PODSTAWY TEORETYCZNE, NA KTÓRYCH OPARTY JEST ALGORYTM OBLICZEŃ

Program STARS oparty jest ściśle na metodzie stanów granicznych, która może być przedstawiona w odpowiadającym formalizmie matematycznym. Jednakże aby przedstawić metodę, posłużono się opisem przyjętym w mechanice gruntów.

Rozważa się konstrukcję wzmocnioną przedstawioną na rysunku 1.

RYSUNEK 1:

Charakterystykami tej konstrukcji, potrzebnymi do obliczeń z punktu widzenia przyjętej metody, są:

• geometria zbocza i rozmieszczenie gwoździ;

• sposób obciążenia: ciężar własny i obciążenia zewnętrzne;

• wytrzymałość gruntu, elementów wzmacniających i kontaktów grunt - elementy wzmacniające.

Dane dotyczące geometrii nie wymagają komentarza, natomiast przyjęto następujące założenia dotyczące wytrzymałości:

• wytrzymałość gruntu jest charakteryzowana przez kryterium Coulomba (spójność C i kąt tarcia wewnętrznego Φ);

• elementy wzmacniające przenoszą wyłącznie rozciągające siły osiowe N_max;

• zachowanie się gruntu na kontakcie grunt - element wzmacniający opisane jest warunkiem Treski; charakteryzuje je tarcie powierzchniowe F_lat, które definiowane jest jako graniczna siła wyciągająca na metr liniowego elementu wzmacniającego.

Powyższe dane dotyczące geometrii, obciążeń i wytrzymałości znane są a priori. Celem programu obliczeń jest sprawdzenie, czy konstrukcja jest stateczna, a jeśli tak to podać ilościowo posiadany przez nią zapas bezpieczeństwa.

Aby konstrukcja była stateczna musi być zapewniona jej równowaga globalna z uwzględnieniem granic wytrzymałości każdego elementu składowego. Rozważając przykładowo równowagę graniczną gruntu o objętości V (jednostkowej grubości, ograniczoną geometrię zbocza i spiralę logarytmiczną o parametrach Ω i Φ) należy zbilansować działające na ten grunt siły. Sprowadza się to do rozważenia:

• sił aktywnych, które tworzą składowe obciążenia obiektu; są to siły znane a priori; stanowią je: ciężar własny analizowanej objętości (klina obsuwu) oraz siły skupione Q₁ i Q₂ (rysunek 2);

RYSUNEK 2:

• sił biernych, którymi są mobilizowane na powierzchni AB siły oporu tarcia gruntu T=(σ,τ) oraz siła normalna N w elemencie wzmacniającym; nie są to siły znane a priori, muszą one spełniać przyjęte kryteria wytrzymałościowe.

Aby klin o objętości V był w równowadze wystarczy, aby na granicy AB wystąpiły równomiernie rozłożone siły bierne równoważące działanie sił aktywnych. W szczególności moment wypadkowy sił aktywnych M_akt i moment wynikający z sił biernych M_res (liczone względem Ω ale ze znakami przeciwnymi) muszą być równe. Ponieważ siły bierne są ograniczone warunkami wytrzymałościowymi, M_res reprezentuje M_max. Zależność Γ_V=M_res/M_akt sprawdza następujące stany:

Γ_V<1 - nie jest zapewniona równowaga globalna klina objętości V;

Γ_V>=1 - może być zapewniona równowaga globalna klina objętości V.

Jeśli Γ stanowi minimum Γ_V gdy zmienia się objętość V to przy:

Γ<1 konstrukcja nie jest stateczna; co najmniej dla jednego klina o objętości V

równowaga graniczna nie jest zapewniona;

Γ>1 konstrukcja jest stateczna, spełnione są momentowe warunki wszystkich

rozważanych objętości.

Objętość klina odłamu dla którego Γ_V osiąga wartość minimum to objętość krytyczna. Γ nosi nazwę współczynnika ufności i jest miarą bezpieczeństwa (gdy Γ>=1) lub zagrożenia (gdy Γ<1) konstrukcji. W zasadzie jakość informacji dostarczona przez Γ może być uściślana na dwa sposoby:

• spełniając warunki równowagi globalnej każdego klina odłamu nie tylko w momentach ale również w składowych sił;

• równoważąc inne niż ograniczone łukiem spirali logarytmicznej objętości krytyczne.

PORÓWNANIE Z INNYMI METODAMI

Podstawową zaletą jest możliwość obliczenia maksymalnego momentu biernego bez konieczności określania rozkładu sił biernych wzdłuż linii poślizgu. Metody najczęściej stosowane (Felleniusa, Bishopa, Spencera, perturbacji itd.) analizują stateczność pewnej objętości gruntu poddanego działaniu sił czynnych (zsuwających) i sił biernych (utrzymujących).

