21.04.2009r.

1. CEL ĆWICZENIA:

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie małych oporów kilkoma sposobami. Spotykamy tu również mostek Wheatstone'a, którego zasadę działania poznaliśmy we wcześniejszym ćwiczeniu. Ćwiczenie to zapoznaje nas także z prawami Kirchhoffa i Ohma.

2. OPIS TEORETYCZNY ĆWICZENIA:

Ćwiczenie nr 33

WYZNACZANIE MAŁYCH OPORÓW METODĄ PORÓWNYWANIA

I. Prąd elektryczny.

Prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany ruch nośników prądu. Nośnikami prądu mogą być elektrony, dziury (czyli puste miejsca po elektronach) oraz jony. Do tego, aby popłynął prąd potrzebne jest pole elektryczne wytworzone przez źródło prądu (np. baterię).

Kierunek prądu jest umownie oznaczany jako ten przeciwny do kierunku poruszania się elektronów.

Wielkości, które opisują prąd elektryczny to:

• Natężenie prądu - ilość ładunku elektrycznego q przepływającego przez poprzeczny przekrój przewodnika w określonym czasie t. Zapisuje się to wzorem:

.

Jednostką natężenia prądu jest Amper. Jest to podstawowa jednostka układu SI.

• Gęstość prądu - jest to stosunek natężenia prądu I do pola poprzecznego przekroju S przewodnika. Zapisuje się to wzorem:

.

II. Prawo Ohma.

Prawo Ohma dotyczy przepływu prądu stałego przez przewodnik i jest sformułowane na wiele sposobów.

Mówi ono na przykład o tym, że stosunek napięcia U do natężenia I prądu jest stały i zależy tylko od właściwości przewodnika, co zapisujemy w następujący sposób:

,

gdzie stałą R nazywamy oporem przewodnika.

Inne równoważne sformułowanie tego prawa mówi, że opór rozważanego przewodnika jest zawsze taki sam, niezależnie od wartości przyłożonego napięcia.

Jak widać, z powyższych sformułowań wynika zatem, że wykres zależności natężenia prądu od napięcia jest liniowy.

Warto ustalić jednostkę oporu R. Jednostką tą w układzie SI jest 1 Ω (1 om). Mówimy, że przewodnik ma opór 1 Ω, gdy płynący przez niego prąd o natężeniu 1 A wywoła na jego końcach napięcie 1 V.

Charakterystyczne dla prawa Ohma jest to, że wiele przewodników spełnia je bardzo dokładnie, natomiast inne nie spełniają go w ogóle.

III. Opór właściwy i przewodność właściwa.

Opór przewodnika, zdefiniowany powyżej, zależy od rodzaju materiału, z jakiego jest zbudowany i od jego rozmiarów. Dokładniej, opór jest wprost proporcjonalny do długości przewodu l i odwrotnie proporcjonalny do poprzecznego przekroju przewodu S. Zatem można to zapisać następująco:

, gdzie

współczynnik proporcjonalności
jest tak zwanym oporem właściwym substancji. Jego jednostką jest
.

Częściej posługujemy się jednak wielkością nazywaną przewodnością właściwą przewodnika i oznaczaną literką
. Jest ona powiązana z oporem właściwym wzorem:

.

Jednostką
w układzie SI jest (
)^-1.

Opór właściwy i przewodność właściwą dla danych przewodników, można odczytać z odpowiednich tablic.

IV. Prawa Kirchoffa.

Kolejnymi ważnymi prawami dotyczącymi przepływu prądu są prawa Kirchoffa.

Aby opowiedzieć o pierwszym prawie Kirchoffa, najpierw powinnam wyjaśnić, co to jest rozgałęzienie. Rozgałęzieniem będę nazywała punkt, w którym zbiega się kilka gałęzi, a dokładniej do którego wchodzą jakieś gałęzie i z którego jednocześnie wychodzą gałęzie. Należy się jeszcze umówić, że natężenie prądu płynącego do rozgałęzienia jest dodatnie, a wypływające z rozgałęzienia jest ujemne. I Prawo Kirchoffa w takim przypadku brzmi następująco: Dla każdego punktu rozgałęzienia suma natężeń prądów we wszystkich gałęziach jest równa 0. Można to zapisać następująco:

Żeby poznać II Prawo Kirchoffa należy najpierw znać zasady obchodzenia przewodnika z prądem. II Prawo Kirchoffa dotyczy warunków jakie panują w obwodach zamkniętych. Obierzmy dodatni kierunek obchodzenia oczka (obwodu zamkniętego) zgodny z ruchem wskazówek zegara. Natężenie prądów płynących zgodnie z obranym przez nas dodatnim kierunkiem bierzemy ze znakiem +, prądy płynące w kierunku przeciwnym ze znakiem -. Dobieramy również znaki dla sił elektromotorycznych następująco: jeżeli prąd wytwarzany przez źródło siły elektromotorycznej jest zgodny z kierunkiem obchodzenia oczka, wtedy dajemy jej znak -, a tym, które wytwarzają prąd w kierunku przeciwnym niż kierunek obchodzenia oczka, dajemy znak +. Wówczas II Prawo Kirchoffa brzmi: suma iloczynów natężeń prądów w odpowiednich gałęziach obwodu przez ich opory i suma sił elektromotorycznych występujących w poszczególnych gałęziach równa się zero. Można je zapisać następującym wzorem:

.

