ekonomia matematyczna2, chomikowane nowe, ekonomia


  1. Podać, jak mierzy się odległość między koszykami dóbr.

  2. Podać określenie przestrzeni metrycznej.

  3. Podać określenie przestrzeni towarów.

  4. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.

  5. Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.

  6. Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.

  7. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta.

  8. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.

  9. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta.

  10. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.

  11. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.

  12. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów 0x01 graphic
    mogła pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.

  13. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na 0x01 graphic
    jest wklęsła na tym wzorze.

  14. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na 0x01 graphic
    jest rosnąca na tym zbiorze.

  15. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.

  16. Przyjmując, że 0x01 graphic
    to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.

  17. Uzasadnić, że funkcja w postaci 0x01 graphic
    jest przykładem funkcji użyteczności, dla której spełnione jest tzw. Prawo Gossena.

  18. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

  19. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

  20. Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją użyteczności.

  21. Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e” litrów mleka, „ၰ” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).

  22. Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = maxႽxi - yiႽ dla i = 1, 2, ..., n spełnia odpowiednie aksjomaty.

  23. Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe kombinacje wypukłe koszyków.

  24. Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta.

  25. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta.

  26. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła.

  27. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 0x01 graphic
    , który jest domknięty i ograniczony.

  28. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 0x01 graphic
    , który jest domknięty i nieograniczony.

  29. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 0x01 graphic
    , który jest otwarty i nieograniczony.

  30. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 0x01 graphic
    , który jest wypukły i nieograniczony.

  31. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60), y = (20, 50, 10).

  32. Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d, d), (d, c), (d, d)} jest zupełna i przechodnia.

  33. Funkcja użyteczności ma postać: 0x01 graphic
    . Znaleźć złożenie tej funkcji z funkcją postaci: 0x01 graphic

  34. Mając koszyk towarów x = (2, 3, 4) oraz funkcję użyteczności postaci: 0x01 graphic
    znaleźć krańcowe użyteczności pierwszego i drugiego towaru oraz podać interpretację ekonomiczną.

  35. O czym informuje pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji użyteczności.

  36. Obliczyć pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji użyteczności postaci: 0x01 graphic
    dla koszyka postaci: x = (3, 5) oraz podać interpretację ekonomiczną wyniku.

  37. Wyjaśnić, co to jest płaszczyzna budżetowa na przykładzie trzech koszyków dóbr.

  38. O czym mówi krańcowa użyteczność dochodu.

  39. Podać interpretację ekonomiczną popytu krańcowego na i-ty towar względem j-tego towaru.

  40. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności popytu na i-ty towar względem j-tego towaru.

  41. Kiedy towar nazywamy normalnym, a kiedy towarem Giffena.

  42. Kiedy dwa towary są substytucyjne względem siebie.

  43. Kiedy dwa towary są komplementarne względem siebie.

  44. O czym informuje popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta.

  45. O czym informuje elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta.

  46. Kiedy mamy do czynienia z towarem wyższego rzędu, a kiedy z towarem niższego rzędu.

  47. Podać określenie skalarnej funkcji produkcji.

  48. Podać standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji.

  49. O czym informuje krańcowa produktywność i-tego czynnika produkcji.

  50. O czym mówi elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji.

  51. Co pokazuje elastyczność produkcji względem skali nakładów.

  52. Wyjaśnić pojęcie izokwanty produkcji.

  53. O czym informuje krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-ty czynnik w wektorze produkcji.

  54. O czym mówi elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty w wektorze nakładów.

  55. Co to jest techniczne uzbrojenie pracy.

  56. O czym informuje elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy.

  57. Co oznacza, że krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał dla liniowej funkcji produkcji postaci 0x01 graphic
    jest stała, równa 0x01 graphic
    .

