SPRAWOZDANIE Z WYKONANIA ĆWICZENIA

Bartosz Będzieszak 10.03.2010

2009/2010, Fizyka dr Teresa Biernat

10.03.2010, środa

Ćw. 36, POMIAR LEPKOŚCI CIECZY

Tabele z pomiarami dla metody Stokes'a

Tabela nr 1 - pomiar średnicy kulki

Kulka
Lp.	Średnia [mm]	Średnia [mm]	Średnia [mm]
1.	10,00 mm	15,10 mm	15,95 mm
2.	10,30 mm	15,00 mm	15,90 mm
3.	10,25 mm	15,08 mm	16,04 mm
śr.	10,18 mm	15,06 mm	15,96 mm

Tabela nr 2 - pomiar czasu spadania kulki

Czas spadku kulki między pierścieniami 1 - 2 dla kulki:
Lp.	Mała [mm]		Średnia [mm]	Duża [mm]
1.	2,06 s		1,20 s	1,07 s
2.	2,03 s		1,29 s	1,03 s
3.	2,09 s		1,25 s	1,09 s
Czas spadku kulki między pierścieniami 2 - 3 dla kulki:
1.	2,43 s	1,57 s		1,34 s
2.	2,39 s	1,49 s		1,25 s
3.	2,49 s	1,55 s		1,47 s

Czas spadku kulki między pierścieniami 1 - 3 dla kulki:
Lp.	Mała [mm]	Średnia [mm]	Duża [mm]
1.	4,55 s	2,70 s	2,37 s
2.	4,48 s	2,65 s	2,25 s
3.	4,50 s	2,74 s	2,30 s
śr	4,51 s	2,70 s	2,31 s

Tabele z pomiarami dla metody Poiseuille'a

Tabela nr 3 - pomiar czasu przepływu cieczy przez kapilarę

Lp.	Mała [mm]	Średnia [mm]	Duża [mm]
1.	50,7 s	96,7 s	39,0 s
2.	48,3 s	99,4 s	37,7 s
3.	48,2 s	102,1 s	38,5 s
śr.	49,1 s	99,4 s	38,4 s

Tabela nr 4 - prędkości (średnie) kulek pomiędzy pierścieniami

Ponieważ wyniki pomiarów prędkości uzyskanie z trzech różnych czasów spadanie tej samej kulki pomiędzy poszczególnym pierścieniami były bardzo zbliżone dlatego do obliczeń wykorzystam wartości średnich tych trzech prędkości.

	1 - 2 (mm/s)	2 - 3 (mm/s)	1 - 3 (mm/s)
Mała (Vm)	125 (mm/s)	120 (mm/s)	124 (mm/s)
Średnia (Vś)	207 (mm/s)	189 (mm/s)	207 (mm/s)
Duża (Vd)	243 (mm/s)	216 (mm/s)	242 (mm/s)

Wyniki wykorzystywane w obliczeniach :
V_m = 0,123 cm/s
V_ś = 0,201 cm/s
V_d = 0,233 cm/s

Średnica cylindra : 6,9 cm

Odległości pomiędzy pierścieniami:

1 - 2: 25,8 cm

2 - 3: 29,2 cm

1 - 3: 58,8 cm

Niepewność pomiaru czasu : 0,2s

Niepewność pomiaru średnicy cylindra : 0,001 m

Niepewność pomiaru odległości między cylindrami : 0,001 m

Niepewność pomiaru średnicy kulek : 0,00001

Masy kulek obliczone ze wzoru
gdzie :

ρ - gęstość aluminium

r - promień kulki (wyliczony ze średnicy)

Promień kulki

Małej r = 5,09 mm

Średniej r = 7,53 mm

Dużej r = 7,98 mm

Podstawiając do wzoru obliczamy masy :

kulka mała: m_m = 1,49 g

kulka średnia: m_ś = 4,83 g

kulka duża: m_d = 5,75 g

Objętości kulek obliczamy ze wzoru

V_m = 551,8 mm³
V_ś = 1788,9 mm³

V_d = 2129,6 mm³

WSTĘP TEORETYCZNY

Metoda Stokes'a

Według prawa Stokes'a kulka o promieniu r poruszająca się w cieczy ze stałą prędkością v, doznaje oporu tarcia F_t, które skierowane jest przeciwnie do prędkości v i wyraża się wzorem:

_(1.0)

η - gęstość cieczy, w którym porusza się kulka

r - promień kulki

v - prędkość kulki

Duży wpływ na siły oddziaływania międzycząsteczkowego mają ruchy termiczne cząsteczek. W cieczach ruch termiczny cząsteczek osłabia te siły - gęstość cieczy maleje. W gazach natomiast sytuacja jest zupełnie odwrotna, wraz ze wzrostem temperatury wzrasta współczynnik lepkości, spowodowane jest to zwiększeniem prędkości cząsteczek.

