1. Teoria popytu

2. Teoria produkcji

3. Teoria przedsiębiorstwa

4. Równowaga rynkowa

f: R→R funkcja (odwzorowanie) każdej liczbie rzeczywistej przypisuje liczbę rzeczywistą.

f: R^m→Rⁿ

|2 1 3|

|5 7 1| : R³→R² f. liniowa

X=(X₁, X₂, ... X_n)

f(x)=(f₁(x), f₂(x), ..., f_n(x)) f. wektorowa

f(x₁, x₂)=ax₁^∝1 x₂^∝2

Zadanie: znaleźć min lub max punkty funkcji.

f: R→R

f '(x) = 0 : x ^* (pochodna)

f `'(x^*) { >0 min , =0 pkt przegięcia, <0 max

pkt przegięcia - wypukłość

ujemna - wklęsła

(x^a)' = ax^a-1

(a^x) = a^xln a

(e^x)' = e^x

f: R^m→R

GRADIENT FUNKCJI - wektor pochodnych cząstkowych.

przyrównujemy do zera wektor.

x^* - wektor podejrzany o ekstremum

x^* = (x^*₁,...x^*_n)

DRUGA POCHODNA (Hesjan)

Jeżeli jest dodatnia, określona to mamy minimum, jeżeli (-) ta macierz jest dodatnia, określona to

mamy maximum. Jeżeli macierz jest nieokreślona to nie wiemy co się dzieje.

f(x₁,x₂) = x₁x₂

(x₂,x₁)

Jeżeli są dodatnie to wartość jest dodatnia. Jeżeli są naprzemian to ujemne. Jeśli dowolnie biegną znaki to macierz jest nieokreślona.

Zad. - min i max f:R^m→R przy ograniczeniach h₁(x)=0, h₂(x)=0, h₃(x)=0

FUNKCJA LAGRANGE'AL

(X, λ₁λ₂... λ_k)=

gdzie λ₁... λ_k - sztuczne zmienne

przyrównujemy do zera

f(x₁x₂)=x₁x₂

p₁x₁+βx₂=1

L(X₁, λ₁)=x₁x₂-λ(p₁x₁+βx₂-1
)

Metoda sympleks - pochodna logarytmiczna

TEORIA POPYTU.

Wektor cen n towarów: p=(p₁,...,p_n)

dochód konsumenta: J>0

koszyk towarów: x=(x₁,...x_n) -ilość nabytego towaru

x>=0 konsument ma coś kupić

Koszyk towarów zakupiony

przez konsumenta

D - zbiór wszystkich możliwości koszyków.

Zakładamy, że możemy wydać tyle ile wynoszą nasze dochody J.

Relacja preferencji ε.

dwa koszyki x oraz y są w relacji preferencji (x>=y) jeżeli konsument przedkłada koszyk x nad y.

1. (przechodniość)

2. 
   (zupełność)

koszyki równoważne (indyferentne)

x∼y: x≥y oraz y≥x

koszyk x jest silnie preferowany nad y (x>y)

x≥y oraz nieprawda (y≥x)

FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI u(x).

funkcja rzeczywista określona na przestrzeni towarów, taka że ∀x,y zachodzi:

u(x) ≥u(y)↔x≥y

u(x) ≥u(y)↔x>y

Własności funkcji użyteczności:

funkcja u(x) jest wklęsła

(∀x,y:x ły)( ∀α,β>0:α+β=1)(x)≥u(y)⇒u(αx+βy)≥u(y)

Jeżeli mamy dwa koszyki różnorodne użyteczność mniej preferowanego koszyka może być powiększona przez dodanie innych elementów z koszyka lepszego. Można polepszyć wartość górnego koszyka dodając do niego coś z lepszego.

im więcej towarów tym wzrost użyteczności jest mniejszy. Nie jest obowiązkowa cecha f. użyteczności.

1. Niedosyt:

(∀x,y : x≥y ∧ x≠y) x>y

funkcja rosnąca, nawet dodanie jednego towaru zawsze zwiększa użyteczność bez względu na to ile mamy.

