Statystyka Teoria i Zadania z rozwiązaniami [22 strony], Zarządzanie i inżyniernia produkcji, Statystyka


Analiza struktury zmierza do wydobycia na jaw charakterystycznych właściwości zbiorowości i porównania ich z inną zbiorowością. Każde badanie, które w efekcie ma dać wszechstronną ocenę zjawiska i doprowadzić do konstruktywnych wniosków, musi mieć swój punkt odniesienia w czasie albo przestrzeni.

Badając np. rozwój gospodarczy w regionie X nie będziemy w stanie prawidłowo ocenić poziomu rozwoju w tym regionie bez znajomości rozmiarów tego samego zjawiska w innym regionie lub tym samym regionie, ale w poprzednich okresach.

W badaniach statystycznych dosyć często zachodzi konieczność przeprowadzenia dwóch typów porównań:

Dwóch (lub więcej) różnych zbiorowości - pod względem tej samej cechy (np. struktura zgonów według wieku mężczyzn w Polsce w roku 2002);

Rozkładu dwóch (lub więcej) cech w tej samej zbiorowości (np. struktura urodzeń żywych według kolejności urodzenia dziecka i wieku matki w Polsce w roku 2002).

W sytuacjach, w których badanie struktury zbiorowości statystycznej prowadzone jest z punktu widzenia cech mierzalnych, wszechstronną analizę można prowadzić przy wykorzystaniu następujących miar statystycznych:

miar średnich (miar poziomu wartości zmiennej, miar położenia, przeciętnych) służących do określania tej wartości zmiennej opisanej przez rozkład, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości zmiennej;

miar rozproszenia (zmienności, zróżnicowania, dyspersji) służących do badania stopnia zróżnicowania wartości zmiennej;

miar asymetrii (skośności) służących do badania kierunku zróżnicowania wartości zmiennej;

miar koncentracji służących do badania stopnia nierównomierności rozkładu ogólnej sumy wartości zmiennej pomiędzy poszczególne jednostki zbiorowości lub analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół średniej.

Miary średnie

Dzielą się na dwie grupy: średnie klasyczne i pozycyjne. Do średnich klasycznych należą: średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna oraz średnia geometryczna. Najczęściej wykorzystywanymi średnimi pozycyjnymi są: dominanta (wartość najczęstsza) oraz kwantyle. Wśród kwantyli wyróżniamy - kwartyle (dzielące zbiorowość na cztery części), kwintyle (pięć części), decyle (dziesięć części) oraz centyle [percentyle] (sto części).

Średnie klasyczne są obliczane na podstawie wszystkich wartości szeregu. Średnie pozycyjne są wartościami konkretnych wyrazów szeregu (pozycji) wyróżniających się pod pewnym względem. Obie grupy wzajemnie się uzupełniają, każda opisuje poziom wartości zmiennej z innego punktu widzenia.

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną nazywamy sumę wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzieloną przez liczbę tych jednostek.

0x01 graphic

0x01 graphic
- symbol średniej arytmetycznej;

xi - warianty cechy mierzalnej;

N - liczebność badanej zbirowości.

Średnią określoną powyższym wzorem nazywa się średnią arytmetyczną nieważoną.

Jeżeli warianty średniej występują z różną częstotliwością, to oblicza się średnią arytmetyczną ważoną. Wagami są liczebności odpowiadające poszczególnym wariantom. Z tego typu sytuacją mamy do czynienia w szeregach rozdzielczych i przedziałowych.

Średnią arytmetyczną z szeregów przedziałowych oblicza się następująco:

0x01 graphic

0x01 graphic
(n=1,2,…,k) - liczebność jednostek odpowiadająca poszczególnym wariantom zmiennej;

N - suma tych liczebności

(Σ - suma)

W szeregach rozdzielczych przedziałowych wartości zmiennej w każdej klasie nie są jednoznacznie określone, ale mieszczą się w pewnym przedziale. Dlatego też w celu obliczenia średniej arytmetycznej w przypadku tego typu szeregów należy wcześniej wyznaczyć środki przedziałów. Środki przedziałów otrzymuje się jako średnią arytmetyczną dolnej i górnej granicy każdej klasy. Oznacza się ją symbolem 0x01 graphic
.

