1.tyczenie łuków kołowych. Tyczenie pkt głównych:

Przygotować dane do tyczenia punktów łuku kołowego o 

R=500m i α=60^o

Dł.stycznej głównej: t=Rtg(α/2)=, dł stycznej pomocniczej: ti=Rtg(α/4)= , odl. wierzchołkowa WS=b=(1/cos(α/2)-1)*R , 0,5 cięciwy PK a=R*sinα/2, dł.strzałki S=R(1-cosα/2), dł.łuku kołowego L=R*α/ρ (ρ^o=57,2958), dł. cięciwy dla połowy łuku PS=2Rsinα/4; Odcięta pkt środk.S Xs=PS*cosα/4=Rsin²α/4=a; rzędna pkt środk. S Ys=PS*sinα/4=2Rsin²α/4

Tyczenie pktgłównych przy dostępności wierzchołka W:

Wyznaczenie P i K polega na odłożeniu od W dł. t wzdłuż obydwu ramion kąta β. Pkt S można wytyczyć nast. Metodami:

-biegunową z pkt W przez odłożenie długości b wzdłuż dwusiecznej β

-biegunową z pkt P lub K po odłożeniu kąta α/4 i dł. Polub KS

-ortogonalną od stycznej PW przez odłożenie a i s-liniową przez odłożenie od pkt Pik długości st. pomocniczej t1 wzdłuż lini PW i KW oby otrzymać W1iW2 potem odłożyć t1 wzdłuż W1W2 i otrzymamy

Tyczenie pktgłównych przy niedostępności wierzchołka W:

Dla ustalenia wielkości kąta zwrotu stycznych α stosuje się pomocnicze konstrukcje geometryczne:

W takim przypadku proste odcinki trasy powinny być odtworzone z dowiązaniem d osnów geod. lub szczegółow terenowych.Na tych prostych obiera się pkt AiB tak ażeby można je było połączyć jadnym lub kilkoma odc.tworzącymi ciąg poligon.w którym dokonuje się pomiaru kątów i dł.boków.Następnie dokonuje się niezbędnych obliczeń:

Przyp1 Przyp2

1) α = 360⁰-(δA+δB) α=(n+1)180⁰-Σδ

długość AB= d otrzymuje się z rozwiązania

poligonu w dowolnym układzie lokalnym

2). PW=KW=Rtg(α2) 3). AW=d*(sin δB/sin α) 4). AW=d*(sin δA/sin α) 5). AP=PW-AW 6). BK=KW-BW.

Tyczenie P i K odbywa się poprzez odłożenie odl. AP i BK odpowiednio od pkt. A i B wzdłuż obydwu prostolin.odcinków trasy. Pkt S tyczy się tak jak wcześniej .

2. Przedstawić sposoby tyczenia punktów pośrednich płaskiego łuku kołowego met. biegunowa.

Przygotowanie danych: ustalenie wielkości kąta środk. 2 odpowiadaj. przyjętej wartości L dł. odcinka łuku. Kąt oblicza się ze wzoru: 2L/R*ρ. Jeżeli łuk PSK podzielono na n równych części: 2n. Tyczenie pkt.pośrednich Q_i z punktów głównych lub K polega na odłożeniu od stycznej głównej kąta γ_ii długości c_i. Ponieważ _i=i(2) zatem γ_i= i*. Dł.c_i=2R*sin(_i/2)=2R*sin(i*). Stanowisko pkt P i K:Kolejne punkty Q_i tyczymy korzystając z kątów γ_i i cięciwy c łączącej dwa sąsiednie punkty pośrednie kt przyjmuje wartość c=2R*sin. W tym celu po wytyczeniu punktu Q_i-1 odkłada się z punktu P kąt γ_i, zaś z punktu Q_i-1 cieciwę c uzyskując w przecięciu szukany punkt pośredni Q_i. Stanowisko pkt S: podobna procedura jak wyżej tylko ze kąty kierunkowe γ_i odkłada się od stycznej pomocniczej W₁W₂.

Stanowisko punkt osnowy: tyczenie w oparciu o współrz. punkt osnowy i pośrednich,obliczone w procesie geodezyjnego opracowania projektu technicznego trasy.

