1. Moce w obwodach z wymuszeniem sinusoidalnym

Moc chwilowa

Rozpatrując zjawiska energetyczne w obwodach prądu zmiennego można zdefiniować moc chwilową p. Moc chwilowa jest iloczynem chwilowej wartości napięcia u i prądu i, wyraża ona zmianę energii dostarczonej do odbiornika W w czasie t.

(1)

W obwodach prądu zmiennego energia pobierana przez odbiornik jest różna w poszczególnych odcinkach czasu. Na rysunku 1 przedstawiono zależność mocy chwilowej prądu i napięcia od czasu dla odbiornika rezystancyjno-indukcyjnego. W przedziałach czasu, w których wartość mocy chwilowej ma znak dodatni energia elektryczna jest dostarczana ze źródła do odbiornika, w przedziałach czasu, w których moc chwilowa ma wartość ujemną energia zgromadzona w odbiorniku jest przekazywana do źródła.

Zakładając że przez odbiornik przepływa prąd którego wartość chwilową wyraża wzór:

(2)

gdzie:

wówczas napięcie zasilające odbiornik jest przesunięte względem prądu o kąt φ i można je wyrazić wzorem:

(3)

gdzie:

Po przekształceniach moc chwilową można przedstawić następująco:

(4)

lub

(5)

gdzie:

Rozpatrując postać wzoru (4) można zauważyć że moc chwilowa składa się z dwóch składników. Pierwszy składnik wyraża zależność mocy chwilowej od czasu dla części rezystancyjnej odbiornika, drugi człon przedstawia moc chwilową dla części reaktancyjnej odbiornika.

Moc czynna.

Wielkość energii elektrycznej zamieniona w odbiorniku na inne rodzaje energii (ciepło, praca mechaniczna, światło itd.) w jednostce czasu, nazywana jest mocą czynną P. Dla każdego przebiegu chwilowego napięcia i prądu moc czynna zdefiniowana jest w następujący sposób:

(6)

Dla odbiorników prądu zmiennego moc czynna jest wartością średnią za okres z mocy chwilowej, zatem moc ta jest iloczynem wartości skutecznych prądu, napięcia i kosinusa kąta φ zawartego między prądem i napięciem:

(7)

Moc czynna mierzona jest w watach (1 W).

Moc bierna.

Dla przebiegów sinusoidalnych wprowadza się definicję mocy biernej.

(8)

Rozpatrując drugi składnik wzoru (4) można stwierdzić, że moc bierna jest amplitudą mocy chwilowej części reaktancyjnej odbiornika. Moc bierna mierzona jest w warach (1var). Ponieważ kąt φ może zmieniać się w zakresie (-90° do 90º) dlatego moc bierna może przyjmować wartości dodatnie lub ujemne. Moc bierna pobierana przez cewkę jest dodatnia, natomiast moc bierna pobierana przez kondensator ujemna.

Moc pozorna.

Moc pozorna wyraża się wzorem:

(9)

Moc pozorna mierzona jest w woltamperach (1 VA), moc ta jest amplitudą oscylacji mocy chwilowej odbiornika. Moc pozorna decyduje o wielkości (gabarytach) urządzeń wytwarzających energię elektryczną, moc ta decyduje również o przekrojach przewodów doprowadzających energię od wytwórcy do użytkownika.

Trójkąt mocy i współczynnik mocy.

Można zauważyć, że dla przebiegów sinusoidalnych pomiędzy wymienionymi mocami zachodzi związek:

(10)

Związek ten można przedstawić graficznie przy pomocy trójkąta mocy przedstawionego na rysunku 2.

Współczynnik mocy wyrażony wzorem:

(11)

odgrywa zasadniczą rolę z punktu widzenia racjonalnego wykorzystania urządzeń elektrycznych wytwarzających moc. Współczynnik ten określa jaka część mocy pozornej S dostarczanej do urządzenia stanowi moc czynna P (zamieniona na pracę, ciepło, światło itp.)

Użytkowanie odbiorników charakteryzujących się niskim współczynnikiem mocy powoduje niepełne wykorzystanie możliwości zainstalowanych urządzeń wytwarzających energię.

Poprawa współczynnika mocy (kompensacja mocy biernej).

