1.Wartość bezwzględna.

2.ZB. SKOŃCZONY-gdy liczba n elementów jest skończona

UPORZ. JEDNOJEDNOZNACZNE-na mocy którego każdemu elementowi jednego zbioru odpowiada tylko jeden element drugiego i na odwrót

ZB. JEDNAKOWO LICZNE-dana wartość jednego zbioru jest równa odpowiedniej wartości drugiego

ZB. PRZELICZALNY-między elementami zbiorów można ustalić ujjz.

(0,1)-nieprzeliczalny->ZBIÓR MOCY KONTINUUM

3.ZAS. CIĄGŁOŚCI(zb. l. rzeczywistych wypełnia całkowicie oś liczbową)-jeśli zb. l. rzeczywistych podzielimy na dwie części A i B w taki sposób,że każda liczba należąca do A jest mniejsza od kazdej z B.Zachodzi wówczas: w zb. A istnieje liczba największa lub w zb. B istnieje liczba najmniejsza

ZAS. PRZEDZIAŁÓW ZSTĘPUJĄCYCH CANTORA-Jeśli mamy zbiór przeliczalnych Q przedziałów postaci: <a1,b1>⊃<a2,b2>⊃...<an,bn>⊃..

To istnieje przedział <an,bn>∈Q którego dł.(|an-bn|<ε ε>0) dąży do 0.Wtedy zb. Q ma tylko jeden punkt należący do wszystkich przedziałów Q.

4.L. ZESPOLONA-uporządkowane pary liczb rzeczywistych(a,b)(c,d) dla których zachodzi:

(a,b)=(c,d)a=c b=d , (a,b)+(c,d)=>(a+c,b+d) , (a,b)*(c,d)=>(ac-bd,ad+bc) , (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d) ,

.W zb. l. zespolonych można wydzielić podzbiór o elementach(a,0), dla którego (+),(*) są analogiczne jak w rzeczywistych można ją utożsamić z rzeczywistym a.L.zespolone uogólniają l.rzeczywiste. (0,1)=i jednostka urojona. (a,b)=(a,0) +(0,1)(b,0)=a+ib postać kanoniczna(algebraiczna).INTERPRETACJA GRAFICZNA.Wykorzystując tw. O istnieniu wzajemnej i jednoznacznej odpowiedności między danym punktem płaszczyzny i uporządkowaną parą liczb interpretujemy z=x+iy jako(x,y)

5.POSTAĆ TRYGONOM. Z=r(cos ϕ+i sin ϕ),r=|z| PIERWIASTKI-pierwiastek naturalnego st. n z


Jeżeli
można przedstawić w postaci
=
to Z=R(cosϕ+i sinϕ) jest pierwiastkiem n-stopnia z liczby

i
ϕ
k∈Z ,
modół,

kąt

6.WZÓR

Jeżeli
to

gdy n=2 to k=0,k=1.

7.CIĄG LICZBOWY-przyporządkowanie każdej liczbie nat. Jakąś l.reczywistą

DEF.GRANICY CIĄGU-liczba a jest granicą ciągu nieskończonego
jeżeli dla każdego ε>0 istnieje taka liczba Nże dla wszystkich n>N zachodzi |
-a|<ε a-ε<
<a+ε przykład:
przyjmujemy a=1 ε =>n> N=E( ) [lim
=a]

8.TW. O CIĄGACH MAJĄCYCH GRANICĘ

ciąg nie może jednocześnie dążyć do dwóch różnych granic.

jeśli ciąg ma granicę to jest on ograniczony(granicę można zamknąć między najmniejszym lub/i największym wyrazem.Nie każdy ciąg ograniczony ma granicę

jeśli ciąg jest zbieżny do granicy a,a>p(a<q) to wszystkie jego wyrazy począwszy od pewnego wyrazu są większe od p(mniejsze od q).Łącząc wyrazy ogólne ciągów znakiem równości lub nierówności rozumiemy że chodzi o odpowiednie wyrazy.