Wzór na średnią arytmetyczną z szeregu rozdzielczego przedziałowego:

0x01 graphic

Jeżeli w obliczeniach możemy wykorzystać wyłącznie procentowe wskaźniki struktury (odsetki całości) 0x01 graphic
to wzór wygląda następująco:

0x01 graphic

gdzie

0x01 graphic

Ćwiczenie 1

Tab. 1 Wyniki badań testowych dotyczących wiedzy teoretycznej ze statystyki

Wiedza ze statystyki

(w punktach)

0x01 graphic

Liczba studentów

0x01 graphic

Obliczenia pomocnicze

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

20-30

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

2

10

7

9

12

10

25

35

45

55

65

75

50

350

315

495

780

750

4,0

20,0

14,0

18,0

24,0

20,0

100,0

700,0

630,0

990,0

1560,0

1500,0

Razem

50

x

2740

100,0

5480,0

0x01 graphic
- środek klasy

0x01 graphic
- odsetek ogółu

Oblicz średnią arytmetyczną.

Metoda 1:

„Za pomocą szeregu rozdzielczego przedziałowego”

0x01 graphic

Metoda 2:

„Za pomocą procentowych wskaźników struktury”

0x01 graphic

Wyniki są równoważne, ponieważ wartość średniej arytmetycznej nie zależy od liczebności poszczególnych klas, ale od proporcji między nimi.

Jeżeli znamy średnie arytmetyczne dla pewnych grup, a chcemy obliczyć średnią arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie korzystamy ze wzoru:

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- średnia ze średnich;

0x01 graphic
- średnia arytmetyczna i-tej grupy;

0x01 graphic
- suma liczebności grupy;

Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową tylko w odniesieniu do zbiorowości jednorodnych, o niewielkim stopniu zróżnicowania wartości zmiennej. W miarę wzrostu asymetrii i zróżnicowania rozkładu, a także w rozkładach bimodalnych i wielomodalnych średnia arytmetyczna traci swoje znaczenie. Nie można jej obliczyć dla szeregu o otwartych przedziałach, jeżeli przedziały te mają duże liczebności. (Przyjmuje się, że otwarte przedziały klasowe przedziały można zamykać, jeżeli liczba jednostek w tych przedziałach nie przekracza 5% liczebności zbiorowości.)

Jeżeli wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych, np. km/godz, kg/osobę, wagi zaś w jednostkach liczników tych jednostek względnych (prędkość pojazdu - zmienna: km/godz.; waga: w km; gęstość zaludnienia - zmienna: w osobach/km2, waga: w osobach; spożycie artykułu X na 1 osobę - zmienna: w litrach, waga: na osobę), to stosuje się średnią harmoniczną.

Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych.

W przypadku szeregów wyliczających oblicza się ją ze wzoru:

0x01 graphic

gdzie:

H - symbol średniej harmonicznej.

Dla obliczenia średniej harmonicznej z szeregów rozdzielczych (punktowych lub przedziałowych) zachodzi konieczność zastosowania wag (uwzględnienia liczebności). Stosuje się wzór:

0x01 graphic

Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych średnią harmoniczną obliczamy według powyższego wzoru, z tym, że konkretne warianty cechy (xi) zastępujemy środkami przedziałów (0x01 graphic
).

Ćwiczenie 2

Gęstość zaludnienia w dwu 100-tysięcznych miastach wynosi odpowiednio 300 osób/km2 i 900 osób km2. Oblicz przeciętną gęstość zaludnienia.

0x01 graphic

Stosując średnią arytmetyczną dla obliczenia powyższego zadania otrzymalibyśmy:

0x01 graphic

CO NIE JEST PRAWDĄ!

Każde z miast zajmuje odpowiednio:

100 000 : 300 osób km2 = 333,33 km2

100 000 : 900 osób km2 = 111,11 km2

Z czego wynika, że oba miasta zajmują powierzchnię - 444,44 km2.

