1. Czesław konsumuje antonówki i banany. Jego funkcję użyteczności określa funkcja
. Cena antonówek wynosi 1 dol., cena bananów 2 dol., a tygodniowy dochód Czesława 30 dol. Jeśli cena bananów spadnie do 1 dol. to:

a) Czesław zgłosi mniejszy popyt na antonówki i większy na banany.

b) efekt substytucyjny spadku ceny bananów redukuje jego konsumpcję antonówek, ale efekt dochodowy zwiększa konsumpcję antonówek o tę samą wielkość.

c) efekt substytucyjny spadku ceny bananów redukuje jego konsumpcje bananów, ale efekt dochodowy zwiększa konsumpcje bananów o tę samą wielkość.

d) dochód używany do obliczenia efektu substytucyjnego jest wyższy niż jego oryginalny dochód, ponieważ zmiana ceny poprawia sytuację Czesława.

e) więcej niż jedno stwierdzenie jest prawdziwe.

Początkowy koszyk popytu Czesława możemy wyznaczyć rozwiązując układ równań złożony z równania ograniczenia budżetowego i warunku styczności:

Rozwiązawszy powyższy układ równań, otrzymujemy x_A* = 10; x_B* = 10.

Aby wyznaczyć efekt substytucyjny spadku ceny bananów; musimy znaleźć równanie linii budżetu przechodzącej przez początkowy koszyk popytu, (x_A, x_B) = (10, 10), przy nowych cenach; p_A = 1, p_B' = 1. Wartość koszyka (10, 10) przy tych cenach wynosi 20 i taka powinna być wysokość dochodu, aby konsumenta po zmianie cen było stać dokładnie na początkowy koszyk popytu. Musimy zatem rozwiązać teraz następujący układ równań:

Rozwiązanie tego układu równań stanowi koszyk
Efekt substytucyjny wynosi zatem:
.

Ostateczny popyt na antonówki i banany możemy wyznaczyć rozwiązując układ równań złożony z ostatecznego równania ograniczenia budżetowego i warunku styczności:

Rozwiązaniem tego układu równań jest x_A' = 10; x_B' = 20, zatem efekt dochodowy wynosi
.

2. Tewie Mleczarz posiada farmę mleczną. Jego preferencje względem mleka, x, i pozostałych dóbr, y, wyraża funkcja użyteczności postaci: U(x, y) = x(y + 1). Wyposażenie początkowe Tewiego stanowi 10 jednostek mleka dziennie i zero jednostek pozostałych dóbr. Jeżeli cena mleka wynosi 1/2, cena pozostałych dóbr równa jest 1, ile wynosi jego popyt netto na mleko?

1. −4;

2. 10;

3. 6;

4. −7,5;

5. 2,5.

Koszyk popytu Tewiego możemy znaleźć rozwiązując układ równań złożony z równania ograniczenia budżetowego i warunku styczności:

Rozwiązanie tego układu równań stanowi koszyk x* = 6; y* = 2. Ponieważ popyt netto to różnica pomiędzy popytem brutto a zasobem początkowym, zatem popyt netto na mleko wynosi
.

3. Krzysztof posiada funkcję użyteczności postaci U(c₁, c₂) = min{c₁, c₂}, gdzie c₁ oznacza konsumpcję w okresie 1, a c₂ konsumpcje w okresie 2. Krzysztof zarobi 200 dol. w okresie 1 i spodziewa się zarobić 220 dol. w okresie 2. Może oszczędzać i pożyczać pieniądze z banku po stopie procentowej 10% (inflacja jest zerowa). Konsumpcja w okresie 1 będzie równa:

a) więcej niż 200 dol., ale mniej niż 220 dol.;

b) dokładnie 200 dol.;

c) więcej niż 200 dol.;

d) dokładnie 180 dol.;

e) więcej niż 180 dol., ale mniej niż 200 dol.

Ponieważ konsumpcja bieżąca i konsumpcja przyszła są doskonale komplementarne, zatem optymalną strukturę konsumpcji można wyznaczyć rozwiązując układ równań złożony z równania ograniczenia budżetowego oraz z równania optymalnej proporcji konsumpcji, czyli c₁ = c₂. Równanie ograniczenia budżetowego w kategoriach wartości przyszłej ma postać
. Podstawiając za c₂ do równania ograniczenia budżetowego c₁, otrzymujemy 2,1c₁ = 440, czyli optymalna konsumpcja w okresie bieżącym wynosi
, zaś
.