Większość odbiorników ma charakter rezystancyjno indukcyjny, w celu poprawy współczynnika mocy instaluje się baterie kondensatorów (źródła mocy biernej indukcyjnej). Rozpatrując obwód, w którym do odbiornika rezystancyjno indukcyjnego równolegle dołączono kondensator, można zaobserwować, że w zależności od wartości pojemności kondensatora prąd oraz kąt przesunięcia fazowego uległy zmniejszeniu. Na rysunku 3 przedstawiono wykres wektorowy prądu i napięcia, który obrazuje opisaną sytuację. Po dołączeniu kondensatora prąd pobierany ze źródła maleje od wartości I_o do I, kąt przesunięcia fazowego również zmniejsza swoją wartość od wartości φ _odb do φ. Do odbiornika można tak dobrać kondensator by współczynnik mocy miał wartość 1.

Ponieważ moc bierną indukcyjną odbiornika można wyrazić wzorem:

(12)

natomiast moc bierna pojemnościowa równolegle dołączonego kondensatora wynosi:

(13)

stąd po przekształceniu równania Q_odb = Q_c otrzymujemy wartość pojemności kondensatora który w pełni kompensowałby moc bierną odbiornika:

(14)

Moc tracona w elementach idealnych

Idealny rezystor

Prąd sinusoidalny :

przepływający przez rezystancję R wywołuje na niej napięcie u_R, które zgodnie z zależnościami:

również jest sinusoidalne o tej samej pulsacji ω co i prąd. Wynika stąd, że napięcie na rezystancji R jest w fazie z prądem, czyli przesunięcie fazowe jest równe zeru (φ = 0).

Wartość skuteczną napięcia określa zależność:

Moc czynna tracona w oporniku:

Rys. 4. Wykresy czasowe: napięcia u_R, prądu i oraz mocy p = u_Ri

Obwód z indukcyjnością L

Prąd przemienny:

wytwarza wewnątrz cewki przemienny strumień magnetyczny, który indukuje w zwojach cewki siłą elektromotoryczną samoindukcji:

gdzie: L - indukcyjność własna cewki, H

Siła elektromotoryczna samoindukcji e_s jest skierowana przeciwnie do przyłożonego do cewki napięcia i przeciwdziała płynącemu prądowi i.

Po wykonaniu matematycznych działań otrzymuje się:

Wynika stąd, że napięcie na cewce wyprzedza prąd o kąt
(
).

Iloczyn wL nazywa się reaktancją cewki, którą oznacza się przez X_L:

Rys. 5. Wykresy czasowe i, u_L, e_S, p = u_Li

Wartość skuteczną napięcia określa zależność:

Z uwagi na brak rezystancji R w cewce idealnej, nie wydziela się w niej ciepło.

Moc bierna:

określa energię wytwarzanego w cewce przemiennego pola magnetycznego. Pulsuje ona między źródłem a cewką z częstotliwością dwukrotnie większą od częstotliwości napięcia zasilającego.

Obwód z pojemnością C

Kondensator posiada tylko pojemność C jeśli rezystancja dielektryka oddzielającego metalowe okładziny jest nieskończenie wielka.

Kondensatory spotykane w praktyce mają bardzo duże R i dlatego są bardzo zbliżone do idealnych.

Dla prądu stałego napięcie U_c, ładunek Q i pojemność C powiązane są zależnością:

Jeżeli napięcie na kondensatorze zmienia się sinusoidalnie,

to analogicznie zmienia się również ładunek:

Prąd w obwodzie może być opisany zależnością:

Po wykonaniu działań matematycznych otrzymuje się:

Z powyższej zależności wynika, że prąd płynący w tym obwodzie wyprzedza napięcie na kondensatorze o kąt
(
).

Rys. 6. Wykresy czasowe i, u_C, e_S, p = u_Ci

Reaktancja kondensatora wynosi:

Dla uzyskania X_C w [Ω], częstotliwość f podstawiać należy w [Hz], natomiast pojemność C w [F], (1F = 10⁶µF).

Wartość skuteczną prądu wyraża zależność:

W kondensatorze idealnym nie występuje zamiana energii elektrycznej na ciepło (P = 0), natomiast wyrażenie na Q_C (moc pojemnościowa):

określa energię wytwarzanego w kondensatorze przemiennego pola elektrycznego. Pulsuje ona pomiędzy źródłem a kondensatorem z częstotliwością dwukrotnie większą jak częstotliwość napięcia zasilającego

7

---