Wobec tego średnia gęstość zaludnienia w tych miastach wynosi:

200 000 osób : 444,44 km2 = 450 osób/km2.

Ten sam rezultat uzyskamy wzór na średnią harmoniczną dla szeregów rozdzielczych punktowych:

0x01 graphic

Jeżeli zachodzi konieczność zbadania średniego tempa zmian zjawiska, stosuje się średnią geometryczną. (Więcej na ten temat przy analizie dynamiki zjawisk).

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- symbol średniej geometrycznej;

0x01 graphic
- znak iloczynu

ŚREDNIE POZYCYJNE

Dominantą (modalna, wartość najczęstsza) nazywamy taką wartość zmiennej, która w danym rozkładzie empirycznym występuje najczęściej. (Wynika z tego, że dominantę można wyznaczyć tylko w rozkładach jednomodalnych).

W szeregach wyliczających i rozdzielczych punktowych dominanta jest wartością cechy, której odpowiada największa liczebność.

W szeregach rozdzielczych przedziałowych bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym znajduje się dominanta - jest to przedział o największej liczebności. Konkretną wartość liczbową należącą do tego przedziału, która jest dominantą wyznacza się w następujący sposób:

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- symbol dominanty;

0x01 graphic
- dolna granica klasy, w której znajduje się dominanta;

0x01 graphic
- liczebność przedziału dominanty;

0x01 graphic
- liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty;

0x01 graphic
- liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty;

0x01 graphic
- interwał, czyli rozpiętość przedziału dominanty.

Z szeregów rozdzielczych przedziałowych dominantę można wyznaczyć metodą rachunkową (patrz wyżej) lub graficzną.

Ćwiczenie 3.

Na podstawie tabeli wyznacz dominantę danego szeregu.

Tab. Rozwody w Polsce w 1977 r. wg wieku kobiet w momencie wniesienia powództwa.

Wiek kobiet

(w latach)

Liczba kobiet

Odsetek kobiet

Do 19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-49

50 i więcej

314

6979

11440

6391

5412

8450

4200

0,7

16,2

26,2

14,8

12,5

19,6

9,7

0x01 graphic

Wartość będzie identyczna, jeżeli do obliczeń wykorzystamy odsetki zamiast liczebności absolutnych.

0x01 graphic

Metoda graficzna sprowadza się do wykonania wykresu z trzech przedziałów klasowych: przedziału, w którym znajduje się dominanta oraz dwóch sąsiednich. Z górnej podstawy najwyższego prostokąta wyznaczamy dwie przekątne łączące najbliżej położone punkty górnych podstaw sąsiednich prostokątów. Następnie z punkty ich przecięcia wyznaczamy prostopadłą do osi odciętych (x).

Jeżeli liczebności przedziałów sąsiednich są jednakowe, to dominanta jest równa środkowi klasy dominującej.

Wyznaczanie dominanty jest możliwe wówczas, gdy szereg spełnia następujące warunki:

rozkład empiryczny ma jeden ośrodek dominujący (rozkład jednomodalny);

asymetria układu jest umiarkowana;

przedział w którym występuje dominanta oraz dwa sąsiednie z nim przedziały mają jednakowe rozpiętości.

Kwantyle, są to najogólniej rzecz ujmując wartości cechy badanej jednostki, które definiują ją na określone części - pod względem liczby jednostek. Części te mogą być równe lub pozostawać do siebie w określonych proporcjach. Szeregi, w których wyznacza się kwartyle musza być uporządkowane według malejących lub rosnących wartości cechy. Do najczęściej używanych kwantyli zaliczamy: kwartyle, a w przypadku badania struktury zbiorowości o dużej liczbie jednostek - decyle i centyle.

Wśród kwartyli wyróżniamy: kwartyl pierwszy (dolny), drugi (mediana lub wartość środkowa) oraz trzeci (górny). Każdy z kwartyli dzieli zbiorowość na dwie części pod względem liczebności.

kwartyl pierwszy - dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek na wartości cechy niższe i 75% wyższe od kwartyla pierwszego;

kwartyl drugi - dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części w ten sposób, że 50% jednostek na wartości cechy niższe i 50% wyższe od mediany;

kwartyl trzeci - dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek na wartości cechy niższe i 25% wyższe od kwartyla trzeciego.

