Dynamika układu punktów materialnych

Nie w każdym problemie ruchu ciała, może być ono rozpatrywane jako punkt materialny. Kolejnym krokiem jest potraktowanie ciała jako zbioru punktów materialnych, sztywno ze sobą związanych.

Ogólnie, ruch takich układów jest złożeniem ruchu postępowego i ruchu obrotowego.

równanie ruchu postępowego:

Na każdy punkt materialny działają siły wewnętrzne i zewnętrzne.

Dla i - tego punktu, wypadkowa siła działająca na niego

Na podstawie II zasady dynamiki Newtona - dla punktu i

gdzie:
; a dla wszystkich punktów

przy czym
jest wypadkową sił zewnętrznych, ponieważ suma sił wewnętrznych jest zawsze równa zeru (III zasada dynamiki Newtona).

Możemy więc zapisać

Uwzględniając, że

gdzie: punkt P jest dowolnie wybranym punktem układu; otrzymujemy

Ale:
- jest całkowitą masą rozważanego układu punktów; a na podstawie definicji środka masy (punkt S na rysunku)

zatem otrzymujemy

W ruchu złożonym (postępowy + obrotowy) wektor
ma stałą długość, ale zmienny w czasie kierunek; jeśli jednak wybrany punkt P pokrywa się ze środkiem masy S , to wówczas wektor
.

Ostatecznie otrzymujemy zależność

co oznacza, że ruch postępowy układu punktów opisuje równanie ruchu, identyczne z II zasadą dynamiki Newtona dla punktu materialnego, ale w odniesieniu do środka masy.

Równanie ruchu obrotowego:

Ruch obrotowy powstaje w wyniku działania momentów sił.

Ogólnie, moment siły
względem punktu 0, działający na punkt materialny A jest definiowany wzorem

gdzie:
jest siłą działającą w punkcie A a

jest wektorem odległości punktu A od punktu 0.

Rozważamy momenty sił działające na układ punktów materialnych, względem dowolnie wybranego punktu P.

Dla i - tego punktu, mamy

Po zsumowaniu dla wszystkich punktów układu

Zmiana wektora
w czasie polega na zmianie jego kierunku w przestrzeni, czyli jego obrocie.

Przy
pomiędzy prędkością liniową i - tego punktu
i jego prędkością kątową
zachodzi relacja

skąd wynika, że przyspieszenie liniowe punktu i

Całkowity moment siły względem punktu P

Ponieważ
, a dla sztywno związanych punktów (prędkość) przyspieszenie kątowe względem P jest takie same, tzn.
, zatem

Jednakże prędkość i przyspieszenie kątowe nie zależą od wyboru punktu P, tak więc zapisujemy
w miejsce
. Oznaczając

-wielkość tę nazywamy momentem bezwładności układu względem osi obrotu przechodzącej przez punkt P - otrzymujemy ostatecznie wzór

który uważać można za zapis II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego.

1

3wyklad-dynamika ukladu p. mater

1

2

i

0

x

y

0

A