FUNKCJA UŻYTECZNOŚCI

1.multiplakatywna

2. logarytmiczna

3. addytywna

4. kwadratowa

ad 1

u(x1,x2)=x1^α,x2^α2

Krańcowa użyteczność i-tego towaru (pochodna użyteczności i-tego towaru)

zad.

PRAWO GOSSENA

Krańcowa użyteczność towaru maleje wraz ze wzrostem jego spożycia

Użyteczność-funkcja która przypisuje różnym towarom liczby rzeczywiste z reguły dodatnie

użyteczność = u 2 towary

SUBSTYTUCJA - zamiana towaru tak aby u=constans

FUNKCJA SUBSTYTCYJNA

Krańcowa stopa substytucji

Elastyczność substytucji

Zadanie maksymalizacji użyteczności ; znaleźć taki koszt , że max

FUNKCJA POPYTU

Optymalny koszyk przy dalszych cenach i dochodach

Efektywne wyznaczanie f. popytu

f. Lagrange'a

koszyk x (z daszkiem) leży na linii budżetowej jeżeli :<x (z.dasz),p>=I

FUNKCJA POPYTU.C.D

Zadanie maksymalizacji użyteczności znaleźć taki koszyk x ,że

rozw.

funkcja popytu:ϕ (p,1)

Efektywne wyznaczanie funkcji popytu

f. Lagrange'a

koszyk x (z daszkiem) leży na linii budżetowej jeżeli :<x (z.dasz),p>=I

FUNKCJA POPYTU.C.D

Zadanie maksymalizacji użyteczności znaleźć taki koszyk x ,że

rozw.

funkcja popytu:ϕ (p,1)

Efektywne wyznaczanie funkcji popytu funkcja Laagrange'a.

Koszyk x(z daszkiem)leży na linii budżetowej, jeżeli <x(zdasz),p>=1

WŁASNOŚC FUNKCJI POPYTU

1.Brak iluzji pieniądza

2. Dochód kompensujący zmianę ceny:

jeżeli przy jakimś dochodzie możemy coś nabyć to , przy innych cenach mogę nabyć inny koszyk tow., to musimy zastanowić się ile musi wynosić nasz dochód („nowy”)czyli kompensujący zmianę cen.

Dochód kompensujący zmianę ceny

z p⁰ _na p

Badany optymalny koszyk, ze względu na zmiany cen

RÓWNANIE SŁUCKIEGO

Reakcja na zmiany cen:

Całkowity efekt wpływu zmiany ceny na wielkość popytu jest równy sumie efektu z tytułu zmiany ceny kompensowanej przez odpowiednią zmianę dochodu i wpływu, który na zmianę popytu wywiera zmiany dochodu.

Relacje pomiędzy towarami przy zmianie popytu z zach. tej samej użyteczności.

Zmiana popytu na i-ty towar przy kompresowanym jednostkowym wzroście ceny j-tego towaru jest równy zmianie na j-ty towar kompresowanym jednostkowym wzroście ceny i-tego towaru.

1. Przy wzroście dochodu konsensującym wzrost ceny towaru , popyt na ten towar maleje

4. Jeżeli wraz ze wzrostem ceny popyt na dany towar rośnie to wraz ze wzrostem dochodu popyt na ten towar maleje(paradoks Giffena).

Inna charakterystyka

Jak reaguje popyt na wymiany między towarami

na przekątnej : elastyczność cenowa popytu

poza przekątną: elastyczność cenowa popytu.

Dla optymalnego koszyka towarów krańcowa stopa substytucji( dynamika wymiany towarów) jest równa stosunkowi cen substytuowanych towarów

Końcowa użyteczność dochodów

x=x1 *1/pj

Elastyczność dochodowa

KLASYFIKACJA

	Jeżeli ze wzrostem cen popyt maleje	jeżeli ze wzrostem cen popyt rośnie
towary	normalne E^cij <0	giffena E^c ij>0
wyższego rzędu ^Edj>0	masło	-------------
niższego rzędu E^dj<0	margaryna	ziemniaki, Irlandia XIX w.