jeżeli ciągi są równe i każdy ma granicę skończoną równą a i b to a=b

jeżeli dla

i lim
=a i lim
=b to
.Dla
>
na ogół nie wynika a>b

9.TW.O TRZECH CIĄGACH

i lim
=lim
=lim
to lim
=a

dow. ∀ ε>0 ∃
∀n>N:|
-a|<ε , ∀ ε>0 ∃
∀n>N:|
-a|<ε ,N=max(
)

a-ε<
<a+ε a-ε
a+ε

10.CIĄGI ZBIERZNE DO 0

-Suma dowolnej skończonej liczby ciągów zbieżnych do 0 jest ciągiem zbieżnym do0.
∀ε>0 ∃
∀n>
:|
|<
.
,∀ε>0 ∃
∀n>
:|
|<
.
,∀ε>0 ∃
∀n>
:|
|<
,N=max(
),
+
-
=
,|
|=|
+
-
|
<ε

-jeśli {
} jest ograniczony a {α}->0 to
*α
będzie także zbieżny do 0

11.DZIAŁANIA NA CIĄGACH

to lim(


)
a
b,lim(
*
)
a*b,lim(
)

12.GRANICE NIESKOŃCZONE

Ciąg ma granicę
∞ jeżeli począwszy od pewnego miejsca wyrazy tego ciągu pozostają większe (mniejsze) od dowolnie dużej M>0(-M),∀M>0 ∃N ∀n>N :
>M(
<-M).Przykład:
=
|
|>1

lim
=lim
=∞

13.CIĄGI MONOTONICZNE

Ciąg jest rosnący (niemalejący) jeżeli
,
to
.Ciąg jest malejący(nierosnący) jeżeli
,
to
.Tw. niech dany ciąg jest rosnący.Jeśli jest on ograniczony z góry
-to ma on granicę skończoną, w przeciwnym razie
.Tak samo ciągi malejące.

14.CIĄGI CZĘŚCIOWE I PUNKTY SKUPIENIA

Tw. Jeżeli ciąg ma granicę =a to jego podciąg ma tę samą granicę(nie działa w drugą stronę).Jeśli nie ma granicy to nie wyklucza to istnienia granicy częściowej-punktu skupienia ciągu częściowego.

Gdy ciąg jest nieograniczony to można z niego wybrać podciąg dążący do ∞-można znaleźć punkt skupienia.LEMAT Bolzano-Welestrass...: gdy ciąg jest ograniczony to można z niego zawsze wybrać podciąg zbieżny do granicy skończonej

15.ZASADA ZBIEŻNOŚCI

Ciąg ma granicę skończoną gdy ∀ε>0 ∃N ∀n>N i ∀p∈N:(
)<ε .Istotne jest by wyrazy ciągu zbliżły się nieograniczenie między sobą w miarę wzrastania indeksów.

16.WYRAŻENIA NIEOZNACZONE

17.F. JEDNEJ ZMIENNEJ

Jeżeli każdej l.rzeczywistej x przyporządkujemy liczbę y=f(x) to okreslona jest funkcja f na zbiorze l.rzeczywistych.Nie każda funkcja określona jest na całym zb l.rzeczywistych

18.DEF GRANIC FUNKCJI

Punkt skupienia a- gdy w każdym otoczeniu sązawarte różne od a wart.Niech dla X,gdzie a jest p.s. będzie określona f. f(x).DEF. Cauch'ego w języku εδ:F.f(x) ma granicę A przy x
a gdy dla każdej ε>0 znajdzie się taka δ>0 że |f(x)-A|<ε jeśli tylko |x-a|<δ.∀ε>0 ∃δ>0:|f(x)-A|<ε jeśli tylko |x-a|<δ.Def.F.f(x)

∞ w punkcie a,gdy dla każdej M>0 znajduje się taka δ>0,że f(x)>M (f(x)<-M) jeśli tylko zachodzi |x-a|<δ ∀M>0 ∃δ>0:f(x)>M (f(x)<-M) jeśli tylko |x-a|<δ.F.f(x)
A,x
+∞ (-∞)jeśli dla dowolnej ε>0 istnieje Δ>0 taka że (f(x)-A)<ε,x>Δ(x<-Δ). ∀ε>0 ∃Δ>0:|f(x)-A|<ε,x>Δ. F.f(x) musi być dowolnie bliska swojej granicy gdy zmienna x zmierza do swojej granicy. Niech zb. X ma p.s. a,wówczas ze zb. X na nieskończenie wiele sposobów wybieramy ciąg dążący do tej samej granicy a.DEF.Heinego w języku ciągów:F.f(x) ma granicę A jeśli dowolnemu ciągowi
o granicy a odpowiada ciąg
o granicy A.