4. Obrazy Vincenta van Dogha nie są obecnie w cenie u koneserów sztuki. Prawdę mówiąc, żaden z nich nie jest skłonny zapłacić ani centa za działa van Dogha. Jednak, co wiemy z całą pewnością, za 5 lat obrazy van Dogha zaczną się cieszyć olbrzymią popularnością. Kolekcjonerzy sztuki będą zawsze skłonni płacić 1 000 dol. tylko za to, aby obraz van Dogha wisiał przez rok na ścianie ich galerii. Jeżeli dowiedzą się o tym również inwestorzy, a stopa procentowa będzie stałą na poziomie r, wartość obrazu van Dogha wzrośnie do:

a)
dol.;

b)
dol.;

c) 1000 (1 + r)⁵ dol.;

d)
dol.;

e)
dol.

Zadanie to rozwiążemy w dwóch etapach: najpierw zastanówmy się ile za cztery lata będzie wart obraz przynoszący co roku dochód w wysokości 1 000 dol., jeżeli stopa procentowa wynosi r; oczywiście tyle samo, ile depozyt bankowy przynoszący co roku 1 000 dol. przy stopie procentowej r, czyli
dol. Następnie, ponieważ 1 dol. otrzymany za 4 lata jest warty obecnie
dol., zatem obraz, który za 4 lata będzie warty
dol. musi dzisiaj kosztować
dol.

5. Wartość obecnego majątku Harvey'a wynosi 600 dol., ale z prawdopodobieństwem 0,25 może on stracić 100 dol. Harvey jest obojętny (neutralny) względem ryzyka i ma możliwość zakupienia polisy ubezpieczeniowej, która wypłaci mu 100 dol. w przypadku wystąpienia wyżej opisanej straty.

1. Harvey będzie skłonny zapłacić nieco ponad 25 dol. za tą polisę;

2. Harvey będzie skłonny zapłacić co najwyżej 25 dol. za tą polisę;

3. Ponieważ Harvey jest obojętny względem ryzyka, zatem nie będzie chciał nic płacić za taką polisę;

4. Ponieważ nie znamy funkcji użyteczności Harvey'a, zatem nie jesteśmy w stanie powiedzieć, ile Harvey będzie skłonny zapłacić za tą polisę;

5. Harvey będzie skłonny zapłacić nie więcej niż 16,67 dol. za tą polisę.

Skoro Harvey jest obojętny względem ryzyka, więc uważa wszystkie rozkłady majątku o takiej samej wartości oczekiwanej (średniej) za tak samo dobre. Ponieważ pełne ubezpieczenie gwarantuje Harvey'owi majątek o wartości równej wartości oczekiwanej tylko w przypadku, gdy nie musi on nic płacić za polisę ubezpieczeniową, zatem Harvey nie będzie skłonny zapłacić ani centa za ubezpieczenie.

6. Aktywa wolne od ryzyka przynoszą stopę zwrotu w wysokości 5%. Inne aktywa przynoszą średnią stopę zwrotu 15%, ale odchylenie standardowe stopy zwrotu wynosi 5%. Inwestor rozważa inwestycję w portfel złożony z pewnej ilości obu aktywów. Na wykresie z odchyleniem standardowym odłożonym na osi poziomej i średnią stopą zwrotu na osi pionowej, linia budżetu przedstawiająca różne możliwe kombinacje średniej stopy zwrotu i odchylenia standardowego portfela zawierającego te dwa aktywa:

1. jest linią prostą o nachyleniu 2;

2. jest linią prostą o nachyleniu −3;

3. jest linią o rosnącym nachyleniu w miarę jak poruszamy się wzdłuż niej na prawo;

4. jest linią prostą o nachyleniu −1;

5. jest linią prostą o nachyleniu −1/3.

Linia budżetu przechodzi w tym przypadku przez punkty (σ_f, r_f) = (0, 5) i (σ_m, r_m) = (5, 15). Ogólny wzór linii budżetu możemy zapisać jako r_x = a + bσ_x, gdzie a oznacza wyraz wolny (punkt przecięcia z osią pionową), zaś b jest współczynnikiem kierunkowym (nachyleniem). Podstawiając współrzędne tych dwóch punktów do równania ograniczenia budżetowego, otrzymujemy układ równań:

5 = a + b0;

15 = a + b5.

Z rozwiązania tego układu równań otrzymujemy a = 5 i b = 2.

Alternatywnie, nachylenie linii budżetu znane jest jako cena ryzyka, która dana jest wzorem
.

1. Robert konsumuje dwa dobra, x oraz y. Dysponuje kwotą 50 zł tygodniowo i nie jest wyposażony w żadne z tych dóbr. Jeśli cena dobra x wzrasta oraz efekt substytucyjny i dochodowy zmieniają popyt w przeciwnych kierunkach to:

a) dobro x musi być dobrem Giffena;

b) dobro x musi być dobrem niższego rzędu;

c) dobro x musi być dobrem luksusowym;

d) dobro x musi być dobrem normalnym;

e) nie ma wystarczającej ilości informacji do rozstrzygnięcia czy dobro jest dobrem normalnym, czy dobrem niższego rzędu.

