Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny

1. Zasada ćwiczenia

W ćwiczeniu mieliśmy określić współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn, mierząc wydłużenie sprężyn pod wpływem znanego obciążenia oraz okres drgań obciążonych sprężyn.

2. Wiadomości teoretyczne

Pod wpływem działających sił zewnętrznych każde ciało stałe odkształca sie, zmieniając

swoja objętość i kształt. W czasie, gdy ciało jest odkształcone, siły zewnętrzne są równoważone siłami reakcji sprężystych ciała, które dążą do przywrócenia jego pierwotnej postaci. Przyjmiemy dalej, że rozważane ciało ma stały przekrój poprzeczny (np. pręt, drut, sprężyna), a zewnętrzna siła ~F jest skierowana wzdłuż podłużnej osi ciała, powodując jego wydłużenie lub skrócenie o wartość x. Zachodzi wówczas związek:

(1)

gdzie współczynnik k, mający wymiar [k] = N/m, nazywa sie współczynnikiem sprężystości ciała. Jego wartość liczbowa jest równa wartości siły, powodującej wydłużenie lub skrócenie ciała o jednostkę długości. Zależność (1) stosuje sie jedynie dla ograniczonego zakresu działających sił, nie przekraczających tzw. granicy proporcjonalności. W przypadku sprężyny jej współczynnik sprężystości wyraża sie wzorem:

(2)

gdzie r jest promieniem drutu sprężyny, N — liczba jej zwojów, R — promieniem

sprężyny, natomiast G — tzw. modułem sztywności (lub modułem Kirchhoffa) materiału sprężyny o wymiarze [G] = N/m². Moduł sztywności jest jednym z podstawowych parametrów charakteryzujących własności sprężyste danego materiału, niezależnym od rozmiarów i kształtu ciała.

Rysunek 1. a) Sprężyna bez obciążenia, b) obciążona sprężyna w położeniu równowagi,

c) obciążona sprężyna wychylona z położenia równowagi

Współczynnik sprężystości k sprężyn można łatwo wyznaczyć doświadczalnie. Gdy

na końcu sprężyny zawiesimy ciało o znanej masie m (rys. 1), zostanie ona rozciągnięta

pod wpływem ciężaru ciała

(3)

(g — przyspieszenie ziemskie) o długość x₀. Kładąc we wzorze (1) F = Q i x = x₀,

otrzymujemy wzór, pozwalający obliczyć współczynnik sprężystości:

(4)

Gdy następnie wychylimy ciało w kierunku pionowym z położenia równowagi i puścimy

swobodnie (rys. 1), zacznie ono wykonywać drgania pod wpływem siły reakcji

odkształconej sprężyny. Zgodnie ze wzorem (1) siła reakcji jest równa:

(5)

przy czym znak „−” wskazuje, ze jest ona skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia

ciała. Wiadomo, ze ruch ciała na skutek działania siły określonej wzorem (5) jest ruchem harmonicznym prostym, przy czym okres drgań ciała wynosi:

(6)

Współczynnik sprężystości można wiec obliczyć ze wzoru:

(7)

Powyższe wzory stosują się przy założeniu, ze można zaniedbać siłę oporu powietrza,

jak również masę sprężyny w porównaniu z masą ciała.

Przyrządy pomiarowe

W skład używanego w ćwiczeniu zestawu pomiarowego (rys.1) wchodzą: sprężyny, ciężarki i statyw, na którym zawieszamy sprężyny. Do pomiaru wydłużenia sprężyn służy linijka. Masę ciężarków wyznaczamy przy pomocy wagi, a okres drgań obciążonych sprężyn mierzymy stoperem.

Zadania

1. Wyznaczyć współczynnik sprężystości wybranej sprężyny:

a) mierząc okres drgań obciążonej sprężyny

b) badając jej wydłużenie pod wpływem zawieszonego ciężaru

ad.1 Na dolnym końcu sprężyny wieszamy kolejne ciężarki i wprawiamy układ w drgania w kierunku pionowym. Mierząc każdorazowo łączną masę m ciężarków oraz czas t określonej liczby n pełnych drgań (np. n = 20) i obliczamy okres T = t/n drgań ciężarków. Dla ułatwienia pomiarów należy dobierać stosunkowo duże masy ciężarków, aby okres drgań układu był możliwie długi. Zapisujemy w tabelce wartości m, t, T i T². Wyniki pomiarów przedstawimy na wykresie T²( m).

ad.2 Do dolnego końca zawieszonej na statywie sprężyny zaczepiamy kolejne ciężarki, mierząc za każdym razem ich łączną masę m oraz wydłużenie x sprężyny. Zapisujemy w tabelce wartości m i x₀ i sporządzamy wykres zależności x₀(m). Zgodnie ze wzorem (4), zależność ta powinna przedstawiać w przybliżeniu linię prostą, określoną ogólnym równaniem:

y = a · x + b, (8)

gdzie x = m, y = x₀, a = g/k i b = 0.

