1. Zadania wytrzymałości materiałów

Pierwszym więc niezbędnym postulatem dla każdej konstrukcji jest za­pewnienie jej odpowiedniej wytrzymałości (lub jak to się często określa noś­ności).

Wskutek działania sił konstrukcja ulega odkształceniu; jej poszczególne części zmieniają swe położenie. Zmiany te określa się przez podanie przemie­szczeń liniowych poszczególnych punktów konstrukcji. Przemieszczenie linio­we definiuje się jako wektor o początku w danym punkcie ciała nie odkształconego i końcu w tymże punkcie ciała w stanie odkształconym. Oprócz przemieszczenia liniowego wprowadza się również pojęcie przemieszczenia kątowego. Przemie­szczeniem kątowym nazywa się kąt zawarty między dowolnie krótkim odcinkiem związanym z rozpatrywanym ciałem przed jego odkształceniem i po odkształceniu.

Zbyt wielkie przemieszczenia konstrukcji mogą uniemożliwić celowe funk­cjonowanie urządzenia. Ograniczenie przemieszczeń, lub inaczej mówiąc, za­pewnienie dostatecznej sztywności konstrukcji jest często warunkiem również koniecznym, jak zapewnienie jej dostatecznej wytrzymałości.

Podstawowymi zadaniami badania wytrzymałości materiałów jest okre­ślenie nośności konstrukcji oraz wyznaczenie jej przemieszczeń wywołanych działającymi na nią obciążeniami.

Do utrzymania konstrukcji w położeniu niezmiennym względem określo­nego układu odniesienia wymagane są więzy ograniczające swobodę jej ruchu. Praktycznie realizuje się te więzy w postaci stosownych podpór. Podpory działają na konstrukcję określonymi siłami zwanymi reakcjami podporowymi. Siły te można wyznaczyć wykorzystując w pierwszym rzędzie warunki równo­wagi. Jeżeli liczba niewiadomych sił jest równa liczbie równań równowagi, które można napisać dla danego układu, to rozpatrywany układ nazywa się układem statycznie wyznaczalnym Układ, w którym liczba n niewiadomych sił jest większa od liczby r równań równowagi nazywa się układem statycznie niewyznaczalny m lub hiperstatycznym. Układ taki określa się dodatkowo jako (n-r)-krotnie statycznie niewyznaczalny. Do rozwiązania zagadnień statycznie niewyznaczalnych konieczne jest uwzględ­nienie odkształceń. Jednym z zadań wytrzymałości materiałów jest rozwiązywa­nie zagadnień statycznie niewyznaczalnych.

2.Pręt, siły wewnętrzne w pręcie

Umówmy się, że w celu wyznaczenia sił wewnętrznych w pręcie rozpatruje się je w prze­krojach normalnych, przyjmując za środek redukcji środek geometryczny (środek ciężkości) przekroju.

Wektor główny P_w sił wewnętrznych można rozłożyć na składo­wą N o kierunku prostopadłym do przekroju i składową T o kierunku stycznym. Moment główny M_W rozkłada się również na kierunek normalny M_s i styczny M_g. Składową N nazywa się silą podłużną lub osiową, a składową T — silą poprzecz­ną (tnącą). Podobnie określa się M_s jako moment skręcający i M_g jako moment gnący (zginający). Składowe te nazywa się zredukowanymi siłami wewnętrznymi, lub krótko siłami wewnętrznymi.

Jeżeli w pręcie wystąpi tylko jedna składowa sił wewnętrznych, to wówczas mówi się o prostym zagadnieniu wytrzymałości pręta. Do takich prostych za­gadnień należą:

— rozciąganie lub ściskanie — wówczas działa wyłącznie siła osiowa N i jeżeli jest zwrócona na zewnątrz rozpatrywanego przekroju, to mówi się o roz­ciąganiu, a jeżeli do wewnątrz, to o ściskaniu,

• ścinanie — występuje wyłącznie siła poprzeczna T,

• zginanie — występuje wyłącznie moment gnący M_u,

• skręcanie — występuje wyłącznie moment skręcający M_s.