V. Łączenie oporników.

Dzięki powyższym prawom, łatwo obliczyć opór zastępczy, gdy mamy połączone oporniki szeregowo lub równolegle. Sposoby te przedstawiają poniższe rysunki schematyczne:

Połączenie szeregowe

Połączenie równoległe

Przy szeregowym łączeniu oporników przez każdy opornik płynie prąd o takim samym natężeniu. Napięcie na końcach całego układu jest natomiast równe sumie napięć na poszczególnych opornikach, czyli:

Powracając znów do prawa Ohma i stosując je tak samo do oporu zastępczego (R), jak do poszczególnych oporów (R₁, R₂, …,R_n) mamy:

oraz
.

Wykorzystując te wzory otrzymujemy:

a stąd
.

Przy równoległym łączeniu oporników do każdego opornika dołożone jest takie samo napięcie. Wiadomo również, że żadne ładunki nie gromadzą się po drodze z jednego rozgałęzienia do drugiego. Zatem natężenie prądu w rozgałęzieniu jest równe sumie natężeń prądu przepływających przez poszczególne oporniki, czyli:

.

Pamiętając jednak o prawie Ohma, możemy je zastosować do oporu zastępczego (R) oraz do wszystkich oporów w obwodzie (R₁, R₂, …,R_n) następująco:

oraz
.

Wykorzystując zatem wszystkie te wzory otrzymujemy:

a stąd
.

3. LITERATURA:

• Edward Purcell; „Elektryczność i magnetyzm”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1971; rozdziały: 4.3;

• David Halliday, Robert Resnick; „Fizyka 2”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1993; rozdziały: 31-3, 31-4, 31-5;

• Szczepan Szczeniowski; „Fizyka Doświadczalna. Część III: Elektryczność i magnetyzm”; Państwowe Wydawnictwo Naukowe; Warszawa 1966; rozdziały: III-36, 37;

4. OPIS WYKONANIA POMIARÓW:

Ćwiczenie rozpoczęłyśmy od zestawienia układu według następującego schematu:

Następnie opiekun ćwiczenia sprawdził połączenie i ustawił wartość oporu R na opornicy suwakowej. Na oporniku dekadowym ustawiłyśmy wartość 6 Ω. Później włączyłyśmy zasilanie i ustawiłyśmy napięcie 3 V. Następnie zamknęłyśmy obwód przełącznikiem K i przełącznikiem W zmieniłyśmy ustawienie układu tak, by miliwoltomierz mierzył spadek napięcia na oporze R_y. Zapisałyśmy tę wartość jako U_y. Później zmieniłyśmy klucz w taki sposób, by miliwoltomierz mierzył spadek napięcia na oporze R_z. Zapisałyśmy tę wartość jako U_z. W ten sam sposób powtórzyłyśmy pomiary dla pozostałych 9 danych nam oporników R_y. Następnie policzyłyśmy wartości nieznanego oporu R_y ze wzoru:

.

Następnie na opornicy dekadowej dla danych oporów ustawiałyśmy wartości jak najbliższe z dokładnością do 1 Ω. Dla każdego oporu R_y ustawiałyśmy jedną większą i jedną mniejszą wartość, dokładnie tak samo jak w poprzedniej części tego ćwiczenia mierząc spadki napięć na odpowiednich oporach.

Ostatnia część ćwiczenia polegała na zmierzeniu naszych nieznanych oporów mostkiem Wheatstone'a.

Wszystkie wyniki przedstawione są w tabelach w dalszej części tego raportu.

5. OPRACOWANIE WYNIKÓW:

Poniżej przedstawiam tabele zawierające wyniki naszych pomiarów:

Tabela 1.

Wyniki pomiarów części pierwszej ćwiczenia.

Ry	Uy [mV]	Uz [mV]
R1	153,3	139,4
R2	234	136,7
R3	604	119,9
R4	1424	83,1
R5	462	125,9
R6	201	56,9
R7	1040	100,1
R8	423	127,8
R9	659	117,2
R10	784	111,6

Tabela 2.

Wyniki pomiarów drugiej części ćwiczenia.