Początkowo kulka porusza się ruchem przyśpieszonym, lecz po pewnym czasie osiąga stałą prędkość - prędkość graniczną. Siła oporu spowodowana lepkością cieczy powoduję, że kulka nie porusza się ze stałym przyśpieszeniem ziemskim. Gdyby nie było siły oporu działałaby na kulkę stała siła mg (m - masa kulki). Siła oporu w cieczy jest proporcjonalna do prędkości i zwiększa się do momentu zrównoważenia z siłą ciążenia, po czym spadająca kulka porusza się ze stałą prędkością - zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona (wypadkowa wszystkich sił działających na kulkę równa się zero).

Dla kulki (poruszającej się w powietrzu) następuje to gdy:

_(1.1)

gdzie, mg jest ciężarem kulki pomniejszonym o siłę wyporu:

_(1.2) (ponieważ kulka porusza się w cieczy),

ρc - gęstość cieczy, w której porusza się kulka

V - objętość kulki

g - stała grawitacji

więc dla kulki poruszającej się w cieczy, wzór wygląda następująco:

_(1.3),

upraszczając wzór otrzymujemy:

_(1.4)

Od tego momentu kulka porusza się w dół ze stałą prędkością v. przekształcając powyższy wzór _(1.4) możemy wyznaczyć współczynnik lepkości:

_(1.5)

Jednakże powyższy wzór ma zastosowanie jedynie dla kuli poruszającej się w ośrodku o nieograniczonej szerokości. W przeprowadzanym przeze mnie ćwiczeniu kulka poruszała się w naczyniu cylindrycznym, którego ścianki spowalniały ruch kulki tyle razy ile wynosi wartość ułamka:
_(1.6), gdzie R - średnica cylindra. Wstawiając ułamek (1.6) do wzoru (1.5) na współczynnik lepkości, otrzymujemy:

_(1.7)

Jednostką lepkości dynamicznej jest pauza (fr. poise) nazwana na cześć francuskiego fizyka Jeana L. M. Poiseuille'a. W układzie miar CSG:

_(1.8)

W układzie SI analogiczną jednostką jest paskalosekunda (Pa·s)

_(1.9)

Metoda Poiseuille'a

Prawo opisujące zależność między strumieniem objętości cieczy, a jej lepkością - która wynika z tarcia wewnętrznego, gradientem ciśnienia - który powoduje przepływ płynu, a także wielkościami opisującymi wielkość naczynia. Dla tej metody korzystamy ze wzoru :

_(2.0)

gdzie:

V - objętość przepływającej cieczy

t - czas przepływu cieczy przez kapilarę

Δp - różnica ciśnienie na końcach przewodu
_(2.1)

l - długość przewodu

η - współczynnik lepkości dynamicznej płynu

r - promień wewnętrzny przewodu

Ale ponieważ ciśnienie hydrostatyczne
_(2.2), podstawiamy tę wartość do równania _(2.0) i otrzymujemy:

_(2.3)

gdzie:

ρ - gęstość przepływającej cieczy

W ćwiczeniu wodę przyjmuję jako ciecz wzorcową - powyższe równanie_(2.3) dla wody będzie wyglądało następująco:

_(2.4)

gdzie:

t_w - czas przepływu wody przez kapilarę

ρ_w - gęstość wody

η_w - współczynnik lepkości wody

Dzieląc oba powyższe równania _(2.3)(2.4) stronami uzyskujemy równanie:

_(2.5)

gdzie:

t - czas przepływu badanej cieczy

t_w - czas przepływu wody przez kapilarę

ρ_w - gęstość wody

ρ - gęstość badanej cieczy

η_w - współczynnik lepkości wody

η - współczynnik lepkości badanej cieczy

PRZEBIEG DOŚWIADCZENIA

Metoda Stokes'a doświadczenie to polegało na obliczeniu współczynnika lepkości cieczy poprzez mierzenie czasu opadania kulek w cieczy - w tym wypadku glicerynie. Do przeprowadzenie doświadczenia był potrzebny cylinder, na którym zaznaczone były 3 pierścienie - punkty pomiaru czasu, kilka kulek (do dyspozycji miałem 3 kulki aluminiowe o nieregularnych kształtach oraz różnych średnicach), stoper przy pomocy którego mierzono czas przelotu kulek między pierścieniami 1-2, 2-3 oraz 1-3. Przelot każdej z kulek pomiędzy poszczególnymi pierścieniami powtórzono kilkakrotnie w celu ustalenia wartości średnich wyników pomiaru. Po zakończeniu ćwiczenia i zanotowaniu otrzymanych wartości - na ich podstawie można wyliczyć średnią
pręd­kość przelotu kulki pomiędzy pierścieniami, oraz objętość kulek - dane te będą potrzebne do obliczeń.