W przypadku szeregów wyliczających składających się z reguły z niewielkiej liczby jednostek medianę oblicza się najczęściej ze wzoru:

0x01 graphic
gdy N jest nieparzyste

0x01 graphic
gdy N jest parzyste

gdzie:

0x01 graphic
- symbol mediany.

Obliczanie mediany z szeregu rozdzielczego punktowego sprowadza się do wskazania jednostki środkowej i odczytania wariantu cechy odpowiadającego tej jednostce. Odnalezienie środkowej jednostki ułatwia skumulowanie liczebności. Kumulacja polega na kolejnym narastającym sumowaniu liczebności dotyczących poszczególnych wariantów cechy.

W przypadku szeregów rozdzielczych przedziałowych kwartyle wyznacza się metodą graficzną lub rachunkową. W metodzie rachunkowej stosuje się następujące wzory:

Kwartyl pierwszy:

0x01 graphic
;

Kwartyl drugi:

0x01 graphic
;

Kwartyl trzeci:

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- symbole kwartyli;

0x01 graphic
- granice przedziałów, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

N - ogólna liczebność danej zbiorowości;

0x01 graphic
- suma liczebności od klasy pierwszej do tej, w której znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

0x01 graphic
- liczebności przedziałów, w których, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

0x01 graphic
- interwały (rozpiętość) przedziałów, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

Ćwiczenie 4

Na podstawie tabeli wyznacz kwartyle szeregu.

Tab. Wiek kobiet zawierających związek małżeński w Polsce w 1977 r.

Wiek kobiet
(w latach)

Liczba kobiet

0x01 graphic

Odsetek kobiet

0x01 graphic

Skumulowane częstości względne

do 19

20-24

25-29

30-34

35-39

40-49

50-59

60 i więcej

68 694

184 088

43 239

10 127

4 925

7 251

4 586

3 277

21,1

56,4

13,3

3,1

1,5

2,2

1,4

1,0

21,1

77,5

90,8

93,9

95,4

97,6

99,0

100,0

Ogółem

326 277

100,0

x

Źródło: M. Sobczyk, Statystyka, PWN, W-wa 1991, s.41

Pierwszą czynnością jest kumulacja liczebności (absolutnych bądź odsetków). Następnie wyznaczamy pozycję poszczególnych kwartyli w szeregu, tzn. 0x01 graphic
. Wykorzystując skumulowane częstości względne otrzymujemy:

0x01 graphic

Na tej podstawie obliczamy wartości kwartyli:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

(21,1 - jest to suma liczebności od klasy pierwszej do tej, w której znajdują się odpowiednie kwartyle)

Kwartyle są dogodnymi parametrami w analizie struktury. Mogą być wykorzystane w przypadkach, w których nie jest możliwe obliczenie z danego szeregu średniej arytmetycznej (otwarte przedziały klasowe, ekstremalne wartości), a także dominanty (nierówne rozpiętości przedziałów, silna asymetria rozkładu.

Decyle i centyle (percentyle) wyznacza się podobnie jak kwartyle. Decyle dzielą zbiorowość na 10 części - 5 decyl to mediana. Centyle zaś na 100 części - 50 centyl jest medianą.

Średnia arytmetyczna, dominanta i mediana, jako miary tendencji centralnej, są powiązane ze sobą odpowiednimi zależnościami - równość lub nierówność (w zależności od typu rozkładu) [więcej na ten temat w dziale miary asymetrii ;-)] W przypadku rozkładu umiarkowanie niesymetrycznego zachodzi między nimi następujący związek:

0x01 graphic
; (wzór Pearsona)

Na postawie tego wzoru można wyznaczyć średnią znając dwie pozostałe zmienne. Po przekształceniach możemy na jego podstawie obliczyć dominantę - znając średnią arytmetyczną i medianę.