Z wykładu pamiętamy, że jeśli dobro jest dobrem normalnym, to efekt substytucyjny i dochodowy działają w tym samym kierunku; efekt dochodowy wzmacnia działanie efektu substytucyjnego, co ujęliśmy w prawo popytu, zgodnie z którym popyt na dobro normalne musi spadać, gdy rośnie jego cena.

Gdy efekty substytucyjny i dochodowy działają w przeciwnych kierunkach, to dobro musi być dobrem poślednim; efekt dochodowy znosi działanie efektu substytucyjnego, może nawet przeważyć efekt substytucyjny (ale nie musi!) i wtedy mamy do czynienia z dobrem Giffena.

2.Donald konsumuje dobra x i y. Jego funkcja użyteczności ma postać:
. Początkowe wyposażenie Donalda stanowi 36 jednostek dobra x oraz 10 jednostek dobra y. Cena dobra x wynosi 1, a cena dobra y wynosi 4. Znajdź popyt netto Donalda na dobro x.

a) −17;

b) 21;

c) -20;

d) −7;

e) 55.

Równanie ograniczenia budżetowego ma postać p_x x + p_y y = x + 4y = 76 (= 36p_x + 10p_y = p_xω_x + p_yω_y). Warunek styczności ma postać
. Podstawiając 3x za 4y (z warunku styczności) do równania ograniczenia budżetowego otrzymujemy: x + 3x = 4x = 76 ⇒ x* = 19.

Ponieważ popyt netto stanowi różnicę pomiędzy popytem brutto a zasobem początkowym, otrzymujemy zatem: z_x = x* − ω_x = 19 − 36 = − 17.

3. Witek planuje swoją konsumpcję jedynie w dwóch okresach. Jego funkcja użyteczności ma postać U(c₁, c₂) = c₁c₂, gdzie c₁ oznacza konsumpcję w okresie 1, a c₂ konsumpcję w okresie 2. Witek nie będzie miał żadnych dochodów w okresie 2, ale jego dochód z okresu 1 wyniesie 60 000. Jeżeli stopa procentowa wzrasta z 10% do 16%, to:

a) jego oszczędności wzrosną o 6% i jego konsumpcja w okresie 2 również wzrośnie.

b) jego oszczędności nie zmienią się, ale jego konsumpcja w okresie 2 wzrośnie o 1 800.

c) jego konsumpcja w obu okresach się zwiększy.

d) jego konsumpcja w obu okresach się zmniejszy.

e) jego konsumpcja w okresie 1 zmniejszy się, a jego konsumpcja w okresie 2 zwiększy się.

Początkowo Witek ma do czynienia z ograniczeniem budżetowym postaci:

(1 + r)c₁ + c₂ = 1,1c₁ + c₂ = 66 000 [=(1 + r)m₁ + m₂]

Warunek styczności linii budżetu i krzywej obojętności ma postać:

(= relacja “cen” z ograniczenia budżetowego).

Podstawiając 1,1c₁ w miejsce c₂ (z warunku styczności) do równania ograniczenia budżetowego otrzymujemy 1,1c₁ + 1,1c₁ = 2,2c₁ = 66 000 ⇒ c₁* = 30 000; c₂* = 1,1c₁ = 33 000.

Po wzroście stopy procentowej do 16% równanie ograniczenia budżetowego i warunek styczności przyjmują postać:

1,16c₁ + c₂ = 69 600

Analogicznie, podstawiając 1,16c₁ w miejsce c₂ (z warunku styczności) do równania ograniczenia budżetowego otrzymujemy 1,16c₁ + 1,16c₁ = 2,32c₁ = 69 600 ⇒ c₁* = 30 000; c₂* = 1,16c₁ = 34 800.

4. Stopa procentowa wynosi 10%. Gmina rozważa sprzedaż pewnej działki, którą można zagospodarować jako parking strzeżony. W takim przypadku nie są potrzebne żadne nakłady inwestycyjne, a parking będzie przynosić dochód w wysokości 5 000 dol. rocznie, począwszy za rok od chwili obecnej. Można również wybudować na niej dom mieszkalny. Postawienie domu kosztuje obecnie 50 000 dol., ale gdy dom zostanie wybudowany, to wynajem mieszkań będzie przynosił dochód w wysokości 12 000 dol. rocznie, począwszy za rok od chwili obecnej. Nie ma innych możliwości zagospodarowania tej działki. Zgodnie z teorią rynku aktywów:

a) działkę można sprzedać najwyżej za 120 000 dol. i wówczas zostanie na niej wybudowany dom mieszkalny;

b) działkę można sprzedać najwyżej za 50 000 dol. i zostanie ona przeznaczona na parking;

c) działkę można sprzedać najwyżej za 70 000 dol. i zostanie na niej wybudowany dom mieszkalny;

d) działkę można sprzedać najwyżej za 13 200 dol. i zostanie na niej wybudowany dom mieszkalny;

e) działkę można sprzedać najwyżej za 80 000 dol. i zostanie ona przeznaczona na parking.

