TEMAT: BADANIE REZONANSU MECHANICZNEGO.

1. Wiadomoœci wstępne.

Rezonansem nazywamy przekazywanie energii z jednego układu drgającego do drugiego o tej samej lub bliskiej częstotliwoœci drgań własnych.

Zjawisko rezonansu ma miejsce wtedy, gdy na pewien układ działa zewnętrzna okresowa siła wymuszająca o dowolnej częstotliwoœci. Dla takiej sytuacji równanie ruchu ma postać:

,

a jego rozwiązaniem jest funkcja:

,

gdzie " jest częstotliwoœcią siły wymuszającej. Z tego wynika, że oscylator wykonuje ruch harmoniczny z częstoœcią siły wymuszającej, a nie z częstoœcią własną. Amplituda ruchu wymuszonego jest proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F0, a także związana jest bardzo silnie z różnicą między częstoœcią siły wymuszającej a częstoœcią własną oscylatora zależnoœcią:

.

Amplituda osiąga największą wartoœć, gdy częstoœć siły wymuszającej wynosi .

Ta częstoœć, zwana rezonasową, jest bliska częstotliwoœci drgań swobodnych układu gdy rez = 0, czyli gdy tłumienie nie jest zbyt silne (  jest współczynnikiem tłumienia). Za pomocą tego wyrażenia formułuje się drugą, równoważną definicję rezonansu: jest to zjawisko osiągania maksymalnej wartoœci drgań wymuszonych dla częstoœci rezonansowej.

Oscylatorem, którego własnoœci chcemy ustalić, jest wahadło balansowe, składające się z tarczy balansowej oraz spiralnej sprężyny, której jeden koniec łączy się z tarczą a drugi z ramieniem. Tarcza i ramię umieszczone są na wspólnej osi obrotu, a koniec ramienia połączony prętem z ramieniem silnika. Obrót silnika wytwarza sinusoidalnie zmieniający się moment siły działający na tarczę balansową. Gdy ramię jest unieruchomione wahadło może wykonywać ruch harmoniczny tłumiony tylko oporami urządzenia. W przypadku, gdy silnik się obraca, oscylator wykonuje ruch harmoniczny wymuszony. Częstotliwoœć obrotów silnika zmieniamy poprzez zmianę napięcia zasilania.

2. Wyniki pomiarów.

2.1. Drgania własne.

Lp.

t

Wartoœci kolejnych amplitud Ai

-

[s]

1

2

3

4

5

1

9.0

10

9

8

7

6.5

2

9.0

10

9

8

7

6.5

3

9.0

10

9

8

7

6.5

2.1.1. Stosując wzór okreœlający współczynnik tłumienia  postaci:

,

dla T = 1.8s otrzymujemy:

A0\An

6.5

7

8

9

10

10

0.05983096

0.06605092

0.06198432

0.05853362

-

9

0.06026341

0.06980956

0.06543502

-

-

8

0.05767760

0.07418411

-

-

-

7

0.04117110

-

-

-

-

œr

0.06159406

2.1.2. Czas relaksacji wyrażający się wzorem:

wynosi  = 8.1s.

2.1.3. Dobroć oscylatora obliczona na podstawie wzoru:

Q = 0

dla 0 = 2/ T = 3.49120189 wynosi: Q = 28.34.

2.2. Drgania wymuszone.

Lp.

U

10T



/0

A

-

[V]

[s]

[rad/s]

-

[jedn.]

1

3.0

46.7

1.34543582

0.38537898

0.50

2

4.0

33.2

1.89252570

0.54208429

0.50

3

5.0

25.9

2.42594027

0.69487253

0.70

4

6.0

21.0

2.99199300

0.85700945

1.00

5

6.1

20.5

3.06496844

0.87791212

1.10

6

6.2

20.0

3.14159265

0.8998599

1.75

7

6.3

19.8

3.17332591

0.90894942

3.75

8

6.4

19.2

3.27249235

0.93735408

20.00

9

6.5

18.8

3.34211984

0.95729779

25.50

10

6.6

18.5

3.39631638

0.97282154

27.00

11

6.7

18.2

3.45229962

0.98885706

20.50

12

6.8

17.8

3.52987939

1.01107856

14.50

13

6.9

17.4

3.61102604

1.03432175

9.50

14

7.0

17.2

3.65301471

1.04634875

7.50

15

8.0

15.2

4.13367454

1.18402621

1.50

3. Wnioski.

Zauważamy, że pasmo rezonansu mechanicznego wypada przy częstotliwoœci kołowej w granicach (18 ÷19) rad, a wartoœć maksymalna występuje przy częstoœci 18.5 rad. Różnica pomiędzy wartoœcią doœwiadczalną  a teoretyczną 0 wynika z wpływu współczynnika tłumiennoœci , występującego w drganiach wymuszonych oraz z występowania sił tarcia. Także duży wpływ na tę rozbieżnoœć ma niedokładnoœć wahadła balansowego i fakt, że tarcza była ruchoma. Podczas zbliżania się do rezonansu przyrząd podlegał coraz silniejszym drganiom (teoretycznie amplituda tych drgań przy częstoœci rezonansowej roœnie do nieskończonoœci), co utrudniało dokładny odczyt wartoœci amplitudy z tarczy wahadła.