0x01 graphic

Miary zmienności

Wartości średnie nie dają wyczerpującej charakterystyki struktury zbiorowości. Przede wszystkim nie informują o stopniu zmienności (dyspersji) badanej cechy. Dyspersją nazywamy zróżnicowanie jednostek zbiorowości ze względu na wartość badanej cechy. Siłę dyspersji oceniamy za pomocą pozycyjnych i klasycznych miar zmienności. Do miar klasycznych zaliczamy: odchylenie przeciętne, wariancję, odchylenie standardowe oraz współczynnik zmienności (w zależności od techniki obliczania może być również pozycyjną miarą dyspersji)

Odchylenie przeciętne określa, o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio ze względu na wartość zmiennej od średniej arytmetycznej tej zmiennej. Odchylenie przeciętne jest średnią arytmetyczną bezwzględnych wartość (modułów) odchyleń wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Oblicza się je wg wzoru:

dla szeregu wyliczającego:

0x01 graphic

dla szeregu rozdzielczego punktowego:

0x01 graphic

dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

0x01 graphic

Ćwiczenie 5

Oblicz odchylenie przeciętne dla podanego szeregu

Tab. Nauczyciele szkół średnich w miejscowości Z wg stażu pracy

Staż pracy

(w latach)

Liczba
nauczycieli

0x01 graphic

Obliczenie pomocnicze

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0-5

5-10

10-15

15-20

20-25

25-30

30-35

4

7

10

15

8

4

2

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

10,0

52,5

125,0

262,5

180,0

110,0

65,0

13,6

8,6

3,6

1,4

6,4

11,4

16,4

54,4

60,2

36,0

21,0

51,2

45,6

32,8

Ogółem

50

x

805,0

x

301,2

Źródło: M. Sobczyk, Statystyka, PWN, W-wa 1991, s.45.

Najpierw należy obliczyć średni staż pracy:

0x01 graphic

Wynik podstawiamy do wzoru:

0x01 graphic

Otrzymany wynik oznacza, że przeciętne zróżnicowanie badanej zbiorowości nauczycieli ze względu na staż pracy wynosi 0x01 graphic
6 lat.

Wariancja jest to średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej całej zbiorowości.

Dla szeregu wyliczającego oblicza się ją wg wzoru:

0x01 graphic

Dla szeregu rozdzielczego punktowego:

0x01 graphic

Dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:

0x01 graphic

Ćwiczenie 6

Oblicz wariancję z podanego szeregu.

Tab. Zgony niemowląt na wsi wg wieku w Polsce w 1977 r.

Wiek zmarłych
(dni)

0x01 graphic

Liczba
zmarłych

0x01 graphic

Obliczenie pomocnicze

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0-6

7-13

14-20

21-27

28-29

3 186

623

336

243

74

3,0

10,0

17,0

24,0

28,5

9 558

6 230

5 712

5 832

2 109

-3,6

3,4

10,4

17,4

21,9

12,96

11,56

108,16

302,76

479,61

41 290,56

7 201,88

36 341,76

73 570,68

35 491,14

Ogółem

4 462

x

29 441

x

x

193 896,02

Źródło: M. Sobczyk, Statystyka, PWN, W-wa 1991, s.47.

Najpierw należy obliczyć średnią arytmetyczną:

0x01 graphic

Następnie podstawiamy do wzoru:

0x01 graphic

Wariancja, jako suma kwadratów dzielona przez liczbę dodatnią jest zawsze wielkością dodatnią i mianowaną. Mianem wariancji jest kwadrat jednostki fizycznej, w jakiej mierzona jest badana cecha.

Im zbiorowość jest bardziej zróżnicowana tym wyższa jest wartość wariancji

Wariancja obliczona na podstawie szeregów rozdzielczych przedziałowych jest wielkością zawyżoną. Powoduje to fakt, że do obliczeń wykorzystuje się środki przedziałów klasowych, a nie średnie arytmetyczne z poszczególnych klas.

