Statystyka opisowa

Zadanie 1

Wśród studentów jednej z grup studenckich pierwszego roku SGH w ciągu semestru zimowego odnotowano następujące liczby nieobecności: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2. Proszę zbudować rozkład liczby nieobecności w semestrze zimowym w tej grupie studenckiej i ocenić jego asymetrię.

Zadanie 2

Wśród absolwentek kursu z metod promocji usług turystycznych odnotowano następujące liczby otrzymanych ofert pracy: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3. Proszę zbudować rozkład liczby nieobecności w semestrze zimowym w tej grupie studenckiej i ocenić jego zróżnicowanie.

Zadanie 3

W zaobserwowanej grupie klientów supermarketu odnotowano następujące prawidłowości w kształtowaniu się czasu dokonywania wyboru marki przy zakupie kawy rozpuszczalnej:

• najkrótszy czas dokonywania wyboru wyniósł 0 sek.

• najdłuższy czas dokonywania wyboru wyniósł 240 sek.

• Kolejne kwartyle czasu dokonywania wyboru marki kawy rozpuszczalnej to: 35 sek, 74, sek. oraz 126 sek.

Proszę wypowiedzieć się na temat zróżnicowania i asymetrii rozkładu czasu wyboru marki kawy rozpuszczalnej.

Zadanie 4

W zaobserwowanej grupie klientów PKP odnotowano następujące prawidłowości w kształtowaniu się czasu podróży:

• najkrótszy czas czasu podróży wyniósł 12 min.

• Najdłuższy czas czasu podróży wyniósł 90 min.

• Kolejne kwartyle czasu podróży to: 23 min, 54, sek. Oraz 68 sek.

Proszę wypowiedzieć się na temat położenia i zmienności rozkładu czasu podróżowania grupy klientów PKP objętej badaniem.

Zadanie 5

Poniższe dane przedstawiają miesięczne zarobki 200 pracowników (w tys. Złotych) sieci barów wolnej obsługi Walk Away.

Zarobki	1 - 1,2	1,2 - 1,4	1,4 - 1,6	1,6 - 1,8	1,8 - 2,0	2,0 - 2,2
Liczba pracowników	40	60	50	30	15	5

Czy prawdziwe są następujące stwierdzenia (odpowiedzi należy uzasadnić):

a/ asymetria rozkładu jest prawostronna,

b/ mediana zarobków jest wyższa od średniej,

c/ dysponując danymi indywidualnymi uzyskalibyśmy taką samą wartość średniej jak wartość obliczona na podstawie powyższej tabeli.

Zadanie 6

W poniższej tabeli podane są wartości wydatków na podręczniki (w zł. na semestr) poniesione przez 100 studentów Wyższej Szkoły Zarządzania i Sztuk Wyzwolonych.

Wydatki	0 - 40	40 - 80	80 - 120	120 - 160	160 - 200	200 - 240
Liczba studentów	10	10	10	20	30	20

Należy odpowiedzieć na następujące pytania, uzasadniając odpowiedzi:

a/ Czy mediana wydatków jest niższa od średniej?

b/ Czy posługując się danymi indywidualnymi uzyskalibyśmy identyczną wartość średniej jak w przypadku średniej obliczonej na podstawie powyższej tabeli?

c/ Jaki kierunek ma asymetria rozkładu?

Zadanie 7

Strukturę tygodniowych wydatków na rozrywkę [w zł] w grupie 100 studentów geografii przedstawia poniższa tablica:

Wydatki	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
udział studentów	0,05	0,08	0,12	0,3	0,25	0,20

Z kolei dla 100 studentów ekonomii średnie tygodniowe wydatki na rozrywkę wyniosły 35, zł, mediana 36 zł.

a) Wykorzystując odpowiednie miary położenia proszę porównać poziom wydatków w obu grupach.

b) Na podstawie tych miar wypowiedz się na temat asymetrii tych dwóch rozkładów.

Zadanie 8

Rozkład miesięcznych obrotów w 100 punktach sprzedaży pewnej branży na Mazowszu przedstawiał się następująco:

Mazowsze	liczba punktów sprzedaży		Dla 120 punktów sprzedaży w Wielkopolsce, otrzymano następujące wyniki ( w tys. zł): średnia 52; mediana 54, odchylenie standardowe 22.
Obroty w tys. zł
0 - 20	5
20 - 40	20
40 - 60	50
60 - 80	20
80 - 100	5

a) Wykorzystując odpowiednie miary położenia proszę porównać poziom obrotów w województwach.

b) Oceń zróżnicowanie wartości obrotów w obu województwach. W którym województwie wartość obrotów była bardziej zróżnicowana?

Zadanie 9

Wśród studentów jednej z grup studenckich pierwszego roku SGH w ciągu semestru zimowego odnotowano następujące liczby nieobecności: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2. Proszę przedstawić powyższe dane w postaci szeregu rozdzielczego oraz ocenić jego koncentrację.

Zadanie 10

Wśród absolwentek kursu z metod promocji usług turystycznych odnotowano następujące liczby otrzymanych ofert pracy: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3.

Proszę przedstawić powyższe dane w postaci szeregu rozdzielczego oraz ocenić jego położenie.

Zadanie 11

Wśród ogólnej liczby 600 pracowników w minionym miesiącu co czwarty przeznaczył nie więcej niż 1 zł na cele społeczne, połowa z nich przeznaczyła co najwyżej 4 zł, zaś 300 z nich dokładnie 5 zł. 50 pracowników nie przeznaczyło na cele społeczne żadnej sumy. Jaka był zgromadzony fundusz na cele społeczne w tej grupie pracowników i ile średnio biorąc przeznaczali pracownicy na cele społeczne.

Zadanie 12

1. Wyniki sprzedaży w dwóch kolejnych miesiącach opisują następujące charakterystyki:

Charakterystyka rozkładu	Kwiecień	Maj
Średnia dzienna sprzedaż	14 szt.	12 szt
Dominująca dzienna sprzedaż	11 szt.	13 szt.
Odchylenie standardowe dziennej sprzedaży	4 szt	3 szt.

1. jaka była typowa dzienna sprzedaż w każdym miesiącu?

2. W którym miesiącu dzienna sprzedaż była bardziej zróżnicowana?

3. Ocenić siłę i kierunek skośności rozkładu dziennej sprzedaży w każdym miesiącu.

Zadanie 13

Wśród ogólnej liczby 800 pracowników w minionym miesiącu co czwarty przeznaczył nie więcej niż 1 zł na cele społeczne, połowa z nich przeznaczyła co najwyżej 4 zł, zaś 400 z nich dokładnie 5 zł. 100 pracowników nie przeznaczyło na cele społeczne żadnej sumy. Jaka był zgromadzony fundusz na cele społeczne w tej grupie pracowników i ile średnio biorąc przeznaczali pracownicy na cele społeczne.

Zadanie 14

Wyniki sprzedaży w dwóch kolejnych miesiącach opisują następujące charakterystyki:

Charakterystyka rozkładu	Kwiecień	Maj
Średnia dzienna sprzedaż	10 szt.	9 szt
Dominująca dzienna sprzedaż	8 szt.	11 szt.
Odchylenie standardowe dziennej sprzedaży	3 szt	4 szt.

4. jaka była typowa dzienna sprzedaż w każdym miesiącu?

5. W którym miesiącu dzienna sprzedaż była bardziej zróżnicowana?

6. Ocenić siłę i kierunek skośności rozkładu dziennej sprzedaży w każdym miesiącu.

Zadanie 15

W pewnym zakładzie produkcyjnym zbadano wydajność pracy 100 pracowników I zmiany [w szt/h]. Wydajność co czwartego pracownika była niższa niż 3 szt./h, 65% pracowników osiągało wydajność poniżej 5 szt./h, pracownicy z wydajnością mniejszą niż 7 szt./h stanowili 85%, zaś pozostali osiągnęli wydajność 7 szt/h lub wyższą, przy czym 5% pracowników najbardziej wydajnych, osiągało wydajność co najmniej 9szt./h. Ponadto wiadomo, że najmniejsza zaobserwowana wydajność wyniosła 1 szt./h.

