Uwzględnienie niejednorodności badanego obszaru

Załóżmy, że w tym samym rozpatrywanym przypadku element 1 jest podobszarem o konduktywności , natomiast element 2 - podobszarem o konduktywności . W tym przypadku przy formowaniu macierzy stanu należy uwzględnić para-metry materiałowe (konduktywności elementów).

Macierze: - elementu o konduktywności i - elementu o konduktywności , będą miały postać:

, . (21)

Macierz stanu H takiego obszaru obliczymy ze wzoru:

(22)

Transformacja elementu do lokalnego układu współrzędnych

W celu wyznaczenia macierzy stanu elementu należy ustalić granice całkowania w obszarze. Dla uproszczenia dokonuje się sprowadzenia dowolnego elementu czworo-kątnego do tzw. czworokąta unormowanego

Dowolny czworokąt z obszaru D w układzie prostokątnym (x, y), zwanym globalnym, ma wierzchołki P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂), P₃(x₃,y₃), P₄(x₄,y₄), natomiast czworokąt unormowany jest położony w układzie współrzędnych (ξ, η), zwanym lokalnym. Jest to kwadrat, którego boki mają długości jednostkowe. Proces takiego przekształcenia nazywa się transformacją do układu lokalnego.

Transformacji dokonujemy za pomocą wzorów:

, . (23)

Po przekształceniu otrzymamy wzory na funkcje kształtu:

, ,

, .

W celu obliczenia całki we wzorze (14) w lokalnym układzie współrzędnych należy:

• wyrazić , przez , ,

• wyrazić element powierzchni dxdy elementem powierzchni dd,

• zmienić granice całkowania (będą one stałe i jednostkowe).

Z reguł różniczkowania cząstkowego wynika, że:

. (24)

Różniczkując podobnie po  otrzymamy układ równań:

. (25)

Macierz nazywana jest jakobianem przekształcenia (transformacji do układu lokalnego). Obowiązuje też zależność:

(26)

Element powierzchni dxdy można opisać wzorem:

, (27)

gdzie jest współczynnikiem zmiany krotności powierzchni elementu przy przechodzeniu z układu do .

Wzór (14) w układzie lokalnym (dla k_x=k_y) będzie miał postać:

(28)

.

Analogicznie postępuje się przy transformacji innych typów elementów (jedno-, dwu- i trójwymiarowych).

Element skończony prostokątny

W przypadku TK, w procesie dyskretyzacji obszarów dwuwy-miarowych wygodne jest użycie elementu skończonego o kształ-cie prostokątnym, gdyż jest on naturalnym odzwierciedleniem punktu na ekranie. Jest to istotne w procesie konstrukcji obrazów tomograficznych.

Wymiary elementu: gdzie: - współrzędne węzła 1, - współrzędne węzła 3.

Transformację do lokalnego układu współrzędnych dla elementu prostokątnego można zapisać wzorami:

, . (29)

Jakobian takiego przekształcenia ma postać:

, . (30)

Natomiast wyznacznik jakobianu jest równy:

. (31)

Uwzględniając zależność (28) i, j-ty element macierzy stanu można więc opisać wzorem:

. (32)

Macierz stanu elementu prostokątnego po scałkowaniu symbolicznym przy pomocy pakietu Mathematica ma postać:

. (33)

Formowanie pasmowego układu równań

W przypadku pasmowego układu równań istotny jest fakt, że elementy macierzy K o wymiarze r×r spełniają zależność:

dla (34)

gdzie d = 2m+1 jest szerokością pasma macierzy (d<r).

Macierz K ma n² elementów. Jeśli jest ona symetryczna, w pamięci wystarczy przechowywać połowę pasma razem z główną przekątną, czyli (m+1)n elementów.

Jeśli pełny układ równań dany jest wzorem (19):

to układ pasmowy ma postać:

(35)

Układ można rozwiązać przy niewielkiej modyfikacji metody Gaussa.

27