Metoda Poiseuille'a metoda ta polega na pomiarze czasu przelotu cieczy przez naczynie zakończone kapilarą. W doświadczeniu badano przepływ trzech cieczy wody, propanolu i acetonu. Naczynie, na którym zaznaczone były dwie poziome kreski należało napełnić cieczą tak aby jej poziom znajdował się powyżej kreski położonej na górze naczynia, następnym etapem doświadczenia było mierzenie czasu wypływu cieczy z naczynia przez kapilarę. Dla każdej z cieczy doświadczenie powtórzono kilkakrotnie.

OBLICZENIA

Dla metody Stokes'a

Prędkość kulek, obliczamy ze wzoru
_(2.0)

Prędkość kulki między pierścieniami 1 - 2

Mała	Średnia
s = 25,8 cm = 258 mm t = 2,06s / 2,03s / 2,09s V = 125,24 / 127,09 / 123,44 Vśr = 125,26	s = 25,8 = 258 mm t = 1,20s / 1,29s / 1,25s V = 215,00 / 200,00 / 206,40 Vśr = 207,13
Duża
s = 25,8 cm = 258 mm t = 1,07s / 1,03s / 1,09s V = 241,12 / 250,46 / 236,70 Vśr = 242,76

Prędkość kulki między pierścieniami 2 - 3

Mała	Średnia
s = 29,2 cm = 292 mm t = 2,43s / 2,39s / 2,49s V = 120,16 / 122,18 / 117,30 Vśr = 119,88	s = 29,2 cm = 292 mm t = 1,57s / 1,49s / 1,55s V = 185,99 / 195,97 / 188,39 Vśr = 190,12
Duża
s = 29,2 cm = 292 mm t = 1,34s / 1,25s / 1,47s V = 217,91 / 233,60 / 198,64 Vśr = 216,72

Prędkość kulki między pierścieniami 1 - 3

Mała	Średnia
s = 55,0 cm = 550 mm t = 4,55s / 4,58s / 4,50s V = 120,88 / 120,09 / 122,22 Vśr = 121,06	s = 55,0 cm = 550 mm t = 2,70s / 2,65s / 2,74s V = 203,70 / 207,55 / 200,73 Vśr = 203,99
Duża
s = 55,0 cm = 550 mm t = 2,37s / 2,25s / 2,30s V = 232,07 / 244,44 / 239,13 Vśr = 238,55

Masy kulek obliczamy ze wzoru
_(2.1)

ρ - gęstość materiału, z którego wykonana jest kulka

r - promień kulki

Promienie kulek: rm - 5,09mm rś - 7,53mm rd - 7,98mm

Masy kulek obliczone ze wzoru (2.1): mm - 1,49g mś - 4,83g md - 5,74g

Objętość kulek obliczamy ze wzoru
_(2.2)

V_m - 551,85mm³

V_ś - 1788,89mm³

V_d - 2125,92mm³

Otrzymane powyżej wyniki możemy podstawić do wzoru _(1.5) na
współczynnik lepkości dla małej kulki

(zamieniam jednostki)

Wynik w pauzach :

Otrzymane powyżej wyniki możemy podstawić do wzoru _(1.5) na
współczynnik lepkości dla średniej kulki

(zamieniam jednostki)

Wynik w pauzach :

Otrzymane powyżej wyniki możemy podstawić do wzoru _(1.5) na
współczynnik lepkości dla dużej kulki

(zamieniam jednostki)

Wynik w pauzach :

! W powyższych obliczeniach nie został uwzględniony wpływ ścianek naczynia na prędkość spadania kulki

Uwzględnienie poprawki wpływu oddziaływania ścianek cylindra wymaga pomnożenia otrzymanego wyniku przez ułamek (1.6) , który wynosi odpowiednio dla kulki: Małej : ≈ 0,85 Średniej : ≈ 0,72 Dużej : ≈ 0,78

Wyniki otrzymane po uwzględnieniu poprawki prezentują się następująco dla kulki: Małej: ≈ 1,927 · 0,85 ≈ 1,648 = 16,48[P] Średniej: ≈ 1,528 · 0,72 ≈ 1,100 = 11,00[P] Dużej: ≈ 1,335 · 0,78 ≈ 1,041 = 10,41[P]

Średnia lepkość gliceryny otrzymana z powyższych wyników wynosi 12,63P (wynik tablicowy 14,99P).