19.DZIAŁANIA NA GRANICACH F.

Niech w X będą określone f(x) i g(x) i niech dla p.s. a,przy x
a obie mają skończone granice: lim f(x)=A i lim g(x)=B.lim[f(x)
g(x)]
A
B , lim[f(x)*g(x)]
A*B , lim[
]

g(x)≠0 i B≠0

20.PRAWO-I LEWOSTRONNE GRANICE

Def :liczbe A nazywamy prawostronna(lewostr.)granica funkji f(x)->a jeśli dla każdego
istnieje taka
, że

, jeśli tylko
(prawosronna) ,

Def: liczbe A nazywamy parawo/lewosronna granica funkcji f(x) w punkcie (a), jeśli dowolnemu ciagowi dazocemu do
(
) odpowiada ciag majacy granice A

f(x)=A prawostr. A=f(a+0)

f(x)=A lewosrt. A=f(a-0)

Tw: jezeli funkcja f(x) ma prawostronna granice f(a+0) w punkcie (a) i lewostr.gr. f(a-0)w tym samym punkcie , przyczym f(a+0)=f(a-0) to f(x) ma granice w (a), która jest A

Tw (kryterium Causchy'ego): na to by funkcja f(x) miała skończona granice przy x->a potrzeba i wystarczy by dla każdej
isniala
aby nierówność
była spelniona jeżeli tylko
i

22.CIĄGŁOŚC FUNKCJI

Tw:funkcja f(x) monotonicznie rosnaca (malejaca) może mieć w przedziale X, conajwyzej nieciągłości pierwszego rodzaju czyli skoki(poslugujac się tym tw można udowodnic natepne tw)

Tw: jeśli wartosc funkcji f(x) monotonicznie rosnacej (malejacej) w obszarzeX , sa zawarte w przedziale Y i wypeilniaja go calkowicie , tak ze kazda wartość
jest przybieralna przez funkcje co najmniej jeden raz , to funkcja jest ciagla w obszarze X i odwrotnie jeżeli monotoniczna f(x) jest ciagla w obszarze X to jej wartosci wypelniaja calkowicie pewien obszar Y

25.FUNKCJA ODWROTNA

Tw: niech funkcja y=f(x) jest okreslona mnotoniczna i ciagla w pewnym przedziale <a,b> i niech
wówczas w przedziale <c,d> istnieje jednoznaczna odwrotna funkcja , która takrze jest monotoniczna i ciagla.

26.POCHODNE i ROZNICZKI

Def: niech będzie dana funkcja y=f(x) okreslona w X . wychodzac od pewnej wartosci
nadamy jej przyrost
nie wychodzac poza przedzial X, wtedy wartosc funkcji y
=f(x
)zmienia się o przyrost

Def: jeżeli granica stosunku
istniej i jest skonczona i nie zalezy od sposobu dazenia
, to ona nazywa się pochodna funkcji y=f(x) względem zmiennej niezależnej x w punkcie

Tw: jeśli funkcja y=f(x) jest okreslona w obszarze X i ma w punkcie
pochodna to f(x) jest ciagla w tym punkcie

27.POCHODNA F. ODWROTNEJ

Tw:niech funkcja y=f(x) spełnia zalozenia tw.o funkcji odwrotnej i po drugie w punkcie
ma skonczona i rożną od 0 pochodną f'(x) wówczas w odpowiednim punkcie
istnieje pochodna funkcji odwrotnej

29.REGUŁY OBLICZANIA POCH.