1. ocenić zróżnicowanie wydajności pracy pracowników I zmiany.

2. porównać zróżnicowanie wydajności pracy pracowników I i II zmiany, jeśli wiadomo, że średnia wydajność pracowników II zmiany wynosi 7 szt./h a odchylenie standardowe 2,8 szt./h.

Zadanie 16

W pewnym zakładzie produkcyjnym zbadano wydajność pracy 100 pracowników I zmiany [w szt/h]. Wydajność co czwartego pracownika była niższa niż 4 szt./h, 75% pracowników osiągało wydajność poniżej 6 szt./h, pracownicy z wydajnością mniejszą niż 8 szt./h stanowili 85%, zaś pozostali osiągnęli wydajność 8 szt/h lub wyższą, przy czym 5% pracowników najbardziej wydajnych, osiągało wydajność co najmniej 10szt./h. Ponadto wiadomo, że najmniejsza zaobserwowana wydajność wyniosła 2 szt./h.

3. ocenić zróżnicowanie wydajności pracy pracowników I zmiany.

4. porównać zróżnicowanie wydajności pracy pracowników I i II zmiany, jeśli wiadomo, że średnia wydajność pracowników II zmiany wynosi 8 szt./h a odchylenie standardowe 3 szt./h.

Zadanie 17

Wyniki badania empirycznego studentek pierwszego roku SGH dostarczyły następujących informacji o poziomie miesięcznych wydatków na kosmetyki:

• rozkład empiryczny wydatków okazał się symetryczny,

• odchylenie standardowe wydatków wyniosło 9 zł,

• mediana miesięcznych wydatków w zbadanej grupie studentek wyniosła 27 zł.

Z kolei rozkład miesięcznych wydatkach na prasę codzienną w tej samej grupie studentek kształtuje się następująco:

Wydatki w zł	<0; 6)	<6; 12)	<12; 18)	<18; 24)	<24; 30>
Liczba studentek	10	10	60	10	10

Wykorzystują powyższe informacje proszę ocenić, pod względem której z wyróżnionych cech zbiorowość studentek pierwszego roku SGH jest bardziej zróżnicowana.

Zadanie 18

Rozkład empiryczny długości okresu wynajmowania pokoi w minionym sezonie przez poszczególnych gości w posesjach ulokowanych na przedmieściach miejscowości nadmorskiej przedstawia poniższa tablica:

Liczba dni	<0; 2)	<2; 4)	<4; 6)	<6; 8)	<8; 10>
Liczba posesji	5	20	50	20	5

Z kolei o rozkładzie empirycznym długości okresu wynajmowania pokoi przez poszczególnych gości w poprzednim sezonie wiadomo, że:

• rozkład empiryczny liczby dni wynajmowania pokoi jest symetryczny,

• odchylenie standardowe długości okresu wynajmowania pokoi wyniosło 1,5 dnia.

• mediana długości okresu wynajmowania pokoi kształtowała się na poziomie 10 dni.

Wykorzystują powyższe informacje proszę ocenić, w którym sezonie letnim w zbadanej zbiorowości właścicieli posesji długości okresu wynajmowania pokoi przez poszczególnych gości jest bardziej zróżnicowana.

Zadanie 19

W pewnej agencji obrotu nieruchomościami przeprowadzono badanie ceny 1 m2 sprzedanych mieszkań w jednej z dzielnic Warszawy. W wyniku badani otrzymano (ceny są w tyś PLN):

Cena 1m2	<2,5-3,0)	<3,0-3,5)	<3,5-4,0)	<4,0-4,5)
Liczba mieszkań	20	25	40	15

Obliczyć kwartyl drugi rozkładu ceny mieszkań oraz dominantę (przedstawić graficznie) oraz ocenić zróżnicowanie wykorzystując względne i bezwzględne miary klasyczne.

Zmienna losowa i twierdzenia graniczne

Zadanie 1

Zmienna losowa ma rozkład normalny N(40 ; 8). Należy obliczyć:

1. prawdopdobieństwo P(X>24) i wynik przedstawić graficznie.

2. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 2X - 6

Odp.: 0,9772; E(Y)=74; D²(Y)=256

Zadanie 2

Długość zużywanego paska papieru do wydruku paragonu w sklepie samoobsługowym w sąsiedztwie Uczelni jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 8,5 cm i odchylenie standardowe 1,2 cm.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wydrukowanie paragonów 100 klientom kasjerka zużyje pasek papieru o długości przekraczającej 850 cm.

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na wydrukowanie paragonów 100 klientom kasjerka zużyje pasek papieru o długości nieprzekraczającej 815 cm.

Odp.: 0,5; 0,0018

Zadanie 3

W wyniku kradzieży majonezów w supermarkecie firma traci dziennie średnio 105 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 40 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kwartalna (92 dni) strata spowodowana kradzieżą majonezów wyniesie co najwyżej 10 000 zł.

Odp.: 0,81

Zadanie 4

Czas obsługi klienta na poczcie w mieście stołecznym jest zmienną losową, której rozkład charakteryzuje wartość oczekiwana 4,5 min. i odchylenie standardowe 0,6 min.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas obsługi 100 klientów będzie dłuższy niż 450 min.

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że czas obsługi 100 klientów będzie krótszy niż 430 min.

Odp.: 0,5; 0,0004

Zadanie 5

Firma Herr O. Stratt ubezpiecza domy od pożarów w miejscowościach Ź. i Ś. Wartość oczekiwana w rozkładach rocznej liczby pożarów w każdym z miast wynosi odpowiednio, 1,5 i 2, a ponadto wartość wariancji w tych rozkładach wynosi odpowiednio 1,5 i 2 . Stała wartość kwoty odszkodowania za 1 pożar w Ź. wynosi 80 tys. zł, w Ś. 50 tys.

a/ W której z miejscowości wartość oczekiwana rocznej wypłaty jest wyższa?

b/ Gdzie zróżnicowanie rocznej wypłaty jest wyższe?

Odp.: Ż; Ś

Zadanie 6

Gracz piłkarski H. Pochodnia za popełniony w meczu błąd płaci karę 5 tys. zł. Gracz R. Lewin płaci zaś karę 3 tys. zł. Rozkład liczby błędów popełnianych w jednym meczu przez każdego z graczy można opisać za pomocą jednego typu rozkładu z wartością oczekiwana 2 (Pochodnia) i 3 (Lewin) i wariancją równo odpowiednio 2 (Pochodnia) i 3 (Lewin).

a/ W przypadku którego z graczy wartość oczekiwana kary za błędy w meczu jest wyższa?

b/ W przypadku którego z graczy zróżnicowanie kary za błędy w meczu jest niższe?

Odp.: P, L

Zadanie 7

Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia zeznania podatkowego przez osobę z podstawowym wykształceniem wynosi 0,2. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 25 000 podatników z wykształceniem podstawowym co najmniej 4800 wypełni błędnie zeznanie podatkowe jest większe od 0,3?

Odp.: 0,9992

Zadanie 8

Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia wniosku o wymianę prawa jazdy przez osobę z podstawowym wykształceniem wynosi 0,1. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 30 000 kierowców z wykształceniem podstawowym co najmniej 3120 wypełni błędnie wniosek jest większe od 0,5?

Odp.: 0,0105

Zadanie 9

Wiadomo, że prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji wynosi 0,1. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:

a) spośród 4 klientów przynajmniej 1 zgłosi reklamację,

b) spośród 400 klientów reklamację zgłosi co najmniej 38 osób? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania.

Odp.: 0,3439; 0,6306

Zadanie 10

Wiadomo, że prawdopodobieństwo nieterminowej realizacji faktury wynosi 0,2. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:

1. spośród 3 klientów co najwyżej 2 nie zapłaci w terminie faktury,

2. spośród 100 klientów co najwyżej 67 nie zapłaci faktury w terminie? Proszę uzasadnić metodę rozwiązania.

Odp.: 0,992; ≈1

Zadanie 11

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez maszynistkę na stronie tekstu wynosi 0,2. Maszynistka przepisała tekst liczący 2 strony.