  58. Jak zależy przeciętna wydajność pracy od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji produkcji.

  59. Obliczyć krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywnosść kapitału dla liniowej funkcji produkcji.

  60. Jak zależy przeciętna efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji produkcji.

  61. Wykazać wklęsłość liniowej funkcji produkcji.

  62. Podać ogólną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz wyjaśnić znaczenie parametrów „ၡ” i „ၢ”.

  63. Pokazać, że funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest dodatnio jednorodna stopnia „ၡ + ၢ”.

  64. Co oznacza w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, gdy ၡ + ၢ = 1, a co - gdy ၡ + ၢ < 1.

  65. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

  66. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

  67. Obliczyć dla funkcjo Cobba-Douglasa krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału.

  68. Podać ogólną definicję funkcji CES oraz wyjaśnić znaczenie obu parametrów tej funkcji.

  69. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

  70. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

  71. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową wydajność pracy.

  72. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową efektywność kapitału.

  73. Obliczyć dla funkcji produkcji CES stopień jednorodności.

  74. Podać definicję funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa i wyjaśnić, co oznacza, że jest to tzw. niesubstytucyjna funkcja produkcji.

  75. Podać, kiedy funkcja produkcji CES jest:

x = (x1, x2) ჎ X i y = (y1, y2) ჎ X d(x, y) = maxႽ xi - yi

Odległość między koszykami wyrażona jest zawsze w tych samych jednostkach co towar, dlatego różnica Ⴝ xi - yiႽ jest maksymalna.

      1. Podać określenie przestrzeni metrycznej.

Przestrzeń towarów jest przestrzenią metryczną, co oznacza, że spełnione są następujące trzy warunki:

a) 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

c) 0x01 graphic

      1. Podać określenie przestrzeni towarów.

Przestrzenią towarów nazywamy zbiór 0x01 graphic
dostępnych na rynku koszyków towarów z odległością między koszykami zdefiniowaną wzorem d(x, y) = maxႽ xi - yiႽ (definicja z książki).

Przestrzenią towarów nazywamy zbiór dostępnych na rynku koszyków dóbr z odległością między koszykami 0x01 graphic
(definicja z zeszytu).

      1. Podać, jak określa się podstawowe działania na koszykach dóbr.

a) dodawanie 0x01 graphic

b) mnożenie przez liczbę (skalar) 0x01 graphic

      1. Określić pojęcie liniowej kombinacji wypukłej dwóch koszyków.

Liniową kombinacją wypukłą dwóch koszyków 0x01 graphic
nazywamy każdy koszyk z postaci 0x01 graphic
gdzie0x01 graphic
czyli 0x01 graphic

      1. Określić, kiedy pewien zbiór koszyków dóbr jest wypukły.

Zbiór 0x01 graphic
nazywamy wypukłym, jeżeli wszystkie liniowe kombinacje wypukłe dowolnych dwóch koszyków należących do zbioru M również należą do zbioru M, co zapisujemy: 0x01 graphic
.

      1. Określić pojęcie relacji indyferencji konsumenta.

Relacją indyferencji konsumenta nazywamy zbiór I wszystkich par koszyków złożonych z koszyków względem siebie obojętnych (indyferentnych), co zapisujemy: 0x01 graphic

Własności powyższej relacji:

1) 0x01 graphic
(zwrotność)

2) 0x01 graphic
(symetryczność)

      1. Określić pojęcie relacji silnej preferencji konsumenta.

Relacją silnej preferencji konsumenta nazywamy zbiór Ps wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk w parze jest lepszy od drugiego koszyka w parze, co zapisujemy 0x01 graphic

      1. Określić pojęcie relacji preferencji konsumenta.

Relacją preferencji konsumenta nazywamy zbiór P wszystkich par koszyków takich, że pierwszy koszyk towarów w parze jest słabo preferowany nad drugi koszyk w parze (jest nie gorszy od drugiego koszyka), co zapisujemy: 0x01 graphic

Własności:

1) 0x01 graphic
- zupełność

2) 0x01 graphic
- przechodniość (tranzytywność)

      1. Co to jest obszar obojętności względem danego koszyka.

Obszarem obojętności względem danego koszyka 0x01 graphic
jest zbiór wszystkich koszyków należących do przestrzeni towarów, które są indyferentne (obojętne) z koszykiem 0x01 graphic
, co zapisujemy: 0x01 graphic
. Jest to relacja równorzędności.

