LABORATORIUM PODSTAW METROLOGII M-T

Ćwiczenie nr 4

IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH TERMOMETRÓW ELEKTRYCZNYCH.

Termometry elektryczne są przetwornikami temperatury ϑ badanego ośrodka (obiektu) na sygnał elektryczny Y (napięcie, prąd, rezystancję, częstotliwość itp.) według określonej funkcji przetwarzania Y = f (ϑ) , która może być opisana przez właściwości statyczne (dla stanu ustalonego w, którym zakończone zostały procesy ustalania się sygnału wyjściowego Y ) oraz właściwości dynamiczne określające wartości sygnału wyjściowego podczas ustalania się sygnału wyjściowego.

W przypadku elektrycznych termometrów rezystancyjnych ich sygnał wyjściowy Y w stanie ustalonym jest określony zależnością rezystancji termometru od temperatury badanego ośrodka: Y =R_T (ϑ) , a w przypadku termometrów termoelektrycznych zależnością siły termoelektrycznej E_T od różnicy temperatur ϑ - ϑ₀ − ośrodka badanego i ośrodka odniesienia lub bezpośrednio otoczenia : Y = E_T (ϑ - ϑ₀ ).

Zależność rezystancji R_T termometrów rezystancyjnych metalowych (w metalach występuje przewodnictwo elektronowe) od temperatury można opisać zależnością :

(1)

przy czym: oraz ,

α, β, γ − współczynniki temperaturowe rezystancji materiału termorezystora,

ϑ₀ − temperatura odniesienia ( zwykle ϑ₀ = 0°C),

R₀ − rezystancja termorezystora w temperaturze ϑ₀ .

W praktyce zwykle przyjmuje się zależność (1) jako liniową pomijając wyrazy wyższych rzędów jako pomijalnie małe w przyjmowanych zakresach pomiarowych :

(2).

Wartości współczynników temperaturowych rezystancji α metali najczęściej wykorzystywanych do budowy termorezystorów podano w tablicy 1.

Tablica 1.

Lp	Metal	 [1/°C]⋅10^-3		Zakres pomiarowy		[°C]		R100/R0
				Typowy		Graniczny
1	Pt	3,85 ÷ 3,91		-200	÷650	-250	÷1100	1,391
2	Cu	4,26 ÷ 4,31		-200	÷200	-200	÷400	1,425
3	Ni	5,40 ÷ 6,17		-50	÷250	-60	÷350	1,617

W termorezystorach półprzewodnikowych mamy najczęściej do czynienia z nieliniową zależnością ich rezystancji od temperatury wynikające ze złożonych mechanizmów przepływu prądu (przewodnictwo elektronowe i dziurowe przy obecności złożonych procesów generacji i rekombinacji nośników prądu elektrycznego). Szczególnie silną nieliniowością charakterystyki statycznej R_T (ϑ) odznaczają się termistory. Współczesne monolityczne termorezystory półprzewodnikowe o specjalnie dobranym domieszkowaniu charakteryzują się małą nieliniowością tak, że często w praktyce traktuje się je jako termometry liniowe zwłaszcza w niezbyt szerokich zakresach pomiarowych (np. termorezystory typu KTY).

Charakterystykę statyczną termistora z dostateczną dla praktyki dokładnością opisuje zależność:

(3)

gdzie: B − stała materiałowa termistora ( B = (3200 ÷ 4200)K, wartość przeciętna wynosi: B = 3820K ).

W termometrach termoelektrycznych sygnałem wyjściowym Y jest siła termoelektryczna STE będąca różnicą sił termoelektrycznych powstających na przewodnikach z różnych materiałów w przypadku występowania w nich gradientów temperatury. Ogólnie dla termopary wykonanej z przewodników A i B w której spojone końce znajdują się w temperaturze ϑ , a końce wolne w temperaturze ϑ₀ można napisać

(4)

gdzie: V_{A ,} V_B ,n_A ,n_B − odpowiednio prace wyjścia i objętościowe koncentracje elektronów w przewodnikach A i B stanowiących termoparę,

k − stała Boltzmana ; k = 1,38⋅10^-23[J/K],

e − ładunek elektronu ; e = 1,602⋅10^-19[C].

T − temperatura w skali bezwzględnej.

W praktyce często ze względu na małą nieliniowość dla większości termopar przyjmuje się liniową ich charakterystykę:

(5).