1. Proszę przedstawić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą stron zawierających błąd oraz wyznaczyć dwa podstawowe parametry tego rozkładu.

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbą stron zawierających błąd jest większa niż 1?

Odp.:; E(Y)=0,4; D(Y)=0,56; 0,04

Zadanie 12

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu przez maszynistkę na stronie tekstu wynosi 0,3. Maszynistka przepisała tekst liczący 2 strony.

3. Proszę przedstawić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X będącej liczbą stron zawierających błąd oraz wyznaczyć dwa podstawowe parametry tego rozkładu.

4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczbą stron zawierających błąd jest większa niż 1?

Odp.: E(X)=0,6; D(X)=0,42; 0,09

Zadanie 13

Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia zeznania podatkowego przez osobę z wykształceniem wyższym wynosi 0,1. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 2000 podatników z wykształceniem podstawowym co najwyżej 600 wypełni błędnie zeznanie podatkowe jest mniejsze od 0,03?

Odp.: ≈1

Zadanie 14

Prawdopodobieństwo błędnego wypełnienia wniosku o wymianę prawa jazdy przez osobę z wykształceniem wyższym wynosi 0,01. Czy prawdopodobieństwo, że wśród 3 000 kierowców z wykształceniem podstawowym co najmniej 320 wypełni błędnie wniosek jest mniejsze od 0,2?

Odp.: ≈0

Zadanie 15

Zmienna losowa ma rozkład normalny N(80 ; 16). Należy obliczyć:

3. prawdopodobieństwo P(X>48) i wynik przedstawić graficznie.

4. Kwartyl trzeci w tym rozkładzie,

5. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 3X

Odp.: 0,9773; E(Y)=240; D²(Y)=1296

Zadanie 16

W wyniku kradzieży majonezów w supermarkecie firma traci dziennie średnio 205 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 30 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kwartalna (92 dni) strata spowodowana kradzieżą majonezów wyniesie:

a) 10 000 zł

b) co najwyżej 20 000 zł.

Odp.: 0; ≈0,00

Zadanie 17

Prawdopodobieństwo zgłoszenia reklamacji przez nabywcę produktu wynosi 0,1.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród trzech nabywców jeden zgłosi reklamację?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1000 nabywców co najmniej 120 zgłosi reklamację lecz nie więcej niż połowa?

Odp.: 0,243; 0,9825

Zadanie 18

Zmienna losowa ma rozkład normalny N(40 ; 8). Należy obliczyć:

6. prawdopodobieństwo P(X>36) i wynik przedstawić graficznie.

7. Kwartyl pierwszy w tym rozkładzie,

8. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = 4X

Odp.: 0,6915; 34,6; E(Y)=160; D²(Y)=1088

Zadanie 19

Zmienna losowa ma rozkład normalny N(20 ; 4). Należy obliczyć:

9. prawdopodobieństwo P(X>12) i wynik przedstawić graficznie.

10. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = ½X

Odp.: 0,9772; E(Y)=10; D²(Y)=4

Zadanie 20

Dzienne obroty hurtowni farmaceutycznych w pewnym województwie są zmienną losową o rozkładzie symetrycznym z wartością średnią 3250 zł i odchyleniem standardowym 750 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

1. w dowolnie wybranym dniu obroty przekroczą 3250 zł?

2. obroty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 35 000 zł?

Odp.: 0,5; ≈1

Zadanie 21

Zmienna losowa ma rozkład normalny N(10 ; 2). Należy obliczyć:

1. prawdopodobieństwo P(X>9) i wynik przedstawić graficznie.

2. Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowe Y, którą definiuje warunek: Y = ¼X

Odp.: ≈0,691; E(Y)=2,5, D²(Y)=0,25

Zadanie 22

W wyniku awarii w dostawach prądu firma traci dziennie średnio 7,5 zł z przeciętnym zróżnicowaniem 3zł.

1. jakie jest prawdopodobieństwo, że w dowolnie wybranym dniu strata spowodowana awarią nie przekroczy 7,5 zł?

2. jakie jest prawdopodobieństwo, że półroczna (183 dni) strata spowodowana awariami wyniesie co najmniej 1500 zł

Odp.: nie wiadomo, 0,9992

Zadanie 23

Miesięczne wynagrodzenie w populacji pracowników światowe koncernu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 2000 $ i odchyleniem standardowym σ.

1. Wyznacz wartość parametru σ wiedząc, że 15,86% pracowników tego koncernu zarabia miesięcznie nie więcej niż 1800 $.

2. Jaka część pracowników tej firmy osiąga miesięczne wynagrodzenie wyższe niż 2000$ lecz nie przekraczające 2200 $.

Odp.: 200$; 34,13%

Zadanie 24

Wiadomo, że rozkład kosztów pracy robotników wykwalifikowanych w budownictwie charakteryzują następujące parametry: E(X)= 9,5 tys. zł D(X)= 1 tys. zł.

1. Jakie koszty pracy 200 pracowników zatrudnionych na jednej z budów należy uznać za nietypowe?

2. Wyznaczyć trzeci kwarty kosztów pracy 200 pracowników tej budowy.

Odp.: poniżej 1885 tys. zł oraz powyżej 1914,1 tys. zł, 1909,5 tys. zł

Zadanie 25

Wskaźnik aktywności zawodowej Polaków w roku 2002 wyniósł 80%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

1. wśród 2 osób mieszkających w Polsce każda będzie aktywna zawodowo?

2. wśród 1000 Polaków co najmniej 850 będzie aktywnych zawodowo? Uzasadnij metodę rozwiązania oraz przedstaw wynik graficznie.

Odp.: 0,64; 0,0001

Zadanie 26

Miesięczne wynagrodzenie w populacji pracowników światowe koncernu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 4000 $ i odchyleniem standardowym σ.

1. Wyznacz wartość parametru σ wiedząc, że 15,86% pracowników tego koncernu zarabia miesięcznie nie więcej niż 2400 $.

2. Jaka część pracowników tej firmy osiąga miesięczne wynagrodzenie wyższe niż 4000$ lecz nie przekraczające 5600 $.

Odp.: 1600$, 34,13%

Zadanie 27

Wiadomo, że rozkład kosztów pracy robotników wykwalifikowanych w rybołówstwie charakteryzują następujące parametry: E(X)= 12 tys. zł D(X)= 2 tys. zł.

1. Jakie koszty pracy 200 pracowników zatrudnionych w ostatnim sezonie w przedsiębiorstwie dalekomorskim należy uznać za nietypowe?

2. Wyznaczyć trzeci kwarty kosztów pracy 200 pracowników tego przedsiębiorstwa.

Odp.: poniżej 2371,7 tys. zł oraz powyżej 2428,3 tys. zł, 2419,1 tys. zł.

Zadanie 28

Wskaźnik aktywności zawodowej Polaków zamieszkałych na wsi w roku 2002 wyniósł 60%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

1. wśród 2 osób mieszkających na wsi każda będzie aktywna zawodowo?

2. wśród 1000 mieszkańców wsi co najmniej 750 będzie aktywnych zawodowo? Uzasadnij metodę rozwiązania oraz przedstaw wynik graficznie.

Odp.: 0,36, ≈0

Zadanie 29

Waga jednostkowego produktu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością średnią 50 dkg oraz odchyleniem standardowym 4 dkg. Ile sztuk produktu, w partii 20 000 sztuk będzie charakteryzowało się wagą powyżej 48,2 dkg?

Odp.: 13472

Zadanie 30

Dzienne straty hurtowni ołówków są zmienną losową o wartości średniej 35 zł z odchyleniem standardowym 5 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

3. straty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 350 zł?

4. średnia dziennych strat, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 32 zł do 33 zł?

Odp.: 0,5; 0,000003

Zadanie 31

Objętość jednostkowego opakowania produktu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością średnią 100 litrów oraz odchyleniem standardowym 20 litry. Ile opakowań, w partii 40 000 będzie charakteryzowało się objętością powyżej 85 litra?

