31. Przestrzenie liniowe. Liniowa zależność i niezależność układu wektorów. Baza i wymiar przestrzeni liniowej.
Przestrzeń liniowa nad ciałem K to dowolny niepusty zbiór V na którym określone jest działanie dodawania wektorów i mnożenie przez skalar które spełniają aksjomaty dla wszystkich
oraz
:
(przemienność)
(łączność)Istnieje element
(wektor zerowy) taki, że dla wszystkich
mamy
Dla każdego
istnieje
(element przeciwny) taki, że
Istnieje element neutralny mnożenia
Podzbiór S przestrzeni liniowej V nazywa się liniowo zależnym, jeżeli istnieje skończona liczba różnych wektorów
ze zbioru S oraz skalary
nie wszystkie zerowe, takie że
(Zero po prawej stronie oznacza wektor zerowy) Jeżeli takie skalary nie istnieją, to powyższe wektory nazywa się liniowo niezależnymi.
Przykład: Pokażemy, że wektory (1,1),(-3,2) są liniowo niezależne. Z definicji prowadzi to liniowego jednorodnego układu równań. Posiada on rozwiązanie
Ponieważ wyznacznik jest różny od zera, wektory
i
są liniowo niezależne.
Baza przestrzeni liniowej to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych w danej przestrzeni.
Zbiór wektorów B ⊆ V jest bazą, gdy spełnione są następujące warunki:
wektory w B są liniowo niezależne.
zbiór B generuje całą przestrzeń V, tzn. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.
Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończenie wymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.
Przykład: Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w R2. Zauważmy, że wektor (1, 1) można przedstawić jako: (1, 1) = 1·(1, 0) + 1·(0, 1) . Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R2
Wymiar przestrzeni liniowej to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni. Gdy baza przestrzeni jest skończona, to wymiarem jest ilość elementów w tym zbiorze, zaś gdy jest nieskończona, to wymiar jest też nieskończony.
Przykład: Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej
wynosi n.
Magdalena Stefańska
Wyszukiwarka