P1. RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

[zazwyczaj
]

P2. RÓWNANIE JEDNORODNE WZGLĘDEM x I y

P3. RÓWNANIE LINIOWE

P4. RÓWNANIE BERNOULLIEGO

P5. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, JEDNORODNY

P6. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓLCZYNNIKACH NIEJEDNORODNY

P7. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW JEDNORODNE

P8. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW NIEJEDNORODNE

P7. WZORY

P1. RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

[zazwyczaj
] D=…

Sprawdzamy g(y)=0 y=a

Definiujemy funkcję y(x)=a dla

Zatem funkcja ta jest rozwiązaniem równania

Załóżmy, że

…

P2. RÓWNANIE JEDNORODNE WZGLĘDEM x I y

D=…

Niech
=>

I otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

Obliczamy a na końcu podstawiamy

P3. RÓWNANIE LINIOWE

D=…

Jest to równanie liniowe w którym p(x)=…, g(x)=..

Szukamy kolejno

1° rozwiązania równania

Ale szybciej jest ze wzoru
,
, dla
…

2°

METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ

Podstawiamy do
i wyznaczamy
(lub
i całkujemy)

METODA PRZEWIDYWAŃ GDY
i
ma postać:

I)
, k=1 gdy

II)
, l=max(n,m)

III)
k=1 gdy
i

Mamy
…

Podstawiamy do głównego wzoru

BONUS

Gdy

P4. RÓWNANIE BERNOULLIEGO

,

Gdy
stała funkcja
jest rozwiązaniem równania

Szukamy rozwiązania

I mamy równanie liniowe

P5. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, JEDNORODNY

Jest to układ równań liniowych o stałych współczynnikach, jednorodny

Równanie charakterystyczne ma postać

, gdzie E-macierz jednostkowa

,

Dla r1=.. o kr(r1)=.. szukamy rozwiązania w postaci

dla kr=1 lub
dla kr=2

Następnie wstawiamy do układu

Dla r2=… …

P6. UKŁAD RÓWNAŃ O STAŁYCH WSPÓLCZYNNIKACH NIEJEDNORODNY

1° Szukamy rozwiązania ogólnego

2°Szykamy
rozwiązania szczególnego układu pełnego

Szukamy rozwiązania

dla b(t)=t lub
dla b(t)=e^t (a jak coś nie pasuje to zwiększamy stopień wielomianu)

Wyliczamy współczynniki podstawiając do wzoru

P7. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW JEDNORODNE

D=…

Równanie charakterystyczne

…

… tyle pierwiastków jaka krotność i każdy kolejny pomnożony przez x

dla
, gdzie

JEŻELI:

P8. RÓWNANIA WYŻSZYCH RZĘDÓW NIEJEDNORODNE

1° Szukamy rozwiązania ogólnego

2°

METODA UZMIENNIANIA STAŁEJ

Z tw. Cramera

METODA PRZEWIDYWAN

I)
, k - krotność pierwiastka
równania charakterystycznego

II)
gdzie l=max(n,m), k=1 gdy
jest pierwiastkiem równaniacharakterystycznego

III)

gdzie l=max(n,m), a k oznacza krotność pierwiastka
równania charakterystycznego

RÓŻNE:

Przez części:

---