Jeżeli działka zostanie przeznaczona pod parking, wówczas właściciel będzie otrzymywał co roku 5 000 dol.; płatności w takiej wysokości zapewnia również ulokowanie w banku 50 000 dol. przy stopie procentowej 10% i to jest maksymalna kwota, jaką ktokolwiek byłby skłonny zapłacić za parking.

Jeżeli działka zostanie przeznaczona pod budowę domu, wówczas jego właściciel będzie otrzymywał co roku 12 000 dol. z wynajmu mieszkań; płatności w takiej wysokości zapewnia również ulokowanie w banku 120 000 dol. przy stopie procentowej 10% i to jest maksymalna kwota, jaką ktokolwiek byłby skłonny zapłacić za dom. Postawienie domu na tej działce kosztuje jednak 50 000 dol., zatem wartość samej działki wynosi 70 000 dol.

5. Paulina oczekuje już od dłuższego czasu na przybycie statku, na którego pokładzie znajduje się pewien ładunek, będący jej własnością. Wreszcie doszła do wniosku, że prawdopodobieństwo przypłynięcia statku dzisiaj wynosi 0,25. Jeśli statek przybędzie dzisiaj, Paulina otrzyma swój ładunek o wartości 16 dol. Jeśli statek nie przypłynie dzisiaj, to nie przypłynie już w ogóle i Paulina nigdy nie otrzyma swojego ładunku. Paulina ma funkcję użyteczności von Neumanna-Morgensterna, w której występuje pierwiastek kwadratowy z dochodu. Jaka jest najniższa cena, po jakiej Paulina byłaby skłonna odstąpić prawa do wspomnianego ładunku?

1. 1;

2. 2;

3. 
   ;

4. 4;

5. żadna z powyższych.

Użyteczność oczekiwana Pauliny wynosi, zgodnie ze wzorem na użyteczność von Neumanna-Morgensterna,

.

Najniższa kwota, x, po jakiej Paulina byłaby skłonna odstąpić prawa do ładunku musi przynieść jej taką samą użyteczność oczekiwaną:

.

Skoro obie użyteczności oczekiwane mają być sobie równe, zatem x = 1.

6. Otrzymałeś pracę na stanowisku zarządcy inwestycji portfelowych. Twoim pierwszym zadaniem jest zainwestowanie 100 000 zł w portfel złożony z dwóch aktywów. Aktywa pierwsze są aktywami “bezpiecznymi” o gwarantowanej stopie zwrotu w wysokości 4%. Aktywa drugie są aktywami ryzykownymi o oczekiwanej stopie zwrotu w wysokości 26% i odchyleniu standardowym tego zwrotu w wysokości 10%. Twój klient chciałby posiadać portfel o możliwie wysokiej stopie zwrotu i odchyleniu standardowym zwrotu z portfela nie wyższym niż 4%. Ile pieniędzy zainwestujesz w aktywa bezpieczne?

1. 22 000 zł;

2. 40 000 zł;

3. 64 000 zł;

4. 36 000 zł;

5. 60 000 zł.

Jeżeli jakąś część kapitału, oznaczmy ją sobie x, inwestujemy w aktywa ryzykowne o odchyleniu standardowym stopy zwrotu σ_m, a pozostałą część w aktywa wolne od ryzyka (“bezpieczne”), to odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela wynosi σ_x = xσ_m.

W naszym przypadku, σ_m = 10%, σ_x = 4%, zatem 4% = 10%x ⇒ x = 0,4. Oznacza to, że 40% kapitału powinno zostać zainwestowane w aktywa ryzykowne, zaś w aktywa bezpieczne 60%, czyli w tym przypadku 60% × 100 000 zł = 60 000 zł.

1. Cindy konsumuje dobra x i y. Jej popyt na dobro x wyraża następująca funkcja:
. Dochód Cindy wynosi 842, cena dobra x jest równa 3, zaś cena dobra y równa się 1. Jeśli cena dobra x rośnie do 4, to efekty substytucyjny i dochodowy popytu na x wynoszą:

a)
;

b)
;

c)
;

d)
;

e) żadne z powyższych.