	OPÓR WIĘKSZY			OPÓR MNIEJSZY
Ry	Rz [Ω]	Uy [mV]	Uz [mV]	Rz [Ω]	Uy [mV]	Uz [mV]
R1	7	161,2	152,1	6	139,5	153,2
R2	11	239	226	10	219	227
R3	31	532	525	30	517	528
R4	103	1005	1015	102	999	1018
R5	23	432	426	22	415	422
R6	212	1253	1269	211	1250	1271
R7	63	809	808	62	799	811
R8	20	387	388	19	370	390
R9	34	564	563	33	550	568
R10	43	656	648	42	643	651

Tabela 3.

Wyniki pomiarów trzeciej części ćwiczenia:

Ry	Wartość odczytana na mostku Wheatstone'a [Ω]
R1	6,6622
R2	11,474
R3	33,623
R4	103,94
R5	22,197
R6	214,66
R7	62,976
R8	20,112
R9	34,123
R10	42,5

a) PEŁNY TOK OBLICZEŃ:

I część:

Obliczam wartości oporów R_y ze wzoru:

na podstawie wyników z tabeli 1. Oto otrzymane przeze mnie wyniki:

Tabela 4.

Wartości oporów R_y zmierzone w I części tego ćwiczenia.

Ry	Wartość Ry obliczona w powyższego wzoru [Ω]
R1	6,598278336
R2	10,27066569
R3	30,22518766
R4	102,8158845
R5	22,01747419
R6	211,9507909
R7	62,33766234
R8	19,85915493
R9	33,73720137
R10	42,15053763

Następnie obliczam błędy mierzonych wartości napięć. Mierzyłam je multimetrem ustawionym na miliwoltomierz. Używałam zakresów 200 mV, 2V i 20 V. Informacje, gdzie które zakresy zostały ustawione zostały zamieszczone na pierwszej stronie raportu. Jednak ja wszystkie błędy końcowo przedstawię w miliwoltach.

Błędy liczone są z następującego wzoru:

Dla wszystkich zakresów:

, gdzie:

rdg to wartość otrzymanego pomiaru U_y lub U_z

dgt to wartość ostatniej cyfry odczytu tej wartości

Wyniki liczenia tych błędów przedstawione są w poniższej tabeli:

Tabela 5.

Błędy wartości zmierzonych napięć.

Ry	ΔUy [mV]	ΔUz [mV]
R1	0,8665	0,797
R2	2,17	0,7835
R3	4,02	0,6995
R4	8,12	0,5155
R5	3,31	0,7295
R6	20,05	0,3845
R7	6,2	0,6005
R8	3,115	0,739
R9	4,295	0,686
R10	4,92	0,658

Następnie obliczam błędy wartości obliczonych R_y metodą pochodnej logarytmicznej.

, więc

, a stąd:
. Wszystkie potrzebne dane mam zebrane w poprzednich tabelach, a ΔR_z=1Ω.

Błędy tych wartości wynoszą zatem:

Tabela 6.

Błędy oporów R_y:

Ry	ΔRy [Ω]
R1	0,9726915447
R2	1,147786683
R3	5,415033518
R4	18,36006725
R5	3,954898709
R6	57,89973778
R7	11,13520246
R8	3,570938306
R9	6,040219456
R10	7,538127721

II część:

Obliczam wartości oporów R_y ze wzoru:

na podstawie wyników z tabeli 2. Oto otrzymane przeze mnie wyniki:

Tabela 7.

Wartości oporów R_y zmierzone w II części tego ćwiczenia:

Ry	OPÓR MNIEJSZY Ry [Ω]	OPÓR WIĘKSZY Ry [Ω]
R1	5,463446475	7,418803419
R2	9,647977903	11,63274336
R3	29,375	31,41333333
R4	100,096267	101,9852217
R5	21,63507109	23,65714286
R6	207,5137687	209,3270292
R7	61,08261406	63,0779703
R8	18,02560143	19,94845361
R9	31,95422535	34,0603976
R10	41,48387097	43,5308642

Następnie obliczam błędy mierzonych wartości napięć. Mierzyłam je tym samym multimetrem i tak samo wszystkie zakresy zapisane są na pierwszej stronie mojego raportu. Wyniki przedstawiam w tabeli:

Tabela 8.

Błędy wartości zmierzonych napięć.

	OPÓR WIĘKSZY		OPÓR MNIEJSZY
Ry	ΔUy [mV]	ΔUz [mV]	ΔUy [mV]	ΔUz [mV]
R1	0,906	0,8605	0,7975	0,866
R2	2,195	2,13	2,095	2,135
R3	3,66	3,65	3,585	3,64
R4	6,025	6,075	5,995	6,09
R5	3,16	3,1	3,075	3,11
R6	7,265	7,345	7,25	7,355
R7	5,045	5,04	3,995	5,055
R8	2,935	2,94	2,85	2,95
R9	3,82	3,815	3,75	3,84
R10	4,28	4,24	4,215	4,255

Następnie obliczam błędy wartości obliczonych R_y metodą pochodnej logarytmicznej.