Odp.: 30935

Zadanie 32

Dzienne obroty hurtowni farmaceutycznych w pewnym województwie są zmienną losową o wartości średniej 5500 zł z odchyleniem standardowym 1050 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:

1. obroty osiągane w okresie 100 dni przekroczą łącznie 570 000 zł?

2. średnia z dziennych obrotów, realizowanych w okresie 100 dni, będzie zawierać się w przedziale od 5200 zł do 5600 zł?

Odp.: ≈0,028; 0,8274

Przedziały ufności i hipotezy

Zadanie 1

Populacja ma nieznany rozkład o średniej równej 4 i wariancji 4. Jaka jest wiarygodność próby losowej liczącej 144 elementów, dla której średnia nie przekroczy 4,4?

Odp. 0,9918

Zadanie 2

Wartość oczekiwana zmiennej Y w populacji generalnej wynosi 100, zaś wariancja 400. Z populacji wylosowano dwie próby: 400 i 625 elementową. Które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:

a/ średnia wartość w pierwszej próbie przekroczy 102.

b/ średnia wartość w drugiej próbie nie przekroczy 98,5.

Odp. 0,0228; 0,0307

Zadanie 3

Z populacji generalnej wylosowano dwie próby liczące 400 i 576 elementów, obliczając średnie wartości zmiennej X. Wartość oczekiwana tej zmiennej w populacji wynosi 200 zaś odchylenie standardowe 12. Czy bardziej prawdopodobne jest przekroczenie przez pierwszą średnią wartości 199 czy osiągnięcie przez drugą średnią wartości mniejszej niż 200,5.

Odp: 0,9525; 0,8413

Zadanie 4

Waga netto pudełka proszku do prania jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią równą 1 kg i odchyleniem standardowym równym 10 gram. Kontrola przyjmuje partię towaru, jeśli dla losowo wybranych 9 opakowań średnia waga nie będzie się różniła od 1 kg o więcej niż 5 gram. Jakie jest prawdopodobieństwo przyjęcia partii towaru?

Odp.: 0,8664

Zadanie 5

Waga netto pudła chrupek kukurydzianych jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią równą 3 kg i odchyleniem standardowym równym 100 gram. Kontrola przyjmuje partię towaru, jeśli dla losowo wybranych 16 opakowań średnia waga nie będzie się różniła od 3 kg o więcej niż 50 gram. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia partii towaru?

Odp.: 0,0456

Zadanie 6

Pewna populacja generalna jest charakteryzowana przez rozkład normalny o nieznanych parametrach m i δ. Jaka powinna być liczebność próby wylosowanej z tej populacji, aby prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna wartości zmiennej z badanej próby różniła się od wartości oczekiwanej o więcej niż 15% odchylenia standardowego było równe co najwyżej 0,05.

Odp.: 89

Zadanie 8

Temperatura ciała ludzkiego ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną 36,6 ^oC. Zmierzono temperaturę 26 losowo wybranych osób i okazało się, że odchylenie standardowe od średniej temperatury ciała wyniosło 0,485 ^oC. Określić prawdopodobieństwo tego, że średnia temperatura w badanej grupie nie przekroczy 36,8 ^oC .

Odp.: 0,975

Zadanie 9

Z przygotowanej do sprzedaży partii skrzynek z jabłkami w pewnej hurtowni wybrano losowo 200 skrzynek jabłek i 146 z nich zakwalifikowano jako I gatunek.

1. Oszacować punktowo frakcji jabłek I gatunku w całej partii.

2. Wyznaczyć przedział ufności dla frakcji jabłek I gatunku. Przyjąć 1 - α = 0,90.

Odp.: 73%, D(T_n)=0,031 V(T_n)=0,043, <68,08% ; 77,92%>

Zadanie 10

W badaniach gospodarstw domowych w 2000r. w pewnym mieście w próbie losowej 150 gospodarstw emerytów ustalono, że średnie miesięczne wydatki (na osobę) na usługi wyniosły 172 zł. z odchyleniem standardowym 15 zł. , a w próbie losowej 200 gospodarstw pracowników średnie wydatki były równe 180 zł. i odchylenie standardowe 20 zł. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie miesięczne wydatki (na osobę) na usługi są niższe w gospodarstwach domowych emerytów niż pracowników.

Odp.: u_obl=-4,28

Zadanie 11

Zważono 200 kostek masła i zbudowano rozkład ich wagi z 5 przedziałami. Średnia waga zważonych kostek wyniosła 250g a odchylenie standardowe 5g. Weryfikując hipotezę o tym, że waga kostek masła ma rozkład normalny ustalono wartość testu zgodności chi kwadrat = 1,4.

a) Podjąć decyzję weryfikacyjną przy poziomie istotności α = 0,05.

b) Jaka jest w tej próbie teoretyczna liczba kostek masła o wadze 249 - 250g?

Odp.: a) χ²_α=5,991 ; b)16.

Zadanie 12

W badaniach gospodarstw domowych w 2000r. w pewnym mieście w próbie losowej 100 gospodarstw domowych pracowników ustalono, że średnie miesięczne wydatki (na osobę) na usługi wyniosły 172 zł. z odchyleniem standardowym 25zł. Wyznaczyć

1. ocenę punktową średnich wydatków w populacji gospodarstw domowych pracowników.

2. przedział ufności dla średniej wydatków w populacji gospodarstw domowych pracowników.

Odp.: 172 zł, D(T_n)=2,5 zl V(T_n)=0,0145, dla 1-α=0,95 <167,1 zł ; 174,4 zł>

Zadanie 13

Z dwóch wydziałów pewnego przedsiębiorstwa wylosowano dwie próby w celu zbadania jak warunki pracy na tych wydziałach wpływają na stan zdrowia pracowników. Na wydziale o szczególnie szkodliwych warunkach pracy wśród 120 losowo wybranych pracowników 20 pracowników skarżyło się na te warunki, na drugim wydziale na 100 wylosowanych pracowników 15 z nich skarżyło się na warunki pracy. Zweryfikować hipotezę, że procent skarżących się pracowników na warunki pracy na wydziale pierwszym jest większy niż na drugim.

Odp.: u_obl=0,4

Zadanie 14

Automat pakuje proszki o nominalnej wadze 3000g. Z partii proszków przygotowanych do sprzedaży wybrano losowo 144 sztuk i zbudowano rozkład ich wagi o 6 przedziałach. Średnia waga proszku w tej próbie wyniosła 2995g a odchylenie standardowe 100g. Weryfikując hipotezę o tym, że waga proszku ma rozkład normalny ustalono wartość testu zgodności chi kwadrat = 6,4. Podjąć decyzję. Jaka jest w tej próbie teoretyczna liczba proszków o wadze 2975 - 3025g?

Odp.: dla α=0,05 ) χ²_α=7,815; 28

Zadanie 15Oceniając nieskuteczność działania preparatu farmaceutycznego β ustalono, że testując ten preparat na 144 losowo wybranych pacjentach odnotowano 12 przypadków jego nieskuteczności. Proszę określić:

a) przeciętny błąd szacunku,

b) błąd bezwzględny szacunku (tzw. maksymalny), przy którym ufność oszacowania wynosi co najmniej 95% .

Odp.: 8,3%; D(T_n)=2,3%; d ≥ 4,5%

Zadanie 16

Ile osób należy wylosować do próby aby oszacować frakcję osób zainteresowanych procesem prywatyzacji w Polsce, z bezwzględną precyzją szacunku 0,1 oraz z ufnością 0,95? Jakie efekty spowoduje wzrost poziomu ufności do 0,99 w podjętej estymacji?

Odp.: 96; wzrost o 69

Zadanie 17

Badając rozkład wydatków na papierosy stwierdzono, że wydatki te mogą mieć rozkład normalny o parametrach [90 zł;15 zł]. W celu sprawdzenia tego przypuszczenia zbadano 200 losowo wybranych konsumentów, grupując wyniki w 14 przedziałów klasowych, każdy o liczebności co najmniej 5 jednostek. Ponadto obliczono, że:




Czy można uznać normalność rozkładu wydatków na papierosy?