Początkowy popyt Cindy na dobro x wynosi: x(3, 842) = 0,02 × 842 − 3,64 × 3 = 16,84 − 10,92 = 5,92.

Ponieważ cena dobra x wzrosła o 1, zaś Cindy zakupywała początkowo 5,92 jedn. dobra x, zatem jej dochód powinien wzrosnąć o 5,92, aby było ją stać na początkowy koszyk dóbr. Obliczmy zatem popyt na x przy cenie 4 i dochodzie 842 + 5,92 = 847,92:

x(4; 847,92) = 0,02 × 847,92 − 3,64 × 4 = 16,9584 − 14,56 ≈ 2,40.

W wyniku efektu substytucyjnego popyt na dobro x zmienia się zatem o 2,40 − 5,92 = −3,52.

Ostateczny popyt na dobro x wynosi:

x(4; 842) = 0,02 × 842 − 3,64 × 4 = 16, 84 − 14,56 = 2,28.

Efekt dochodowy wynosi zatem 2,28 − 2,40 = − 0,12.

2. Marysia jest bardzo elastyczna w swych upodobaniach konsumpcyjnych względem dóbr x oraz y. Powiada: “Daj mi x albo y, jest mi to obojętne. Nie widzę pomiędzy nimi żadnej różnicy.” Na początku posiada 16 jednostek dobra x oraz 3 jednostki dobra y. Cena x jest 2 razy wyższa od ceny y. Marysia może wymienić x na y po tych cenach, ale nie ma żadnego dodatkowego źródła dochodów. Ile wyniesie jej popyt brutto na dobro y?

a) 37;

b) 19;

c) 35;

d) 3;

e) 18.

Ponieważ cena x jest dwa razy wyższa od ceny y, a Marysia uważa jednostkę x za doskonały substytut jednostki y, zatem nie będzie w ogóle konsumować x, tylko y. Ponieważ za każdą jednostkę x może otrzymać 2 jednostki y, zatem za 16 jednostek x otrzyma 32 jednostki y; łącznie skonsumuje zatem 35 jednostek y.

3. Henryk posiada funkcję użyteczności postaci U(c₁, c₂) = min{c₁, c₂}, gdzie c₁ oznacza konsumpcję w okresie 1, a c₂ konsumpcję w okresie 2. Henryk zarabia 147 dol. w okresie 1, zaś w okresie 2 zarobi 105 dol. Henryk może pożyczać i oszczędzać po stopie procentowej 10% (inflacja jest zerowa).

a) Henryk zaoszczędzi 20 dol.;

b) Henryk pożyczy z banku 20 dol.;

c) Henryk nie będzie ani pożyczał, ani oszczędzał;

d) Henryk zaoszczędzi 122 dol.;

e) Żadne z powyższych.

Dla Henryka konsumpcja w okresie bieżącym i przyszłym są doskonale komplementarne: Henryk chce tyle samo konsumować “dziś” i “jutro”: c₁ = c₂.

Równanie ograniczenia budżetowego ma postać:

(1 + r)c₁ + c₂ = 1,1c₁ + c₂ = 266,7 [= (1 + r)m₁ + m₂]

Podstawiając c₁ w miejsce c₂ do równania ograniczenia budżetowego otrzymujemy 1,1c₁ + c₁ = 2,1c₁ = 266,7 ⇒ c₁* = 127.

Konsumpcja Henryka w okresie bieżącym wyniesie zatem 127; jego dochód z okresu bieżącego wynosi 147, zatem Henryk zaoszczędzi 20 na przyszły okres.

4. Stopa procentowa w tym roku będzie wynosić 10%, ale za rok spadnie do 5% i pozostanie na tym poziomie już na zawsze. Jaka jest wartość rynkowa aktywów, które przynoszą gwarantowany przychód w wysokości 110 dol. rocznie, począwszy od chwili za dwa lata?

1. 2 000 dol.;

2. 2 200 dol.;

3. 1 000 dol.;

4. 1 100 dol.;

5. 3 000 dol.

Zadanie to rozwiążemy w dwóch krokach. Najpierw zapytamy o wartość aktywów za rok, a następnie o ich wartość w chwili obecnej.

Aby otrzymywać co roku 110 dol. przy stopie procentowej 5% począwszy od chwili za 2 lata, musielibyśmy za rok zdeponować w banku kwotę 2 200 dol. Taka będzie wartość aktywów za rok.

Ponieważ jednak każdy dolar otrzymany za rok jest warty dzisiaj
dol. (zauważmy, że stopa procentowa przez pierwszy rok będzie wynosić 10%!), zatem 2 200 dol. otrzymane za rok ma dzisiaj wartość
= 2 000 dol.

