wielokaty, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, Rysunek techniczny, konstrukcje


REFERAT

Dla nauczycieli zespołu przedmiotów matematyczno- przyrodniczych

Publicznego Gimnazjum w Parczewie

Konstrukcja wielokątów foremnych środkami klasycznymi.

Zagadnienia konstrukcyjne zawsze były ulubionym tematem w geometrii. Można wykonać wiele różnorodnych konstrukcji posługując się wyłącznie cyrklem i linijką, można podzielić na połowę odcinek lub kąt, z danego punktu poprowadzić prostą prostopadłą do danej prostej, itp. Tradycyjne ograniczenie do tych przyrządów sięga starożytności, chociaż sami Grecy nie unikali stosowania innych przyborów. Gdy mamy do czynienia z konstrukcją geometryczną, wówczas nie wolno zapominać, że problem nie polega na praktycznym narysowaniu figury z pewnym stopniem dokładności, ale na tym, czy można znaleźć rozwiązanie teoretyczne przy użyciu tylko linijki i cyrkla i przy założeniu, że nasze narzędzia są idealnie precyzyjne.

Spośród wszystkich konstrukcji zagadnienie zbudowania wielokąta foremnego o n- bokach jest najbardziej interesujące. Dla pewnych wielkości np. n = 3,4,5,6 -rozwiązania były znane już w starożytności.

Wiadomo z geometrii elementarnej, że możemy środkami klasycznymi skonstruować trójkąt foremny, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt i dziesięciokąt foremny, wpisany w dany okrąg. Należy, więc postawić pytanie, co można powiedzieć o liczbie n- boków n-kąta foremnego, który można za pomocą środków klasycznych skonstruować mając dany promień okręgu opisanego na tym wielokącie i jakie warunki odnoszące się do liczby n wystarczają by taką konstrukcję dało się wykonać.

Sformułowanie warunków koniecznych i wystarczających konstruowalności środkami klasycznymi n-kąta foremnego wpisanego w dany okrąg wymaga pewnych twierdzeń pomocniczych dotyczących własności równań

0x01 graphic

ich pierwiastków, oraz sum tych pierwiastków.

Moim zamiarem nie jest przeprowadzenie teoretycznego rozpatrywania tego zagadnienia, lecz przedstawienie tylko tych twierdzeń, które nauczycielom warto przedstawić i poruszyć wnioski z nich płynące. Do napisania tego artykułu skłoniła mnie chęć pokazania nauczycielom, że za pomocą środków klasycznych mogą zbudować dowolny wielokąt foremny. A oto przekład takiej konstrukcji.

Podział okręgu na dowolną liczbę równych części, np. 11 ( rys. 1).

0x01 graphic

rys. 1

Konstrukcja ogólna. Przez punkt A prowadzimy styczną do okręgu o promieniu r. Ze środka O prowadzimy prostą OB. pod kątem 30o do OA. Od punktu B na stycznej odmierzamy 3r = BC. Łączymy punkt C z punktem D prostą. Odcinek CD dzielimy na 11 równych części znanym sposobem. Od punktu D odmierzamy 2/11 CD = DE, a następnie odcinamy na stycznej odcinek AF = DE. Od punktu D odkładamy odcinek DG = r. Prosta FG przetnie okrąg w punkcie H, odcinek AH jest bokiem 11 - kąta „foremnego”.

Konstrukcja geometrycznie poprawna, ale gdy mamy do czynienia z konstrukcją geometryczną środkami klasycznymi, wówczas nie wolno nigdy zapominać, że zagadnienie nie polega na praktycznym narysowaniu figury z pewnym stopniem dokładności, lecz na tym czy można znaleźć rozwiązanie teoretyczne przy użyciu tylko linijki i cyrkla i przy założeniu, że nasze narzędzia są idealnie precyzyjne.

Twierdzenia stanowiące podstawę do sformułowania i dowodu warunków koniecznych

i wystarczających konstruowalności n-kąta foremnego wpisanego w dany okrąg.

Twierdzenie 1

Jeżeli n jest liczbą pierwszą, α liczbą naturalną, to do tego, by można było środkami klasycznymi skonstruować wielokąt foremny o liczbie boków 0x01 graphic
, wpisany w okrąg o danym promieniu, potrzeba i wystarcza, by zachodził jeden z przypadków:

  1. α = 1 i n jest liczbą postaci 0x01 graphic
    , gdzie r jest liczbą całkowitą nieujemną;

  2. 0x01 graphic
    i n = 2.

Liczby pierwsze postaci 0x01 graphic
nazywamy liczbami Fermata. Z powyższego twierdzenia wynika, że

w okrąg o danym promieniu można środkami klasycznymi wpisać te, i tylko te, wielokąty o liczbie boków pierwszej, których liczba boków jest liczbą Fermata.

Wielokąty takie są `wyjątkami ' w zbiorze wielokątów foremnych.

Istotnie, dla

0x01 graphic

Ogólny przypadek, gdy liczba boków wielokąta jest dowolną liczbą naturalną warunkuje następne twierdzenie 2, które zawdzięczamy genialnemu matematykowi niemieckiemu F. Gaussowi.

