Liczba Eulera e*2,718281...

Niech

Dowodzi się, że ciąg
jest rosnący i ograniczony, a więc zbieżny.

Granicę tego ciągu oznaczamy literą e.

Można wykazać, że e jest liczbą niewymierną.
. Logarytm o podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem ln.

Dowodzi się, że

Tw.

Jeżeli

Jeżeli

Tw.4 (o trzech ciągach) DOWÓD

Jeżeli
oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność
to
.

Tw.5

Jeżeli ciąg
jest ograniczony i
, to
.

Tw.6 ( zachowaniu nierówności słabej przy przejściu do granicy)

Jeżeli
i
oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność
, to
.

Znak granicy i znak wyrazów ciągu

Tw.7

Jeżeli granica ciągu jest liczbą dodatnią (ujemną), to prawie wszystkie wyrazy ciągi są dodatnie (ujemne).

Jeżeli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych (niedodatnich), to granica tego ciągu jest liczbą nieujemną (niedodatnią).

Tw.8 (warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu)

Ciąg
jest zbieżny

dla dowolnej liczby dodatniej
istnieje liczba
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od
różnią się między sobą mniej niż o
.

Podciągi danego ciągu

Niech dany będzie ciąg
oraz ciąg rosnący
, którego każdy wyraz jest liczba naturalną.

Ciąg
nazywamy podciągiem ciągu
odpowiadającym ciągowi wskaźników
.

Tw.9

Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy g, to każdy jego podciąg jest zbieżny do granicy g.

Jeżeli ciąg jest rozbieżny do
(
), to każdy jego podciąg jest rozbieżny do
(
).

Wniosek

Jeżeli dwa podciągi danego ciągu są zbieżne do różnych granic, to ciąg ten jest rozbieżny.

Tw.10: (Bolzano-Weierstrassa)

Z każdego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.

Ważniejsze granice

Prawdziwe są poniższe równości:

1.

2.

3.

4.

5.

Symbole nieoznaczone

Mówimy, że ciąg
jest ciągiem typu
jeżeli jest dany w postaci różnicy dwóch ciągów rozbieżnych do
.

, gdzie
,
.

O ciągu
nie można niczego orzec bez bliższych informacji o ciągach
.

Zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi do niego symbolami
i
nazywamy rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych i oznaczamy
.

Przyjmujemy:

Jeżeli x jest liczba rzeczywistą

a)
,

,

b)
.

c) Jeżeli
, to
,
.

Jeżeli
, to
,
.

Rachunek granic nieskończonych

1. Jeżeli
lub
, to
. Symbolicznie:
,
.

2. Jeżeli
i wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie (
), to
. Symbolicznie
.

3. Jeżeli
i wszystkie wyrazy ciągu są ujemne (
), to
. Symbolicznie
.

4a. Jeżeli
,
i
, to
.

4b. Jeżeli
,
i
, to
.

Symbolicznie
.

5a Jeżeli
,
, to
.

5b. Jeżeli
,
, to
.

6a. Jeżeli
,
, to
.

6b. Jeżeli
,
, to
.

Symbolicznie twierdzenie zapisujemy

11