IX Ekstrema lokalne, warunek konieczny i warunki dostateczne istnienia ekstremów lokalnych.

Definicja

Niech
oraz funkcja
. Punkt
nazywać będziemy:

a). minimum lokalnym (max) funkcji f, gdy

b). właściwym minimum lokalnym (max) funkcji f, gdy

e). punktem stacjonarnym (krytycznym) funkcji f, gdy istnieją pochodne cząstkowe funkcji f w punkcie x^* i spełniony jest warunek:

.

Twierdzenie (w-k konieczny dla jednej zmiennej)

Jeżeli
klasy
osiąga ekstremum w punkcie
, to
.

Twierdzenie (w-k dostateczny)

Jeśli
klasy
spełnia następujące warunki:

1).

2).
zmienia znak w otoczeniu punktu
wtedy f ma w
ekstremum lokalne właściwe.

( z - na + to jest minimum lokalne, a z + na - maximum lokalne).

Twierdzenie (II w-k dostateczny )

Jeżeli
klasy
spełnia następujące warunki:

1).

2).

to funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe w

( jeżeli
- min, a jeśli
- max)

(jeżeli kolejna pochodna jest parzysta i jest różna od zera to jest ekstremum, a jak jest nieparzysta to mamy punkt przegięcia)

Twierdzenie (w-k konieczny dla wielu zmiennych)

Niech
oraz
. Jeżeli
jest punktem w którym funkcja f osiąga ekstremum lokalne, to f posiada pochodną cząstkową w punkcie x^*

.

Twierdzenie (w-k wystarczający dla wielu zmiennych)

Załóżmy, że
ma wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego, ciągła w punkcie
oraz, że
. Wówczas

1). Jeśli
dla
, to f ma w punkcie a minimum lokalne właściwe

2). Jeśli
dla
, to f ma w punkcie maksimum lokalne właściwe.