Gdzie: S_T − czułość termopary zwykle podawana w [μV/K].

W tablicy 2 podano przeciętne wartości siły termoelektrycznej wybranych metali względem platyny dla ϑ = 100°C i ϑ₀ = 0°C.

Tablica 2.

Lp	Metal		Siła termoelektryczna
				[mV]
1	Aluminium			0,42
2	Cynk			0,76
3	Konstantan			-3,51
4	Miedź			0,76
5	Nikiel			-1,48
6	Platyna			0
7	Platynorod			0,643
8	Żelazo			1,89

W pomiarach temperatury termoparami przy wymaganej dużej dokładności należy uwzględnić błąd wynikający ze zmiany temperatury złącza wskutek przepływu prądu przez złącze(zjawisko Peltiera).

Współcześnie do pomiaru temperatur ( -50 ÷ +150 )°C często wykorzystuje się półprzewodnikowe złącza p−n w postaci diod lub tranzystorów. W czujnikach tranzystorowych można dodatkowo uzyskać efekt wzmocnienia napięcia na złączu diodowym baza − emiter, a tym samym większą czułość czujnika ( np. S ≥. 10mV/°C). Spadek napięcia na diodzie spolaryzowanej w kierunku przewodzenia maleje praktycznie liniowo ze wzrostem temperatury złącza diody. Termometry diodowe (tranzystorowe) pozwalają w praktyce na pomiary temperatury z rozdzielczością 0,1°C , a monolityczne diodowe termometry różnicowe (dwa złącza p−n w układzie różnicowym i wzmacniacz na wspólnym podłożu ) z rozdzielczością (0,01 ÷0,05)°C. Termometry diodowe pracują przy polaryzacji złącza w kierunku przewodzenia. Spadek napięcia na diodzie krzemowej spolaryzowanej w kierunku przewodzenia wynosi około 0,6 V i charakteryzuje się ujemnym współczynnikiem zmian temperaturowych. Oznacza to, że napięcie na diodzie maleje ze wzrostem temperatury: S ≈ - 2 mV/°C.

W stanach nieustalonych lub przy szybko zmieniającej się temperaturze sygnał wyjściowy termometru Y zmienia się w czasie: Y = f(ϑ, t). W tych warunkach właściwości statyczne termometru nie wystarczają do określenia wartości sygnału wyjściowego w chwilach stanu nieustalonego. Zależność sygnału wyjściowego termometru od mierzonej temperatury ϑ w dowolnej chwili czasu t może być określona na podstawie właściwości statycznych i właściwości dynamicznych termometru.

Należy wtedy traktować termometr jak przetwornik inercyjny, którego stan ustalony opisany jest statyczną funkcją przetwarzania, a stan nieustalony (przejściowy) dodatkowo funkcją czasową „modulującą” statyczną funkcję przetwarzania. Inercja termometru wynika ze zjawisk fizycznych zachodzących w części termoczułej termometru podczas wymiany ciepła pomiędzy termometrem a badanym ośrodkiem czyli ustalania się stanu równowagi termodynamicznej.

Dla termometrów, w których wymiana cieplna odbywa się w całej objętości ich części termoczułych (termometry o działaniu objętościowym) wystarczająco dobrym do określenia ich sygnału wyjściowego w czasie jest przyjęcie modelu przetwornika inercyjnego I-go rzędu. W praktyce dotyczy to termometrów bez osłon i izolacji termicznej wykonanych z materiałów o dużej przewodności cieplnej. Termometry z osłonami i izolacją termiczną, a także o znacznych wymiarach geometrycznych, w których przepływ ciepła odbywa się nierównomiernie w całej ich objętości należy traktować jak przetworniki inercyjne II-go rzędu. Przyjęte modele przetworników inercyjnych dla opisywanych termometrów są słuszne przy założeniu, że pozostałe przyczyny rozbieżności są pomijalne (np. samopodgrzewanie).

Termometry o małej masie, bez osłony lub z cienką osłoną o dużej przewodności cieplnej bezpośrednio przylegającą do ich części termoczułej można rozpatrywać jako elementy inercyjne I-go rzędu.

Ogólnie do określenia czasowej odpowiedzi przetwornika II-go rzędu potrzebna jest znajomość jego statycznych właściwości w celu określenia wartości sygnału wyjściowego w stanie ustalonym oraz dwóch stałych czasowych i pulsacji drgań własnych przetwornika.

