W Y K Ł A D 1

POJĘCIA PODSTAWOWE

1. Wprowadzenie

Oznaczenia

• napięcie u lub u(t);

• prąd i lub i(t);

• ładunek q lub q(t);

• napięcie stałe w czasie U,

• prąd stały w czasie I,

• ładunek stały w czasie Q,

natężenie pola elektrycznego E, natężenie pola magnetycznego H, indukcja elektryczna D, indukcja magnetyczna B. Również siłę oznacza się przez F.

Wymiar i jednostki.

Każda wielkość fizyczna ma swój wymiar i jest wyrażana (mierzona) w jednostkach. Stosowanym układem jednostek jest układ SI, np.: czas t w sekundach [s], napięcie u w woltach [V], prąd i w amperach [A].

W tzw. równaniach wartościowych, np. U = 220 V.

W równaniach wielkościowych, np. U = R I.

1.2. Potencjał elektryczny

, (1.1)

, (1.2)

ε = ε_r ε_{0 ,} ε₀ = 8,856 ⋅ 10^-12 F/m

Rys.1.2. Przemieszczanie ładunku q wzdłuż krzywej AB w polu elektrycznym ładunku punktowego Q

. (1.3)

(1.4)

, (1.5)

. (1.6)

(1.7)

. (1.8)

. (1.9)
. (1.10)

. (1.11)

Jeżeli r_B → ∞, tzn. ładunek q jest przemieszczany z punktu A do nieskończoności, to praca

. (1.12)
(1.13)

Potencjałem elektrycznym w punkcie A pola elektrycznego nazywa się stosunek pracy wykonanej przy przemieszczaniu ładunku „próbnego” q z punktu A do nieskończoności, do ładunku „próbnego” q.

U_AB = V(A) - V(B) . (1.14)

Napięciem elektrycznym między dwoma punktami A i B pola elektrycznego nazywa się stosunek pracy, jaką wykonałyby siły pola elektrycznego przy przemieszczaniu ładunku „próbnego” dodatniego q z punktu A do punktu B do ładunku „próbnego” q.

Jednostką potencjału i napięcia elektrycznego jest 1 wolt (1 V). Jeżeli uwzględni się wzór (1.8), to jednostką natężenia pola elektrycznego E jest wolt na metr (V⋅m^-1).

W_AB = q U (1.15)
(1.16)

. (1.17)

Iloczyn skalarny

, (1.18)

gdzie: E_l jest rzutem prostokątnym wektora E na prostą l. Stąd otrzymuje się:

Rys.1.3. Potencjał elektryczny V i natężenie

pola E wzdłuż prostej l

. (1.19)
Wynika stąd, że wektor E_l jest skierowany w kierunku malejącego potencjału, a jego wartość zależy od „szybkości” zmiany potencjału wzdłuż prostej l.

1. Prąd elektryczny, natężenie prądu, gęstość prądu

Rys.1.4. Przepływ prądu elektrycznego

Prądem elektrycznym rozpatrywanym jako zjawisko fizyczne nazywamy uporządkowany ruch ładunków elektrycznych przez rozpatrywany przekrój poprzeczny środowiska na skutek działania pola elektrycznego o natężeniu E.

Zwrot prądu jest taki, jaki jest kierunek ruchu ładunków dodatnich, tzn. w kierunku pola elektrycznego E, co odpowiada kierunkowi malejącego potencjału (z punktu o potencjale wyższym do punktu o potencjale niższym).

Prądem elektrycznym nazywamy wielkość skalarną zdefiniowaną jako granica stosunku ładunku elektrycznego Δq (przepływającego przez dowolny przekrój obwodu prądowego) do czasu Δt (w którym odbył się ten przepływ).

. (1.24)
. (1.25)

Jednostką natężenia prądu elektrycznego w układzie SI jest 1 amper (1 A).

Rys. 1.5. Wektor gęstości prądu

. (1.26)
. (1.27)

Jednostką gęstości prądu jest 1 amper na metr kwadratowy (1A/m²).

. (1.28)

2. Prawo Ohma w postaci różniczkowej

Wprowadzając gęstość objętościową *_m ładunków przewodzenia oraz współczynnik tarcia lepkiego k ruchu ładunku q w przewodniku, w fizyce wyprowadza się wzór na gęstość prądu

, (1.29)

Jako postulat wprowadza się prawo Ohma

, (1.30)
(1.31)

charakteryzuje przewodnik pod względem zdolności przewodzenia prądu i nazywa się konduktywnością (przewodność właściwa) { [*] = 1 S·m^-1 = 1 Ω^-1 ·m^-1 }.

Odwrotność konduktywności

(1.32)

nazywa się rezystywnością (oporność właściwa) { [*] = 1 Ω·m }.

3. Elementy obwodu elektrycznego

Rys.1.12. Symbol graficzny elementu obwodu

u = f(i) (1.55) i = F(u). (1.56)

Wielkości zaciskowe uważa się za wielkości skierowane.

, (1.57)
, (1.58)
. (1.59)

Jednostką energii jest joul; [w] = 1 V*A*s = 1 W*s = 1 J.

, (1.60)

, (1.61)
. (1.62)

Jednostką mocy jest wat; [p] = 1 V*A = 1 W.

. (1.63)

. (1.64)

Dla prądu stałego u(t) = U oraz i(t) = I i wtedy (t₀ = 0) energia

, (1.65)
. (1.66)

Elementy obwodów elektrycznych dzielimy dalej na elementy pasywne, czyli elementy, które posiadają zdolność akumulacji energii (kondensator C, induktor L) lub elementy rozpraszające energię (omówiony poprzednio rezystor R).

