2010” poziom podstawowy
i rozszerzony, cz. 1, Wydawnictwo „2000”, Warszawa.
6) Kłaczkow K., Kurczab M., Świda E. [2002], „Matematyka, podręcznik do liceów
i techników klasa I, zakres podstawowy i rozszerzony”, wydanie I, Oficyna
Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Spółka z o. o., Warszawa.