5. Józek posiada 100 dol. i maksymalizuje funkcję użyteczności oczekiwanej. Jego użyteczność z posiadanego zasobu bogactwa można wyrazić wzorem
. Józek obawia się, że zaśpi na egzamin z mikroekonomii. Szacuje, że prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 0,1 i wówczas będzie musiał zapłacić 100 dol. za możliwość przystąpienia do egzaminu w sesji poprawkowej. Sąsiadka Józka, Marysia, zawsze wstaje na czas. Proponuje Józkowi, że obudzi go na godzinę przed egzaminem, ale żąda za swą usługę pewnej opłaty. Jaka jest maksymalna kwota, którą Józek byłby skłonny zapłacić Marysi?

1. 10 dol.;

2. 15 dol.;

3. 19 dol.;

4. 100 dol.;

5. 50 dol.

Użyteczność oczekiwana Józka z posiadanego rozkładu bogactwa możemy wyznaczyć posługując się funkcją użyteczności von Neumanna-Morgensterna:

.

Jeżeli Marysia obudzi Józka na egzamin, to wówczas Józek na pewno zachowa swoje 100 dol. pomniejszone o kwotę zapłaconą uprzednio Marysi; kwotę tą oznaczymy przez x. Jego użyteczność wyniesie zatem:

.

Największa kwota, jaką Józek będzie skłonny zapłacić Marysi jest takiej wysokości, że Józek jest obojętny pomiędzy początkowym rozkładem bogactwa a posiadaniem kwoty x:

.

Zatem najwyższa kwota jaką Józek byłby skłonny zapłacić Marysi wynosi 100 − 81 = 19 dol.

6. Wilhelm posiada firmę eksportującą towary do Niemiec. Oczekuje, że firma ta będzie przynosić mu 1 000 000 zł zysku rocznie. Gdy wartość marki względem złotego rośnie o 1%, to zyski Wilhelma rosną o 200 000 zł rocznie. (Oczywiście, gdy wartość marki spada, to spadają również zyski Wilhelma.) Wilhelm planuje kupno jednej z dwóch firm. Pierwsza jest firmą importującą z Niemiec, o oczekiwanych zyskach 700 000 zł rocznie. Jeżeli wartość marki rośnie o 1%, zyski tej firmy spadają o 50 000 zł rocznie. Druga firma jest bezpieczną firmą działającą jedynie na rynku krajowym, przynoszącą pewny dochód w wysokości 700 000 zł rocznie. Koszt nabycia obu firm jest taki sam. Jeżeli Wilhelm jest asekurantem niechętnym ryzyku, to:

1. powinien nabyć firmę działającą na rynku krajowym;

2. powinien nabyć firmę importującą z Niemiec;

3. powinien nabyć połowę udziałów w każdej z firm;

4. nie ma znaczenia, którą firmę nabędzie;

5. powinien nabyć 80% udziałów w firmie działającej na rynku krajowym oraz 20% udziałów w firmie importującej z Niemiec.

Gdyby Wilhelm zakupił firmę importującą, jego oczekiwane zyski roczne wyniosłyby 1 700 000 zł. Przy wzroście kursu marki o 1%, roczne zyski firmy eksportującej rosną o 200 000 zł, roczne zyski firmy importującej spadają o 50 000 zł, czyli roczny dochód z kapitału Wilhelma rośnie o 150 000 zł. Przy spadku kursu marki o 1% roczny zwrot z kapitału zainwestowanego przez Wilhelma spada o 150 000 zł.

Gdyby Wilhelm zakupił firmę działającą na rynku krajowym, jego oczekiwane zyski roczne wyniosłyby również 1 700 000 zł. Przy wzroście kursu marki o 1%, roczne zyski firmy eksportującej rosną o 200 000 zł, roczne zyski firmy działającej na rynku krajowym nie zmieniają się, czyli roczny dochód z kapitału Wilhelma rośnie o 200 000 zł. Przy spadku kursu marki o 1% roczny zwrot z kapitału zainwestowanego przez Wilhelma spada o 200 000 zł.

Zauważmy, że inwestycje w obie firmy przynoszą taki sam dochód oczekiwany (średni). Jednak przy zakupie firmy importującej mniejsze jest zróżnicowanie zwrotu z kapitału, czyli mniejsze ryzyko portfela złożonego z firmy eksportującej i importującej.