Wariancja jest wielkością kwadratową. Aby uzyskać miarę zróżnicowania o postaci liniowej (o mianie zgodnym z mianem badanej cechy), wyciągamy pierwiastek kwadratowy. W wyniku pierwiastkowania otrzymujemy tzw. odchylenie standardowe.

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

0x01 graphic

Odchylenie standardowe określa o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio od średniej arytmetycznej badanej zmiennej. Dla poszczególnych rodzajów szeregów korzystamy z odpowiednich wzorów na wariancję, a następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Możemy je wykorzystać do konstrukcji typowego obszaru zmienności badanej cechy. W obszarze tym mieści się około 2/3 wszystkich jednostek badanej zbiorowości statystycznej. Typowy obszar zmienności określa wzór:

0x01 graphic

Pomiędzy odchyleniami: przeciętnym a standardowym obliczonym z tego samego szeregu zachodzi relacja:

0x01 graphic

Omówione powyżej miary dyspersji są miarami bezwzględnymi, gdyż wyrażamy je w takich samych jednostkach jak wartości badanej zmiennej. Nie pozwala to na porównywanie zmienności cech o różnych mianach. Ponadto nie można porównywać pod względem tej samej cechy dwóch (lub kilku) zbiorowości będących na różnym poziomie, określonym np. średnią arytmetyczną czy medianą. Z tego powodu w analizie dyspersji stosuje się względną miarę zróżnicowania - współczynnik zmienności.

Współczynnik zmienności jest ilorazem bezwzględnej miary dyspersji i odpowiednich wartości średnich. Jest on wyrażany w procentach. Ponieważ w analizie rozkładu zmienności cech korzystamy z różnych miar zróżnicowania i różnych przeciętnych, współczynnik zmienności można obliczyć kilkoma metodami:

1)

0x01 graphic
;

2)

0x01 graphic

Są to tzw. klasyczne współczynniki zmienności.

3)

0x01 graphic
;

4)

0x01 graphic

Są to tzw. pozycyjne współczynniki zmienności.

Współczynniki zmienności informują o sile dyspersji.

Ich duże wartości liczbowe świadczą o niejednorodności zbiorowości.

Ćwiczenie 9

Zastosuj współczynnik zmienności dla analizy dyspersji dochodów w podanych niżej hotelach A, B i C:

Średnie miesięczny wpływy:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Odchylenia standardowe wartości sprzedanych usług wynosiły:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Z uwagi na duże różnice w średnim poziomie wpływów w poszczególnych hotelach należy zastosować wzór 1.

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

Dla hotelu A: 0x01 graphic
;

Dla hotelu B: 0x01 graphic
;

Dla hotelu C: 0x01 graphic
.

Z powyższego wynika, że największe względne zróżnicowanie miesięcznych wpływów miało miejsce w hotelu B, a najmniejsze w hotelu A.

MIARY ASYMETRII

Z punktu widzenia analizy statystycznej istotny jest nie tylko przeciętny poziom i wewnętrzne zróżnicowanie zbiorowości, ale również to, czy przeważająca liczba badanych jednostek znajduje się powyżej czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy. Wnioskowanie o tym nosi nazwę oceny asymetrii (skośności) rozkładu.

Asymetrię rozkładu najłatwiej jest określić poprzez porównanie dominanty, mediany i średniej arytmetycznej. W rozkładach symetrycznych wszystkie średnie 0x01 graphic
są sobie równe. W rozkładach asymetrycznych wymienione średnie kształtują się na różnych poziomach. Jeżeli zachodzi nierówność: 0x01 graphic
, to rozkład charakteryzuje się asymetrią prawostronną; jeżeli zaś zachodzi nierówność: 0x01 graphic
, to mówimy o asymetrii lewostronnej.

Rozkłady jednej zmiennej różnią się między sobą kierunkiem i siłą asymetrii. Najprostszą miarą asymetrii jest wskaźnik asymetrii (skośności) określony wzorem:

0x01 graphic

W przypadku rozkładu symetrycznego wskaźnik skośności równa się zeru, gdyż 0x01 graphic
. W przypadku asymetrii lewostronnej wskaźnik skośności jest ujemny (0x01 graphic
), a w przypadku asymetrii prawostronnej dodatki (0x01 graphic
).