Zasadniczo metody te mogą różnić się jedynie:

• opisem linii poślizgu(koło, linia łamana itd.);

• sposobem wyznaczenia maksymalnych momentów lub sił utrzymujących.

W każdej z metod określa się rozkład naprężeń mobilizowanych na powierzchniach zniszczenia przy pewnych założeniach, z których najistotniejsze to:

• podział klina odłamu na paski (bloki);

• nieuwzględnianie ścinania między paskami;

• przyjęcie naprężeń zmieniających się na linii poślizgu;

• przyjęcie stożka zaniku sił liniowych;

• przyjęcie kąta krytycznego determinującego stan rozciągania lub ściskania w liniowym elemencie wzmacniającym.

Przedstawiony sposób określania M_res lub R_res ma dwie podstawowe zalety:

• spełnia ściśle zasady mechaniki (ponieważ nie wymaga żadnego dodatkowego założenia); wykorzystuje minimum danych, tj. geometrię konstrukcji, jej obciążenie oraz wytrzymałość składowych tego obciążenia;

• pozwala szybciej uzyskać wyniki ponieważ M_res (lub R_res) są wyznaczone bezpośrednio na podstawie postaci linii poślizgu i warunku wytrzymałościowego napotkanej składowej, w szczególności nie ma potrzeby dzielić klina odłamu na paski.

W końcu należy wspomnieć, że wybór spirali logarytmicznej o kącie Φ nie jest konieczny. W rzeczywistości jaka by nie była linia poślizgu (kołowa, łamana itd.) z łatwością wyznaczyć można majorantę Γ_V=M_res/M_akt (lub Γ_V=R_res/R_akt). Testy wykazały, że jeśli współczynnik ufności Γ nie jest nieskończony to żadna z przyjętych form linii poślizgu nie opisuje go lepiej niż spirala logarytmiczna o kącie Φ. Rozważano np. linię poślizgu w postaci wycinka koła o środku Ω przyjmowaną najczęściej (rysunek 3).

RYSUNEK 3:

M_res określono w ten sam sposób jak dla linii spiralnej. Nie zmieni się również wyrażenie na moment sił wynikających ze wzmocnienia jeśli tylko wyrażenie:

ΩM_sup{inf(N_max;lF_lat)sinΨ}/odległość

nie utraciło swej ważności. Z drugiej strony maksymalny moment wynikający z wytrzymałości gruntu osiąga nieskończoność. Aby to wykazać analizowano układ sił jak na rysunku 3. W punkcie M normalna zewnętrzna do bloku pokrywa się z wektorem ΩM a moment wektora naprężeń T=(σ,τ) wynosi τxΩM. Wektor Γ musi pozostać wewnątrz stożka Coulomba (spełnić kryterium wytrzymałościowe) lecz wartość τxΩM nie jest ograniczona. Wystarczy wybrać T=(-τ/tgΦ,τ) i z τ przejść do ∞ aby otrzymać nieskończoną wartość momentu. W konsekwencji maksymalny moment bierny jak również Γ_V=M_res/M_akt równa się nieskończoności niezależnie od wartości M_akt. W przypadku gruntów o kącie tarcia Φ≠0 równowaga klina odłamu ograniczonego łukiem koła o środku Ω, wyrażona w momentach jest zawsze zapewniona. W metodach najczęściej stosowanych aby uzyskać taki wynik należy przyjąć dodatkowe założenia pozwalające określić wartość szczególną wektora T, odpowiedni moment sił biernych będzie miał zawsze wartość skończoną.

Jedynym przypadkiem gdy wyniki obliczeń według przedstawionego i wykorzystanego w programie STARS sposobu równe są wynikom powszechnie stosowanych metod równowagi granicznej jest przypadek, gdy kąt tarcia wewnętrznego gruntu Φ=0. Wtedy spirala logarytmiczna staje się kołem.

CZĄSTKOWE WSPÓŁCZYNNIKI BEZPIECZEŃSTWA

Danymi w projektowaniu konstrukcji wzmocnionej poza jej geometrią i obciążeniami są również cząstkowe współczynniki bezpieczeństwa dwóch rodzajów.

1. Pierwszymi są współczynniki zależne od wytrzymałości składowych (grunt, inkluzja, powierzchnia na kontakcie). Wszystkie parametry wytrzymałościowe (Φ, C, N_max, F_lat) są ważone do jednostkowych (f_Φ, f_C, f_Nmax, f_Flat) tak, aby otrzymane kryterium było wewnątrz warunku początkowego:

tgΦ'=tgΦ/f_Φ, C'=C/f_C, N'_max=N_max/f_Nmax, F'_lat=F_lat/f_Flat.

