Metody informatyczne 1 rok 2 sem. Zagadnienia do kolokwium.

1. Oscylator harmoniczny nietłumiony:
a. równanie ruchu

b. rozwiązania: częstość i okres drgań

Kształt rozwiązań dla różnych warunków początkowych.
Należy rozumieć, jakie to warunki.

2. Oscylator harmoniczny tłumiony

a. równanie ruchu

b. kształt rozwiązań dla tłumienia pod- i nad-krytycznego (wykresy)

c. zależność częstości drgań od współczynnika tłumienia b (dla m=1, k=1)

Jak widać, częstość drgań spada do zera, dla b=2 - to tłumienie krytyczne. Pojawia się, gdy
.

3. Oscylator harmoniczny z wymuszeniem

a. równanie ruchu

b. zależność amplitudy drgań ustalonych od częstości siły wymuszającej.

Należy umieć opisać poniższy rysunek wskazując, jakie zmienne znajdują się na jego obu osiach:

c. zjawisko rezonansu (analiza wykresu). Należy umieć wskazać na powyższym rysunku częstotliwość rezonansową i rozumieć, jak częstotliwość ta zmienia się wraz ze wzrostem tłumienia.

4. Wahadło matematyczne nietłumione

a. równanie ruchu

b. typy rozwiązań. Należy umieć wskazać trajektorie odpowiadające oscylacjom i obrotom oraz zidentyfikować trajektorię, która oddziela te obszary od siebie (separatrysa).

c. zależność częstotliwości rozwiązań oscylacyjnych od amplitudy (wykres)

d. dyskusja zależności częstotliwości drgań wahadła od amplitudy5. Wahadło matematyczne z drgającym zawieszeniem

1. funkcje opisująca ruch zawieszenia, jego przyspieszenia oraz równanie ruchu wahadła w układzie odniesienia związanym z drgającym zawieszeniem:

b. zjawisko stabilizacji metastabilnego położenia równowagi

6. Model skaczącej kulki

a. wyprowadzenie równań ruchu

Zakładamy, iż ruch powierzchni, na którą spada kulka, opisany jest funkcją:

Jej prędkość jest więc opisana funkcją:

Niech t_i będzie momentem czasu, w którym zaszło i-te zderzenie.

Niech v_i będzie prędkością kulki tuż po tym zderzeniu.
Równanie

opisuje sytuację, w której po czasie
kulka ponownie zderza się z płaszczyzną.

Jego rozwiązanie, a więc wyznaczenie wartości
, pozwala na obliczenie momentu następnego zderzenia:

Pozostaje nam obliczenie prędkości kulki tuż po tym, a więc (i+1)-szym zderzeniu.

Kulka zbliża się do niego z prędkością (ponieważ wystartowała do skoku z prędkością v_i i poruszała się przez czas t_i z przyspieszeniem -g):

W układzie odniesienia związanym z płaszczyzną prędkość ta wynosi:

(odjęliśmy prędkość, z jaka porusza się płaszczyzna).

Tuż po zderzeniu prędkość kulki w układzie związanym z płaszczyzną wyniesie więc

Powrót do układu laboratoryjnego daje nam poszukiwaną prędkość kulki tuż po rozważanym zderzeniu:

(dodaliśmy prędkość płaszczyzny i uprościliśmy wynik).

Zbierając rozważane wzory dochodzimy do układu równań pozwalających z czasu, w jakim zachodzi i-te zderzenie, i prędkości kulki tuż po tym zderzeniu pozwala obliczyć moment następnego zderzenia i prędkość kulki tuż po jego zajściu:

b. periodyczne mody drgań.

Wykres położenia (w czasie) płaszczyzny zderzeń i kulki w najprostszym modzie periodycznym, w którym okres skoków kulki T jest zgodny z okresem drgań płaszczyzny zderzeń.

Należy umieć opisać ten wykres, tzn. opisać osie, wskazać oba wykresy i okres drgań.

c. bifurkacje podwajające okres

Wykres położenia (w czasie) płaszczyzny zderzeń i kulki w najprostszym modzie periodycznym, po pierwszej bifurkacji podwajającej okres: skok wyższy + skok niższy tworzą powtarzającą się parę skoków. Okres tego ruchu periodycznego wynosi 2T.

Należy umieć opisać ten wykres, tzn. opisać osie, wskazać oba wykresy i okres drgań.

d. wykres diagramu bifurkacyjnego tzn. wykres fazy zderzeń w funkcji amplitudy drgań płaszczyzny zderzeń. Należy umieć wskazać punkty bifurkacji podwajających okres.

d. delta Feigenbauma: jej definicja i przybliżona wartość.

Należy umieć opisać ten wykres, tzn. wskazać zmienne na obu osiach i punkty bifurkacji, oraz podać definicję delty Feigenbauma:

---