3. Funkcje rzeczywiste i zmienne. Def. Funkcja jest okresowa jeżeli x+t Df i f(x+t)=f(x). Def. Funkcja jest parzysta jeżeli Funkcja jest nieparzysta jeżeli Def. Niech , przy czym X,Y R oraz Wf Dg Możemy wtedy zdefiniować g f będące złożeniem funkcji g (zew) z funkcją f (wew) wzorem: g f(x)=g(f(x)), Def. Niech Mówimy że funkcja f jest odwracalną taka że, 1. (g f)(x)=x 2. (f g)(y)=y Funkcję g nazywamy wtedy funkcją odwrotną do funkcji f i ozn f^-1 Obs. Funkcja jest odwracalna funkcja jest injekcją Obs. Funkcje i są wzajemnie odwrotne 1. Wf=Dg i Wg=Df 2. wykresy Gf i Gg są sym wzg prostej y=x 4. Ciągi Def. Mówimy że ciąg (an) jest zbieżny do liczby g (zmiana do g, ma granicę g), jeżeli: Piszemy wtedy an=g lub an g |an-g|< Def. Mówimy, że ciąg (an) jest zbieżny do / / / (zmierza do / / /, ma granicę niewłaściwą / / /) jeżeli /an M/an M/. Piszemy wtedy an= lub an 5. Granica funkcji Def. Niech funkcja ,q R. Załóżmy, że S(x0,r) Df. Mówimy że funkcja f zmierza w pkt x0 (ma w pkt x0 granice) do /g/ / /, co oznaczamy f(x)=/g/ / / Def. Załóżmy że S^+(x0,r) Df. Mówimy że funkcja zmierza z prawej str w pkt x0 do /g/ / / co oznaczamy f(x)= /g/ / / jeżeli (def. Heinego) ciągu(xn) S^+(x0,r)­ xn=x0 f(xn)=/g/ / / U. analogicznie definiuje się granice lewostronną funkcji w pkt. Def. Załóżmy że Df. Mówimy że funkcja zmierza w do /g/ / / co oznaczamy f(x)= /g/ / / , jeżeli Albo f(x) /g/ / / (def. Heinego) ciągu(xn) ­ xn= f(xn)=/g/ / / U. Analogicznie definiujemy granice w (K<0,S(K, ),N<K,S(N, )) Tw. (o granicach funkcji złożonej) Niech f,g 1. f(x)=B 2.f(x) ≠B w pewnym sąsiedztwie A 3. g(y)=C Wtedy g(f(x))=C, gdzie A,B,C R { , } przy czym granice liczbowe mogą być obu lub jednostronne. 6. Ciągłość funkcji Def. Funkcja jest ciągła w pkt x0 R jeżeli: 1. f jest określona w x0 (x­0 Df) 2.f ma granicę w pkt x0 3. f(x)=f(x0) Def. Funkcja jest /prawostronnie/ lewostronnie/ ciągła w pkt x0 jeżeli: 1.f jest określona w x­0 2.f ma granice /prawostr/ lewostr/ w x0 3. f(x)=f(x0) Tw. (o ciągłości f. odwrotnej), Niech będzie silnie monotoniczną surjekcją (I,J przedziały). Jeśli f jest f ciągłą to f^-1:I J też. Tw. Weierstrassa (o przyjmowaniu kresów), f: funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje na tym przedziale kresy, tzn max min Tw. Darboux (o przyjmowaniu wart pośrednich), Niech f: będzie funkcją ciągłą taką że /f(a)<f(b)/ f(b)<f(a)/ Wtedy / / / . Tw, Darboux (o miejscach zerowych funkcji), Niech f: będzie funkcją ciągłą taką że f(a)*f(b)<0 Wtedy . 7. Pochodna funkcji Def. Niech będzie funkcją . Załóżmy że . Jeżeli istnieje granica tzw ilorazu różnicowego to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w pkt x0 i granicę tą nazywamy pochodną f w pkt x0.f'(x0) Def. Styczna do wykr funkcji f w X0 ma minimum 1 ptk WSP z wykr f. Jest nim ptk (x0,f(x0)) Równ stycz: y=f '(x0)*(x-x0)+f(x0) gdy f(x0)Er, a gdy x=x0 gdy f ` (x0)e(+/-∞) Def. Niech f,g będą funkcjami których wykresy przecinaja się w pkt (x0,y0), różniczkowalnymi w pkt x0. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy mniejszy z katów φ między stycznymi do wykresów tych funkcji w pkt. Ich przecięcia. Obs. Miara kąta przecięcia wykresów f i g wyraża się wzorem gdy f'(x0)*g'(x0) ≠-1, natomiast gdy f'(x0)*g'(x0)=-1 lub , Def. Normalną do wykresu f w pkt x0 nazywamy prostą prostopadłą do stycznej do wykresu f w pkt styczności (x0,f(x0)) Obs. Równanie normalnej do wykresu f w pkt. x0 wyraża się wzorem jeśli f'(x0) ≠0 albo x=x0, gdy f'(x0)=0 Def. Jeśli jest różniczkowalna na zb to możemy określić pochodną funkcji jako funkcję przyjmującą w pkt x I wartość f'(x) Tw. (o pochodnej złożonej) niech f będzie funkcją różniczkowalną w pkt x0, a g- funk różniczkowalna w pkt f(x0). Wtedy . Tw. ( o pochodnej f odwrotnej) Niech będzie funkcją taką, że : 1. f jest ciągła w pewnym otoczeniu V(x0,r) 2. f jest silnie monotoniczna na V(x0,r) 3. Istnieje f ` (x0) różne od 0 Wtedy (f^-1)'(y0)= , gdzie y0=f(x0) Tw. Rolle'a- Niech będzie f ciągłą, różniczkowalną na (a,b) taka że f(a)=f(b) Wtedy Tw. Lagrange'a- niech będzie f ciągłą różniczkowalną na (a,b) Wtedy . Tw. (Reguła de L'Hospitala) Niech f,g będą funkcjami spełniającymi warunki 1a. przy czym g(x) ≠0 1b. 2. Istnieje Wtedy . Def. różniczkowalna w x0 Df. Różniczką funkcji f w pkt x0 nazywamy funkcję df(x0) zmiennej ∆x=x-x0 zadany wzorem df(x0)( ∆x)=f'(x0)= ∆x Def. Tw. (wzór Leibniza) Jeśli f,g są n-krotnie różniczkowalne w x0 to ich iloczyn również zachodzi wzór: Def. F jest n- krotnie różniczkowalną w pkt x0. Wielomian nazywamy wielomianem Taylora rzędu n funkcji f w pkt x0 Dla x0=0 wielomian ten będziemy nazywać wielomianem Mclarina. Wyrażenie Rn(x)=f(x)-fn-1(x) nazywamy n-tą resztą Lagrange'a. Tw. (Wz Taylora z resztą Lagrange'a) Jeśli f jest funkcją ciągłą f jest n-krotnie różniczkowalna na przedziale jest funkcją ciągłą, f jest n- krotnie różniczkowalna na przedziale to Tzn. 8. Badanie przebiegu zmienności funkcji Def. Prosta x=a jest asymptotą pionową /lewostr/ prawostr/ funkcji f, jeżeli Def. Prosta y=a jest asymptotą poziomą funkcji f, jeżeli Def, Prosta y=ax+b a≠0 jest a.ukośną funkcji f jeżeli a=limx->+/-∞f(x)/x b=Lim(f(x)-ax) Def. Funkcja ma w pkt x0 Df słabe /maks/ min/ lokalne jeżeli /f(x)≤f(x0)/ f(x)≥f(x0)/ . Jeżeli f ma w x0 maks lub min lokalne to mówimy że f ma w x0 ekstremum lokalne. A nie słabe to przy f(x)<(f(x0) i f(x)>f(x0) Tw. Fermata (warunek Kon istnienia eks) Jeśli f jest różniczkowalna w x0 i ma w x­0 ekstremum lokalne (słabe), to f'(x0)=0 Tw. (I war wyst ist eks) Jeżeli f jest różniczkowalna w S(x0,r)i ciągła, to: 1. oraz f ma w x0 maks lok. 2. oraz f ma w x0 min lok. Tw. (II war wyst ist eks) Jeżeli f ma ciągłą n-tą pochodną na V(x0,r), przy czym f'(x0)=f''(x0)=…=f^(n-1)(x0)=0, to: 1. n jest parzyste i f^(n)(x0)<0 f ma w x0 maks lok 2. n jest parzyste i f^(n)(x0)>0 f ma w x0 min lok 3. n jest nieparzystei f^(n)(x0) ≠0 f nie ma ekstremum w x0 Def. F ma w x0 Df /maks/ min/ globalne jeżeli / f(x)≤f(x0)/ f(x)≥f(x0)/ Jeśli f ma w x0 maks lub min globalne to mówimy że ma w x0 eks globalne. Def. Funkcję nazywamy /wypukłą/ wklęsłą/ jeśli / takich, że x1<x2 f(x) / </ >/ U. funkcja jest wypukła jeżeli odcinek dowolnej siecznej jej wykresu między pktmi jej przecięcia z wykr funkcji leży nad tym wykresem, a wklęsła jeżeli leży pod wykresem funkcji. Tw. (warunki wystarczające wklęsłości i wypukłości) Jeżeli jest dwukrotnie różniczkowalna i / f”(x)>0/ f”(x)<0/ to f jest / wypukła/ wklęsła/ Tw. (warunek konieczny istnienia pkt przegięcia) Jeśli f”(x0) istnieje i f ma w (x0,f(x0)) pkt przegięcia f”(x0)=0 Tw. (warunek