Wskaźnik asymetrii można również obliczyć na podstawie kwartyli. Zachodzą wówczas następujące zależności:

Przy rozkładzie symetrycznym:

0x01 graphic

Przy rozkładzie o asymetrii prawostronnej:

0x01 graphic

Przy rozkładzie o asymetrii lewostronnej:

0x01 graphic

Wskaźnik skośności jest bezwzględną miara asymetrii posiadającą miano badanej cechy. Z tego powodu nie można go używać do porównywania asymetrii w zbiorowościach, w których wartość zmiennej jest wyrażona w różnych jednostkach miary. Ponadto wskaźnik skośności określa tylko kierunek asymetrii (prawo-, lewostronna) nie wskazując na jej siłę gdyż jest wartością nieunormowaną.

Kierunek i siłę asymetrii określa współczynnik asymetrii (skośności). Jest ot miara niemianowana i nieunormowana, co umożliwia porównywanie skośności różnych rozkładów. Współczynnik skośności można obliczać następującymi metodami:

0x01 graphic

Współczynniki asymetrii określone dwoma pierwszymi wzorami należy traktować jako wzajemnie wykluczające się, gdyż odpowiadają one na podobne pytania (jaką część odchylenia standardowego lub przeciętnego stanowi różnica między średnią arytmetyczną i dominantą) i mają identyczny sens logiczny. Natomiast współczynnik asymetrii określony trzecim wzorem - zwany pozycyjnym współczynnikiem asymetrii - jest miarą uzupełniającą, ponieważ określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się w drugiej i trzeciej ćwiartce obszaru zmienności, a więc w „zawężonej przestrzeni”. Pozycyjny współczynnik asymetrii wykorzystuje się zwykle wówczas, gdy rozkład empiryczny nie spełnia warunków niezbędnych do obliczania dominanty.

Wartość współczynników asymetrii z reguły zawierają się w granicach:

0x01 graphic

Jedynie w przypadku silnej asymetrii przekraczają nieznacznie wartość ± 1.

Dla rozkładu symetrycznego As = 0, dla rozkładu o asymetrii prawostronnej As > 0, dla rozkładu o asymetrii lewostronnej As < 0. Im większa jest wartość bezwzględna współczynnika skośności tym silniejsza jest asymetria badanego rozkładu.

SŁOWNICZEK:

0x01 graphic
- symbol średniej arytmetycznej;

xi - warianty cechy mierzalnej;

N - liczebność badanej zbiorowości;

N - suma liczebności (szeregi przedziałowe);

0x01 graphic
- środek przedziału;

0x01 graphic
- procentowy wskaźnik udziału (odsetki);

H - symbol średniej harmonicznej;

0x01 graphic
- symbol dominanty;

0x01 graphic
- dolna granica klasy, w której znajduje się dominanta;

0x01 graphic
- liczebność przedziału dominanty;

0x01 graphic
- liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty;

0x01 graphic
- liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty;

0x01 graphic
- interwał, czyli rozpiętość przedziału dominanty;

0x01 graphic
- symbol mediany;

0x01 graphic
- symbole kwartyli;

0x01 graphic
- granice przedziałów, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

N - ogólna liczebność danej zbiorowości;

0x01 graphic
- suma liczebności od klasy pierwszej do tej, w której znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

0x01 graphic
- liczebności przedziałów, w których, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

0x01 graphic
- interwały (rozpiętość) przedziałów, w których znajdują się odpowiednio: kwartyl pierwszy, drugi (mediana) i trzeci;

d - symbol odchylenia przeciętnego;

0x01 graphic
- symbol wariancji;

s - symbol odchylenia standardowego;

V - symbol współczynnika zmienności.

0x01 graphic
- wskaźnik asymetrii;

As - współczynnik skośności.

Statystyka Teoria i Zadania z rozwiązaniami [22 strony]

15

www.wkuwanko.pl



Wyszukiwarka