3. Rozciąganie i ściskanie pręta prostego o stałym przekroju. Prawo Hooke'a

A. Warunki równowagi

Na pręt prosty o stałym przekroju działa układ sił lub jedna siła P, która w każdym przekroju wywołuje siłę rozciągającą N — P. W przekroju nor­malnym występują naprężenia i zakładamy, że będą to wyłącznie naprężenia normalne sigma. Układ sił elementarnych sigma dA musi równoważyć się z siłą N. Wynika stąd warunek równowagi (Całka od A z sigma dA = N)

B. Warunki geometryczne

Pod działaniem siły pręt odkształca się. Przyjmijmy, co można sprawdzić doś­wiadczalnie, że odkształcenia objawią się przez przesunięcie przekrojów wzdłuż osi pręta przy zachowaniu ich płaskości i prostopadłości do osi. Jeżeli przesunięcie dowolnego przekroju, którego położenie przed odkształceniem określa współrzędna x wynosi u, to wzajemne przesunięcie dwu przekrojów odległych o dx wynosi du. Wydłużenie względne e, zwane również wydłużeniem jednostkowym wła­ściwym lub wzdłużnym, określa się wzorem

Wydłużenie to, jak wynika z definicji, jest wielkością niemianowaną. W przy­padku ściskania analogiczną wielkość nazywa się skróceniem właściwym. Ogólnie wielkość tę można nazwać również odkształceniem względnym (właściwym) lub krótko odkształceniem. Wzór ten ujmuje związki między przemieszczeniami i odkształce­niami. Z założenia płaskich przekrojów wynika, że dla danego przekroju od­kształcenie epsilon będzie miało wartość stałą (epsilon = const).

Wydłużenie całego pręta lambda = l' - l oblicza się ze wzoru:

Zmieniają się nie tylko wymiary wzdłużne rozciągniętego pręta, lecz również pierwotny wymiar poprzeczny d (np. średnica) zmienia się na d'. Zakładając, że wydłużenie w kierunku poprzecznym jest równomierne wyznacza się epsilon y = epsilon z = (d' - d)/d Wydłużenie to nazywa się wydłużeniem poprzecz­nym epsilon' = epsilony = epsilon z. W przypadku rozciągania d > d' a więc epsilon' < 0.

C. Związki fizyczne

Stosując współczesne pojęcia prawo Hookea ' można wyrazić: wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, które je spowodowało (epsilon = sigma/E)

Wielkość E charakteryzuje odkształcalność materiału i nazywa się modułem sprężystości wzdłużnej (modułem Younga ).

Ponieważ epsilon jest wielkością niemianowaną, moduł E ma wymiar naprężenia. Prawo Hooke'a definiuje związki fizyczne między odkształceniami i naprężeniami jako liniowe. Wydłużenie poprzeczne jest również proporcjonalne do naprężenia, a stosunek epsilon'/epsilon jest liczbą stałą zależną od własności materiału (epsilon'=-v*epsilon)

gdzie v — współczynnik Poissona. Dla większości materiałów 0,16 < v < 0,5. Z równania tego wynika, że dla przyjętego przez nas założenia płaskich przekrojów również sigma musi mieć w danym przekroju wartość stałą (sigma = N/A) gdzie A - pole przekroju poprzecznego.

Wydłużenie całkowite pręta wyznaczamy po podstawieniach ze wzoru (lambda = P*l/A*E) gdzie A*E nazywamy sztywnością pręta.

4. Podać i zilustrować zasadę de Saint - Venanta

Jeżeli na pewien niewielki obszar ciała sprężystego w równowadze dzia­łają kolejno rozmaicie rozmieszczone, ale statycznie równowarte obciążenia, to w odległości od obszaru dużo większej niż jego wymiary powstają praktycznie jednakowe stany naprężenia i odkształcenia.

5.Zasada zesztywnienia

Jeżeli ciało odkształcalne pod działaniem sił zewnętrznych znajduje się w równowadze, to przy zachowaniu swego położenia, wymiarów i kształtów i pod działaniem tych samych sił, lecz po jego zesztywnieniu, nadał pozostanie w równo­wadze.

6. Omówić podstawowe próby doświadczalne badania materiałów.

Typowy wykres naprężenie-odkształcenie pokazuje rysunek po lewej. Początkowo wzrost naprężenia powoduje liniowy wzrost odkształcenia. W zakresie tym obowiązuje prawo Hooke'a. (do punktu R_H - Granica proporcjonalności). Po osiągnięciu naprężenia R_sp, zwanego granicą sprężystości materiał przechodzi w stan plastyczności, a odkształcenie staje się nieodwracalne. Przekroczenie granicy sprężystości, zauważalne w okresie chwilowego braku przyrostu naprężenia, powoduje przejście materiału w stan plastyczny. Dalsze zwiększanie naprężenia powoduje nieliniowy wzrost odkształcenia, aż do momentu wystąpienia zauważalnego, lokalnego przewężenia zwanego szyjką. Naprężenie, w którym pojawia się szyjka, zwane jest wytrzymałością na rozciąganie R_m. Dalsze rozciąganie próbki powoduje jej zerwanie przy naprężeniu rozrywającym R_u. R_EH - Górna granica plastyczności R_EL - Dolna granica plastyczności