3.Metoda ortogonalna (R-y)²=R²-x² y=R-|R²-x²| y=R-R[1-(x/R)²]^0,5

4.Wytyczyć punkt środkowy met biegunową i ortogonalną:

1.met biegunowa z punktu W a) na dwusiecznej kąta β=180^o-α

należy odłożyć dł. WS=b: b=R/cos(α/2)-R, cosα/2=R/R+b ; b+R=R/cos(α/2) b) z punktu P lub K należy odłożyć kąt α/4 od stycznej głównej PW (KW) oraz dł.|PS| PS=2Rsinα/4. 2.m ortogonalna a)na stycznej głównej PW odkładamy odciętą Xs a następnie pod kątem prostym rzędną Ys Xs=a=Rsinα/2; Ys=s=R(1-cosα/2)=2Rsin²α/4 b)od cięciwy PK odkładamy odciętą a, a następnie rzędną s.

5.Łuki koszowe.

Łuk składa się z następojących po sobie łuków o różnych r zakrzywionych w tym samym kierunku. Oblicz. łuku koszowego o dowolnej lb promieni prowadzi się w oparciu o 3warunki.(dla łuku składający się z 3 łuków kołowych):

1. α1+ (180⁰+ α2) + (180⁰+ α3)+90⁰+ (180⁰- α)+90⁰=(n-2)*180⁰ →∑ αi= α 2. T1= (R1-R2)sin α1+(R2-R3)sin(α1+ α2) +R3sin(α1+ α2+ α3)+T2cosβ 3. R1=(R1-R2)cosα1+(R2-R3)cos(α1+ α2) +R3cos(α1+ α2+ α3)+T2sinβ

Łuk koszowy składający się z dwóch łuków kołowych(najprostszy)

Elementami geometry cz.wyznaczającymi po2jny łuk koszowy są: -dł.stycznych główn. (T1,T2)- promienie łuków kołowych(R1,R2)-kąt zwrotu stycznych główn. (α)- kąty środkowe łuków kołowych(α1 α2) Aby wyznaczyć położenie pkt. głównych P,T,K konieczna jest znajomość 4 z 7wymienionych elementów geom. i obl.pozostałych z równań (1,2,3)(2 zestawy rów.) α1+ α2= α lub α1+ α2= α

4)T1=(R1-R2)sin α1+R2sinα -T2cos α T2=R1sinα-(R1-R2)sinα2-T1cosα 5)R1=(R1-R2)cos α1+R2cosα+T2sin α R2=R1cosα-(R1-R2)sinα2+T1sinα ; 2 typowe rozwiązania praktyczne pod2jnych łuków koszowych:

I. Znane jest położenie początk.pkt. P łuku kołowego czyli α1,R1,R2,T1. Pozostałe elementy oblicza się wg wzoru:

cos α2=(T1sin α+R1cosα-R2)/(R1-R2)

cos α1=(R1-T2sinα-R2cosα)/(R1-R2) lub α- α2= α1

T2 wylicza się ze wcześniejszych wzorów(4)

II.Jeśli dane są α1,T1,T2,R1 to: R2=(1/sin α2)[T2+R1(sin α2-sin α)+T1cos α] ; R2=[1/(1-cosα2)][R1cos α+T1sin α-R1cos α2]po porównaniu równań mamy sin α2[R1(1-cos α)+T1sin α]+cos α2[R1sin α-T2-T1cos α]-(R1sin α-T2-T1cos α=0

Oznaczając wyrażenie w [] odpowiednio AiB mamy:

Asin α2=B(1-cos α2) lub Asin(α2/2)cos(α2/2)= Bsin²(α2/2)→tg(α2/2)=A/B ; Po obliczeniu α2 można obliczyc α1: α- α2= α1 ; Przy założonych oznaczeniach wzór na R2 ma postać:R2=R1-B/sin α2

6 projektowanie i tyczenie ŁUKÓW ODWROTNYCH

Łuk odwrotny składa się z zespołu łuków kołowych zakrzywionych w odwrotnych kierunkach i najczęściej przedzielonych wstawką prostą.Stosuje się w trudnych warunkach terenowych, urozmaiconej rzeźbie i trwałych przeszkodach,gdy wyokrąglenie załamania trasy za pomocą jednej krzywej jest niemożliwe.

kołowych(t₁+t₂) powiększonej o dł. wstawki prostej.