, więc

, a stąd:
. Wszystkie potrzebne dane mam zebrane w poprzednich tabelach, a ΔR_z=1Ω.

Błędy tych wartości wynoszą zatem:

Tabela 9.

Błędy oporów R_y:

Ry	OPÓR MNIEJSZY ΔRy [Ω]	OPÓR WIĘKSZY ΔRy [Ω]
R1	0,9726915447	1,143496912
R2	1,147834368	1,273994439
R3	1,385369318	1,447845079
R4	2,180821476	2,211955884
R5	1,303163676	1,376231293
R6	3,387894389	3,412676935
R7	1,671347243	1,788054419
R8	1,223909212	1,299867149
R9	1,402208143	1,463269194
R10	1,530789356	1,581189605

b) DYSKUSJA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI:

Wielkościami mierzonymi w ćwiczeniu są spadki napięć na poszczególnych oporach. Wszystkie te wartości mierzyłyśmy miernikiem uniwersalnym, zatem wartość ich błędów oblicza się z odpowiedniego wzoru, który podałam w punkcie 5a.

Również obarczony błędem jest opór ustawiany na opornicy dekadowej. Dokładność ustawienia oporu wynosi 1 Ω i tyle też jest równy jego błąd.

Błędy mierzonych oporów w ćwiczeniu policzyłam metodą pochodnej logarytmicznej. Wyprowadzenie odpowiedniego wzoru znajduje się także w punkcie 5a.

Na końcu ćwiczenia należało zmierzyć wszystkie badane wcześniej opory mostkiem Wheatstone'a. Błąd takiego pomiaru jest równy dokładności odczytu wartości oporu, czyli równy jest wartości ostatniej cyfry odczytu.

c) PREZENTACJA OTRZYMANYCH WYNIKÓW:

Chciałabym jeszcze przedstawić wszystkie policzone opory wraz z ich błędami w tabelce:

Tabela 10.

Wartości policzonych oporów:

	I część	II część		III część
	Ry ± błąd [Ω]	Mniejsze	Większe	Ry ± błąd [Ω]
Ry			Ry ± błąd [Ω]		Ry ± błąd [Ω]
R1	7 ± 1	5 ± 1	7,4 ± 1,2	6,6622 ± 0,0001
R2	10,3 ± 1,2	9,6 ± 1,2	11,6 ± 1,3	11,474 ± 0,001
R3	30,2 ± 5,5	29,4 ± 1,4	31,4 ± 1,5	33,623 ± 0,001
R4	102,8 ± 18,4	100,1 ± 2,2	102,0 ± 2,3	103,94 ± 0,01
R5	22 ± 4	21,6 ± 1,3	23,7 ± 1,4	22,197 ± 0,001
R6	212 ± 58	207,5 ±3,4	209,3 ± 3,5	214,66 ± 0,01
R7	62,3 ± 11,2	61,1 ± 1,7	63,1 ± 1,8	62,976 ± 0,001
R8	19,9 ± 3,6	18,0 ± 1,3	19,9 ± 1,3	20,112 ± 0,001
R9	33,7 ± 6,1	32,0 ± 1,4	34,1 ± 1,5	34,123 ± 0,001
R10	42,2 ± 7,6	41,5 ± 1,6	43,5 ± 1,6	42,500 ± 0,001

d) WNIOSKI:

W ćwiczeniu zmierzyliśmy małe opory kilkoma metodami.

Biorąc pod uwagę wielkość błędów możemy wnioskować, że najdokładniejszą metodą jest odczyt z aparatury mostka Wheatstone'a.

Najmniej dokładna jest natomiast metoda wykorzystywana w części I tego ćwiczenia, gdyż do porównywania bierzemy tam przypadkowo dobrany opór, który wartością mocno odbiega od wartości niektórych mierzonych przez nas oporów.

Wiemy jednak, że dokładność pomiaru metodą porównawczą jest największa, jeśli opór badany i ustawiany są najbardziej zbliżone do siebie. Taką własność wykorzystujemy w II części tego ćwiczenia, biorąc możliwie najbardziej zbliżone do wartości mierzonych oporów wartości oporów na oporniku dekadowym.

Nawet licząc i porównując błędy wartości liczonych oporów, zarówno z części I jak i części II łatwo zauważyć, że te z części II są o kilka razy mniejsze, co umacnia nas w twierdzeniu, że metoda zastosowana w części II jest o wiele dokładniejsza od tej w części I.

Sumując, ćwiczenie to pokazało, jak można zwiększyć dokładność metody porównawczej oraz zilustrowało wyższość mostkowej metody pomiaru oporu nad innymi metodami.

602

- 1 -

---