Próba udarności

Podparta w sposób swobodny próbka zostaje w środkowym przekroju obciążona udarowo poruszającym się z określoną prędkością ciężkim wahadłem młota (rys. 2.17). Uderzenie następuje po stronie przeciwległej karbowi. Urządze­nie badawcze, w którym realizuje się tę próbę, zwane młotem udarnościowym (Charpy'ego) umożliwia wyznaczenie pracy K (J) potrzebnej do złamania próbki. Iloraz tej pracy przez pole S_u (m²) osłabionego karbem przekroju próbki zwie się udarnością i oznacza symbolem KC = K/S₀ (J/m²).

7. Obliczenia wytrzymałościowe prętów na rozciąganie (ściskanie)

Wzrost naprężeń i związanych z nimi odkształceń ciała powoduje zmiany w jego stanie fizycznym, które prowadzą w rezultacie do odkształceń trwałych, a na­wet zniszczenia spójności materiału. Zmiany te określa się jako wytężenie mate­riału. Wzrost wytężenia mówi nam „o wyczerpywaniu wytrzymałości materiału". Miarą wytężenia w przypadku osiowego działania siły w pręcie jest naprężenie normalne sigma w jego przekroju. Próba rozciągania lub ściskania pozwala na wyzna­czenie naprężenia niebezpiecznego sigma_nieb, za które w zależności od warunków mo­żna uznać R_m, R_e lub wytrzymałość na zmęczenie. W poprawnie zaprojekto­wanej konstrukcji wytężenie nie powinno nigdzie osiągnąć stanu niebezpiecznego. W przypadku prętów rozciąganych (ściskanych) naprężenia sigma powinny mieć wartość mniejszą niż naprężenia niebezpieczne. Tę dopuszczalną wartość naprę­żenia nazywa się naprężeniem dopuszczalnym (sigma_dop = sigma _nieb/n) gdzie n >1 jest to współczynnik bezpieczeństwa. Współczynnik ten powinien uwzględniać prawdopodobieństwo zupełnie przypadkowych odstępstw od warunków przyjętych za podstawę obliczeń. Podstawą do obliczeń wytrzymałościowych prętów jest równanie (sigma = N/A) i warunek sigma < sigma_dop. Z tego równania możemy dokonywać obliczeń sprawdzających, wyznaczać obciążenia dopuszczalne lub wyznaczać wymiary przekroju.

8. Omówić problem koncentracji naprężeń.

O ile dla prętów o stałym przekroju przy obciążeniu osiowym przyjęcie założenia płaskich przekrojów i w następstwie tego stałości naprężeń w przekroju okazało się słuszne, to w prętach o zmiennych przekrojach należy się liczyć z odstępstwami. Czego dowodem jest spiętrzanie się naprężeń. Szczególnie duże spiętrzenie naprężeń występuje w przypadku ostrych nacięć i mówimy wówczas o działaniu karbu.

9. Wyznaczyć odkształcenia w pręcie wywołane zmiana temperatury.

Przyczyną odkształcenia ciała może być oprócz działania sił również zmiana temperatury. Jeżeli ciała o długości l₀ w temp 0 ogrzejemy z temp t1 do t2 długość zmieni się z l₁ na l₂. Wówczas średnim współczynnikiem rozszerzalności liniowej w granicach temperatur t1 i t2 jest wielkość. Zależy on głównie od rodzaju materiału, i zazwyczaj ma stała wartość.