Do określenia wartości sygnału wyjściowego Y (ϑ , t) w stanach nieustalonych przetworników inercyjnych wystarcza znajomość wartości ustalonej sygnału wyjściowego Y_u(ϑ) oraz dwóch stałych czasowych, z których jedna określa czas opóźnienia reakcji termometru na zmieniającą się temperaturę ϑ (t) ośrodka w, którym znajduje się termometr. W przetwornikach inercyjnych I-go rzędu nie występuje opóźnienie. Termometry o działaniu objętościowym (bez warstwy izolacyjnej), także o działaniu powierzchniowym (element termoczuły w kształcie rury cienkościennej bez osłony) są praktycznie przetwornikami inercyjnymi I-go rzędu.

Na rys.1 pokazano szkic konstrukcji termometru w osłonie metalowej i izolacją termiczną (rys.1a) oraz elektryczny analog parametrów jego cieplnych parametrów (rys.1b).

Rys.1. Szkic konstrukcji termometru elektrycznego w osłonie i jego analog elektryczny.

Na rys.1b temperatury ϑ, ϑ₁ i ϑ₂ są odpowiednikami napięć U, U₁, U₂ w układzie elektrycznym, a strumienie cieplne Q, Q₁, Q₂ odpowiadają prądom I, I₁, I₂ zaś rezystancje termiczne R₁, R₂ i pojemności cieplne C₁, C₂ odpowiadają rezystancjom i pojemnościom elektrycznym układu elektrycznego. Zgodnie z oznaczeniami jak na rys.1 jest:

, , ,

przy czym: m₁ − masa osłony ,

m₂ − masa części termoczułej,

c₁ ,c₂ − ciepło właściwe odpowiednio osłony i części termoczułej termometru,

α₁ , α₂ − współczynniki przejmowania ciepła odpowiednio osłony i części termoczułej termometru,

K₁ , K₂ − stałe,

Q − ciepło wnikające w termometr,

Q₁ − ciepło przejmowane (nagrzewające) przez osłonę,

Q₂ − ciepło przejmowane przez część termoczułą,

ϑ − temperatura badanego ośrodka,

ϑ₁ − temperatura osłony termometru,

ϑ_T − temperatura części termoczułej termometru.

Dla termometru jak na rys.1 można napisać z bilansu cieplnego w czasie dt:

(6).

Z równania (6) po przekształceniach i różniczkowaniu względem czasu otrzymuje się dla mierzonej temperatury ϑ:

(7).

Zależność (7) jest ogólnym równaniem różniczkowym opisującym odpowiedź termometru na zmianę temperatury badanego ośrodka.

Przyjmując w (7) , że ϑ ( t ) = ϑ⋅1( t ) − skok jednostkowy temperatury o amplitudzie ϑ można z równania (2) wyznaczyć postać czasową odpowiedzi termometru ϑ_T ( t ) :

(8)

gdzie:

.

Przytoczona postać rozwiązania jest skomplikowana , ponadto wymagane jest stosunkowo dokładne określenie parametrów cieplnych konstrukcji termometru stąd ma małą przydatność praktyczną. Przedstawiając model matematyczny termometru jako dwa szeregowo połączone nie działające na siebie wstecz człony inercyjne I-go rzędu (jak na rys.1b) można model termometru opisać w dziedzinie operatorowej jako transmitancję operatorową G_T ( s ) :

(9)

gdzie: K_T − stała przetwarzania termometru (wzmocnienie operatorowe)

, .

Na rys.2 pokazano wskazanie termometru w czasie jako odpowiedź na skok jednostkowy temperatury a) oraz schemat zastępczy termometru odpowiadający zależności (9).

Rys.2. Przebieg czasowy odpowiedzi termometru jak na rys.1 na skok temperatury −a) oraz schemat zastępczy termometru −b); wzmacniacz o wzmocnieniu K_T symbolizuje statyczny współczynnik przetwarzania (stałą) termometru.

Postać czasowa odpowiedzi termometru jako przetwornika inercyjnego II-go rzędu opisanego zależnością (4) jest następująca :

(10)

gdzie: a ,b − pierwiastki równania charakterystycznego zależności (4):

(11),

, , ( A, B, a, b >0, p.>1, p − stopień tłumienia ),

, .