Odp.: dla α=0,05 ) χ²_α= 22,36

Zadanie 18

Analiza rozkładu czasu pracy w godzinach nadliczbowych w dwóch losowo wybranych grupach pracowników z każdej zmiany dostarczyła następujących informacji:

- w grupie 100 pracowników pierwszej zmiany odnotowano średnią liczbę przepracowanych godzin nadliczbowych w tygodniu na poziomie 4 godz. z odchyleniem standardowym 1,2 godz.,

- w grupie 120 pracowników drugiej zmiany odnotowano średnią liczbę przepracowanych godzin nadliczbowych w tygodniu na poziomie 6 godz. z odchyleniem standardowym 2,4 godz..

Proszę określić z jakim prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju (przy jakiej istotności) można twierdzić, że średnio biorąc pracownicy pierwszej zmiany pracują krócej w czasie nadliczbowym od pracowników drugiej zmiany.

Odp.: u_obl=8

Zadanie 19

W odpowiedzi na pewną ankietę na 300 wylosowanych pracownikach pracujących w produkcji, 52 pracowników oświadczyło, że pragnie zmienić swe stanowisko pracy na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 200 pracowników zaplecza technicznego i administracji 26 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Czy można twierdzić, że w obu grupach pracowniczych istnieje jednakowy odsetek pracowników pragnących zmienić dotychczasowe stanowisko pracy?

Odp.: u_obl=1,33

Zadanie 20

W badaniu ankietowym „Czy wybierzesz mnie w najbliższych wyborach?” dotyczącego polityka A i polityka B, uzyskano następujące dane: wśród 1000 zapytanych osób 385 stwierdziło, że poprze kandydaturę polityka A, zaś 413 zapowiedziało, że wybierze kandydata B. Zweryfikować hipotezę że poparcie dla kandydata A istotnie różni się od oceny punktowej poparcia dla kandydata B (α=0,05)

Odp.: u_obl=1,798

Zadanie 21

W celu ustalenia, czy średnia miesięczna sprzedaż trzech marek samochodu jestistotnie różna zebrano informacje z 23 losowo wybranych salonów sprzedaży (rozkład dziennej liczby sprzedawanych samochodów jest normalny). Uzyskano następujące wyniki:

• dla trzech badanych marek zaobserwowano identyczne wariancje dziennej sprzedaży,

• zróżnicowanie międzygrupowe wielkości sprzedaży, mierzone sumą kwadratów odpowiednich różnic, wyniosło 46,

• zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich różnic wyniosło 20. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności α=0,05.

Odp.: Fobl.=23

Zadanie 22

Radny w mieście ZZ zgłosił wniosek, że ważniejsza jest przebudowa drogi B niż drogi A. Swoje twierdzenie poparł informacją, że w ciągu 160 losowo wybranych dni tracił w korkach na drodze A średnio 1 godzinę dziennie (przy wariancji 0,24) a w ciągu innych 160 dni na drodze B 1,08 godziny (przy wariancji 0,44).

a/ Należy zweryfikować hipotezę, że na drodze B traci się więcej czasu w korkach niż na drodze A (α=0,05).

Odp.: u_obl=-1,23

Zadanie 23

W celu ustalenia, czy średnia miesięczna sprzedaż trzech marka oleju jest istotnie różna zebrano informacje z 24 losowo wybranych stacji benzynowych. Uzyskano następujące wyniki dotyczące wielkość sprzedaży czterech różnych typów olejów do samochodów (rozkład dziennej ilości sprzedaży oleju jest normalny): zróżnicowanie międzygrupowe, mierzone sumą kwadratów odpowiednich różnic, wyniosło 336, zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich różnic wyniosło 100. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności α=0,05.

Odp.: Fobl.=35,28

Zadanie 24

Badanie 370 losowo wybranych gospodarstw domowych pod względem miesięcznych wydatków na żywność dostarczyło następujących informacji:

Chisquare Test

-----------------------------------------------------------------------------------------------------


-






-----------------------------------------------------------------------------------------------------

nie więcej niż 1250 80 80 0,00

1250 1750 120 …. 5,45

1750 2000 40 53 …….

2000 2500 70 85 2,65

powyżej 2500 60 55 0,45

------------------------------------------------------------------------------------------------------

χ2 = ………… przy liczbie stopni swobody równej 2.

Po obliczeniu brakujących danych, zweryfikować hipotezę, że wydatki na żywność w gospodarstwach domowych mają rozkład normalny. Przyjąć poziom istotności α = 0,01.

Odp.: χ2 obl=11,74, χα2 = 11,34

Zadanie 25

Roczne wydatki na promocję i reklamę firm pewnej branży mają rozkład normalny. Ile wynosił współczynnik ufności przy przedziałowej estymacji średniej wysokości tych wydatków dla wszystkich firm branży, jeśli na podstawie wyników 10-elementowej próby przedsiębiorstw uzyskano przedział o długości 18,096 tys. złotych, a odchylenie standardowe wydatków w badanej próbie firm wyniosło 12,6 tys. złotych?

Odp.: 2,154, 1-α = 0,9684

Zadanie 26

Wartość sprzedaży (w mln PLN) przedsiębiorstw branży cukierniczej ma rozkład normalny. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy estymacji średniej wartości sprzedaży ogółu firm tej branży, jeśli na podstawie wyników 16-elementowej próby przedsiębiorstw oszacowano przedział o długości 3,903 mln złotych, a odchylenie standardowe wydatków w badanej grupie firm wyniosło 3 miliony złotych?

Odp.: 2,519, 1-α = 0,9882

Zadanie 27

W pewnym eksperymencie chemicznym bada się czas całkowitego zakończenia reakcji. Na podstawie obserwacji z próby losowej otrzymano średni czas reakcji 46 sek z odchyleniem standardowym 13 sek. Oszacować z ufnością 99% średni czas reakcji przyjmując, ze próba liczyła 10 obserwacji.

Odp.: <31,92sek; 60,08sek>

Zadanie 28

Jak liczna powinna być próba by oszacować odsetek pracowników, awansujących trzykrotnie w karierze zawodowej z maksymalnym błędem 2% ? Jeśli badanie pilotażowe wskazuje iż spodziewana wielkość kształtuje się w granicach 15%?

Odp.: dla 0,95 otrzymuje się 1225 jednostek

Zadanie 29

Zbadano 1000 osób w mieście oraz 500 osób na wsi. W mieście 350 osób wyraziło swoje poparcie dla partii „Alfa”, na wsi zaś odsetek zwolenników tej partii wyniósł 30. Czy można twierdzić, że partia „Alfa” istotnie cieszy się większym poparciem w mieście niż na wsi?

Odp.: uobl=12,08

Zadanie 32

W pewnym eksperymencie chemicznym bada się czas całkowitego zakończenia reakcji. Na podstawie obserwacji z próby losowej otrzymano średni czas reakcji 46 sek z odchyleniem standardowym 13 sek. Oszacować z ufnością 99% średni czas reakcji przyjmując, ze próba liczyła 144 obserwacje.

Odp.: <43,22sek ; 48,78sek>

Zadanie 33

Jak liczna powinna być próba by oszacować odsetek pracowników, awansujących trzykrotnie w karierze zawodowej z maksymalnym błędem 2% ?

Odp.: dla 0,95 otrzymuje się 2500 jednostek

Zadanie 34

Zbadano 1000 osób w mieście oraz 2000 osób na wsi. W mieście odsetek zwolenników partii „Beta” wyniósł 20, na wsi zaś znalazło się 450 zwolenników tej partii. Czy można twierdzić, że partia „Beta” cieszy się mniejszym poparciem w mieście niż na wsi?

Odp.: uobl=-14,54

Zadanie 35

Poniższe zestawienie przedstawia niektóre wyniki testu analizy wariancji (test dla wielu średnich) dotyczące poziomu obrotów przedsiębiorstw zwolnionych z podatku VAT w zależności od miejsca prowadzenia działalności (Polska południowa, środkowa i północna) przeprowadzonego na podstawie próby losowej 24 przedsiębiorstw:




Przyjmując założenie o jednorodności wariancji wymagane w teście dla wielu średnich według analizy wariancji, zweryfikuj (przy α = 0,05) czy średni biorąc obroty firm zwolnionych z podatku VAT istotnie różnią się w zależności od geograficznego położenia przedsiębiorstwa.