W szczególności, aby kryterium Coulomba spełniało powyższe warunki musi być spełniona nierówność f_Φ<=f_C. Korzystając z powszechnie wykorzystywanej równości f_Φ=f_C wyżej podana nierówność oznacza, że spójność gruntu jest z reguły trudniejsza do określenia, niż kąt tarcia.

2. Drugie współczynniki cząstkowe są funkcją ciężaru własnego i obciążeń: każdemu obciążeniu przypisana jest minoranta (f^-<=1) oraz majoranta (f⁺>=1), ponieważ a priori nie zawsze wiadomo czy obciążenie jest stabilizujące czy nie. Każde obciążenie Q zmienia się więc od Qf^-_Q do Qf⁺_Q. Wyjątek stanowi ciężar własny, który ma tylko majorantę.

Najogólniej, parametry wytrzymałościowe definiuje się w sposób probabilistyczny i związane z nimi współczynniki cząstkowe zależą od dokładności probabilistycznych.

WYKORZYSTANIE PROGRAMU STARS

• DANE DO PROGRAMU

Dane wejściowe akceptowane przez wersję 1.00 programu STARS przedstawiono na rysunku 4.

RYSUNEK 4:

Obowiązują następujące umowy:

• układ osi jak na rysunku;

• kąty liczone są jak dodatnie w sensie trygonometrycznym z wyjątkiem nachylenia warstw elementów wzmacniających;

• siły skierowane zgodnie z osią z mają wartość dodatnią.

W uzupełnieniu założeń metody, wg której prowadzone są obliczenia, należy dodać, że:

• półpłaszczyzny powyżej i poniżej profilu zbocza są nieskończone;

• teoretycznie nie ma ograniczeń co do ilości warstw elementów wzmacniających oraz obciążeń; praktycznie program realizuje obliczenia dla do 15 warstw wzmacniających oraz do 10 obciążeń (w tym 5 skupionych, 5 powierzchniowych).

W tablicy 1 zestawiono definicje, jednostki i ewentualnie zakres zmian parametrów zależnych od geometrii, obciążenia i wytrzymałości.

SYMBOL	DEFINICJA	JEDNOSTKI	OGRANICZENIA
H	wysokość zbocza	m	H>0
b1	nachylenie płaszczyzny górnej	°	b1<=F'
			max(b2-p,-p/2)<b1<b2
b2	nachylenie zbocza	°	0<b2<=p/2
b3	nachylenie płaszczyzny dolnej	°	b3<=F'
g	ciężar objętościowy	kN/m3	g>=0
F	kąt tarcia wewnętrznego	°	0<=F<=p/2
C	spójność	kPa	C>=0
NCSup	liczba obciążeń skupionych (płaszczyzna górna)		NCSup>=0
NCInf	liczba obciążeń skupionych (płaszczyzna dolna)		NCInf>=1
Qj	j-te obciążenie skupione	kN/m
Xj	odcięte punktu przyłożenia Qj	m	Xj<=-H*ctgb2
			Xj>=0
dj	nachylenie Qj	°
NRSup	obciążenie równomiernie rozłożone (górne)		NRSup>=0
NRInf	obciążenie równomiernie rozłożone (dolne)		NRInf>=0
qj1,qj2		kPa
Xj1,Xj2			Xj1Xj2
			max(Xj1,Xj2)<=-H*ctgb2
			min(Xj1,Xj2)>=0
NLits	liczba warstw wzmocnienia		NLits>=0
Zk	początek K-tej warstwy	m	0<=Zk<=H
ak	nachylenie	°	-b2<ak<p-b2
Lk	długość	m	Lk>=0
Nmaxk	graniczna siła normalna	kN	Nmaxk>=0
Flatk	graniczna siła na kontakcie	kN/m	Flatk>=0
Espak	odległość pozioma	m	Espak>=0

TABLICA 1

Tablica 2 zestawia cząstkowe współczynniki bezpieczeństwa i ich wartości ważone.

PARAMETRY	WSPÓŁCZYNNIK BEZPIECZEŃSTWA	WARTOŚĆ WAŻONA	OGRANICZENIA
F	fF	arctg(tgF/fF)	fF>=1
C	fC	C/fC	fC>=fF
Nmax	fNmax	Nmax/fNmax	fNmax>=1
Flat	fFlat	Flat/fFlat	fFlat>=1
g	fg	gfg	fg>=1
Qi	f^-Qi	<f^-Qi;f^+Qi>	f^-Qi<=1<=f^+Qi
Qj	f^-Qj	<f^-Qj;f^+Qj>	f^-Qi<=1<=f^+Qi

TABLICA 2

KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE GEOTECHNIKI

---