      1. Określić, kiedy pewien koszyk dóbr jest optymalnym koszykiem w zbiorze koszyków.

Koszyk 0x01 graphic
jest optymalnym koszykiem w zbiorze M, jeśli jest on nie gorszy od każdego innego koszyka z tego zbioru, co zapisujemy:0x01 graphic

(Jest on jedynym najlepszym koszykiem albo jest jednym z wielu).

      1. Jakie warunki muszą być spełnione, aby pewna funkcja określona na przestrzeni towarów 0x01 graphic
        mogła pełnić rolę funkcji użyteczności konsumenta.

Funkcją użyteczności konsumenta nazywamy określoną na przestrzeni towarów 0x01 graphic
funkcję 0x01 graphic
spełniającą dla dowolnej pary koszyków 0x01 graphic
warunki:

1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic

Funkcja użyteczności 0x01 graphic
wyraża subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku koszyków towarów (bez względu na jego wymowę społeczną czy przyjęte normy).

      1. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na 0x01 graphic
        jest wklęsła na tym wzorze.

Funkcję 0x01 graphic
nazywamy wklęsłą na 0x01 graphic
, jeżeli 0x01 graphic
spełniony jest warunek 0x01 graphic

      1. Określić, kiedy funkcja użyteczności określona na 0x01 graphic
        jest rosnąca na tym zbiorze.

Funkcję 0x01 graphic
nazywamy rosnącą na 0x01 graphic
, jeżeli 0x01 graphic
prawdziwa jest implikacja: 0x01 graphic

      1. Kiedy w polu preferencji konsumenta występuje zjawisko niedosytu.

Warunek 0x01 graphic
oznacza, że w koszyku x żadnego towaru nie ma mniej niż w koszyku y, a przynajmniej jednego jest więcej. Możemy zatem powiedzieć, że jeżeli z relacją preferencji konsumenta P związana jest rosnąca funkcja użyteczności, to jakikolwiek wzrost ilości jakiegokolwiek towaru w jakimkolwiek koszyku zwiększa użyteczność tego koszyka w oczach konsumenta (nowy koszyk x staje się silnie preferowany nad koszyk y).

Mówimy w takim przypadku, że w polu preferencji konsumenta 0x01 graphic
występuje zjawisko niedosytu.

      1. Przyjmując, że 0x01 graphic
        to funkcja użyteczności konsumenta zdefiniować pojęcie krańcowej użyteczności i-tego towaru w koszyku x oraz podać interpretację ekonomiczną.

Krańcową użytecznością i-tego towaru w koszyku X (i = 1, 2, 3, ..., n) nazywamy pochodną cząstkową rzędu pierwszego 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Interpretacja ekonomiczna:

Krańcowa użyteczność i-tego towaru informuje nas, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność koszyka x, jeżeli ilość i-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę przy czym ilości pozostałych towarów nie ulegną zmianie.

      1. Uzasadnić, że funkcja w postaci 0x01 graphic
        jest przykładem funkcji użyteczności, dla której spełnione jest tzw. Prawo Gossena.

Prawo Gossena: Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie.

Dowód: 0x01 graphic
pierwszy koszyk x = (2) < drugi koszyk x = (3)

0x01 graphic

      1. Podać interpretację ekonomiczną krańcowej substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

Krańcową stopą substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie: 0x01 graphic

Interpretacja ekonomiczna:

Krańcowa stopa substytucji 0x01 graphic
pokazuje, o ile (w przybliżeniu) powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jednostkę i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

      1. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności substytucji towaru i-tego przez towar j-ty w danym koszyku dóbr.

Elastycznością substytucji towaru i-tego przez towar j-ty (w koszyku x) nazywamy wyrażenie: 0x01 graphic

Interpretacja ekonomiczna:

Elastyczność substytucji 0x01 graphic
pokazuje, o ile procent powinna zwiększyć się ilość j-tego towaru przy zmniejszeniu o jednostkę ilości i-tego towaru, aby użyteczność koszyka towarów nie zmieniła się.