wystarczający istnienia pkt przegięcia) Niech będzie określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu x0 Df, f”(x0)=0 oraz funkcja f” jest określona w pewnym otoczeniu x0 i zmienia w nim znak/ +/- / -/+ / wtedy (x0,f(x0)) jest pkt przegięcia wykresu f. 9. Całka nieoznaczona. Def. Funkcję nazywamy f pierwotną funkcji f jeśli . Tw. Niech będzie funkcją pierwotna funkcji f wtedy każda f zadana wzorem G(x)=F(x)+C, gdzie C R jest również pierwotną funkcji f i wszystkie jej pierwotne są takiej samej postaci. Tw. Jeśli f jest f ciągłą na przedziale I, to ma f pierwotną n I. Def. Całką nieoznaczona funkcji f nazywamy rodzine wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f Def. Funkcją całkowalną nazywamy funkcje która posiada pierwotną. Zbiór funkcji całkowalnych na przedziale I oznaczać będziemy S(I). Tw. Niech f' S(I) Wtedy Tw. (całk przez części) wtedy Tw. (podstawianie) Niech przedziałami funkcją różniczkowalną, o ciągłej pochodnej g' f ciągła wtedy 10. Całka oznaczona F:<a,b> -> <0,+∞) - ciągła Def. Całką oznaczoną fa^bf(x)dx z f na przedziale <a,b> nazywamy pole obszaru {x,y} R ; a=<x=<b, 0=<y=<f(x) Tw. Całkowanie o wartości średniej F:<a,b>->R ciągła Wtedy Istnieje c (a,b) f(c)=(1/b-a)*fa^bf(x)dx Tw. Newtona- Leibniza (I główne tw. Rachunku całkowego) ciągła, dowolna pierwotna funkcji f wtedy Tw. (całkowanie przez części) Niech Wtedy Tw. (całkowanie przez podst) ciągła, różniczkowalna taka że wtedy . Tw. (II główne tw rachunku całkowego) ciągła wtedy funkcja jest różniczkowalna w przedziale i jej pochodna wyraża się wz . Zastosowanie całki oznaczonej w geometrii. f, g : <a,b> -> R ciągłe x <a,b> f(x)>=g(x) to pole obszaru x=a x=b i wykresami g i f wynosi fa^b(f(x)-g(x))dx Tw. (dł. Krzywej) Niech będzie różniczkowalna o ciągłej pochodnej. Wtedy dł krzywej będąca wykresem f , wyraża się wz . Tw. (obj bryły Obr) ciągła. Niech P oznacza figurę ograniczoną przez x=a, x=b, y=0 i wykres f. Wtedy objętość bryły Bx powstałej przez obrót figury dookoła osi Ox wyraża się: . Tw. (pole pow. Bryły Obr) Niech będzie f różniczkowalna o ciągłej pochodnej. Wtedy pole pow Ex powstałej przez obrót wykresu f dookoła osi x wyraża się: . 10. Całka niewłaściwa Def. -f ciągłe. Całką niewłaściwą (I rodzaju) na przedziale nieograniczonym funkcji: f,g,h definiujemy odpowiednio jako: g(brak:) , . Jeżeli granica istnieje i jest liczbą to całkę nazywamy zbieżną. Przeciwnie to rozbieżna. Def. F: <a,b) f nieokreślona w b, nieokreślona w a, , nieokreślona w a i b . Całką niewłaściwą II rodzaju na przedziale funkcji f,g,h definiujemy odpowiednio jako: , , ,gdzie . Jeśli granica istnieje i jest liczbą to całkę naz zbieżną, inaczej rozbieżną.

f dx/ sqrt (a² - x²) = arcsin x/|a| + c

f dx/ sqrt (x² + a) = ln | x + sqrt (x² + a) | + c

f sqrt (a² - x²) dx = a²/2 arcsin x/|a| + x/2 sqrt (a² - x²) + c

f sqrt (x² + a) dx = (1/2)*x sqrt (x² + a) + (1/2)*a ln |x + sqrt (x² + a) | + c

f sinⁿxdx = - 1/n sin^n-1 xcosx + n-1/n f sin^n-2xdx

fcos ⁿxdx = 1/n cos^n-1xsinx + n-1/n f cos^n-2xdx

sinx,cosx.../tgx,sinx...

T = tg x/2

T = tg x/2 => x =2arctgt => dx = 2dt/ 1 + t²

sinx = 2t/ 1+t² , cosx = 1 - t² / 1 + t² , tgx = 2t/1-t² , ctgx = 1- t² / 2t

sin²x, cos²x, sinxcosx

t=tgx x=arctgt dx=1/1+t²dt sin²x=t²/1+t² cos²t=1/1+t²

---