Odp.: Fobl.=21,96, Fα = 19,49

Zadanie 36

Związek zawodowy zarzucił prezesowi koncernu zawyżenie średniego zarobku jego pracowników w przedłożonym sprawozdaniu z prowadzonej działalności. Według twierdzenia prezesa wynosi on 50 dukatów, podczas gdy średnia uzyskana na podstawie losowej próby 200 pracowników dała wynik 48 dukatów, przy wariancji 100 dukatów. Przyjmując poziom istotności 0,05 należy sprawdzić czy twierdzenie związkowców jest uzasadnione.

Odp.: uobl=2,83

Zadanie 37

Na podstawie losowej próby 600 nabywców kawy otrzymano następujący przedział ufności dla frakcji konsumentów lojalnych wobec marki: <0,35; 0,45>. Dokonać estymacji punktowej oraz określić średni błąd szacunku frakcji konsumentów lojalnych, jeśli zbudowany przedział pokrywa nieznaną frakcję konsumentów lojalnych z prawdopodobieństwem 0,95.

Odp.: 40%, D(Tn)=0,02 V(Tn)=0,05

Zadanie 38

Na podstawie losowej próby 400 konsumentów odwiedzających pewien sklep AGD otrzymano następujący przedział ufności dla średnich wydatków: <460; 500> zł, oszacowany z ufnością 0,98. Jak liczna powinna być próba, aby całkowita rozpiętość przedziału nie przekroczyła 30 zł?

Odp.: 711

Zadanie 39

Pełnomocnik rządu Alfalandii d/s równego statusu kobiet i mężczyzn podejrzewa, że udział mężczyzn wśród pracowników przedszkoli jest niższy niż minimum przewidziane w Ustawie, a wynoszące 35%. Czy, przy poziomie istotności 0,05, można uznać to stwierdzenie za uzasadnione, jeżeli wśród losowo zbadanych 400 pracowników przedszkoli było 128 mężczyzn?

Odp.: uobl=1,26

Zadanie 40

Jak liczna powinna być próba losowa by oszacować odsetek zakładów, które wydają część swoich zysków na działalność charytatywną z precyzją 2% oraz z ufnością 0,95, jeśli z badań pilotażowych wiadomo, ze wśród 100 zakładów 30 z nich przeznaczyło część zysków na działalność charytatywną.

Odp.: 2017

Zadanie 41

W celu zbadania wagi dzieci II klasy szkoły podstawowej w jednej ze szkół warszawskich wylosowano próbę 25 elementową. Średnia waga w tej próbie wyniosła 33 kg z odchyleniem standardowym 6 kg.

1. zakładając, że rozkład wagi dzieci jest zgodny z rozkładem normalnym, oszacować przedziałowo średni poziom wagi dzieci.

2. Ile wynosi średni błąd szacunku średniej wagi dziecka i czy jest satysfakcjonujący?

Odp.: dla 0,95 <30,47kg ; 35,53kg>

Zadanie 42

Wiadomo, że miesięczne wydatki na środki czystości w gospodarstwach domowych są zmienną losową o rozkładzie normalnym. Wśród 10 losowo wybranych gospodarstw otrzymano 190 zł jako średni poziom wydatków z odchyleniem standardowym 40 zł.

1. proszę zweryfikować przypuszczenie, że średnie wydatki na środki czystości ogółu gospodarstw domowych istotnie różnią się od 200 zł, przy poziomie istotności 0,01.

2. Czy przy poziomie istotności 0,05 decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?

Odp.: tobl.=-0,75

Zadanie 43

Zbadano grupę 50 pracowników pewnej firmy ze względu na wysokość miesięcznych dochodów oraz posiadany poziom wykształcenia, wyróżniając trzy kategorie: podstawowe. średnie i wyższe. Na podstawie porównania wartości średniego wynagrodzenie osób o różnym wykształceniu ustalono zmienność międzygrupową na poziome
oraz wewnątrzgrupową na poziomie
. Czy na tej podstawie można mówić o istotnej zależności poziomu dochodu względem poziomu wykształcenia?

Odp.: Fobl.=13,9, Fα = 19,48

Zadanie 44

Jak liczna powinna być próba losowa by oszacować odsetek zakładów, które wydają część swoich zysków na działalność charytatywną z precyzją 3% oraz z ufnością 0,95, jeśli z badań pilotażowych wiadomo, ze wśród na 200 zakładów 50 z nich przeznaczyło część zysków na działalność charytatywną.

Odp.: 800

Zadanie 45

W celu zbadania wagi dzieci II klasy szkoły podstawowej w jednej ze szkół warszawskich wylosowano próbę 169 elementową. Średnia waga w tej próbie wyniosła 40 kg z odchyleniem standardowym 9 kg.

1. zakładając, że rozkład wagi dzieci jest zgodny z rozkładem normalnym, oszacować przedziałowo średni poziom wagi dzieci.

2. Ile wynosi średni błąd szacunku średniej wagi dziecka i czy jest satysfakcjonujący?

Odp.: dla 0,95 <38,64 kg ; 41,36 kg> , D(Tn)=0,69 kg V(Tn)= 0,0173

Zadanie 46

Wiadomo, że miesięczne wydatki na środki czystości w gospodarstwach domowych są zmienną losową o rozkładzie normalnym. Wśród 10 losowo wybranych gospodarstw otrzymano 90 zł jako średni poziom wydatków z odchyleniem standardowym 4 zł.

1. proszę zweryfikować przypuszczenie, że średnie wydatki na środki czystości ogółu gospodarstw domowych istotnie różnią się od 100 zł, przy poziomie istotności 0,01.

2. Czy przy poziomie istotności 0,05 decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?

Odp.: tobl.=7,5

Zadanie 47

Zbadano 100 osób w mieście oraz 50 osób na wsi. W mieście dwa razy częściej wyrażano poparcie dla partii „Alfa”, na wsi zaś odsetek zwolenników tej partii na wsi wyniósł 30. Czy prawdziwe jest stwierdzenie, iż partia „Alfa” cieszy się większym poparciem w mieście niż na wsi?[Author ID1: at Mon Jan 20 17:35:00 2003 ]

Odp.: uobl.=3,448

Zadanie 48

1. Oszacować przedziałowo frakcję konsumentów systematycznie dokonujących zakupów w soboty jeśli w 1000-elementowej próbie losowej ustalono 30% frakcję tego typu konsumentów.

2. Ocenić jakość estymacji punktowej frakcji konsumentów systematycznie dokonujących zakupów w soboty.

Odp.: dla 0,95 <2836% ; 31,4%>, D(Tn)=0,014 V(Tn)= 0,048

Zadanie 49

Dla losowej próby 200 studentów pierwszego roku otrzymano średnią arytmetyczną wieku równą 20 lat i odchylenie standardowe wieku równe 1 rok. Ilu studentów należałoby dolosować do próby, aby przy poziomie istotności 0,95 uzyskać dwukrotnie większą dokładność (precyzję) szacowania przedziałowego przeciętnego wieku studentów niż dla grupy liczącej 200 osób?

Odp.: 800, wzrost o 600

Zadanie 50

Dla poziomu istotności 0,05 sprawdzić, czy prawdziwe jest stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników światowego koncernu „Mosty” są wyższe od średnich zarobków pracowników światowego koncernu „Dachy”. Przy czym dla 100 losowo wybranych pracowników pierwszego koncernu otrzymano średnia zarobków na poziomie 1550 $ i odchylenie standardowe wysokości 100 $, zaś dla 200 losowo wybranych pracowników koncernu drugiego otrzymano średnią zarobków na poziomie 1500 $, zaś odchylenie standardowe zarobków 200$.