      1. Podać przykład funkcji, której złożenie z daną funkcją użyteczności jest także funkcją użyteczności.

Taką funkcją jest 0x01 graphic
gdyż:

0x01 graphic
i druga funkcja użyteczności np.: 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

      1. Podać, jaka jest odległość między następującymi koszykami dóbr: x = (2 kg mąki, „e” litrów mleka, „” kg ziemniaków); y = (7/3 kg mąki, 5/2 litra mleka, 3 kg ziemniaków).

x = (2, e, ၰ) y = (7/3, 5/2, 3)

Ⴝ2 - 7/3Ⴝ = 1/3 = max

Ⴝe - 5/2Ⴝ = Ⴝ2,71 - 2,5Ⴝ = 0,21

Ⴝၰ - 3Ⴝ = Ⴝ3,14 - 3Ⴝ = 0,14

      1. Udowodnić, że metryka określona wzorem d(x, y) = maxxi - yi dla i = 1, 2, ..., n spełnia odpowiednie aksjomaty.

a) 0x01 graphic
spełnione, gdyż 0x01 graphic
dla dowolnych 0x01 graphic

b) 0x01 graphic
- symetria

0x01 graphic

c) 0x01 graphic
- nierówność trójkąta

0x01 graphic

0x01 graphic

      1. Dla dwóch koszyków dóbr postaci: x = (3, 4) oraz y = (2, 5) znaleźć dwie liniowe kombinacje wypukłe koszyków.

x = (3, 4) y = (2, 5)

0x01 graphic

Z = 1/3(3, 4) + 2/3(2, 5) = (1, 4/3) + (4/3, 10/3)

Z = (7/3, 14/3) - kombinacja wypukła

      1. Jakie własności posiada relacja indyferencji konsumenta.

Własności:

1) 0x01 graphic
(zwrotność)

2) 0x01 graphic
(symetryczność)

      1. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta.

Własności:

1) 0x01 graphic
- zupełność

2) 0x01 graphic
- przechodniość (tranzytywność)

      1. Jakie własności posiada relacja preferencji konsumenta, która jest silnie wypukła.

Własności:

1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic
3)

0x01 graphic

      1. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 0x01 graphic
        , który jest domknięty i ograniczony.

0x01 graphic

      1. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 0x01 graphic
        , który jest domknięty i nieograniczony.

0x01 graphic

      1. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 0x01 graphic
        , który jest otwarty i nieograniczony.

      1. Podaj (tj. postać analityczną) przykład zbioru 0x01 graphic
        , który jest wypukły i nieograniczony.

      1. Sprawdź, czy koszyk z = (11, 36, 38) należy do odcinka łączącego koszyki x = (5, 20, 60), y = (20, 50, 10).

x = (5, 20, 60) y = (20, 50, 10) z = (11, 36, 38)

Równanie odcinka: 0x01 graphic

0x01 graphic
=[20-5, 50-20, 10-60]

0x01 graphic
=[15, 30, -50]

0x01 graphic
=[11-5, 36-20, 38-60]

0x01 graphic
=[6, 16, -22]

[6, 16, -22] = t · [15, 30, -50]

9 = t · 15 პ t = 6/15

16 = t · 30 პ t = 16/30

-22 = t · (-50) პ t = 22/50

t1 Ⴙ t2 Ⴙ t3

Koszyk „z” nie należy do odcinka

      1. Sprawdź, czy relacja preferencji; P = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), (c, a), (c, c), (d, d), (d, c), (d, d)} jest zupełna i przechodnia.

a) nie jest zupełna

b) jest przechodnia ponieważ, np. (a, a) კ (b, b) პ (a, b)

      1. Funkcja użyteczności ma postać: 0x01 graphic
        . Znaleźć złożenie tej funkcji z funkcją postaci: 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

      1. Mając koszyk towarów x = (2, 3, 4) oraz funkcję użyteczności postaci: 0x01 graphic
        znaleźć krańcowe użyteczności pierwszego i drugiego towaru oraz podać interpretację ekonomiczną.

x = (2, 3, 4) 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Użyteczność krańcowa dla pierwszego i drugiego towaru jest jednakowa.