Tw1:niech funkcja
ma pochodna w
wtedy funkcja y=c*u ma tez pochodna w tym punkcie y'=(c*u)'=c*u'. To znaczy ze czynnik stały można wylaczyc przed znak pochodnej

Tw2:niech funkcja
i
maja w okreslonym punkcie
pochodne u' i v' wtedy funkcja
ma również pochodną w tym punckie przyczym

Tw3:przy tych samych założeniach co do funkcji u i v iloczyn ma poczhodna y'=(uv)'=u'v+uv'

Tw4:

Tw5funkcjazlozona:

30.POCHODZNE NIESKONCZONE I JEDNOSTRONNE

Jeśli stosunek przyrostu
przy
dazacych do 0 dazy do
to te liczbe niewlasciwa nazywamy pochodna i oznaczamy

Niech y=f(x) jest określone w X i niech punkt
będzie jednym z końców przedziału.Przy obliczanu stosunku
musimy poprzestać na dążeniu
tylko z prawej strony gdy mowa o lewym końcu
=prwostr. F'(x₀+0)

31.POJECIE ROZNICZKI

Niech f(x) określ. w X i ciągła w x₀,przyrostowi Δx arg odp. przyrost Δy funkcji

DEF:funkcja y=f(x) nazywa się różniczkowalną(dla danej wartosci
) jeśli jest spełniona rownosc
gdziea jest stala i nie zalezy od
, a granica
, jeśli A nie jest rowna 0 to oznacza to , że nieskonczenie male A*
jest rownowazne z nieskonczenie mala
, wiec jest czescia glowna tej ostaniej

Cechy rozniczki:

1)jest funkcja liniowa jednorodna przyrostu

2)rozni się od przyrostu funkcji
o wielkosc , która przy

jestnieskonczenie mala rzedu wyzsszego niz

Tw: na to żeby funkcja y=f(x) była rozniczkowalna w punkcie
potreba i wystarcza by miala ona w tym punkcie pochodna skonczona

ostateczny wzor na rozniczke funkcji

32.POCHODNE RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZEDOW

Jeśli funkcja y=f(x) ma pochodna skonczona
w przedziale X tak ze ta ostatnia sama jest znowu funkcja x, to może się zdarzyc, że ta funkcja ma takze w pewnym punkcie X pochodna skonczona (lub nieskoń) Pochodna ta nazywa się pochodna rzedu drugiego.3.n-tego

33.TW.1. BOLZANO-CAUCH'EGO

Tw: niech funkcja f(x) będzie okreslona i ciagla w przediale domknietym <a,b> i niech na koncach tego przdzialu przybiera wartosci o roznych znakach, wówczas pomiedzy ai b znajdzie się c w którym f(c)=0

Dow.Podzielmy <a,b> na pół punktem c=(a+b)/2 jeśli f(c)=0 tw. zostało udowodnione jeśli nie f(x) będzie zmieniać znak na końcach jednego z przedziałów ...Albo natkniemy się na f(c)=0 albo otrzymamy nieskończony ciąg przedziałów jeden w drugim z zasady przed. Zstepujących C. Steierdzamy że istnieje taki punkt c,że lim an=c, lim bn=c. f(a)<0,f(b)>0 wszystkie f(a) są ujemne a lim an niedodatni,wszystkie f(b) są dodatnie a lim bn nieujemne lim f(c)=0.

34. TW.2. BOLZANO-CAUCH'EGO

Tw:niech funkcja y=f(x) będzie okreslona i ciagla w pewnym przedzialeX (domknietym lub nie,skonczonym lub nieskoń). Jeśli w dwoch punktach x=a i x=b a<b funkcja przybierac rozne wartosci f(a)=A f(b)=B a jakakolwiek jest liczba (C) lezy A<C<B znajdzie się taki punkt c lezacy a<c<b ze f(c)=C

Dow.Niech A<B i A<C<B rozpatrzmy w <a,b> funkcję pom.δ(x) ciągłą i przybierającą na końcach przedziału różne znaki a<c<b δ(c)=0 δ(c)=f(c)-C=0=>f(c)=C

35.TW. WEIRSTRASSA

Tw1:jeseli funkcja f(x) jest okreslona i ciagla w przedziale <a,b>to jest ona ograniczona ,tzn,. isnieje takie stale m,M ze f(x) zawwiera się

Lemat : niech funkcja f(x) ma w punkcie
pochodna skonczona. Jeśli ta pochodna f'(
) jest wieksa od 0 (lub mniejsza) to dla wartosci x dostatecznie bliskiej
ma prawo od
będzie f(x)>f(
)(lub minejsze), a dla wartosci x dostatecznie blisko
na lewo od
będzie f(x)<f(
)(i wicewer.)