Karta pomiarów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny nr 1

Masy ciężarków: m₁ = 50,74g m₂ = 50,54g m₃ = 50,15g m₄ = 51,20g

1. Metoda z oscylatorem harmonicznym

Lp.	Ilość ciężarków	m [kg]	20 T [s]	T [s]	T^2	k=	k -	(k - )^2
1 2 3 4 5 6	2 2 3 3 4 4	0,10128 0,10128 0,15143 0,15143 0,20263 0,20263	6,78 6,96 8,33 8,47 9,71 9,60	0,339 0,348 0,4165 0,4235 0,4855 0,4800	0,1149 0,1211 0,1735 0,1793 0,2358 0,2304	34,7634 32,9836 34,4216 33,3080 33,8904 34,6848	0,6318 1,1480 0,2900 0,8236 0,2412 0,5532	0,3992 1,3179 0,0841 0,6783 0,0582 0,3060
						=34,1316	3,6878	Σ=2,8437

Odchylenie standardowe s_k = 0,754

k = (34,132
0,754) N/m

2. Pomiar bezpośredni

g = 9,815 m/s²

Lp.	m [kg]	F[N]	x [m]	k=F/x[N/m]	Δk = k-kśr	(k-kśr)^2
1 2 3 4	0,05074 0,10128 0.15143 0,20263	0,49801 0,99406 1,48628 1,98881	0,0125 0,0250 0,0350 0,0450	39,8408 39,7624 42,4651 44,1958	1,7252 1,8036 0,8991 2,6298	2,9763 3,2530 0,8084 6,9158
				k śr= 41,566	7,0577	Σ = 13,9535

Odchylenie standardowe s_k = 2,157

k = (41,566
2,157) N/m

Ocena statystyczna wyników pomiaru

Każdy pomiar jest obarczony błędem pochodzącym z ograniczonej dokładności przyrządu pomiarowego, jego właściwej regulacji i wykorzystania. Powstałe błędy dzieli się na systematyczne i przypadkowe. Błąd systematyczny określa się jako odchylenie wartości średniej zbiorowości wyników pomiarów od wartości uznanej za prawdziwą, występujące stale przy stosowaniu danego przyrządu lub metody pomiaru (np. błąd systematyczny będzie popełniany przy zastosowaniu do pomiaru masy uszkodzonego odważnika). Z błędem systematycznym wiąże się pojęcie dokładności metody pomiarowej. Wyeliminowanie błędów systematycznych jest bardzo trudne.

Błąd przypadkowy jest wynikiem działania czynników przypadkowych w trakcie wykonywania pomiaru, stąd jego wielkość i kierunek ma charakter losowy, o rozkładzie normalnym.

Średnia arytmetyczna odchyleń zbliża się do wartości zerowej przy wzroście liczby pomiarów. Z błędem przypadkowym wiąże się pojęcie precyzji pomiaru. Szczególnym rodzajem błędu jest tzw. błąd gruby, pomyłka, która ze względu na wartość znacznie odbiegającą od uzyskiwanych w serii pomiarów jest łatwo zaobserwowana i wyeliminowana.

Bezwzględną wartość różnicy pomiędzy wynikiem pomiaru x, a uznaną za prawdziwą wartością wielkości mierzonej -μ, nazywa się błędem bezwzględnym.

Δx =  x -μ 

Stosunek błędu bezwzględnego do wartości prawdziwej nazywany jest błędem względnym,

δx =

który jest również często wyrażany w %

100%

Błąd względny jest kryterium oceny dokładności wyników. Z uwagi, że jest on wielkością bezwymiarową lub wyrażoną w procentach, może służyć do porównania wyników wyrażonych w różnych jednostkach. Bardzo często nieznana jest wartość przyjmowana za dokładną (μ), stąd zastępuje się ją wartością średniej arytmetycznej wartości mierzonych. Błąd bezwzględny i względny przedstawiają wtedy następujące wzory:

Δx = 
- x oraz
100%

W naszym doświadczeniu:

1. δk = 10,8%

2. δk = 17,0%

Różnica pomiędzy wartością średnią a zmienną z serii, do której ona należy nazywana jest odchyleniem. Po uwzględnieniu odchyleń otrzymanych dla wielokrotnych powtórzeń obliczyć można odchylenie standardowe (błąd kwadratowy średni) określający rozrzut serii pomiarów wokół średniej, stanowiący pierwiastek kwadratowy z wariancji.

1. s_k = 0,754

2. s_k = 2,157

Wynik końcowy powinien być odpowiednio zaokrąglony. Przy popełnianym błędzie rzędu 1% można podać wynik z dokładnością 3 cyfr znaczących. Na wielkość błędu względnego istotny wpływ ma dokładność zastosowanego przyrządu pomiarowego.

W praktyce laboratoryjnej bardzo często obserwuje się zależność jednej wielkości od drugiej. Zależności te mogą być proporcjonalne (wówczas wyróżnia się regresję liniową), lub przedstawiane równaniami wykładniczymi (regresja nieliniowa). Najczęściej obliczenia będzie się sprowadzać do modelu regresji liniowej, w którym zachodzi zależność

y = a⋅x + b

a i b - parametry modelu. Jest to równanie prostej, gdzie a przedstawia współczynnik kierunkowy, b - przesunięcie (wartość y dla wartości x=0), y - zmienne zależne, x - zmienne niezależne. Dla znalezienia parametrów równania prostej przydatna jest metoda najmniejszych kwadratów. Celem obliczenia parametrów prostej należy sporządzić tabelę zawierającą w rubrykach wartości: zmiennych niezależnych - x, zmiennych zależnych - y, iloczynu tych zmiennych- x⋅y, kwadratów zmiennych niezależnych - x² , kwadratów zmiennej zależnej - y² oraz sum wartości w poszczególnych rubrykach. Parametry równania prostej oblicza się z następujących wzorów:

Wykres zależności T²(m) dla ciężarka na sprężynie.

Ze wzoru (7) można zauważyć:

Wykres zależności siły od wydłużenia F(x).

Ze wzoru (4):

Wniosek:

Pomiar współczynnika sprężystości sprężyny metodą bezpośrednią jest mniej dokładny od pomiaru oscylatorem harmonicznym.

---