      1. O czym informuje pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji użyteczności.

Pochodna cząstkowa drugiego rzędu informuje, o ile (w przybliżeniu) zmieni się użyteczność krańcowa i-tego towaru, jeżeli ilość j-tego towaru w koszyku x wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a ilości pozostałych towarów nie ulegną zmianie).

      1. Obliczyć pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji użyteczności postaci: 0x01 graphic
        dla koszyka postaci: x = (3, 5) oraz podać interpretację ekonomiczną wyniku.

      2. Wyjaśnić, co to jest płaszczyzna budżetowa na przykładzie trzech koszyków dóbr.

Linią (płaszczyzną) budżetową nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga wydania całego dochodu, tj. zbiór 0x01 graphic

      1. O czym mówi krańcowa użyteczność dochodu.

Krańcowa użyteczność dochodu informuje, o ile wzrośnie użyteczność optymalnego koszyka, gdy dochód konsumenta wzrośnie o jednostkę.

      1. Podać interpretację ekonomiczną popytu krańcowego na i-ty towar względem j-tego towaru.

W przybliżeniu popyt krańcowy na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile jednostek zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli cena j-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jednostkę (a pozostałe ceny i dochód konsumenta nie ulegną zmianie). Obrazowo możemy też powiedzieć, że pochodna ta pokazuje, z jaką prędkością zmienia się popyt na i-ty towar pod wpływem zmian ceny j-tego towaru.

      1. Podać interpretację ekonomiczną elastyczności popytu na i-ty towar względem j-tego towaru.

Elastyczność popytu na i-ty towar względem ceny j-tego towaru informuje, o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli cena j-tego towaru wzrośnie (zmaleje) o jeden procent (a pozostałe ceny i dochód konsumenta nie ulegną zmianie).

      1. Kiedy towar nazywamy normalnym, a kiedy towarem Giffena.

Towar nazywamy normalnym, jeżeli popyt na ten towar maleje wraz ze wzrostem jego ceny.

Towar nazywamy towarem Giffena, jeżeli popyt na ten towar rośnie wraz ze wzrostem jego ceny.

      1. Kiedy dwa towary są substytucyjne względem siebie.

Towar i-ty nazywamy substytucyjnym względem towaru j-tego, jeżeli wzrost ceny towaru j-tego powoduje wzrost popytu na towar i-ty.

      1. Kiedy dwa towary są komplementarne względem siebie.

Towar i-ty nazywamy komplementarnym względem towaru j-tego, jeżeli wzrost ceny towaru j-tego powoduje spadek popytu na towar i-ty.

      1. O czym informuje popyt krańcowy na i-ty towar względem dochodu konsumenta.

Popyt krańcowy informuje, o ile (jednostek) zmieni się popyt na i-ty towar, jeżeli dochód konsumenta wzrośnie o jednostkę pieniężną (a ceny pozostaną niezmienione).

      1. O czym informuje elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta.

Elastyczność popytu na i-ty towar względem dochodu konsumenta informuje, o ile procent zmieni się popyt na i-ty towar przy wzroście dochodu o 1%.

      1. Kiedy mamy do czynienia z towarem wyższego rzędu, a kiedy z towarem niższego rzędu.

Towarem wyższego rzędu nazywamy towar, na który konsument zwiększa popyt, gdy wzrasta jego dochód.

Towarem niższego rzędu nazywamy towar, na który konsument zmniejsza popyt, gdy wzrasta jego dochód.

      1. Podać określenie skalarnej funkcji produkcji.

Skalarną funkcją produkcji nazywamy funkcję 0x01 graphic
, która każdemu wektorowi nakładów 0x01 graphic
podporządkowuje maksymalną wielkość produkcji danego produktu y = f(x), możliwą do uzyskania z wektora x.

      1. Podać standardowe założenia o skalarnej funkcji produkcji.

1) Funkcja 0x01 graphic
jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna na int 0x01 graphic
.

2) Zerowym nakładom odpowiada zerowy wynik produkcji: 0x01 graphic

3) Funkcja 0x01 graphic
jest rosnąca na int 0x01 graphic
, tzn.