1. Walter uważa jednostkę dobra x za doskonały substytut jednostki dobra y. Początkowo kosztują one, odpowiednio, 10 i 9. Jego dochód wynosi 720. Pewnego dnia cena dobra x spada do 8. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?

a) Efekt dochodowy spowoduje wzrost konsumpcji y o 90 jednostek;

b) Efekt substytucyjny spowoduje wzrost konsumpcji y o 80 jednostek;

c) Efekt substytucyjny spowoduje wzrost konsumpcji x o 90 jednostek;

d) Efekt dochodowy spowoduje wzrost konsumpcji x o 80 jednostek;

e) Żadne z powyższych.

Skoro Walter uważa, że jednostka dobra x jest tak samo dobra jak jednostka dobra y, zatem będzie konsumował tylko tańsze z dóbr. Początkowo zatem, gdy p_x = 10 i p_y = 9, Walter będzie konsumował tylko dobro y, zaś nie będzie w ogóle konsumował dobra x.

Gdy cena dobra x spadnie do 8, dobro to stanie się tańsze od dobra y i Walter wyda cały swój dochód na dobro x, zakupując
= 90 jednostek tego dobra. Zauważmy, że ostateczna linia budżetu przechodzi przez początkowy koszyk popytu (na skutek zmiany ceny dobra x nie zmienia się punkt przecięcia z osią pionową!), zatem ostateczna linia budżetu jest równocześnie linia budżetu odpowiadającą efektowi substytucyjnemu. Wynika z tego, że całą zmianę konsumpcji obu dóbr zawdzięczamy efektowi substytucyjnemu, zaś efekt dochodowy jest zerowy.

2. Arystoteles zarabia 5 dol. za godzinę pracy. Dysponuje 110 godzinami w ciągu tygodnia, które może przeznaczyć na pracę bądź na wypoczynek. Dawniej nie musiał płacić żadnych podatków ani nie otrzymywał żadnych pieniędzy z państwowej kasy. Teraz otrzymuje 200 dol. tygodniowo od rządu i musi oddawać połowę dochodu z pracy (ale tylko z pracy!) w postaci podatków. Jego stawka płacy brutto (przed opodatkowaniem) nie zmieniła się i nie ma on żadnych innych źródeł dochodu poza dochodem z pracy oraz rentą od rządu. Arystoteles zauważył, że w obecnej sytuacji stać go dokładnie na tą samą kombinację czasu wolnego i dóbr konsumpcyjnych, na jaką go było stać poprzednio. Ile godzin tygodniowo Arystoteles pracuje obecnie?

a) Nie mniej niż 100;

b) Nie więcej niż 26;

c) Nie więcej niż 80;

d) Nie mniej niż 18;

e) Nie możemy odpowiedzieć na to pytanie nie znając preferencji Arystotelesa.

Ponieważ spada stawka płacy netto, otrzymywana przez Arystotelesa “na rękę,” zaś dostępny jest dla niego początkowy koszyk popytu, zatem mamy tu do czynienia z czystym efektem substytucyjnym (porównaj z płacą za pracę w nadgodzinach w podręczniku Variana!), zatem podaż pracy Arystotelesa nie może wzrosnąć.

Początkowo Arystoteles pracował x godzin dziennie, a jego dochód wynosił 5x dol. Po wprowadzeniu powyższych zmian, gdyby Arystoteles pracował x godzin dziennie, jego dochód wynosiłby (2,5x + 200) dol. Dodatkowo wiemy, że Arystotelesa stać na ten sam koszyk, co poprzednio, zatem gdyby Arystoteles po wprowadzeniu tych zmian pracował x godzin dziennie, to stać by go było na konsumpcję o takiej samej wartości, czyli jego dochody muszą być również takie same:

5x = 2,5x + 200 ⇒ 2,5x = 200 ⇒ x = 80.

Zatem Arystoteles nie może pracować więcej niż 80 godzin dziennie.

3. Monika ma dochody w wysokości 400 dol. w okresie 1 oraz 480 dol. w okresie 2. Jej funkcja użyteczności ma postać
, gdzie a = 0,6, zaś stopa procentowa r = 20%. Jeżeli dochód Moniki w okresie 1 wzrośnie dwukrotnie, a dochód w okresie 2 nie zmieni się, to jej konsumpcja w okresie 1:

a) wzrośnie dwukrotnie;

b) wzrośnie o 240 dol.;

c) wzrośnie o 120 dol.;

d) nie zmieni się;

e) wzrośnie o 400 dol.

Równanie ograniczenia budżetowego Moniki ma postać (1 + r)c₁ + c₂ = 1,2c₁ + c₂ = 1,2 × 400 + 480 = 960 [= (1 + r)m₁ + m₂]. Warunek styczności ma postać:

.

Z warunku styczności otrzymujemy zatem c₂ =
c₁ = 0,8c₁. Podstawiając to wyrażenie w miejsce c₂ do warunku styczności, otrzymujemy:

1,2c₁ + 0,8c₁ = 2c₁ = 960 ⇒ c₁* = 480.