Kierunek wspólnej stycznej wpływa na bezpoś. na wielkości kątów zwrotu _ _Ostateczne położenie linii W₁W₂ ustala się drogą kolejnych przybliżeń. Obieramy najdogodniejszy przebieg linii i mierzymy jej dł. oraz kąty zwrotu _ _ a następnie przyjmujemy promienie R₁ R₂ . Obliczamy dł.stycznych t₁ i t₂ ze wzoru : t_i=R_i*tg(_i/2) oraz dł. W₁W₂= t₁+t₂+w. Jeżeli obliczona dł. ta jest za krótka lub za długa to można wspólną styczną przesunąć r|| do właściwego położenia, np: W'₁W'₂.Szukane przesunięcie otrzymujemy poprzez rozwiązanie ∆; OW₂W'₂ bo znane są w nim wszystkie katy i dł. OW'₂. Zamiast przesuwać linię W₁W₂ można założyć jej niezmienność dopasowując wartości promieni R₁ R₂ aby było spełnione równanie W₁W₂= t₁+t₂+w lub też przyjąć odpowiednie dł.i stycznych t₁ i t₂ obliczając promienie ze wzoru t_i=R_i*tg(_i/2). w przypadku gdy ustalony jest promień R₁ oraz kąt zwrotu stycznych zasadniczych , to po wyznaczeniu przebiegu stycznej W₁W₂ mierzy się jej długość i kąty zwrotu _ _, a następnie obl. promień R₂ ze wzoru R₂=(W₁W₂ - R₁*tg(₁/2))*ctg (₂/2)

7.Serpentyny-rysunek

tgα₁=R/WR₁tgα₁/2 ->R/W+R₁tgα₁/2=2tgα₁/2 /1-tg²α₁/2

x=tg α₁/2,(2R₁+R)tg²α₁/2+2wtgα₁/2-R=0,

tgα₁/2=-w|w²+R(2R₁+R)|/2R₁+R=>α₁=>α,d=R/sinα₁

8.Klotoida-wzory podstawowe

LR=a²R=a²/L ; a²dτ=L*dL ( po scałkowaniu) a²τ=L²/2+CStałą C wyznacz. dla pkt początk.klotoidy L=0 i τ=0 wtedy τ=L²/2a² lub τ=L/2R. Współrz. dowolnego pkt na klotoidzie: dXi=dL*cosτ dXi=cos(L²/2a²)dL dYi=dL*sinτdYi=sin(L²/2a²)dl. Występujące w równaniach funkcje sin i cos rozwijamy w szereg a następnie całkujemy aby otrzymać wzory z których wyliczymy wsp. pkt P w układzie o początku w pkt przegięcia klotoidy (L=0), w którym τ=0 dla promienia łuku R : X=L-L⁵/2a⁴+L⁹/3456a⁸+… Y=L³/6a²-L⁷/336a⁶+L¹¹/42240a¹⁰+…

9. elementy geom. Potrzebne do wpisania klotoidy pomiędzy prostą a łuk:

To co wcześniej+
Pozostałe wielkości z wzorów: odcięta Xs środka koła: Xs=X-R*sinτ ; odsunięcie H łuku kołowego od stycznej głównej: H=Y-R(1-cosτ); rzędna Ys środka koła: Ys=R+H; styczna główna: T_o=X+Y*tgτ; styczna długa: T_D=X-Y*ctgτ; styczna krótka: T_K=Y/sinτ; normalna: N=Y/cosτ; podstyczna: U=Y*ctgτ; podnormalna: V=Y*tgτ; współrzędne biegunowe dowolnego punktu klotoidy: ω=arctgY/X C=pier(X²+Y²)