Tw.2Jeżeli f(x) jest określona i ciągła w <a,b> to osiąga tam kres górny i dolny.

36.TW FERMAT'A :

niech f(x) okreslona w X osiaga w punkcie wewnetrznym (c) najwieksza (najmniejsza) wartosc. jeśli istnieje w tym punkcie pochodna skonczona f'(x) to musi być f'(c)=0

dow.niech f(x) ma w tym przedziale max. Przypuszczenie,że f'(x)<>0 prowadzi do sprzecz

37.TW ROLE'A:

niech popierwsze f(x) będzie okresona i ciagla w przedziale domknietym <a,b>, po drugie istnieje pochodna skonczona f'(x) przynajmniej w przedziale otwartym (a,b) po trzecie na koncach przedzialow funkcje przyjmuja równe wartosci f(a)=f(b). Wówczas miedzy a i b znajdzie się c (a<c<b) ze pochodna f'(c)=0

38.TW LAGRANGE'A:

Jeżeli f(x) jest określona i ciągła w <a,b> i istnieje poch. Skończona conajmniej w (a,b) wtedy istnieje punkt a<c<b

Wnioski:

1.jeśli f(x) jest stała w (a,b) to f'(x)=0 xε(a,b) i vice

2.jeśli f'(x)>0 w każdym punkcie (a,b) to f. rosnąca.

3......malejaca

39.OBLICZANIE NIEOZ. DELOPITALEM

Tw1 (0/0) - Niech f.f(x) i g(x) będą określ. w przedz. (a,b>. Po drugie f(x)→0, g(x)→0, dla x→a. Po trzecie w przedz. (a,b> istnieją poch. skończ. f'(x) i g'(x) przy czym g'(x)0. Po czwarte istnieje granica (skończ. lub nieskończ.)

40.WZÓR TAYLORA

Jeżeli f(x) ma ciągłe pochodne do rzędu (n-1) włącznie, w przedziale domkniętym o końcach x0 i x oraz ma poch. rzędu (n) wew. Tego przedziału, to istnieje taki punkt c, że

f(x) = f(x₀) +(f'(x₀)/1!)(x-x₀)+...+ (f⁽ⁿ⁾ (c)/n!) (x-x₀)ⁿ+o(x-x₀)ⁿ (wzór Taylora z resztą w postaci Peano) Δf(x₀)=(1/1!)df(x₀)+(1/2!)d²f(x₀)+(1/3!) d³f(x₀)+...+ (1/n!) dⁿf(x₀)+ o(Δx)ⁿ Postać różniczkowa Taylora.

41.BADANIE FUNKCJI

f(x) ma w x0 max.(min.) jeśli istnieje takie otoczenie (x0-δ,x0+δ) że dla wszystkich x tego otoczenia: f(x)<=f(x0)(=>)jeśli są to ostre nierówności to jest to ekstremum właściwe

PUNKT STACJON. Poch.=0(war. Konieczny)

PUNKT KRYTYCZ.poch nie istnieje lub ±∞

Oba są podejrzane o ekstremum.

1.Jeśli poch. zmienia znak przech przez p.s /p.k.

