Reprezentacje liczb. Systemy liczbowe.

W systemie liczbowych (pozycyjnych) wartość liczby zależy od pozycji, na której zapiszemy liczbę.
W systemie dziesiętnym kolejne pozycje liczb (od prawej) mają wagi odpowiadające kolejnym potęgom liczby 10, licząc od potęgi zerowej.
Np. liczba 272

liczba	2	7	2
waga	10^2 =100	10^1 =10	10^0 =1

Wartość liczby na danej pozycji uzyskujemy mnożąc wagę przez liczbę, czyli 2·100+7·10+2·1. Wartość pierwszej liczby 2 (od prawej) jest różna od wartości drugiej liczby 2. W systemie dziesiętnym do zapisu liczb używamy cyfr 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, w binarnym 0 i 1

1. Zamiana liczb całkowitych z systemu dziesiętnego (decymalnego) na dwójkowy (binarny) i z binarnego na dziesiętny

A. Zamiana: dziesiętny na binarny



gdzie n - ilość bitów do przedstawienia liczby

a) Liczby nieujemne - Metoda 1.
Dzielimy liczbę przez 2 z resztą. Resztę zapisujemy obok, wynik dzielenia pod dzielną, liczbę odczytujemy od dołu np.

29	:	2	|	1
14	:	2	|	0
7	:	2	|	1
3	:	2	|	1
1	:	1	|	1

Dziesiętne 29 = Binarne 00011101

Liczby nieujemne - Metoda 2.
Z liczby staramy się wyłączyć możliwie największą potęgę liczby 2, następnie od liczby odejmujemy tą potęgę i staramy się wyłączyć kolejną (mniejszą). Np.
Największą potęgą liczby 2 jaką da się wyłączyć z 29 jest 2⁴ czyli 16.

2^4	2^3	2^2	2^1	2^0
1	1	1	0	1

29 - 16 = 15, a zatem pod 24 zapisuję 1 i sprawdzam, czy da się wyłączyć niższą potęgę, jeżeli się da - zapisuję pod nią 1 jeżeli nie 0, tak długo, aż sprawdzę wszystkie potęgi do 20.

b) Liczby ujemne
Np. wyznaczanie postaci binarnej liczby -29, zapis liczby w 1 bajcie.

1. wyznaczyć postać binarną wartości bezwzględnej liczby 29 - patrz a)

2. odwrócić bity
   0 0 0 1 1 1 0 1
   po odwróceniu
   1 1 1 0 0 0 1 0

3. dodać binarną jedynkę
   1 1 1 0 0 0 1 0
   +             1
   _______________
   1 1 1 0 0 0 1 1

B. Zamiana binarny na dziesiętny

Jeżeli pierwszy bit jest bitem znaku, to 0 oznacza liczbę dodatnią, a 1 liczbę ujemną.
a) liczby nieujemne Wpisujemy od prawej strony kolejne potęgi liczby 2, zaczynając od 20 i mnożymy przez odpowiednie cyfry z liczby binarnej. Uzyskane wyniki dodajemy.


czyli 1·2⁴+1·2³+1·2²+0·2¹+1·2⁰=29.

b) liczby ujemne - odwrotność metody zamiany liczby ujemnej dziesiętnej na postać binarną

1. odjąć binarną jedynkę
   1 1 1 0 0 0 1 1
   -             1
   _______________
   1 1 1 0 0 0 1 0

2. odwrócić bity
   po odwróceniu
   0 0 0 1 1 1 0 1

3. zamienić na postać dziesiętną (wg wzoru powyższego - z punktu a)).

2.Zamiana liczb rzeczywistych, niecałkowitych z systemu dziesiętnego na binarny i z binarnego na dziesiętny

A. Zamiana: dziesiętny na binarny

Kod liczb dziesiętnych wyznaczamy na podstawie:

a) liczby nieujemne, x(0,1)
Mnożymy przez 2. Część całkowita stanowi rozwinięcie binarne (zapisujemy "za kreską"), część ułamkową zapisujemy pod mnożną, np. 0,782. odczytujemy od góry.
!Pierwszy bit stanowi bit znaku, przedstawione w postaci 1 bajta

0,728	·2	|	1
0,456	·2	|	0
0,912	·2	|	1
0,824	·2	|	1
0,648	·2	|	1
0,296	·2	|	0
0,592	·2	|	1
0,184

czyli dziesiętne 0,728 to binarne 0 1011101 (należy pamiętać, że rozwinięcie binarne będzie zaokrąglone).

b) liczby ujemne, x(-1,0)

1. wyznaczyć kod uzupełnieniowy wartości bezwzględnej (j.w.)

2. odwrócić bity 0 1 0 1 1 1 0 1
   po odwróceniu
   1 0 1 0 0 0 1 0

3. dodać binarną jedynkę na końcu
   1 0 1 0 0 0 1 0
   +             1
   _______________
   1 0 1 0 0 0 1 1

B. Zamiana: binarny na dziesiętny
!Pierwszy bit stanowi bit znaku

a) liczby nieujemne, x(0,1) - pierwszy bit 0
dla kolejnych bitów stanowiących zapis liczby (czyli nie dla bitu znaku) od prawej strony wpisujemy kolejne, ujemne potęgi liczby dwa, od 2^-1


liczba 0 1011101 to dziesiętne
1·2^-1+0·2^-2+0·2^-3+0·2^-4+0·2^-5+0·2^-6+0·2^-6=0,7265625
różnica między 0,728 a powstałą liczbą po przeliczeniu z liczby binarnej na dziesiętną (błąd zaokrągleń)

b) liczby ujemne, x(-1,0) - pierwszy bit 1

1. odjąć jedynkę binarną z końca
   1 0 1 0 0 0 1 1
   -             1
   _______________
   1 0 1 0 0 0 1 0

2. odwrócić bity

3. przeliczyć na liczbę dziesiętną, tak jak liczbę dodatnią.

3. Zamiana liczb całkowitych z systemu dziesiętnego na szesnastkowy i z szesnastkowego na dziesiętny

W liczbach szesnastkowych, obok cyfr od 0 do 9 do zapisu liczb używamy również następujących cyfr:

cyfra	wartość
A B C D E F	10 11 12 13 14 15

A. Zamiana: dziesiętny (decymalnego) na szesnastkowy (heksadecymalny)
np. 154
a) metoda 1

1. zamieniamy na liczę binarną
   Dziesiętne 124 = Binarne 01111001

2. Dzielimy liczbę binarną co cztery bity od prawej strony 0111 1100

Powstałe liczby binarne (składające się z 4 bitów), przeliczamy na liczby dziesiętne, a tym przypisujemy odpowiednie cyfry z systemu szesnastkowego

binarnie	0111	1100
dziesiętnie	7	10
szesnastkowo	7	C

czyli dziesiętne 124 = szesnastkowe 7C

b) metoda 2
Dzielę liczbę przez 16. Obok zapisuję resztę z dzielenia, a pod spodem część całkowitą z dzielenia.

dzielenie			|	reszta	| szesnastkowo
124	:	16	|	12	| C
7	:	16	|	7	| 7
0

Odczytujemy liczbę od dołu. Czyli 124 dziesiętne to 7C szesnastkowe (heksadecymalne)

B. Zamiana: szesnastkowy na dziesiętny
Mnożymy liczbę szesnastkową przez kolejne potęgi liczby 16 (licząc od 160) od prawej strony i dodajemy

7	C
161	160
112	12

---