10. Wyprowadzić wzór na Tau przy skręcaniu prętów okrągłych.

Jeżeli prosty pręt obciążymy w płaszczyźnie prostopadłej do osi parą sił o momencie K, wówczas siły wewnętrzne w pręcie zredukują się do mo­mentu Ms = K (o kierunku zgodnym z osią pręta) zwanego momentem skręcającym. Wprowadzając założenia płaskich przekrojów, stałej długości włókien ustalamy warunki geometryczne. W części pręta ograniczonej dwoma przekrojami I i II odległymi o dx przekrój II obraca się względem przekroju I o kat d(fi). A wraz z nim o taki sam kąt obraca się promień przekroju II. Tworzy się w ten sposób kąt gamma. Dokonując odpowiednich przekształceń otrzymujemy:

11. Wyprowadzić wzór na przemieszczenie kątowe w pręcie skręcanym.

12 Obliczenia wytrzymałościowe skręcanych prętów o przekroju kołowym.

W pręcie skręcanym stan naprężenia jest ścinaniem. Nie jest on jednoosiowy lecz przedstawia się jako plaski stan naprężeń. Stan ten opisuje wartość

τ = |σ 1| = |σ 2| Warunek wytrzymałościowy wyraża się: σ <=σ dop

W celu wyznaczenia σ trzeba użyć jednej z hipotez wytężenia np:

-hipotezą energii odkształcenia postaciowego

σ = τ*√3

τ*√3 <= σdop

τ<= σdop /√3

τ<=τdop

τdop=0,58*σ dop

13. Czyste zginanie definicja i hipotezy

def: Czyste zginanie zachodzi wówczas gdy na belkę działa wyłącznie moment gnący o stałej wartości wzdłuż osi belki. Występują naprężenia normalne a styczne nie są konieczne i można założyć, że nie wystąpią.

Hipotezy:

1 Przekrój płaski pozostaje po odkształceniu pręta płaski

2 Istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania pary sił momentu gnącego

3 Wystąpią tylko naprężenia narmalne w przekroju belki, w przekrojach podłużnych brak naprężeń

14. Zginanie poprzeczne definicja:

15. wyprowadzić wzór na wyznaczanie naprężeń w pręcie zginanym

σmax= (Mg*Ymax)/Iz

= (Mg)/(Iz/ Ymax)

= Mg/W

W= Iz/ Ymax

Mg/W= σmax<= σdop

16 Wytrzymałość na zginanie

Największe naprężenia występują w najbardziej odległych od osi obojętnej punktach. Jeżeli odległość od oso]i obojętnej punktów I i II oznaczy się przez eI i eII a moment bezwładności względem osi obojętnej przez I wówczas naprężenia wynoszą

σI=(Mg*eI)/I

σII=(Mg*eII)/I

Wytrzymałość na zginanie określają nam ilorazy momentu bezwładności przekroju względem osi obojętnej i odległości od osi włókien skrajnych. Są to wskaźniki wytrzymałości przekroju na zginanie ich wymiarem jest cm^3

17. Zginanie ukośne

Zginanie nazywamy ukośnym gdy kierunek wektora momentu gnącego nie pokrywa się z kierunkiem jednej z głównych centralnych osi bezwładności przekroju.

Wyznaczyć kierunek osi obojętnej

tgß  = (Iz/Iy)*tgα

gdzie:

I - momenty względem odpowiednich osi

α - kąt nachylenia momentu gnącego do osi z

ß- kąt nachylenia

18. Wyprowadzić wzór żurawskiego:

Podczas zginania belki siłą tnącą, w dowolnym przekroju poprzecznym występuje moment gnący M_g i siła tnąca T. Można dowieść, że między momentem gnącym M_g(x), tnącą siłą T(x) oraz obciążeniem ciągłym zachodzą następujące zależności,

- obciążenie ciągłe z przeciwnym znakiem jest drugą pochodną momentu gnącego w danym przekroju i tym samym pierwszą pochodną siły tnącej:

- siła tnąca w danym przekroju jest pierwszą pochodną momentu gnącego w tym przekroju:

20. Nie uwzględnia się wpływu sił poprzecznych, który jest pomijalnie mały, wykorzystany wzór niżej jest ograniczony do małych odkształceń (y'=tgθ =~θ (y')²<<1)

21. EI*(d²y/dx²)=Mg (oś x skierowana w prawo, y do góry, dodatni moment wygina belkę wypukłością w dół) + warunki brzegowe

22. warunki brzegowe // podpora stała (zamurowana): y(x=0)=0, y'(x=0)=0 // p. ruchoma y(x=0)=0, y' - nie ma war. // przegub - L\./P → y_L=y_P

23.CLEBSCH 1.Jeżeli występuje obciążenie ciągłe to przedłużamy je do końca belki, a z przeciwnej strony belki dodajemy takie obciążenie ciągłe o ile przedłużyliśmy(zrównoważenie przedłużenia).2.Piszemy jedno równanie ugięcia belki EI y= (wszystkie wyrazy wynikłe z założenia 3. Dwa razy całkujemy przestrzegając założenia 4.Ustalamy warunki początkowe i wyliczamy stałe całkowania.