2.2 poch.>0 max.=0 brak rozwiązań

42.WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ

Niech f(x) ma w (a,b) ciągłą 2 poch.Warunkiem wystarczającym do istnienia wypukłości jest f''(x)<0,wklęsłościf''(x)>0

PUNKT PRZEGIĘCIA-jeżeli krzywa na której leży ten punkt w pewnym lewostronnym otoczeniu jest wypukła a w prawostronnym wklęsła to f''(x)=0

Asymptoty:pozioma y=limf(x)=b,ukośna y=ax+b

lim f(x)/x=a , lim(f(x)-ax)=b

43. MACIERZE I WYZNACZNIKI

|a11 a12| det =a11*a21-a12*a22

|a21 a22|

1.przestawienie kol i wier nie zmienia wyznacz

2.jeśli dany wier pomnożyć a to a*det

3.jeśli pewien wier.=0 to det=0

4.jeśli do elementu pewnego wiersza dodamy element innego pomnożony prez a to det=const

5.jeśli elementy pewnego wier są proporcjonalne do elementów innego to det=0

6.przestawienie 2 wierszy to det=(-1)det

44.MINOR DOPEŁNIENIA

DEF. - Minorem wyznacznika przynależnym do elem. a_ik nazywamy ten podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z macierzy danego wyznacznika wiersz oraz kolumnę na przecięciu którym znajduje się ten element. Np.

| 1 0 3 | |5,8|

| 5 7 8| minor |9,0|

| 9 4 0|

DEF. - Dopełnieniem algebraicznym A_ik elem. a_ik nazywamy iloczyn minoru tego wyznacznika przynależnego do elem. a_ik oraz czynnika (-1)^i+k ; Np.A_ik=(-1)¹⁺²| 2 3|

|-1 1| =

Np.| 1 0 1 |

| 2 2 3|=-(2+3)=-5

|-1 1 1|

Dopełnienie algebraiczne

Tw. Laplace`a - Wyznacznik jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienie algebraiczne, czyli det A=

45.DZIAŁANIA NA MACIERZACH..

A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C a1(a2A)=a1a2A a(A+B)=aA+Ab a(AB)=aAB (AB)C=A(BC) AB≠BA(mnożenie tylko A[]mp B[]pn)

Rzędem mac. A nazywamy najwazszy stopień różnych od 0 wyznaczników tej mac. R(A). Rząd mac. A=[aik]mxn spełnia zależność 0<R(A)<min(m,n). Jeżeli mac. jest zerowa to rząd też. Mac. ulega zmianie gdy: 1) przy * wiersz lub kolumny przez liczbę różną od 0; 2) przy przestawieniu wiersz lub kol.; 3) przy dodaniu do wier. lub kol. mac. kombinacji liniowych pozostałych wier. lub kol.

Mac. dołącz. mac. kwadrat. A=[aik] nazywamy mac. A^D=[Aki]. Mac. kwadrat. A nazywamy nieosobliwą gdy jej wyznacznik detA0 Mac. odwrotną mac. nieosobliwej nazywamy mac. A^-1, taką że A*A^-1=A^-1*A=E

47.CAŁKA NIEOZNACZONA

Def - f. F(x) nazywa się f. pierw. f.f(x) jeśli w przedz. w którym istnieje f.f(x) jest poch. f.F(x) lub wyr. f(x)dx jest róźnicz. f F(x). Znaleźienie wszystkich f. pierw. danej f. nazywamy całk. Tw - jeśli w pewnym przedz. X F(x) jest f. pierw. f. f(x), to f. F(x)+C jest również f.f(x) i kazda f.pierw. f.f(x) w przedz. X może być przedst. w tej postaci. Z twierdz. wynika że wystarczy znaleźć tylko 1 f. pierw. F(x) danej f.f(x) aby znać wszystkie inne f. pierw. rożnią się one od sibie o stałą C. Wyr. F(x)+C jest ogólną postać. f. która ma poch f(x). Wyraż. to nazyw. się całk nieoznacz f. f(x).

48.CAŁKOWANIE

Podst. - Jeżeli  g(t)gt=G(t)+C to całk.  (g())*'(x)dx=G((x))+C; d/dxG((x))=G((x))* (x)= G'(t)* '(x) =g(t)* '(x). Obliczyć  f(x)dx, w większości udaje się wybrać jako nową zmienną taką f. f=g(x) żeby wyraż podcałk. mogłobyć w postaci: f(t)dt=f((x))* '(x)dx