10.Klotoida jednostkowa a²=1

Lr=1,x=l-l⁵/40,y=l³/6-l⁷/336,przejście do tablic:l(l/a),r(R/a),λ=L/R,mi=H/R,

Przejście do dowolnej klotoidy:L=la,R=Ra,Z=xa,Y=ya

11 biegunowa metoda tyczenia punktów pośrednich klotoidy 
Pkty pośrednie klotoidy rozmieszcza się w równych odl. łuku ΔL, przy czym odl. te mogą być wartościami okrągłymi (10m, 20m), lub nieokrągłymi dostosowan. do przyjętego w tablicach klotoidy odstępu ΔL argumentu l. Odl. między pkt. O a dowolnym pkt na klotoidzie można określić wzorem Li=i*ΔL lub Li=ΔLi+(i-1) ΔL dla ustalonego parametru a klotoidy oblicza się wartości argumentów li=Li/a i odczytuje z tablic współ Xi i Yi potrzebne do tyczenia pkt pośr klotoidy od stycznej gł. uzyskuje się Xi=xi*a ; Yi=yi*a. Tyczenie pkt. m. biegunową: przyjmując biegun w punkcie przegięcia O pkty pośrednie można tyczyć przez odłożenie od stycznej głównej kąta kierunk. ωi i odległości Ci. ωi=arctg(Yi/Xi)

Ci=pier*(Xi²+Yi²) ; Xi,Yi-odczytujemy z tablic, a-ustalone. Kąt kierunkowy ωi można również odczytać bezpośrednio z tablic klotoidy jednostkowej. Jeśli tyczenie całego łuku klotoidy z punktu O jest utrudnione, wówczas stan. tachymetru można usytuować na dowolnym, już wytyczonym pkt, pośred. B. Kąt δ_K=φ_K-ω_B pomiędzy przedłuż. cięciwy OB. A kierunkiem do kolejnego pkt.pośredniego k. Odległość C_K punktu k od nowego bieguna B: C_K=pier[(X_K-X_B)²+(Y_K-Y_B)²]

12.Parabola sześcienna

tgΨ=Lx²/LC- L²/2RL, tgΨ=L/2R,Y=x³/6LR,Yp=L²/6R,promień krzywizny odwrotnie proporcjo.do przechyłki.Rx=1/hx na paraboli,R=1/h-na łuku,Rx/R=h/hx,s=mv²/R

m=G/9,S=Gv²/R,s=Gtgα=G*h/b,przechyłka h=bv²/9R w łuku kołow.hx=Lx
, Rx/R=h/hx,Rx/R=bv²/9RLxα,Rx=bv²/α9Lx=c/Lx,c~stała~bv²/α9,R=c/L->L=c/R,

RxdΨ=Dlx-c/Lx*dΨ,dΨ=Lx/c*Dlx,tgΨ~Ψ=Lx²/2c,y=x³/6RL-dł.rzut krzywejLna ośx Yp=L²/6R,Yc=L²/48R

13.Lemniskata

RC=a²/3=const,c²=a²sin2w,Cs=1/3ł,xi=ci*coswi,yi=ci*sinwi,

14.Ogólna krzywa przejściowa

Krzywa wielomianowa-opisuje krzywe rzeczne,zastos.w regulacji rzek. Y=X_D(D1-tgu₁-D₂+gu₂),u1,u2-kąty zwrotu,c=X_B,D1=t-20t⁴+…D2=15t⁴-39t⁵+..,t=V/X_B

15.Ocena prawidłowości krzywizny

F=ab/2R,f>30cm,f=ab/2R+a²b²/8R³,jeśli a=b=∆L,f=∆L²/2R

16.Projektowanie niwelet na odcinkach PROSTOLINIOWYCH

[vv]=min-minim.robót ziemnych,D:xp,xi,xk,SZ:zp,e,zk?vi=zp+(xi-xp)e-zi, zi+vi=zp+(xi-xp)e,zp,e?układamy rówania i nawiązujemy:nawiązanie: vi=aix+biyi+li,[vv]=min,równ.normalne:[aa]x+[ab]y+[ab]=0,[ab]x+[bb]y+[bl]=0 =>0.Przejście do równań normalnych -