Gdy dochód Moniki w okresie 1 wzrośnie dwukrotnie, równanie jej ograniczenia budżetowego przybierze postać:

1,2c₁ + c₂ = 1,2 × 800 + 480 = 1440.

Warunek styczności nie zmienia się, gdyż stopa procentowa pozostaje na tym samym poziomie, zatem znowu w miejsce c₂ możemy podstawić 0,8c₁ do warunku styczności i otrzymujemy wówczas:

1,2c₁ + 0,8c₁ = 2c₁ = 1440 ⇒ c₁' = 720.

4. Oczekuje się, że cena pewnego antyku wzrośnie o 2% w ciągu najbliższego roku. Stopa procentowa wynosi 5%. Zastanawiasz się nad zakupem tego antyku oraz jego odsprzedażą za rok. Za samą przyjemność posiadania tego antyku przez rok jesteś skłonny zapłacić 200 dol. Ile jesteś skłonny maksymalnie zapłacić za nabycie tego antyku dzisiaj?

1. 4 000 dol.;

2. 4 200 dol.;

3. 200 dol.;

4. 6 666,67 dol.;

5. 2 000 dol.

Ponieważ cena antyku wrośnie tylko o 2%, podczas gdy lokując kapitał w aktywach finansowych można zyskać 5%, zatem strata na posiadaniu antyku wynosi 3%. Antyk przynosi jednak dochód w postaci konsumpcji (wrażenia estetyczne) i jesteś skłonny maksymalnie zapłacić 200 dol. za posiadanie antyku. Zatem strata na antyku nie może przekraczać 200 dol.; jeżeli antyk kosztuje dzisiaj x dol., to strata na posiadaniu przez rok antyku wynosi 0,03x. Otrzymujemy więc:

0,03x = 200 ⇒ x =
= 6 666,67 dol.

5. Bartek jest niechętnym ryzyku asekurantem. Zaoferowano mu udział w pewnej grze, w której może stracić 1 000 dol. z prawdopodobieństwem 0,25 albo wygrać 500 dol. z prawdopodobieństwem 0,75.

1. Ponieważ Bartek jest niechętny ryzyku, zatem z pewnością odmówi udziału w tej grze.

2. Ponieważ oczekiwana wartość wypłaty z tej gry jest dodatnia, zatem Bartek z pewnością weźmie udział w tej grze.

3. Jeśli początkowy dochód Bartka jest wyższy od 1 500 dol., to Bartek z pewnością weźmie udział w tej grze.

4. Jeśli początkowy dochód Bartka jest niższy od 1 500 dol., to Bartek z pewnością odmówi udziału w tej grze.

5. Nie posiadamy dostatecznej informacji, aby stwierdzić z całą pewnością, czy Bartek weźmie udział, czy też odmówi udziału w tej grze.

Oczekiwana wygrana w tej grze wynosi − 1000 × 0,25 + 500 × 0,75 = − 250 + 375 = 125 dol. Nie możemy zatem od razu odrzucić tej gry, ponieważ oczekiwana wypłata jest nieujemna; nie możemy jednak od razu przyjąć tej gry, ponieważ Bartek jest asekurantem niechętnym ryzyku, a my nie znamy jego preferencji ani bogactwa (majątku).

6. Załóżmy, że Gabrysia może zbudować swój portfel inwestycyjny z aktywów wolnych od ryzyka o stopie zwrotu w wysokości 10% oraz z aktywów ryzykownych o oczekiwanej stopie zwrotu w wysokości 15% i odchyleniu standardowym stopy zwrotu 5%. Jeżeli wybiera portfel o oczekiwanej stopie zwrotu w wysokości 13,75%, oznacza to, że odchylenie standardowe stopy zwrotu z jej portfela wynosi:

1. 1,88%;

2. 6,75%;

3. 3,75%;

4. 7,50%;

5. żadne z powyższych.

Wiemy, że jeśli oczekiwana stopa zwrotu z aktywów wolnych od ryzyka wynosi r_f, zaś oczekiwana stopa zwrotu z aktywów ryzykownych wynosi r_m, to oczekiwana stopa zwrotu z portfela wynosi r_x = xr_m + (1 − x)r_f, gdzie x oznacza udział portfela w aktywach ryzykownych. Podstawiając do tego równania podane dane otrzymujemy:

13,75% = x15% + (1 − x)10% ⇒ x5% = 3,75% ⇒ x =
.

Wiemy również, że odchylenie standardowe stopy zwrotu z jej portfela dane jest wzorem:

σ_x = xσ_m ⇒ σ_x =
= 3,75%.

---