Twierdzenie 2

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby można było skonstruować n-kąt foremny wpisany w okrąg o danym promieniu jest, żeby liczba n była liczbą postaci

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
,

gdzie α - jest liczbą naturalną, większą od 1, 0x01 graphic
-jest liczbą całkowitą nieujemną,

0x01 graphic
- różnymi liczbami pierwszymi Fermata dla i=1,2,...,s.

Przykłady konstrukcji wielokątów środkami klasycznymi.

1. Konstrukcje wielokątów o liczbie boków 0x01 graphic
, n = 0,1,....

Spośród wszystkich wielokątów foremnych sześciokąt jest najłatwiejszy do skonstruowania ( rys. 2 ).

0x01 graphic

rys. 2

Zaczynamy konstrukcję od okręgu o promieniu r. Długość boku sześciokąta foremnego wpisanego w ten okrąg jest także równa r. Wielokąt można, zatem konstruować odmierzając od dowolnego punktu kolejno cięciwy o długości r aż do uzyskania wszystkich sześciu wierzchołków sześciokąta. Łącząc, co drugi wierzchołek sześciokąta foremnego otrzymamy trójkąt foremny wpisany w ten okrąg.

Z foremnego n-kąta możemy otrzymać foremny 2n-kąt przecinając w połowie łuki okręgu opisanego odpowiadające każdemu bokowi n-kąta, korzystając z konstrukcji dwusiecznej kąta. Znalezione w ten sposób punkty wraz z wierzchołkami n-kąta są wierzchołkami dla szukanego 2n-kąta. Zaczynając od średnicy okręgu ( od 2-kąta') możemy skonstruować 4-kąt, 8-kąt, 16-kąt, ...,2n-kąt ( rys. 3 ). Podobnie możemy otrzymać 12-kąt,

24-kąt, 48-kąt itd. z sześciokąta foremnego ( rys. 2), oraz 20-kąt, 40-kąt, itd. z dziesięciokąta foremnego.

0x01 graphic

rys. 3

2. Konstrukcje dziesięciokąta i pięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg.

I. W `Elementach' Euklides oparł konstrukcję pięciokąta foremnego na tzw. ciągłym podziale odcinka, zwanym także podziałem złotym. Do tego samego podziału sprowadzamy najczęściej konstrukcję dziesięciokąta foremnego.

Jeżeli AB jest bokiem dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg 0x01 graphic
,

to 0x01 graphic
(rys. 4).

0x01 graphic

rys. 4

Wtedy 0x01 graphic
, wobec tego prowadząc dwusieczną BD kąta OBA otrzymujemy trójkąty równoramienne DBA i BOA. Z podobieństwa tych trójkątów wynika proporcja

0x01 graphic
. (1)

Ale 0x01 graphic
, ponieważ 0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
. Wobec tego 0x01 graphic
i z napisanej poprzednio proporcji (1) otrzymamy

0x01 graphic
.

Odcinek OD jest więc złotą częścią odcinka OA, zatem AB równa się złotej części odcinka OA. Stąd wniosek:

Bok dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg jest złotą częścią promienia tego okręgu.

Wtedy 0x01 graphic

Rozwiązując ostatnie równanie ze względu na 0x01 graphic
i odrzucając pierwiastek ujemny, otrzymujemy wzór na długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu r:

0x01 graphic
. (2)

Aby skonstruować odcinek równy bokowi dziesięciokąta foremnego wpisanego w dany okrąg. Dzielimy promień tego okręgu w stosunku złotym lub wykonujemy konstrukcję bezpośrednio według wzoru (2).

II. Jedną z dawno znanych konstrukcji, która pochodzi od Herona z Aleksandrii, ilustruje rysunek 5.

Niech 0x01 graphic
będzie danym okręgiem, 0x01 graphic
. Kreślimy promień OB. Prostopadły do OA. Na odcinku OA jako na średnicy budujemy okrąg. W przecięciu tego okręgu z odcinkiem łączącym jego środek z punktem B otrzymujemy punkt M.

0x01 graphic

rys. 5

Twierdzimy, że 0x01 graphic
. Istotnie, stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy

0x01 graphic
,

stąd

0x01 graphic

III. Znana jest jeszcze inna konstrukcja odcinków 0x01 graphic
, przedstawia ją rysunek 6.

W kole kreślimy dwie prostopadłe średnice AS i BZ. Znajdujemy na okręgu punkty C i K takie, że 0x01 graphic
położone tak jak na rysunku i zakreślamy okrąg 0x01 graphic
. W przecięciu okręgu z odcinkiem OB. Wyznaczamy punkt D. Twierdzimy, że 0x01 graphic
. Istotnie, 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
, zatem 0x01 graphic
.

0x01 graphic

rys. 6

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta COK i otrzymujemy0x01 graphic
.

Stosujemy teraz do trójkąta COD uogólnione twierdzenie Pitagorasa:

0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
, więc

0x01 graphic

W trójkącie AOD przyprostokątna 0x01 graphic
, przyprostokątna 0x01 graphic
, a więc przeciwprostokątna 0x01 graphic
, na mocy zależności 0x01 graphic
.

