Wykład 12

12. Ruch obrotowy

1. Wstęp

Mówiąc o środku masy wspominaliśmy o ruchu obrotowym oraz o toczeniu się ciał. Dużym ułatwieniem w analizie układów cząstek jest możliwość rozpatrywania oddzielnego ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzić to uproszczenie zdefiniujemy dwie nowe wielkości: moment pędu i moment siły. Zasada zachowania momentu pędu jest równie istotna jak zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.

2. Kinematyka ruchu obrotowego

Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego. Dla ruchu obrotowego wielkością analogiczną do przesunięcia jest przesunięcie kątowe θ. Kąt θ określa położenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okręgu, z definicji miary łukowej kąta θ = S/R. (w radianach). Kątową analogią prędkości v = dx/dt jest prędkość kątowa ω.

(12.1)

Dla ruchu po okręgu v = ω R.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu ω jest nazywane częstością kątową i jest związana z częstotliwością f relacją

ω = 2πf

Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = dv/dt zostało zdefiniowane przyspieszenie kątowe α.

(12.2)

Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy a i α jest analogiczny do związku pomiędzy v i ω tzn. a = αR. Możemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem α poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

Ruch postępowy	Ruch obrotowy
a = const v = v0 + at s = s0 + v0t + (1/2)at^2	α = const ω = ω0 + αt θ =θ0 + ω0t + (1/2)αt^2

Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej  i przyspieszenia kątowego  w ruchu obrotowym są pokazane na rysunku poniżej.

3. Dynamika ruchu obrotowego

1. Moment siły

W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wielkość będziemy wiązać z przyspieszeniem kątowym?

Nie może być to tylko siła bo jak pokazuje doświadczenie np. z otwieraniem drzwi przyspieszenie kątowe zależy od tego gdzie i pod jakim kątem jest przyłożona siła. W szczególności siła przyłożona w miejscu zawiasów zarówno wzdłuż jak i prostopadle do nich nie wytwarza żadnego przyspieszenia. Natomiast siła przyłożona do drzwi na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.

Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) τ.

Jeżeli siła F działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako

(12.3)

gdzie wektor r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wynosi: τ = rFsinθ (iloczyn wektorowy). Wielkość r nazywamy ramieniem siły (widać, że bierzemy albo r_⊥ albo F_⊥).

2. Moment pędu

Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość L będziemy nazywać momentem pędu i definiujemy ją

(12.4)

gdzie p jest pędem cząstki, a r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi rpsinθ i analogicznie do momentu siły wielkość rsinθ nazywamy ramieniem pędu.

Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznijmy od znanej zależności, że siła F = dp/dt (dla pojedynczej cząstki). Mnożąc wektorowo obie strony przez r otrzymujemy

jest momentem siły τ więc

(12.5)

Teraz przechodzimy do równania na moment pędu L = r×p i różniczkujemy je obustronnie względem czasu, otrzymując

ponieważ dr/dt = v więc

Wiemy, że
= 0 (z definicji iloczynu wektorowego), więc

(12.6)

Porównanie równań (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, że

(12.7)

Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości zmian momentu pędu tej cząstki.

3. Zachowanie momentu pędu

Dla układu n cząstek możemy zsumować równanie (12.7) po wszystkich cząstkach

(12.8)

Zauważmy, że jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma = 0) to moment pędu układu pozostaje stały.

Przykład 1:

Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu rękach trzyma hantle, mając rozłożone ramiona. Popychamy ją, tak aby obracała się z częstotliwością f₁ = 0.5 obrotów na sekundę. Wtedy osoba zgina ramiona, przyciągając hantle do tułowia. Jaka jest częstotliwość jej obrotów? Załóżmy, że hantle początkowo znajdujące się 80 cm od osi obrotu, zostają ściągnięte do odległości 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, że obracająca się osoba ma taki sam moment pędu jak hantle w odległości 80 cm od osi obrotu.

Początkowo moment pędu hantli wynosi

L_h1 = R₁mv₁ = R₁m(ω₁R₁) = mω₁(R₁)²

gdzie m jest masą pary hantli. Moment pędu układu osoba-hantle wynosi więc

L₁ = L_o1 + mω₁(R₁)²

Ponieważ L_o1 = L_h1 więc L_o1 = mω₁(R₁)².

Dla hantli w odległości R₂ moment pędu układu wynosi

L₂ = L_o2 + mω₂(R₂)²

Stosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy

L₁ = L₂

czyli:

L_o1 + mω₁(R₁)² = L_o2 + mω₂(R₂)²

Pamiętając, że L_o2 = L_o1ω₂/ω₁ ponieważ L ∼ ω rozwiązujemy to równanie względem ω₂

ω₂ = 1.97 ω₁

Prędkość obrotów rośnie dwukrotnie.

Przykład 2:

Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem F₂ = 4 N. Z jaką siłą F₁ łańcuch musi ciągnąć zębatkę jeżeli stosunek R₂/R₁ = 10?

Ponieważ prędkość kątowa jest stała więc dL/dt = 0 i co za tym idzie

τ_wypadkowy = (τ₁ - τ₂) = 0

czyli

τ₁ = τ₂

Stąd

R₁F₁ = R₂F₂

więc

F₁ = (R₂/R₁)F₂ = 40N

4. Ciała sztywne i moment bezwładności

Większość mas w przyrodzie to nie cząstki tylko rozciągłe ciała stałe, które mogą wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne, rozumiemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje stała.

Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa ω wokół stałej osi w układzie środka masy (rysunek). Zauważmy, że różne części ciała mają różną prędkość liniową v chociaż tą samą kątową ω. Dla potrzeb opisu ciało możemy podzielić na elementy o masie Δm_i odległe od osi obrotu o r_i. Wtedy prędkość takiego elementu wynosi v_i = r_iω.
Wartość momentu pędu L tego ciała można obliczyć

Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako

a dla ciągłego rozkładu masy mamy

(12.9)

Zwróćmy uwagę, że I zależy od osi obrotu. Możemy teraz zapisać moment pędu

L = Iω

(12.10)

a ponieważ τ = dL/dt więc

(12.11)

Energia kinetyczna w układzie środka masy

więc

Ek = (1/2) Iω^2

(12.12)

Zestawmy teraz obliczone wielkości z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.

Ruch postępowy	Ruch obrotowy
p = mv F = ma Ek = (1/2) mv^2	L= Iω τ = Iα Ek = (1/2)Iω^2

Teraz widzimy, że moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał są podane w tabeli.

Ciało	I
Obręcz, pierścień względem osi ⊥ przez środek Krążek, walec względem osi ⊥ przez środek Pręt wokół osi ⊥ przez środek Pręt wokół osi ⊥ przez koniec Pełna kula wokół osi przez środek Czasza kulista wokół osi przez środek	mR^2 mR^2/2 ml^2/12 ml^2/3 2mR^2/5 2mR^2/3

Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi, a momentem bezwładności I_śr.m. tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do danej.

I = Iśr.m. + md^2

(12.13)

gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami.

5. Ruch postępowo-obrotowy ciała sztywnego

Rozpatrywaliśmy ruch obrotowy ciała względem osi nieruchomych. Jednakże gdy ciało się toczy to wykonuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego też toczenie możemy traktować jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego tak jak pokazano to na rysunku poniżej dla toczącego się walca.

W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwległe punkty poruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c) pokazano wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).

Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt P styczności z podłożem na rysunku obok) w każdej chwili spoczywa (v = 0). Natomiast prędkość liniowa każdego innego punktu jest w każdej chwili prostopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą P i proporcjonalna do odległości tego punktu od P. Oznacza to, że walec obraca się wokół punktu P. Oznacza to, że możemy toczenie opisywać również jako "czysty" ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej przez punkt P styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało.

Przykład 3:

Krążek i kula o masach m i promieniach R staczają się po równi pochyłej o wysokości h Obliczyć ich prędkości u dołu równi.

Z zasady zachowania energii

mgh = (1/2)mv² + (1/2)Iω²

Ponieważ ω = v/R więc

mgh = (1/2)mv² + (1/2)I(v/R)²

Przekształcając

Dla krążka I = mR²/2 więc

podczas gdy dla kuli I = 2mR²/5 więc

Zauważmy, że odpowiedź nie zależy od masy i promienia ale zależy tylko od kształtu. Gdyby te ciała zsuwały się to
dla obu brył.

Ten sam przykład możemy rozwiązać traktując toczenie wyłącznie jako ruch obrotowy ale wtedy musimy skorzystać z twierdzenia Steinera, żeby obliczyć moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt styczności z powierzchnią.

6. Ruch precesyjny (bąk)

Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. Punkt podparcia bąka znajduje się w początku inercjalnego układu odniesienia. Z doświadczenia wiemy, że oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzchnię stożka. Taki ruch nazywamy precesją.

W sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej bąk ma prędkość kątową ω dookoła swej osi. Ma również moment pędu L względem tej osi, która tworzy kąt θ z osią pionową.

Na bąk działają dwie siły: siła w punkcie podparcia działa w górę i siła ciężkości przyłożona do środka masy działa w dół. Siła reakcji działająca w górę ma zerowy moment bo ma zerowe ramię (względem punktu podparcia). Ciężar mg wytwarza jednak moment siły względem punktu podparcia:

τ = r×F = r×mg

gdzie r określa położenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, że τ jest prostopadłe do r i do mg.

Zauważmy, że τ, L i r wirują dokoła osi pionowej z częstością precesji ω_p.

Obliczymy teraz kątową precesję ω_p.

Ponieważ ΔL << L, to mamy

Δϕ ≅ ΔL/Lsinθ

Z równania (12.5) wynika, że

ΔL = τΔt

więc

Δϕ ≅ τΔt/Lsinθ

Otrzymujemy więc

ωp = Δϕ/Δt = τ/Lsinθ

(12.14)

Moment siły jest równy

τ = rmg sin(180°-θ) = rmg sinθ

więc ostatecznie

ωp = rmg/L

(12.15)

Zwróćmy uwagę, że prędkość precesji nie zależy od kąta θ i jest odwrotnie proporcjonalna do wartości momentu pędu.

Równanie (12.14) można zapisać w postaci wektorowej. Najpierw przepisujemy je do postaci

τ = ω_pL sinθ

Widać, że po prawej stronie równania otrzymaliśmy wartość iloczynu wektorowego ω_p×L. Tak więc ostatecznie wyrażenie wiążące prędkość kątową precesji z momentem siły i momentem pędu ma postać

(12.16)

Zjawisko precesji momentu magnetycznego (spinu) jest podstawą różnych technik doświadczalnych (NMR, EPR), które znalazły szerokie zastosowanie w badaniach, technice i medycynie.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-1

12-9

---