Dla metody Poiseuille'a

W poniższych obliczeniach przyjąłem gęstość wody w temperaturze 20ºC, oraz średnie wartości czasu przepływu obu cieczy - propanolu i acetony (dane w tabeli nr 3 na stronie 1) przez kapilarę. Wodę przyjmuję jako ciecz wzorcową. Obliczeń dokonuję korzystając ze wzoru _(2.5):

Dla propanolu :

ρ_p - gęstość propanolu - 0,785 g/cm3 = 785 kg/m3 w temp. 20ºC

t_p - czas przepływu (średni) propanolu przez kapilarę - 99,4 s

ρ_w - gęstość wody -0,998 g/cm3 = 998 kg/m3 w temp. 20ºC

t_p - czas przepływu (średni) wody przez kapilarę - 49,1 s

Dla acetonu :

ρ_a - gęstość acetonu -0,792 g/cm3 = 792 kg/m3 w temp. 20ºC

t_a - czas przepływu (średni) acetonu przez kapilarę - 38,4 s.

ρ_w - gęstość wody -0,998 g/cm3 = 998 kg/m3 w temp. 20ºC

t_p - czas przepływu (średni) wody przez kapilarę - 49,1 s.

Procentowo podając względną lepkość (przy założeniu, że woda jest cieczą wzorcową) propanolu wynosi 59%, a względna lepkość acetonu wynosi 62%

OCENA NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ

Dla metody Stokes'a

Do wyznaczenia tej niepewności korzystamy ze wzoru :

_(2.6)

Dla metody Poiseuille'a

Niepewność wyniku obliczam metodą różniczki zupełnej - zakładając, że dane tablicowe nie są obarczone żadnym błędem. Wykorzystujemy do tego postać:

_(2.7)

gdzie:

Δt = Δt_w = 0,2s

Obliczamy niepewność dla propanolu, podstawiając dane do wzoru _(2.7):

, procentowo jest to 0,68%

Obliczamy niepewność dla acetonu, podstawiając dane do wzoru _(2.7):

, procentowo jest to 0,93%

WNIOSKI

Duży wpływ na niepewności pomiarowe w metodzie Stokes'a miał czynnik ludzki, ponieważ przeprowadzenie tego ćwiczenia w pojedynkę było znacznym utrudnieniem w dokonywaniu pomiarów, zwłaszcza w momencie dokonywania pomiaru czasu przelotu kulki między poszczególnym pierścieniami - utrudnieniem było jednoczesne wpuszczanie kulki do roztworu i mierzenie czasu jej przelotu.

Czynnikiem powodującym zafałszowanie wyników pomiarów mogła być też trudność w określeniu położenia spadającej kulki pomiędzy pierścieniami - czynność ta odbywała się „na oko”, także była nie do końca dokładna. Gdyż włączenie i wyłączenie stopera odbywało się w różnych momentach, wpływ na to miał też czas reakcji człowieka - spowodowało to przyjęcie niepewności pomiaru czasu rzędu 0,2s.

Również dokładność pomiaru położenia pierścieni została obarczona pewną niepewnością gdyż nawet dokładność pomiaru co do 1 mm nie była możliwa, ponieważ położenie pierścieni nie było dokładnie równoległe.

Należy również uwzględnić poprawkę wynikającą z oddziaływania ścianek cylindra na kulki.

Wyznaczenie lepkości gliceryny wymagało także określenia jej temperatury - ponieważ jej gęstość jest zależna od jej temperatury. W pomieszczeniu, w którym przeprowadzano doświadczenia temperatura wynosiła około 20ºC. Problemem było także określenie stężenia gliceryny - jednakże w tym wypadku przyjąłem, że jest to czysta gliceryna - dlatego też uważam, że wyniki η=12,63P (wynik podany w tablicach to 14,99P) jest bardzo dobrym osiągnięciem.

W metodzie Poiseuille'a utrudnieniem okazało się określenie położenia cieczy w naczynku - tak samo jak w poprzednim doświadczeniu czynność ta odbywała się „na oko”, również kreski wyznaczające poziom nie były idealnie równoległe - odchył od poziomu mógł wynosić nawet około 1mm.

Czynnikiem wpływającym również na niepewności pomiarowe w tej metodzie była również możliwość mieszana się cieczy w naczynku. Nie wiadomo czy w naczynku znajdował się czysty płyn czy był to roztwór powstały po poprzednim ćwiczeniu. Jednakże ten czynnik miał bardzo mały wpływ na zafałszowanie wyników pomiarów gdyż mogły się mieszać tylko małe ilości płynów.

5

---