24.I dy/dx=tgθ _x=~ θ _x (tangens kąta nachylenia stycznej do linii ugięcie przekroju belki określonego współrzędną x)(jeśli w żadnym przekroju naprężenia nie przekraczają granicy proporcjonalności, to kąty nachylenia (w radianach) są małe, więc przyjmujemy tgθ _x=θ _x

II d²y/dx²=M_x/EI (M-moment gnąy w przekroju x, EI- sztywność zginania) III d³y/dx³=T_x/EI (T- siła tnąca) IV =-q_x/Ei (q- obciążenie ciągłe)

25. Naprężenie miara sił wewnętrznych powstających w ciele pod wpływem zewnętrznej, odkształcającej siły. W danym punkcie naprężanie określone jest wektorem P=dF/dS, gdzie dF/dS oznacza siłę działającą na nieskończenie mały element powierzchni przekroju ciała. Naprężenie dzieli się na: działające w kierunku prostopadłym do powierzchni przekroju S, nazywane naprężeniem normalnym σ, oraz na działające w kierunku stycznym do powierzchni (naprężenie styczne τ), przy czym zachodzi równość P2=σ2+τ2.

Tensor stanu naprężenia - Naprężenie w oderwaniu od kierunku powierzchni przekroju może być opisane przez tensor naprężenia σ. W każdym przypadku możliwe jest takie dobranie tensora naprężenia, aby prawdziwa była równość:

dowolny stan naprężenia opisany jest przez dziewięć składowych, które zapisujemy w formie tensora stanu naprężenia:

Naprężeniem głównym nazywamy wektor naprężenia σi, który jest prostopadły do płaszczyzny na którą działa. Odpowiada siłom ściskającym lub rozciągającym, a nie ścinającym — działającym wzdłuż płaszczyzny na którą działają. Naprężenia główne oznaczane są symbolami σ1, σ2, σ3

Wyznaczanie naprężeń głównych: naprężenia normalne rozciągające się w punkcie K wyznaczamy ze wzoru: σ=(M*z)/Iy (M- moment zginający w przekroju poprzecznym belki, w którym badamy, z-odległość K od osi obojętnej, Iy - główny centralny moment bezwładności przekroju poprzecznego belki względem osi y)

26. Postulat Boltzmana

Prawo równości odpowiadających sobie naprężeń stycznych prostopadłe do krawędzi przecięcia się dwu przekrojów elementarnych wzajemnie prostopadłych są zawsze równe

τ _{yz =} τ _zy

τ _{zx =} τ _xz

τ _{xy =} τ _yx

27.Główne osie- to taka oś, na której momenty dewiacji są równe 0, więc nie ma naprężeń stycznych.Dla każdego stanu naprężeń można wyznaczyć 3 wzajemnie prostopadłe osie określające kier. główne

0=(σ _x-σ )l+τ _yxm+τ _zxn

0=τ _xyl+(σ _y-σ)m+τ _zyn

0=τ _xzl+(σ _z-σ)n+τ _zym

l²+m²+n²=1 (m,n,l - cosinusy kierunkowe)

Naprężeniem głównym nazywamy wektor naprężenia σi, który jest prostopadły do płaszczyzny na którą działa. Odpowiada siłom ściskającym lub rozciągającym, a nie ścinającym — działającym wzdłuż płaszczyzny na którą działają. Naprężenia główne oznaczane są symbolami σ1, σ2, σ3.

Tensor naprężenia w układzie wyznaczonym przez wektory własne będzie miał współrzędne:

Umownie przyjmuje się kolejność:

Naprężenia główne są pierwiastkami następującego równania:

gdzie:σ — naprężenie główne, I1, I2, I3 — niezmienniki stanów naprężenia

niezmienniki stanów naprężenia - wartości naprężeń głównych, które nie są zależne od przyjętego wyjściowego układu osi

28. Płaski stan naprężenia Składowe płaskiego stanu naprężenia można zapisać w tablicy zawierającej dziewięć elementów nazywanej tensorem naprężenia

Macierz stanu odkształcenia (deformacja kwadratu ABCD): T= [ε ₁₁ ε _{12, <-l} ε ₂₁ ε ₂₂]

(ε ₁₁=ε _x, ε ₂₂=ε _y, ε ₁₂=ε ₂₁=γ _xy/2 // ε _x=(A'B'*cosa-AB)/AB ε _y=(A'D'cosa-AD)/AD, γ _xy= α +β

---