TEORIA POPYTU

1. Zakupowany koszyk towarów-( wartość nie może przekroczyć proponowanego/ danego dochodu)

Koszyk może być dowolnie sterowany popytem

2. Relacja preferencji ( subiektywne przedkładania koszyka jedn. nad drugi

ZUPEŁNOŚĆ

1. Jest się w stanie pow., który koszyk się preferuje jeżeli przedkładamy 1 nad 2 nad 3 to 3 nad 1

Dwóch koszyków nie umiemy wyróżnić, traktujemy je równoważnie.

2. Całym koszykom przypisuje się wartość( liczby rzeczy) - użyteczość- liczbowe przedst. użyt. przydatn.

Jeżeli bardziej preferujemy- przypisujemy duż3e wartości.

Użyteczność- wzór, powinna być charakteryzowana

Funkcja użyteczności- prawo Gossena- Jeżeli zwiększymy ilość towarów to użyteczność rośnie (wolno)

(pierwsza pochodna funkcji jest dodatnia, druga ujemna)

Substytucja towarów- wymiana towarów z rachunku użyteczności. Ile mogę wyjąć jednego towaru i dod. jakby użyteczność została taka sama- mapa obojętności.

Zadania maksymalizacji użyteczności- chcemy znaleźć taki koszyk, który maksymalizuje nasze zadowolenie, użyteczność, ale nie może przekroczyć wartości naszego dochodu.

Funkcja popytu- jest ona uzależnieniem pomiędzy dochodem, a cenami.

TEORIA PRODUKCJI

Wektor nakładów ( zużycia):x=(x1,..........,xn

Wektor produktów ( produkcji):y=(y1,.............,yn)

1. Dopuszczalny okres produkcyjny

para(x,y) taka, że y można wytworzyć z x.

y-produkt x- nakłądy

Przestrzeń p- produkcyjna: zbiór wszystkich możliwych procesów produkcyjnych)

Ż c R ^k+n(k- nakładów, n- produktów)- zbiór dopuszczalnych procesów produkcyjnych

Teoria produkcji zakłada : Założenie do przestrzeni produkcyjnej-

Proporcjonalność przychodów . Jeżeli mamy proces prod. (z x wytyczamy y) to mając liczbę żecz. dod. taka para jest też procesem produkcyjnym( jeżeli 2 krotnie zwiększymy nakłady to i 2 krotnie zwiększymy produkcję)

Proporcjonalna zmiana nakładów daje proporcjonalną produkcję. W praktyce nie jest to realne dla dowolnych liczb( nie możemy dowolnie zmieniać liczb)

Jeżeli war. jest spełniony to nazywa się to rosnącymi przychodami, ale nie możemy dowolnie zmniejszać.

W praktyce obszar produkcyjny mogę zwiększyć tylko do pewnego momentu. Zwiększanie nakładów nie oznacza wzrostu proporcjonalnego produktu.

Addytywność procesów produkcyjnych

Jeżeli mamy 2 procent produkcji to mogę je połączyć w 1.

Kiedy połączę nakłady to otrzymuję sumę produkcji.

W praktyce sumując nakłady możemy osiągnąć większe efekty.

Warunek ten mówimy że po złączeniu nakładów wytworzę to i nie tylko to( sprawa nie zagospodarowania dodatkowych nakładów)

Jeżeli z pew. nakładów wytworzę y to mogę z tej samej ilości x nakładów , to mogę również wytworzyć mniej .

