Przykład 5 MB Kratownica

Obliczyć wartości sił w prętach kratownicy przedstawionej na rys.1.

Kratownica zbudowana jest z 13 prętów o identycznym przekroju
, oraz z materiału, którego moduł Younga
. Pręty za wyjątkiem 2,6,8 mają identyczną długość
. Kratownica obciążona jest 2 siłami poziomą
oraz pionową
i podpartą na trzech podporach w węzłach 1, 2 i 3. Pręty 3, 5 i 9 są w poziomie. Podpory przegubowe przesuwne dają reakcje o kierunku pionowym.

y P₂

13 7 12 11

8 5

P₁ 6

2 6 8

1 4 7 10

R_1y R_1x 3 2 R₂ 5 4 9 R₃ 3

1

Rys1. Kratownica

Rozwiązanie.

1. Sprawdzenie statycznej wyznaczalności

1a) Sprawdzenie czy konstrukcja jest statycznie wewnętrznie wyznaczalna.

Ilość węzłów
, ilość prętów
, wzór na sprawdzenie statycznej wyznaczalności

sprawdzenie
. Różnica między rzeczywistą ilością prętów p a ilością prętów p₁, przy której kratownica jest statycznie wyznaczalna, wynosi
. Wniosek kratownica jest statycznie wyznaczalna.

1b)Sprawdzenie czy kratownica jest zewnętrznie statycznie wyznaczalna.

Wzór na zewnętrzną statyczną wyznaczalność

…………………………………………………………..(a)

gdzie: e jest ilością elementów tworzących konstrukcję w naszym przypadku e =1 (jedna kratownica)

r ilość reakcji podpór w naszym przypadku podpora 1 daje 2 reakcje podpora 2 i 3 po 1 reakcji w sumie
. Podstawiając e i r do wzoru (a) otrzymujemy
.

Wniosek konstrukcja nasza jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna.

2. Należy kratownicę uczynić statycznie wyznaczalną np. usuwając podporę w węźle 3 . W miejscu myślowego usunięcia podpory w rzeczywistej konstrukcji działa siła X , która zapewnia, że w miejscu tym będzie ciągłość konstrukcji czyli
.

Równanie ciągłości konstrukcji w miejscu usunięcia podpory 3

………………. ………………………………….(b)

stąd
…………………………………………………………..(c) -13-

Gdzie
jest luką między węzłem 3 a podporą wywołaną działaniem sił P₁ i P₂ (rys.2).

y P₂

13 7 12 11

8 5

P₁ 6

2 6 8

1 4 7 10

R_1y R_1x 3 2 R₂ 5 4 9 3 δ₁₀

1

Rys 2. Kratownica z usuniętą podporą w węźle 3

Z warunku równowagi całej konstrukcji
.

Natomiast δ₁₁ jest luką między węzłem 3 a podporą 3 wywołaną obciążeniem o wartości
(rys.3).

y

13 7 12 11

8 5

6

2 6 8

1 4 7 10

R_1y R_1x 3 2 R₂ 5 4 9 3 δ₁₁

1

X=1

Rys3. Kratownica obciążona siłą X=1N

Z warunku równowagi całej konstrukcji rys.3

y 13 7 12 11

8 5

6

2 6 8

1 4 7 10

R_1y R_1x 3 2 R₂ 5 4 9 3

1

1[N]

Rys. 4 Kratownica obciążona układem wirtualnym 1[N] - 14 -

3. Z warunków równowagi poszczególnych węzłów kratownic zamieszczonych na rysunkach 2 i 4 obliczamy wartości sił działających w prętach. I tak N(i) są siłami wywołanymi obciążeniem rzeczywistym (rys.2), natomiast
są siłami powstałymi w wyniku działania obciążenia wirtualnego (rys.4) oraz siłami obciążenia

X = 1[N] (rys.3). Wartości tych sił oraz długości prętów zamieszczono w tabeli 1

Tabela 1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
N(i)/10^4	0	2,828	- 1	- 3	- 1	1,414	- 1	0	0	0	0	0	- 1
	0	-2,828	2	3	2	-1,414	0	1,414	0	-1	-1	-1	0
l (i)	100	141,4	100	100	100	141,4	100	141,4	100	100	100	100	100

4. Wartości współczynników
i
obliczamy ze wzorów:

(d)

(e)

Ponieważ
oraz
to wzory (d) i (e) przybiorą postać

(f)

(g)

Wartość
obliczamy przez podstawienie danych z tabeli 1 do (f)

obliczamy przez podstawienie danych z tabeli 1 do (g) stąd

Z równania (c) mamy

Plus oznacza, że w rzeczywistości zwrot sił
jest zgodny ze znakiem w tabeli 1.

Wartości rzeczywistych sił działających w konstrukcji przedstawionej na rys.1

ma postać

……………………………….(h)

Wartości tych sił przedstawiono w tabeli 2

Tabela 2

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Nrz(i)10^3	0	7,52	4,68	-7,97	4,68	3,76	-10,0	10,38	0	-7,34	-7,34	-7,34	-10,0

- 15 -

Odpowiedz: siły działające w prętach kratownicy przedstawiono w tabeli 2.

Przykład 6 MB Kratownica

Dla konstrukcji przedstawionej w przykładzie 5 obliczyć wartość poziomego przemieszczenia węzła 8.

Rozwiązanie

W momencie gdy znamy wartości sił reakcji w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej możemy ją przekształcić w konstrukcję statycznie wyznaczalną na przykład taką jaka jest przedstawiona na rys.5, czyli odrzucić podporę 3 i w miejscu oddziaływania podpory na konstrukcję przyłożyć rzeczywistą siłę oddziaływania podpory na konstrukcję. Wartości sił
działających w konstrukcji przedstawiono w tabeli 2 przykład 5.

y P₂

13 7 12 11

8 5

P₁ 6

2 6 8

1 4 7 10

R_1y R_1x 3 2 R₂ 5 4 9 3 x

1

R₃=7341,4 N

Rys5. Kratownica obciążona reakcją R₃ i siłami zewnętrznymi

Z warunku równowagi całej konstrukcji:

,
,

Do obliczenia przemieszczenia posłużymy się wzorem Maxwella-Mohra

(i)

Aby skorzystać ze wzoru (i) należy obliczyć siły
od obciążenia wirtualnego przyłożonego w punkcie, którego przemieszczenie chcemy określić.

Obliczenie wartości przemieszczenia węzła 8 w kierunku osi x.

Układ wirtualny przedstawiono na rysunku 6. Z warunków równowagi poszczególnych węzłów otrzymano wartości sił działających w prętach, rezultat obliczeń zamieszczono w tabeli 3.

y

13 7 12 11

8 5

1N 6

2 6 8

1 4 7 10

R_1y R_1x 3 2 R₂ 5 4 9 3 x

1

Rys6. Kratownica obciążona siłą wirtualną 1N

Tabela 3

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n (i)	0	1,414	0	- 1	0	0	0	0	0	0	0	0	- 1
Nrz(i)10^3	0	7,52	4,68	-7,97	4,68	3,76	-10,0	10,38	0	-7,34	-7,34	-7,34	-10,0

Po podstawieniu danych do wzoru (i) przemieszczenie węzła 8 w kierunku osi x

.

Odpowiedz: przemieszczenie węzła 8 w kierunku osi x
.

5

---