17.Projektowanie NIWELETY w postaci lini ŁAMANEJ I->1rzymskie

D:x_I,x_II,x_III,x_IVe_III,SZ:z_I,e_I,e_II,Nawiązanie:1.najpierw odc.I-II:z=zI+(x-xI)eI dla dowolnego->z,aby zminimalizować:zi+vi=zI+(xi-xI)eI-równ obserwac., vi=zI+(xi-xI)eI-zi,2.odcinekII-III z=zII+(x-xII)eII,vi=zII+(xi-xII)eII-zi, podstawiam. za zII,zII=zI+(Xii-xI)eI,vi=zI+(Xii-xI)eI+(xi-xII)eII-zi, 3.odc.III-IV z=zIII+(x-xIII)eIII, vi=zIII+(xi-xIII)eIII-zi,zIII=zII+(Xiii-xII)eII,vi=zI+(xII-xI)eI+(Xiii-xII)eII+(xi-xIII)eIII-zi

18.NIWEL-wyzn.wysokości i położenia pkt W

Szukamy xi zw,z1-xe1=z2-e2(d-x),z1-xe1=z2-e2d+xe2=>z1-z2+de2/e1+e2=x

19.punkty pośrednie niwelety zi=zp+die

20.Wyznaczenie pktu zerowego

h1/x=h2/d-x,xh2=h1d=h1x,xh2+h1x=h1d,x=h1d/h1+h2

21.Przejście niwelety z pochylenia

e1->α,e2->β,gdy e1=0,e2=%_o->to fi=β,gdy e2=0,e1=%_o->to fi=α,gdy α1=%,α2=% to fi=β-α-gdy są tego samego kierunku,e1=%,e2=%-gdy są różnego kierunku to fi=β+α.

22. procedura tyczenia punktów gł i pośr. PIONOWEGO ŁUKU KOŁOWEGO

t=R*tg(/2) lub t=R*tg[(±)/2]. Ponieważ  i  to małe kąty przyjmujemy: tg[(±)/2 = 0.5*tg(±, więc ost.
.Stosując uproszczenie tg*tg≈  mamy t=R/2*( tg±tg Zastępując nachylenia sąsiednich odc. niwelety spadkami tych odc.: tg=e₁; tg=e₂ otrzymujemy wzór t=R/2*|e₁-e₂|. 2.Obl. odl.WS=f ze wzoru: f=t²/2R=R/8*(e₁-e₂)² 3. Określenie h pkt.główn .z_P=z_w-t*e₁ ; z_K=z_w+t*e₂ ; z_S=z_w-f. Przygotowanie danych do lokalizacji punktów POŚREDNICH: 1. Określenie odl.i t₁ 2. Określenie hi na łuku wypukłym z_i=z_p+e₁*t_i-u_i lub wklęsłym z_i=z_p+e₁*t_i+u_i , gdzie u_i=t_i²/2R traktowane jako różnicę h. Wysokie wymagania dokładnoś. w kształtowaniu pionowych łuków kołowych narzucają obl.współrz. pkt.pośrednich Q w układzie t, u stosując wzory: t_i=R*sin ; u_i=2R*sin²(_i/2).Transform.do układu x,z wg wzorów: x_i=t_i*cos+u_i*sin  z_i=t_i*sin-u_i*cosPotem jest wyznaczenie pkt.głównych i pośrednich w terenie. Do tego celu należy przygotować niezbędne dane do tyczenia i wybrać metodę tyczenia.

Stanowisko pkt W: Okładamy kąt _i=arcsin(c_i/d_i*sinγ_i) i długość d=sort(t²+c_i²-2t*c_i*cosγ_i).Wzory uzyskujemy poprzez rozwiązanie trójkąta PWQ.

Punkt pośredni Q_i jako biegun: Odkładając od cięciwy PQ_i kąty:

(180°-i* (180°-i*

Punkt pośredni Q_i jako stanowisko (metoda wieloboku/poligonu wpisanego): stosowane w warunkach ograniczonej przestrzeni budowy(np.tunele). Odłożenie od cięciwy Q_i-1-Q_i kąta środk. 2 i odległości c.

Dysponując tymi 3 równaniami można wyznaczyć tylko 3 niewiadome, natomiast inne wielkości występujące w równaniach muszą być pomierzone w terenie lub zostać założone w projekcie

Kształt łuku odwrotnego uzależniony jest od kierunku i długości stycznej W₁W₂ obydwu łuków kołowych. Dł. tej stycznej musi być równa sumie stycznych obu łuków

Przygotowanie danych do lokalizacji punktów GŁÓWNYCH (P,S,K). 1.Obliczenie dł. stycznych PW=WK=t według wzoru:

---