0x01 graphic

4) Funkcja 0x01 graphic
jest wklęsła na int 0x01 graphic
, tzn.

0x01 graphic

5) Funkcja 0x01 graphic
jest dodatnio jednorodna stopnia 0x01 graphic
tzn.

0x01 graphic

      1. O czym informuje krańcowa produktywność i-tego czynnika produkcji.

Krańcową produktywność i-tego czynnika pokazuje, o ile wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o jednostkę, a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną zmianie. Należy podkreślić, że jeżeli funkcja produkcji jest silnie wklęsła, to krańcowa produktywność każdego czynnika produkcji maleje ze wzrostem tego czynnika.

      1. O czym mówi elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji.

Elastyczność produkcji względem i-tego czynnika produkcji pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o 1%, a nakłady pozostałych czynników produkcji nie ulegną zmianie.

      1. Co pokazuje elastyczność produkcji względem skali nakładów.

Elastyczność produkcji względem skali nakładów pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli wszystkie czynniki produkcji wzrosną o 1 %.

      1. Wyjaśnić pojęcie izokwanty produkcji.

Izokwantą produkcji na poziomie 0x01 graphic
nazywamy zbiór G wszystkich wektorów nakładów x, którym odpowiada ten sam poziom produkcji 0x01 graphic
, co zapisujemy :0x01 graphic

      1. O czym informuje krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-ty czynnik w wektorze produkcji.

Krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika pokazuje, o ile jednostek należy w wektorze nakładów x zwiększyć ilość j-tego czynnika, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.

      1. O czym mówi elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty w wektorze nakładów.

Elastyczność substytucji i-tego czynnika przez j-ty czynnik pokazuje, o ile procent należy w wektorze nakładów x zwiększyć ilość j-tego czynnika, gdy nakład i-tego czynnika zmniejszył się o 1%, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.

      1. Co to jest techniczne uzbrojenie pracy.

Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy wyrażenie: 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Techniczne uzbrojenie pracy określa liczbę jednostek kapitału przypadających na jednostkę pracy.

      1. O czym informuje elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy.

Elastyczność krańcowej stopy substytucji (pracy przez kapitał) względem technicznego uzbrojenia pracy informuje, o ile procent zmieni się krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał, gdy techniczne uzbrojenie pracy wzrośnie o 1%.

      1. Co oznacza, że krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał dla liniowej funkcji produkcji postaci 0x01 graphic
        jest stała, równa 0x01 graphic
        .

Oznacza to, że niezależnie od tego czy mamy duże zasoby pracy i małe zasoby kapitału, czy na odwrót, to zawsze potrzeba tyle samo kapitału do zastąpienia jednostki pracy w celu utrzymania produkcji na niezmienionym poziomie. Z tego względu mówimy, że liniowa funkcja produkcji cechuje się doskonałą substytucyjnością nakładów.

      1. Jak zależy przeciętna wydajność pracy od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji produkcji.

Zależność przeciętnej wydajności pracy od technicznego uzbrojenia pracy:

0x01 graphic

      1. Obliczyć krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału dla liniowej funkcji produkcji.

      2. Jak zależy przeciętna efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy w przypadku liniowej funkcji produkcji.

Zależność przeciętnej efektywności kapitału od technicznego uzbrojenia pracy:

0x01 graphic

      1. Wykazać wklęsłość liniowej funkcji produkcji.

      2. Podać ogólną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz wyjaśnić znaczenie parametrów „” i „”.

Funkcją produkcji Cobba-Douglasa nazywamy funkcję 0x01 graphic
postaci 0x01 graphic
0x01 graphic

α - elastyczność produkcji względem kapitału,

β - elastyczność produkcji względem zatrudnienia.

      1. Pokazać, że funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest dodatnio jednorodna stopnia „ + ”.

Aby się o tym przekonać, wystarczy zauważyć, że 0x01 graphic
i 0x01 graphic
zachodzi:

0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
, to podstawiając 0x01 graphic
, możemy otrzymać funkcję produkcji Cobba-Douglasa postaci: 0x01 graphic
. Funkcja jest wtedy dodatnio jednorodna stopnia pierwszego, co oznacza, że 0x01 graphic
0x01 graphic
- krotny wzrost kapitału i pracy powoduje proporcjonalny 0x01 graphic
- krotny wzrost produkcji.