Część. - Niech u=f(x) i v=g(x) będą f. x mającymi ciągłe poch. u'=f'(x) i v'=g'(x) wówczas na mocy reguł różniczk. poch. (uv)'=u'v+uv';d(uv)= (u'v+uv')dx=vdu+udv. F. pierw. wyraż. d(uv) będzie f. uv;  d(uv)=  vdu+  udv; uv=  vdu+  udv;  udv=uv-  vdu;

49.CAŁKA OZNACZONA

Niech w przedz. <a,b> będzie dana f. ciągła f(x) przyjmu. tylko wart. dodat. Oblicz. pole trapezu ABCD. Podziel podst. AB w dowolny sposób na mniejsze odcinki i poprowdzmy przez punkty podziału odcinki pionowe. Każdy rozcięty pasek jest teraz w przybliżen. prostokątem o tej samej podst. co dany pasek i o h równej jednej rzędnych wykresu w pasku. Np. skrajnej z lewej strony. Fig. krzywoliniową zastąpiamy fig. schodkową składając. się z prostokąt. H prostokąt. jest wart.f. w p. xi; yi xi=f(xi)* xiSumując pola prostokąt.
Przy nieograniczonym pomniejszaniu się wszystkich xi, błąd w tej równości zmierza do 0.

50.SUMY DARBOU

Oznaczmy przez mi i Mi kresy dolne i górne f.f(x) w i-tym przedz. <x;xi+1> i utwórzmy



sumy te nosza nazwę dolnej i górnej sumy Drboux : mi xi<f( i ) xi<Mi xi; s<σ<S. Sumy s i S są wielokrotnymi liczbami dla ustalonego podziału odcinka a,b. Natomist stała całkowa σ jest zmienna bo zależy od wyboru p.  i ; przez wybór tego p. można otrzymać wart. f( i ) dowolnie małą różniącą się od mi lub od Mi. Włas - I. jeśli do zadanych p. podziału dodamy nowe p. to spowoduje to zwiększ. się dolnych sum Darboux i zmniej. się górnych II. każda dolna suma Darbx. jest nie większa niż kazda suma głóna, nawet wtedy gdy sumy odpowiadają różnym przedz. danego przedz. Zbiór wszystkich sum dolnych {s} jest ograniczony z góry przez dowol. sumę gór. Darbx. Tw - na to by istniała całka oznaczona potrzeba i wystarcza żeby I_*=I* (dolna i górna całka Darbx.) Na to by -\\- żeby zachodziła graniczna równość

51.KLASY F. CAŁKOWYCH

1) jeśli f(x) jest całk. w <a,b> to w tym przedz. również. istnieje |f(x)| i kf(x)
2) jeżeli dwie f. f(x) i g(x) są całk. w <a,b> to suma, różnica i iloczyn tych f. są także calk. 3)jeśli f(x) jest całk. w <a,b> to jest ona również całk. w dowol. przedz. <,> tego przedz. i na odwrót jeśli przedz. <a,b> można rozbić na mniejsze podprzedz. tak że w każdej f. f(x) jest całk. to jest ona również całk. w całym <a,b> 4) jeśli zmniejszymy wart. f. całk. wskończ. liczbie przedz. to otrzymana w ten sposób nowa f. będzie nadal całk.

52.WŁASNOŚCI C. OZNACZO.

1) każda f.f(x) w <a,b> jest jednostajnie ciągła i wtedy do każdej liczby epsil.>0 można dodać takie δ>0 że jeżeli tylko przedz. <a,b> jest rozbity na skłdniki o dł. xi<δ to wszystkie oscylacyjne i =Mi -µi spełniają nierów. i <epsil.
2) każda f.f(x) ogranicz. w <a,b> i mająca tylko skończoną liczbę pkt. nieciąglości jest całk. 3) F. nieskończ. i ogr. jest całk. Wart. f. całk. 1) jeśli f.f(x) jest całk. w <b,a> to jest też całk. w <a,b> przy czym
2) zakładamy że f.f(x) jest całk. w największym z przedz. <a,b>, <a,c>, <c,b> wtedy jest ona całk. w 2 pozostałych przedz. i przy dowol. wzajemnym położeniu pkt. a,b,c zachodzi równość
3) jeśli f.f(x) jest całk. w <a,b> to również fk*f(x) jest calk. w tym przedz. przy czym
4) jeśli f(x) i g(x) są całk. w <a,b> to również f*f(x)+g(x) są całk. w tym przedz. przy czym przy czym
5) jeśli f.f(x) jest całk. w <a,b> i g(x)>0, a<b to
6) jeśli g(x) to
7) jeśli f(x) i g(x) są całk. w <a,b> i zawsze f(x)<g(x) to