Odp.: uobl.=2,89

Zadanie 51

1. Oszacować przedziałowo frakcję konsumentów systematycznie dokonujących zakupów w soboty jeśli w 1000-elementowej próbie losowej ustalono 40% frakcję tego typu konsumentów.

2. Ocenić jakość estymacji punktowej frakcji ę konsumentów systematycznie dokonujących zakupów w soboty.

Odp.: dla 0,95 <36,96%; 43,04%>, D(Tn)=0,026 V(Tn)= 0,0645

Zadanie 52

Dla losowej próby 100 studentów pierwszego roku otrzymano średnią arytmetyczną wieku równą 21 lat i odchylenie standardowe wieku równe 1,5 roku. Ilu studentów należałoby dolosować do próby, aby przy poziomie istotności 0,9 uzyskać dwukrotnie większą dokładność (precyzję) szacowania przedziałowego przeciętnego wieku studentów niż dla grupy 100 osób?

Odp.: 400, wzrost o 300

Zadanie 53

Dla poziomu istotności 0,05 sprawdzić, czy prawdziwe jest stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników globalnej firmy telekomunikacyjnej „NET” są niższe od średnich zarobków glovbalnej firmy medialnej „NSO”, jeżeli dla 200 pracowników pierwszej firmy otrzymano średnie zarobki wysokości 1500 $ i odchylenie standardowe wysokości 200 $, zaś dla 100 pracowników zakładu drugiego średnie zarobki wyniosły 1550 $, z odchyleniem standardowym 95$.

Odp.: uobl.=-2,93

Zadanie 54

1. Oszacować przedziałowo frakcję abonentów korzystających sporadycznie z usług lokalnych operatorów jeśli w 900-elementowej próbie prostej ustalono 60% frakcję tego typu abonentów.

2. Określić maksymalny błąd w tej estymacji.

Odp.: dla 0,95 < 56,8% ; 63,2%>, d = 3,2%

Zadanie 55

Oszacować przedziałowo frakcję abonentów korzystających sporadycznie z usług lokalnych operatorów jeśli w 700-elementowej próbie prostej ustalono 70% frakcję tego typu abonentów.

Określić maksymalny błąd w tej estymacji.

Odp.: < 66,6% ; 73,4%> d = 0,034

Zadanie 56

1. Dlaczego agencje badawcze prowadząc obserwacje poparcia dla ugrupowań politycznych przy próbie liczącej 1067 respondentów gwarantują maksymalny błąd szacunku na poziomie 3%, ustalany z prawdopodobieństwem 0,95?

2. Jeśli przewiduje się, że UPR może zyskać 2% poparcia wyborców jak liczna powinna być próba, by wskaźnik ten oszacować z maksymalnym błędem nie przekraczającym 0,3%?

Odp.: dla 1-α = 0,95 otrzymuje się 8366 jednostek

Zadanie 57

1. Badając opinię konsumentów na temat preferencji dotyczących wielkości opakowania proszku do prania zbadano 500 losowo wybranych gospodyń domowych zamieszkałych w miastach oraz 450 gospodyń domowych zamieszkałych na wsi. Ustalono, że wśród mieszkanek miast połowa z nich najchętniej wybrałaby opakowanie o wielkości 3 kg, wśród mieszkanek wsi za taką wielkością opakowania opowiedziało się tylko 40% respondentek. Czy można twierdzić, że wśród mieszkanek miast frakcja preferujących opakowania wielkości 3 kg jest istotnie większa niż wśród mieszkanek wsi?

2. Jak powinno kształtować się ryzyko błędnej decyzji by decyzja podjęte w punkcie (a) uległa zmianie?

Odp.: uobl.= 3,09, α = 0,002

Zadanie 58

1. Dlaczego agencje badawcze prowadząc obserwacje poparcia dla ugrupowań politycznych przy próbie liczącej 1537 respondentów gwarantują maksymalny błąd szacunku na poziomie 2,5%?

2. Jeśli przewiduje się, że UW może zyskać 5% poparcia wyborców jak liczna powinna być próba, by wskaźnik ten oszacować z maksymalnym błędem nie przekraczającym 0,5%?

Odp.: dla 1-α = 0,95 otrzymuje się 7299 jednostek

Zadanie 59Oceniając nieskuteczność działania preparatu farmaceutycznego β stwierdzono, że testując ten preparat na 288 losowo wybranych pacjentach odnotowano 24 przypadków jego nieskuteczności. Proszę określić:

a) przeciętny błąd szacunku,

b) błąd bezwzględny szacunku (tzw. maksymalny), przy którym ufność oszacowania wynosi co najmniej 95% .

Odp.: D(Tn)=0,0163, d = 0,0319

Zadanie 60

Ile osób należy wylosować do próby aby oszacować frakcję osób zainteresowanych procesem prywatyzacji w Polsce, z bezwzględną precyzją szacunku 0,12 oraz z ufnością 0,95? Jakie efekty spowoduje wzrost poziomu ufności do 0,99 w podjętej estymacji?

Odp.: 67, wzrost do 115

Zadanie 61

Badając rozkład wydatków na papierosy stwierdzono, że wydatki te mogą mieć rozkład normalny o parametrach [90 zł;15 zł]. W celu sprawdzenia tego przypuszczenia zbadano 200 losowo wybranych konsumentów, grupując wyniki w 12 przedziałów klasowych, każdy o liczebności co najmniej 5 jednostek. Ponadto obliczono, że:




Czy można uznać normalność rozkładu wydatków na papierosy?

Odp.: χ_α² = 19,675

Zadanie 62

W odpowiedzi na pewną ankietę na 600 wylosowanych pracownikach pracujących w produkcji, 104 pracowników oświadczyło, że pragnie zmienić swe stanowisko pracy na inne. Natomiast na takie samo pytanie skierowane do 400 pracowników zaplecza technicznego i administracji 52 wyraziło chęć zmiany stanowiska. Czy można twierdzić, że w obu grupach pracowniczych istnieje jednakowy odsetek pracowników pragnących zmienić dotychczasowe stanowisko pracy?

Odp.: uobl.= 1,33

Zadanie 63

Dla jakiego poziomu istotności prawdziwe będzie stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników światowego koncernu „Mosty” są wyższe od średnich zarobków pracowników światowego koncernu „Dachy”, jeżeli dla 100 pracowników pierwszego koncernu otrzymano średnie zarobki wysokości 1550 $ i odchylenie standardowe wysokości 100 $, zaś dla 200 pracowników koncernu drugiego średnie zarobki wyniosły 1500 $, zaś odchylenie standardowe zarobków 200$.

Odp.: u_obl.= 2,886, α < 0,0038

Zadanie 64

Wiadomo, że w przedsiębiorstwie X średni czas losowo wybranych 100 rozmów międzymiastowych wynosił 10 min. i charakteryzował się zmiennością 40%, należy ocenić przedziałowo średni czas trwania tej rozmowy. Przyjąć 1-α = 0,95.

Odp.: 9,216 min. ; 10,784 min.>

Zadanie 65

W badaniu ankietowym zapytano 200 uczniów z jednego z warszawskich gimnazjów, czy wykorzystują Internet do nauki. Okazało się, że odsetek wykorzystujących Internet w celach dydaktycznych wyniósł 55%. Dokonać przedziałowej estymacji (1-α = 0,99) frakcji gimnazjalistów korzystających z Internetu w celach edukacyjnych. Jaka jest precyzja tego oszacowania?

Odp.: <45,9%; 64%>, d = 9,05%

Zadanie 66

Istnieje przypuszczenie, że średni czas oczekiwania na autobus linii 174 na przystanku „Metro Pole Mokotowskie” w godzinach popołudniowych jest dłuższe w tygodniu niż w week-endy. W tym celu badano przez 6 tygodni jakie było średnie opóźnienie w kursu autobusu o godzinie 15.50 (wcześniejszych przyjazdów nie brano pod uwagę). Otrzymano następujące wyniki:

• łączne średnie opóźnienie w tygodniu wyniosło
  4 min z odchyleniem 1,3 min;

• łączne średnie opóźnienie w week-endy wyniosło
  2,5 min z odchyleniem 1 min.