Z punktu widzenia energetycznego element przedstawiony na rys.1.12 będzie pasywny, gdy spełniona zostanie zależność:

. (1.67)

rezystor jest elementem pasywnym, gdyż

> 0 . (1.68)

Równanie (1.68) określa nam dobrze już znane prawo Joule'a-Lenza.

Element obwodu elektrycznego, dla którego energia określona wzorem (1.67) przyjmuje wartości ujemne, jest elementem aktywnym: źródłem.

Rys.1.13. Symbole graficzne źródeł autonomicznych: a) idealne źródło napięcia; b) idealne źródło prądu

Rys.1.14. Interpretacja liniowości elementu

Jeżeli na wymuszenie f₁(t) uzyskujemy odpowiedź elementu w postaci g₁(t), a na wymuszenie f₂(t) odpowiedź g₂(t), oraz gdy na dowolną kombinację liniową wymuszeń uzyskuje się liniową kombinację odpowiedzi, to element L jest liniowy.

Element mający dwa wyróżnione zaciski nazywamy dwójnikiem. Element o większej liczbie zacisków nazywamy wielobiegunnikiem lub elementem wielozaciskowym.

4. Obwód elektryczny

Obwodem elektrycznym nazywamy zespół elementów połączonych ze sobą w taki sposób, że istnieje co najmniej jedna droga zamknięta do przepływu prądu.

Odwzorowaniem graficznym obwodu jest schemat.

• obwody elementarne (proste) jednooczkowe (np. rys.1.15a),

• obwody złożone, obwody wielooczkowe (np. rys.1.15b).

Rys.1.15. Schemat obwodów elektrycznych: a) obwód prosty (jednooczkowy); b) obwód złożony

Oczkiem obwodu elektrycznego nazywamy kontur, który jest zbiorem połączonych ze sobą gałęzi tworzących drogę zamkniętą dla przepływu prądu, a mający tę własność, że usunięcie dowolnej gałęzi ze zbioru powoduje, że pozostałe gałęzie nie tworzą już drogi zamkniętej.

Przykładowymi oczkami dla rys.1.15b może być zbiór gałęzi (O₁ = {e₁, 1, i₁}; O₂ = {2, e₂, 3, 4}; O₃ = {5, i₁, e₂, 2}).

Gałęzią obwodu elektrycznego nazywamy zbiór połączonych ze sobą elementów, przez które płynie ten sam prąd. Wewnątrz może znajdować się dowolna liczba końcówek, ale na zewnątrz wyprowadzone są tylko dwie (rys.1.16).

Rys.1.16. Przykłady gałęzi obwodu elektrycznego

Węzłem obwodu elektrycznego nazywamy zacisk gałęzi, do której są dołączone inne gałęzie.

Rys.1.17. Przykłady węzłów obwodu elektrycznego: a) prosty węzeł; b) uogólniony węzeł

3. Prawa Kirchhoffa i zasada Tellegena

Pierwsze prawo Kirchhoffa.

Dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna prądów jest równa zeru.

Prawo to można zapisać w postaci:

, (1.70)
gdzie:

 1 - gdy prąd k-tej gałęzi skierowany jest do n-tego węzła,

δ_nk =  -1 - gdy prąd k-tej gałęzi skierowany jest od n-tego węzła,

 0 - gdy k-ta gałąź nie ma punktu wspólnego z n-tym węzłem .

i₁+ i₂ - i₃ - i₄ + i₅ = 0 (1.71)

lub i₁ + i₂ + i₅ = i₃ + i₄ . (1.72)

Na podstawie równania (1.72) I prawo Kirchhoffa można również sformułować:

Suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie prądów z niego odpływających.

Rys.1.18. Przykładowy węzeł obwodu elektrycznego

Drugie prawo Kirchhoffa.

W dowolnym oczku obwodu elektrycznego, przy dowolnym charakterze zmienności na-pięć, suma algebraiczna wartości chwilowych napięć źródłowych występujących w oczku i napięć odbiornikowych jest równa zeru.

, (1.75)

gdzie:

{

1 - gdy kierunek (zwrot) napięcia odbiornikowego u_k zgodny jest z przyjętą

δ_nk =

orientacją n-tego oczka,

-1 - gdy kierunek (zwrot) napięcia odbiornikowego u_k przeciwny jest przyjętej
orientacji n-tego oczka.

Rys.1.20. Przykładowe oczko obwodu elektrycznego

Zasada Tellegena.

Dla dowolnego k-tego elementu moc chwilowa

. (1.77)

Zasada Tellegena orzeka:

W każdym układzie skupionym suma mocy chwilowych pobieranych przez wszystkie elementy układu jest w każdej chwili równa zeru dla każdego czasu t :

. (1.78)

Zasada Tellegena wyraża zasadę zachowania mocy w odniesieniu do układu skupionego.

Z powyższego wzoru wynika, że w każdej chwili w układzie elementy faktycznie pobierają moc ( p_k (t) > 0 ) , inne ją oddają ( p_k (t) < 0 ) , oraz że

Suma mocy pobieranych przez elementy układu skupionego jest w każdej chwili równa sumie mocy oddawanych przez pozostałe elementy układu.

Taki sam wniosek można sformułować w odniesieniu do energii pobranych i oddanych

. (1.79)

W dowolnym przedziale czasu < t₀, t₁ > suma energii pobranych przez elementy układy skupionego jest równa sumie energii oddanych przez pozostałe elementy.

28058

6

---