W przypadku przetwornika I-go rzędu równanie różniczkowe jest I-go rzędu (jeden człon inercyjny; τ₀ =0 ), z którego wynika stała czasowa τ.

Na rys.3 pokazano przebiegi czasowe odpowiedzi termometru na skok temperatury w zależności od jego konstrukcji. Uwzględniono tam w sposób poglądowy usytuowanie i kształt elementu termoczułego w stosunku do osłony oraz uwzględniono jej grubość.

Rys.3. Odpowiedzi czasowe termometrów o różnych konstrukcjach. Na rys. oznaczono:

1 − osłona , 2 − element termoczuły, A, B, C − przekroje poprzeczne termometrów o działaniu odpowiednio ; powierzchniowym, objętościowym, środkowym (z osłoną o dużej pojemności cieplnej).

Termometry typu A i B (rys.3) są przetwornikami inercyjnymi I-go rzędu , a typu C przetwornikami inercyjnymi II-go rzędu.

Zgodnie z zależnością (8) oraz rys.1b i rys.2b stałe czasowe termometru są równe:

.

Dla rzeczywistych termometrów typu A lub B zawsze jest τ₁ << τ₂ . Przyjmuje się τ₁ ≈τ₀ ≈ 0, stąd termometry tych typów uważa się za przetworniki inercyjne I-go rzędu.

Z przytoczonych rozważań wynika, że dla określenia właściwości dynamicznych termometrów (także innych przetworników) wystarcza znajomość ich parametrów statycznych oraz stałych czasowych.

Jednak wyznaczanie stałych czasowych na podstawie pomiaru sygnałów wyjściowych dla określonych chwil czasu t z równania (7) po podstawieniu do niego ich wartości jest niepraktyczne. W praktyce stałe czasowe wyznacza się metodami graficznymi na podstawie sporządzonego z pomiarów wykresu bądź przy pomocy technik komputerowych wykorzystujących odpowiednie programy obliczeniowe przy czym wyniki pomiaru rzeczywistych przetworników są automatycznie rejestrowane i przeliczane, a następnie przedstawiane w postaci graficznej lub liczbowej (na ekranie monitora lub na rejestratorze X−Y).

Stałe czasowe wyznacza się poprzez dobór parametrów przebiegu wzorcowego dającego taki sam obraz graficzny jak wykres odpowiedzi czasowej badanego przetwornika.

Ponieważ przebiegi czasowe przetworników inercyjnych mają charakter wykładniczy praktyczne jest wyznaczanie stałych czasowych z charakterystyk po ich logarytmowaniu. Zasada ta jest wykorzystywana w technikach komputerowych. Wymuszenie sygnału wejściowego (temperatury) może być tu skokiem jednostkowym narastającym lub opadającym.

Aby wyznaczyć tym sposobem stałą czasową przetwornika inercyjnego I-go rzędu z pomiaru jego odpowiedzi na skok jednostkowy korzystając z wykresu w zależności (10), która dla przetwornika I-go rzędu przyjmuje postać:

(skok narastający) (12)

(skok opadający)

W zależności (7) oznacza się: ,

a następnie oblicza się: (13).

Zależność (13) jest funkcją liniową (rys 4) , w której współczynnik kierunkowy jest równy odwrotności stałej czasowej τ przetwornika inercyjnego I-go rzędu (termometry o konstrukcjach typu A i B jak na rys.3).

Rys.4. Przebieg zależności (13).

Z wykresu (rys.4) wynika: (14).

Odpowiedź czasową przetwornika inercyjnego II-go rzędu Y(t) [np. zależność 10, lub często przedstawiana w postaci operatorowej zależność: ] po logarytmowaniu nie przedstawia już zależności liniowej lecz przebieg jak na rys.5. W podanej zależności operatorowej X( s ) opisuje odpowiedź ( transmitancję operatorową ) członu inercyjnego I-go rzędu, a człon określa opóźnienie czasowe odpowiedzi przetwornika.

Rys.5. Przebieg zależności ln[Y(t)] = f(t) dla przetwornika inercyjnego II-go rzędu.

Na podstawie wykresu jak na rys.5 wyznacza się:

(10),

(11).

Wartość τ₁ odpowiada nachyleniu stycznej do krzywej (rys.5) dla dostatecznie długich czasów t, a więc określa stałą czasową τ termometru.