Czas oczekiwania jest charakteryzowany przez rozkład normalny. Należy zweryfikować postawioną hipotezę o różnych średnich czasach oczekiwania na autobus. Poziom istotności wynosi 0,05.

Odp.: tobl. = 2,045

Zadanie 67

Jaka jest wiarygodność takich prób losowych pobranych z dwóch populacji pracowników dwóch wydziałów, liczących po 200 obserwacje, w których różnica frakcji pracowników posiadających dzieci na utrzymaniu jest większa od 15%, jeśli wiadomo, że wśród pracowników pierwszego wydziału frakcja posiadających dzieci na utrzymaniu wynosi 60%, drugiego wydziału zaś, 50%?

Odp.: 0,3124

Zadanie 68

Pewna agencja badań marketingowych w lipcu 2002 roku przeprowadziła wśród mieszkańców Warszawy pilotażowe badanie wielkości rocznego spożycia soków owocowych. Do badania wylosowano 144 osoby i na podstawie ich deklaracji otrzymano średnią wielkość rocznego spożycia soków na poziomie 11 litrów, z odchyleniem standardowym 4 litry. Dodatkowo z wieloletnich obserwacji wiadomo, że roczne spożycie soków owocowych wśród mieszkańców stolicy ma rozkład zbliżony do normalnego.

a) Czy oszacowanie punktowe nieznanej wielkości średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród warszawiaków otrzymane na podstawie tej próby jest wysokiej jakości?

2. Oszacuj przedziałowo nieznaną wielkość średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród mieszkańców Warszawy przyjmując współczynnik ufności 0,95.

Odp.: tak, <10,35% ; 11,64%>

Zadanie 69

Jak liczna powinna być próba losowa, aby spełnione były jednocześnie następujące dwa warunki dla wyników badania:

• precyzja oszacowania średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród mieszkańców Warszawy mierzona maksymalnym błędem szacunku nie przekroczyła 0,25 litra, jeśli z badań pilotaż wynika, że wariancja średniego spożycia soków kształtuje się na poziomie 6,25,

• precyzja oszacowania frakcji pijących soki owocowe nie przekroczyła 2,5%.

Odp.: 1537

Zadanie 70

Zbadano prędkość 100 losowo wybranych samochodów ciężarowych i 100 losowo wybranych samochodów osobowych na pewnym odcinku drogi. Średnia prędkość w tych próbach wyniosła odpowiednio 80km/h dla samochodów ciężarowych i 100km/h dla samochodów osobowych. Odchylenia standardowe wynosiły zaś odpowiednio 30km/h i 60km/h.

a) Czy na podstawie tych wyników można twierdzić, że wartości średnie prędkości jazdy samochodów ciężarowych i osobowych są identyczne?

b) Z jakim minimalnym błędem I rodzaju należy odrzucić hipotezę głoszącą, że wartości średnie prędkości jazdy samochodów ciężarowych i osobowych są identyczne?

Odp.: uobl=2,98, α = 0,0028

Zadanie 71

Zbadano losowo 1000 osób mieszkających w pewnym mieście ze względu na czytelnictwo prasy codziennej. Dla tej grupy ustalono frakcję czytających gazety codzienne na poziomie 25%. Czy na podstawie tych wyników można twierdzić, że frakcja czytających prasę codzienną w tym mieście jest mniejsza niż 30%. ?

Odp.: uobl=3,45

Zadanie 72

Pewna agencja badań marketingowych w lipcu 2002 roku przeprowadziła wśród mieszkańców Warszawy badanie zachowań konsumenckich na rynku soków owocowych. Do badania wylosowano 144 osoby i na podstawie ich deklaracji ustalono, że 45% z nich kupuje soki owocowe.

1. Czy oszacowanie punktowe nieznanej frakcji nabywców soków owocowych wśród warszawiaków, otrzymane na podstawie tej próby jest wysokiej jakości?

2. Oszacuj przedziałowo nieznaną frakcję nabywców soków owocowych wśród mieszkańców Warszawy przyjmując współczynnik ufności 0,95.

Odp.: dostateczne, <36,87% ; 53,12%>

Zadanie 73

Jak liczna powinna być próba losowa, aby spełnione były jednocześnie następujące dwa warunki dla wyników badania:

• precyzja oszacowania średniego rocznego spożycia soków owocowych wśród mieszkańców Warszawy mierzona maksymalnym błędem szacunku nie przekroczyła 0,5 litra, jeśli z badań pilotaż wynika, że wariancja średniego spożycia soków kształtuje się na poziomie 15,5,

• precyzja oszacowania frakcji pijących soki owocowe nie przekroczyła 4%.

Odp.: 600

Zadanie 74

Zarząd pewnej firmy twierdzi, że ich pracownicy w godzinach pracy przeznaczają na prywatne rozmowy telefoniczne średnio 22 min. dziennie.

a) Czy na poziomie istotności 0,01 można ufać takiemu twierdzeniu, jeżeli 64 losowo wybranych pracowników rozmawiało prywatnie średnio przez 20 minut a współczynnik zmienności wyniósł 50%.

b) Z jakim minimalnym błędem I rodzaju należy odrzucić hipotezę głoszącą, że średni czas rozmów prywatnych wśród pracowników tej firmy wynosi 22 min.?

uobl=1,6, α = 0,1096

Zadanie 75

Zbadano losowo 1000 osób mieszkających w mieście oraz 500 mieszkańców wsi ze względu na chęć udziału w unijnym referendum. W mieście 750 osób wyraziło chęć uczestniczenia w referendum, na wsi zaś odsetek zainteresowanych udziałem wyniósł 60%. Czy na podstawie wyników tego badania można twierdzić, że frekwencja w referendum wśród mieszkańców miast będzie wyższa niż wśród mieszkańców wsi?

Odp.: uobl=5,976

Zadanie 76

Oszacować średnią żywotność wyprodukowanej partii świetlówek wiedząc, że czas świecenia ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym σ = 120 godz. Jeśli wylosowana niezależnie z tej partii próba 25 świetlówek dała następujące wyniki pomiaru czasu świecenia (w godz.): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950, 2690, 2720, 2800, 2970, 2680, 2660, 2820, 2580, 2840, 3020, 2780, 2920, 3060, 2840, 2550, 2790, 2850. Łączny czas świecenia świetlówek z próby wyniósł 69990 godz. Stosując estymację przedziałową przyjąć trzy poziomy ufności: 95%, 96% i 98%.

Odp.: <2752,56 h ; 2846,64 h> ; < 2730,48 h ; 2868,72 h> ; < 2725,68 h ; 2873,52 h>

Zadanie 77

W pewnym eksperymencie chemicznym bada się czas całkowitego zakończenia reakcji. Na podstawie obserwacji z próby losowej otrzymano średni czas reakcji 46 sek z odchyleniem standardowym 13 sek. Oszacować z ufnością 99% średni czas reakcji przyjmując, ze próba liczyła:

1. 10 obserwacji,

2. 144 obserwacje.

Odp.: <43,22 sek ; 48,78 sek> ; <34,86 sek ; 57,14 sek>

Zadanie 78

Spośród żarówek wyprodukowanych przez pewną fabrykę wylosowano niezależnie 100 sztuk i sprawdzono ich jakość. 16 żarówek okazało się złych. Oszacować odsetek braków w wyprodukowanej partii żarówek.

Odp.: 16%, D(Tn) = 0,037; V(Tn) = 0,229 ; <0,087 ; 0,232>

Zadanie 79

Jak liczna powinna być próba by oszacować odsetek pracowników, awansujących trzykrotnie w karierze zawodowej z maksymalnym błędem 2% ?

Odp.: 2401

Zadanie 80

Ile sztuk wyrobów należy pobrać do próby by oszacować średnią wagę opakowania jednostkowego z maksymalnym błędem 0,5 dkg z ufnością 99% jeśli na podstawie badania pilotażowego ustalono, że wariancja wagi opakowania jednostkowego powinna kształtować się na poziomie 1 (dkg)² ?

Odp.: 27

2

---