IV. Wśród nowych konstrukcji boku dziesięciokąta foremnego warto wymienić

konstrukcję M. Webera ze względu na jej prostotę ( rys. 7) .

Na rysunku 7 jest 0x01 graphic
.

0x01 graphic

rys. 7

V. W praktyce w rysunku technicznym często stosuje się konstrukcję pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg opartą na konstrukcji astronoma greckiego Ptolemeusza (rys.8).

0x01 graphic

rys. 8

Prowadzimy w okręgu 0x01 graphic
dwie prostopadłe średnice AS i BZ. Niech K oznacza środek promienia OA, a D punkt przecięcia promienia OS z okręgiem 0x01 graphic
. Wtedy 0x01 graphic
. Istotnie kreśląc z punkty O prostą równoległą do DB otrzymamy w przecięciu tej prostej z KB punkt L. Wtedy 0x01 graphic
.

3.Konstrukcja wielokątów o liczbie boków złożonej.

Euklides skonstruował piętnastokąt foremny wpisany w dany okrąg w następujący sposób ( rys. 9).

Wybrał punkt A na okręgu i zbudował trójkąt foremny ACF oraz pięciokąt foremny ABCDEFG wpisany w ten okrąg.

Ponieważ 0x01 graphic

oraz 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
.

Zatem odcinek 0x01 graphic
jest bokiem piętnastokąta foremnego wpisanego w okrąg. W sposobie tym istotną rzeczą jest sprowadzenie konstrukcji kąta 0x01 graphic
do konstrukcji kątów 0x01 graphic
.

0x01 graphic

rys. 9

Metoda ogólna: Jeżeli liczby m, n są liczbami względem siebie pierwszymi i jeżeli umiemy skonstruować środkami klasycznymi kąty 0x01 graphic
środkowe w danym okręgu, to możemy też skonstruować tymi środkami kąt 0x01 graphic
środkowy w tym okręgu.

Dowód konstruowalności kąta 0x01 graphic
środkowego opiera się na twierdzeniu z teorii liczb:

Jeżeli m i n są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, to można zawsze dobrać takie dwie liczby całkowite p ,q, że mp+nq=1.

Zatem przy naszych założeniach mamy

0x01 graphic
.

Na przykład sposób konstrukcji kąta środkowego w danym okręgu równego 0x01 graphic
kąta pełnego i tym samym 51-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg, znajdziemy w drodze następującego rozumowania: 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

Aby zbudować kąt 0x01 graphic
środkowy w danym okręgu, skonstruujemy siedemnastokąt foremny

i trójkąt foremny wpisany w ten okrąg ( rys. 10).

0x01 graphic

rys. 10

Wówczas

0x01 graphic
,

a odcinek BC jest bokiem 51-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.

Literatura:

  1. Browkin J., „Wybrane zagadnienia algebry”

  2. Bryński M., Włodarski L., „Konstrukcje geometryczne”, Biblioteczka DELTY,

  3. Courant R., Robbins H., „Co to jest matematyka”,

  4. Krygowska Z., „Konstrukcje geometryczne”,

  5. Krygowska Z., „Matematyka elementarna z wyższego stanowiska”,

  6. Krysicki W., Pisarewska H., Świątkowski T., „Z geometrią za pan brat”,

  7. Sierpiński W., „Zasady algebry wyższej”

Opracował: Wojciech Prokopiuk

10



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Pyt na kolokwium z rysunku, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, Rysunek techniczny
pytaniaEgzamin, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, Ergonomia
spektrofotometr-na-nadfiolet, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, Analiza instrumentalna
Wykady w piguce2, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, BPPR (biologiczne podstawy produkcji
zakres materiału, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, CHEMIA
WYKLAD 3, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, Ergonomia
anliza PYTANIA NA EGZAMIN I ZALICZENIE, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, Analiza instru
pyt z analizy zywienie, Technologia żywności UR Kraków, Inżynierskie, Analiza instrumentalna
Rys tech - ściąga, Technologia żywnosci i Żywienie człowieka, 1 semestr, RYSUNEK TECHNICZNY
zadania 1-1, Technologia żywności UR Kraków, Magisterskie - węglowodany i nie tylko ;), enzymologia,
Rys Tech artykuĹ Ä w 1, Technologia żywnosci i Żywienie człowieka, 1 semestr, RYSUNEK TECHNICZNY
Rys tech - Wały i czopy, Technologia żywnosci i Żywienie człowieka, 1 semestr, RYSUNEK TECHNICZNY
Rys tech - Rurociagi i armatura, Technologia żywnosci i Żywienie człowieka, 1 semestr, RYSUNEK TECHN
Pytania jakie miało żywienie na egzaminie u dr Ptaszka ze statystyki, Technologia żywności UR Kraków
Stat pytania, Technologia żywności UR Kraków, Magisterskie - węglowodany i nie tylko ;), statystyka
Rys tech - Rurociagi i armatura, Technologia żywnosci i Żywienie człowieka, 1 semestr, RYSUNEK TECHN

więcej podobnych podstron