8) niech f(x) będzie całk. i a<b wtedy

9) jeśli f.f(x) jest całk. w <a,b>, a<b i jeśli w całym tym przedz. f jest ogranicz. m<f(x)<dt to

53.WART. ŚREDNIA

jeśli f.f(x) jest całk. w przedz. <a,b> to na mocy 3-ej właść. f. całk. jest całk. rónież ww przedz. <a,x>; x - dowol. liczba z <a,b>. Zastępując w całce oznacz. granicy b przez zmienną x otrzymujemy
1) Jeśli f.f(x) jest całk. w <a,b> to f. (x) jest f. ciągłą zmiennej x w tym przedz. 2) jeśli f.f(x) jest ciągła w pkt. <a,b> to w tym pkt. f. (x) ma poch. równą f(x)

54.WZÓR NEWTONA-LEIBNIZA

Jeżeli f.f(x) jest poch. to istnieje jej poch. dla f. ciągłej w <a,b> zawsze istnieje f. pierw. Przykładem takiej f. pierw. Jeśli F(x) jest dowol. f. pierw. różniącą się od sibie stałym składnikiem
stałą C znajdujemy łatwo podstawiając w tej równości x=a



Zatem wart. całk. oznaczonej jest równa róznicy 2 wart. w pkt. x=b i x=a dowol. f. pierw.

55.CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

Poj. - Niech f.f(x) okreś. przedz. <a; µ). Niech ta f. będzie całk. w każdej skończ. cześci tego przedz. Granice tej całki dla A→µ nazyw. całk. f.f(x) w granicach od a do µ i oznaczamy
. W przyp. gdy ta granica jest skończ. całk. I jest zbieżna, a f.f(x) jest całk. w przedz. nieskończ. <a; µ), natomiast gdy granica I jest skończ. lub nieistnieje to całka jest rozbieżna. W odróżn. od zbadanej całk. właść. zwykłej całkę I nazywamy niewłaściwą.

56.DŁ. ŁUKU KRZYWEJ

Def - długość krzywej AB nazywa się kres górny l zbioru długośći ł wszystkich łamanych wpisanych w krzywą l=sub{ł}. Jeśli l jest skończone to krzywa AB ma długość i nazywa się ??????????

Tw - jeśli x=(t y(t) mają ciągłe poch. W <alfa, beta> to krzywa AB jest ?????? i jej dł. l równa się

57.POLE FIGUR PŁASKICH

Rozpatrzmy na płaszczyźnie dowolną figurę (P), która jest obszarem ogranicz. i domk. Będziemy zawsze przyjmowali, że jej brzeg czyli kontur (K) jest krzywą zamkniętą. Weźmy teraz pod uwagę wszystkie możliwe wielokąty całkowicie zawarte w figurze P. i wielokąty B zawierające w sobie figurę P. Jeśli przez A i B nazwano pole figur to A < B. Zbiór liczb A jest ograniczony z góry liczbą B i dlatego na kres górny P_*=sub{A} i P^* =inf{B}, P_*<P^*

Def - jeśli kresy P_*<P^* to ich wspólna wartość P_*<P^* =P nazywa się polem figury (P), w tym przypadku figura nazywa się mierzalną. Przede wszystkim można udowodnić, że pole zerowe ma każde krzywą ciągłą, która ma również nie uwikłane w postaci y=f(x) x∈<a,b> lub krzywa może być podana x=g(y). Z tego wynika, jeśli figura jest ograniczona krzywą o równi y=f(x) = x=g(u) to ta figura jest mierzalna. Można udowodnić, że jeśli figura (P) jest ograniczona krzywą prostopadłą to figura ta jest mierzalna.

---