Ten sam produkt zawsze możemy wytworzyć przy większej ilości nakładów

Brak rogu obfitości

Z niczego moę zrobić tylko nic

nakł. 0= prod. 0

PROCESY TECHNOLOGICZNE

1. Efektywny

∀y'⊇yΛy'(x,y')∈Ż

Funkcja produkcji f:

Proces (x,y=f(x)) jest technologicznie efektywny

Uproszczenie

Niech n=1(ilość prod. =1)

Jeden prod. Będziemy chcieli wytwarzać optymalnie

Założenia odnośnie do skalarnej funkcji prod. f

(F1) f(0)=0 z 0 nakł = 0 prod

(F2) f(0

(F3)

(F4)

Substytucja i-tego towaru przez j-ty towar dla ustalonych x1,....xn

Taka funkcja Gj (xi),ze

F(Xo1...,Xi....G(Xi).....Xon)=Yo

Elastyczność substytucji

E fij (x)=dlnGj(xj)/dlnxi=...

PODSUMOWANIE

1. Dopuszczalny proces produkcji

2. Przestrzeń produkcyjna -zb. wszyst. proc. prod. Od tej przestrzeni żąda się charakterystyki (patrz str.20)

3. Przychody (proporcjonalne, malejące, rosnące)

4. Brak „rogu obfitości” 0=0

5. Marnotrawstwo (dwa warianty)

6. Proces technologicznie efektywny (do max wykorzystania zapasów)

7. Funkcja produkcji

8. Krańcowa wydajność

9. Elastyczność produkcji -zmiany % produkcji względem zmiennej %

10. Izokwanta prod -zbiór wszystkich nakładów które dają tą samą ilość prod. (kombinacje)

11. Substytucja f.subsytucji opisuje w jaki sposób ważne jest znaczenie jednego nakładu z drugim aby otrzymać tą samą ilość prod.

12. krańcowa stopa substyt.

13. Elastyczność substyt.

14. Funkcje produkcji Cobba Dauglasa

TEORIA PRZEDSIĘBIORSTWA

Wektor nakładów (zużycia) x=(x1,.....xk)

Wektor produktów (produkcji) y=(y1,....yn)

Wektor cen nakładów v=(v1,....vk)

Wektor cen produktów p=(p1,.....pn)

Ekonometria:

Strategia krótkookresowa:

Funkcja Lagrange'a- L={pf(x)-<v,x>}-x(g(x))

Funkcja produkcyjnego popytu na towary: x=E(p,v)

Funkcja sprzedaży Cobba-Douglasa: f(K,L)=K-0,25L 0,25

Jeden towar,2 środki produkcji, ustalony poziom produkcji min{v1K+v2L}...

Krzywa kosztów c(y)=2y2√v1v2, optymalna wielkość produkcji max{py-c(y)}

PODSUMOWANIE:

1 Zadanie maksymalizacji zysku - taka ilość nakładów aby zysk był maksymalny.

2. Strategia długookresowa - związana z ograniczeniem na dostępność nakładów

3. Strategia krótkookresowa - występują ograniczenia

4. Optymalna wielkość nakładów - taka która wielkość nakładów - taka która da maksymalny zysk

5. Funkcja produkcyjnego popytu na towary - zapotrzebowanie na nakłady zależy od ceny sprzedaży produktu.

6. Funkcja produkcyjnej podaży towarów

7.Optymalna wielkość produkcji - wielkość

MODELE RYNKU

Modele statyczne - niezmienne w czasie

1. Model gospodarki konkurencyjnej Arrow'a , Debrew-go i McKenziego

Założenia:

n - rodzajów towarów ( towary konsumpcyjne , czynniki produkcji , środki produkcji )

p = (p1,....,pn) - wektor cen towarów

l - konsumentów

Funkcja użytecznośic k-tego konsumenta , konsument maksymalizuje swoją użyteczność:

x = (x1,....,xn)' wektor towaru (xi=0 nabywamy , x1 - co sprzedajemy)

x - koszyk towarów , może sprzedawać i kupować (zakładamy , że ma zapas towarów .......)

zapas początkowy k-tego konsumenta :

m - producentów

Proces produkcyjny j-tego producenta:

Całkowita podaż towarów

Całkowity popyt

GLOBALNY BILANS PODAŻY I POPYTU

Wektor:

spełniają globalny bilans podaży i popytu , jeżeli:

dochód j-tego typu producenta:

Udział k-tego typu konsumenta w dochodach j-tego typu producenta :