Znając wartości τ₁ i τ₂ można w ogólnym przypadku z równań (11) wyznaczyć pulsację własną ω₀ i stopień tłumienia p. Dla termometrów zawsze jest p>0, w praktyce dla opisu ich właściwości dynamicznych wystarcza wyznaczenie ich stałych czasowych. Dla termometrów z osłoną (typu C na rys.3) jest to czas opóźnieniaτ₀ i stała czasowaτ.

Na rys.6. pokazano przebieg odpowiedzi przetwornika I-go rzędu (a) i II-go rzędu (b) na skok jednostkowy (skok temperatury) oraz sposób wyznaczania stałej czasowej τ i czasu opóźnienia τ₀ metodą graficzną.

Rys.6. Przebieg odpowiedzi przetworników inercyjnych I-go i II-go rzędu na skok jednostkowy wielkości przetwarzanej (temperatury).

Na rys.7 przedstawiono układ pomiarowy do badania właściwości dynamicznych termometrów rezystancyjnych.

Rys.7. Układ pomiarowy do badania właściwości dynamicznych termometrów rezystancyjnych.

Pytania kontrolne.

1. Porównać termometry elektryczne pod względem zakresu pomiarowego.

2. Porównać ze sobą czułość różnych termometrów elektrycznych.

3. Co to jest stała czasowa termometru?

4. Czy duża stabilność czasowa charakterystyki statycznej termometru jest równoznaczna z małą nieliniowością termometru?

1. Czy duża czułość termometru wynika z małej jego stałej czasowej?

1. Czemu równy jest stosunek sygnału wyjściowego termometru do amplitudy skoku temperatury po ustaleniu się sygnału wyjściowego?

1. Jak wpływa konstrukcja termometru na jego charakterystykę dynamiczną?

1. Co to jest czas opóźnienia odpowiedzi termometru i jaki jest jego związek z konstrukcją termometru?

1. Jakie parametry powinien mieć termometr do pomiaru szybkozmiennych temperatur?

1. Jak wpływa stała czasowa termometru na jego sygnał wyjściowy w stanie ustalonym?

PROGRAM ĆWICZENIA.

1. Omówić elektryczne metody pomiaru temperatury.

2. Porównać parametry pomiarowe poszczególnych czujników pomiarowych.

3. Zapoznać się z układem pomiarowym, zanotować wartości elementów mostka pomiarowego (rys.7) oraz temperaturę wody w naczyniu kalorymetrycznym.

4. Przyłączyć jeden z badanych termometrów do zacisków mostka pomiarowego, załączyć napięcie zasilania mostka i dokonać równoważenia mostka korzystając z woltomierza cyfrowego VC, a następnie ustawić karetkę rejestratora X-Y w położenie początkowe.

1. Szybkim ruchem zanurzyć badany termometr w kalorymetrze o temperaturze ϑ jednocześnie włączając posuw czasowy rejestratora i rejestrując przebieg napięcia U_M (t) oscyloskopem cyfrowym z pamięcią Osc.M połączonym z komputerem Kom wyposażonym w program identyfikacji obiektów inercyjnych.

1. Po zakończeniu rejestracji przebiegu czasowego pozostawić termometr w kalorymetrze na czas pozwalający określić jego stan ustalony.

1. Dokonać pomiaru charakterystyki termometru w sposób jak poprzednio przenosząc termometr do drugiego kalorymetru (lub otoczenia) o niższej temperaturze ϑ₀ .

1. Wykonać czynności jak poprzednio dla drugiego termometru o innej budowie niż poprzedni.

1. Na podstawie zmierzonych charakterystyk zidentyfikować badane termometry jako przetworniki inercyjne.

1. Wyznaczyć parametry dynamiczne termometrów przy pomocy komputerowego układu identyfikacji (po prawej stronie rys.7) metodą nakładania na zarejestrowaną charakterystykę charakterystyki modelowej dobierając jej parametry.

1. Wyznaczyć z wykresu parametry dynamiczne zbadanych termometrów.

1. Porównać ze sobą wyniki badania obydwoma sposobami. Uwaga! Obliczyć czułość statyczną termometrów K_T [Ω/°C] lub [%/°C] uwzględniając parametry mostka pomiarowego ( U_Z, R₁, R₂, R_N).

1. Wnioski i uwagi.

1

1

---