      1. Co oznacza w przypadku funkcji Cobba-Douglasa, gdy + = 1, a co - gdy + < 1.

0x01 graphic
oznacza, że 0x01 graphic
- krotny wzrost kapitału i pracy powoduje proporcjonalny 0x01 graphic
- krotny wzrost produkcji.

0x01 graphic
oznacza, że 0x01 graphic
- krotny wzrost kapitału i pracy powoduje mniej niż proporcjonalny wzrost produkcji.

      1. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

0x01 graphic

      1. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

0x01 graphic

      1. Obliczyć dla funkcjo Cobba-Douglasa krańcową wydajność pracy oraz krańcową efektywność kapitału.

      2. Podać ogólną definicję funkcji CES oraz wyjaśnić znaczenie obu parametrów tej funkcji.

Funkcją produkcji CES nazywamy funkcję 0x01 graphic
postaci:

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

Parametr 0x01 graphic
jest stopniem jednorodności funkcji, natomiast 0x01 graphic
przedstawia elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapitał 0x01 graphic
względem technicznego uzbrojenia pracy.

      1. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej wydajności pracy jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

0x01 graphic

      1. Jaką ma postać w przypadku funkcji produkcji CES zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy.

Zależność przeciętnej efektywności kapitału jako funkcji technicznego uzbrojenia pracy:

0x01 graphic

      1. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową wydajność pracy.

Krańcowa wydajność pracy:

0x01 graphic

      1. Obliczyć dla funkcji produkcji CES krańcową efektywność kapitału.

Krańcowa efektywność kapitału:

0x01 graphic

      1. Obliczyć dla funkcji produkcji CES stopień jednorodności.

Stopień jednorodności:

0x01 graphic

funkcja produkcji CES jest więc dodatnio jednorodna stopnia 0x01 graphic

      1. Podać definicję funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa i wyjaśnić, co oznacza, że jest to tzw. niesubstytucyjna funkcja produkcji.

Funkcją produkcji Koopmansa-Leontiefa nazywamy funkcję 0x01 graphic
postaci: 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
oznacza współczynnik kapitałochłonności przedstawiający niezbędny nakład kapitału na wytworzenie jednostki produkcji 0x01 graphic
- współczynnik pracochłonności opisujący nakład pracy niezbędny do wytworzenia jednostki produkcji.

Funkcja produkcji Koopmansa-Leontiefa jest przykładem niesubstytucyjnej funkcji produkcji. Jej konstrukcja opiera się na dwóch założeniach:

  1. nie jest możliwa substytucja czynników produkcji,

  2. nakłady czynników produkcji niezbędne do uzyskania określonej wielkości produkcji rosną liniowo (proporcjonalnie) z wielkością produkcji.

Zgodnie z tymi założeniami, jeżeli np. do wytworzenia jednostki produkcji niezbędne są dwie jednostki kapitału i trzy jednostki pracy, to do wytworzenia dwóch jednostek produkcji potrzeba czterech jednostek kapitału i sześć jednostek pracy. Zwiększenie nakładów tylko jednego z czynników produkcji nie spowoduje zwiększenia produkcji, gdyż ograniczać ją będzie ten czynnik produkcji, którego ilość nie uległa zmianie.

      1. Podać, kiedy funkcja produkcji CES jest:

Funkcja produkcji CES, dodatnio jednorodna stopnia pierwszego przy 0x01 graphic
, jest zbieżna do liniowej funkcji produkcji, tzn. 0x01 graphic

Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna stopnia pierwszego jest przy 0x01 graphic
zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa dodatnio jednorodnej stopnia pierwszego, tzn.:

0x01 graphic

Funkcja produkcji CES dodatnio jednorodna stopnia pierwszego, jest przy 0x01 graphic
zbieżna do funkcji produkcji Koopmansa-Leontiefa tzn. 0x01 graphic




Wyszukiwarka