Cały dochód producenta jest podzielony na swoich konsumentów , producent może być jednym z konsumentów dochód k-tego konsumenta:

Indywidualny bilans dochodów i wydatków k-tego konsumenta:

STAN RÓWNOWAGI KONKURENCYJNEJ

1. Wektor

Stan równowagi:

tworzy stan równowagi , jeśli:

2. Każdy z producentów działa tak , aby maksymalizować swój dochód:

Każdy z konsumentów wydaje tyle , ile zarabia

3. Każdy z konsumentów maksymalizuje użyteczność ( korzysta )

4. Zapotrzebowanie nie przekracza produkcji - popyt = podaż

Gdy 1 - 4 są spełnione można znaleźć stan równowagi chwiejnej. Jeżeli jedna strona odejdzie od warunków , (trudno znaleźć nowy)stan równowagi konkurencyjnej jest pareto - optymalny . Ruszamy jeden warunek , ruszamy wszystkie , nie ma takiego drugiego wektora tak aby nie trzeba było zmieniać parametrów wszystkich wektorów.

PODSUMOWANIE

1. Całkowita podaż towarów:

Oferta producentów i zapas posiadany przez konsumentów

2całkowity popyt , zapotrzebowanie towaru

3. Globalny bilans podaży i popytu ( tak aby zapotrzebowanie nie przekroczyło podaży )

4. Indywidualny bilans dochodów i wydatków - dochod;y i wydatki konsumenta(wartość zapasów i to , co dostanie ze sprzedaży , udział konsumenta w dochodach producenta - wydatki nie mogą przekroczyć dochodów.

5. Stan równowagi konkurencyjnej - zapotrzebowanie konsumentów , produkcja przez producentów , ceny towarów. Każdy konsument nabywa najbardziej użyteczny koszyk , musi być globalny bilans podaży i popytu.

6. Pareto - optymalność - Jeden uczestnik nie może poprawić swoich warunków nie pogorszająca ich innym uczestnikom.

MODEL ARROWA- HURWICZA

Ilość handlowców na rynku jest skończona ( m. ).

Każdy z handlowców dostarcza:

towarów i nabywa:

towarów

Ceny p=(p1,...,pn)

Założenia:

1.Handlowcy nie dysponuja żadnymi innymi dochodami poza tymi , które uzyskują ze sprzedaży zapasów swoich towarów.

2. Wartość nabywanego przez handlowca koszyka towarów jest równa wartości towarów przez niego sprzedanych <p,x^k>=<pi,y^k>,k=1, ..,n

Cel:

Znaleźć takie cech towarów, że

1. Handlowcy maksymalizują swoje korzyści

2. Popyt na towary jest równy ich podaży

Użyteczność k-tego handlowca u^k(x)

Zadanie Handlowca:

Max u^k(x):<p,x>=<p,y^k> ; x>=0

W ramach ograniczeń budżetowych:

Rozwiązanie:

F^k(p)=ϕ ^k (p<p, y^k>)

(funkcja popytu k-tego handlowca)

różnica pomiędzy zapotrzebowaniem a podażą (ofertą)

wektor nadmiernego popytu

Zakładamy, że popyt na towar oferowany za darmo, zawsze przekracza podaż

Pi=0 => Zi(p)>0 ; i=1,….,n

Wektor cen równowagi

Wektor
>=0 oraz
≠0 , taki że z(
)=0

Twierdzenie: wektor cen równowagi istnieje.

Podsumowanie

1. Założenia modelu: Handlowiec z ofertą na rynek.

2. Zadania Handlowca: Maksymalizacja użyteczności w ramach tego co uda mu się sprzedać

3. Funkcja popytu

4. Popyt nadmierny: Całkowity popyt - wielkość podaży

5. Równowaga rynkowa dąży aby popyt=podaż

6. Cena równowagi

Modele Walrasa

Założenia:

m - produktów

l - konsumentów

Producenci:

Produkcja n towarów x^j=(x^j, … , x^j_n),j=1,…,m

ceny towarów p=(p1,…,pn)

nakłady k czynników produkcji y^j=(y^j1,…,y^jk), j=1,…,m

Ceny k czynników produkcji y^j=(y^j1,…,y^jk),j=1,…,m

Ceny k czynników v=(v1,…,vk)

Dochód i-tego producenta

Funkcja produkcji j-tego producenta F^j(x^j,y^j)=0

Zadania producenta max

Funkcja Lagrange'a (producenta)

L^j(x^j,y^j,λ^j)=ξ^j_p,v(x^j,y^j)+λ^jf^j(x^j,y^j)

Układ równań

Funkcja użyteczności i-tego konsumenta

Udział i-tego konsumenta w produkcji

Ograniczenia budżetowe (dla konsumenta) <p,xⁱ>=<v, y^j>+<sⁱ,ξp,v(x,y)>

Zadanie konsumenta max uⁱ(xⁱ, yⁱ)

Funkcja Lagrange'a (konsumenta)

L(xⁱ, yⁱ, λⁱ)=uⁱ(xⁱ, yⁱ)+ λⁱ(<p, xⁱ>-<v, yⁱ>-<sⁱ,ξp,v(x,y)>)

Układ równań

Równowaga bilansowa:

Stan równowagi konkurencyjnej

Ceny towarów, ceny nakładów, poziom produkcji, podaż czynników.

1. Każdy konsument nabywa towary maksymalizując swoją użyteczność

2. Każdy producent produkuje na poziomie maksymalizacji dochodu

3. Spełniony jest globalny bilans podaży i popytu towarów i czynników

4. Spełnione są indywidualne bilanse dochodów i wydatków

PRAWO WALRASA

Przykład:

Do produkcji 2 produktów zużywane są trzyrodzaje surowców. Zużycie poszczególnych surowców do produkcji obu wyrobów ilustruje poniższa tabela, zyski jednostkowe p1=5, p2=8, do dyspozycji z⁰₁=25, z⁰₂=38, z⁰₃=40. W jakich ilościach powinny być wytworzone oba produkty aby uzyskany wynik z sprzedaży produkcji był największy ??

	produkt 1	produkt 2
Surowiec 1	2	6
Surowiec 2	2	10
Surowiec 3	5	5

Dane są k=3, nakłady oraz n=2, produkty.

Macierz nakładów jednostkowych

Wektor maksymalnych nakładów

Wektor cen towarów i nakładów

p=[pi,p2] v=[v1,v2,v3]

Wektory nakładów i towarów

Zadanie producentów

p1y1+p2y2=max przy warunkach:

b11y1+b12y2 ≤ z⁰₁

b21y1+b22y2 ≤ z⁰₂

b31y1+b32y2 ≤ z⁰₃

y1≥0

y2≥0

Zadanie konsumenta

(u(y1, y2) = y^α₁, y^β₂) max y^α₁, y^β₂ przy warunkach:

p1y1+p2y2 ≤ v1z⁰₁+v₂z⁰₂+v₃z⁰₃

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

warunek dla cen:

p1=v1b11+v1b21+v3b31

p2=v1b12+v2b22+v3b32

Rozwiązanie zadania

Zadanie producenta

5y₁+8y₂=72

5y₁+8y₂=32

5y₁+8y₂=46,75

Konsument dysponuje środkami produkcji

dyspozycji z⁰₁=25, z⁰₂=38, z⁰₃=40

Ceny środków produkcji

v1=0,35 v2=0,20 v3=0,78

Dochód konsumenta

u(y1y2)=y1y2

Funkcja użyteczności konsumenta:

u(y1,y2)

rozwiązanie zadania konsumenta:

y1=4,755, y2=2,971

PODSUMOWANIE

Równowaga ogólna. Modele Walransa. Najważniejsze pojęcia:

1. Założenia

2. Dochód producenta

3. dochód konsumenta

4. Równowaga

5. Globalny bilans podaży i popytu

6. Indywidualny bilans dochodów i wydatków

7. Prawo Walresa

1

1