ZBIÓR

1.Definicje działań na zbiorach: suma, iloczyn, różnica, dopełnienie.

2.Własności działań na zbiorach. ..

3 Definicja i własności produktu kartezjańskiego zbiorów. Definicja relacji. Wykazać, że

A x B ≠ B x A dla dowolnych niepustych zbiorów A i B.

MACIERZ

4. Definicje działań na macierzach: iloczyn liczby przez macierz, suma macierzy.

5. Definicje działań na macierzach: iloczyn macierzy, macierz odwrotna.

6. Definicje: macierz transponowana, macierz minorów.

7. Definicje: macierz dopełnień algebraicznych, macierz dołączona.

8. Własności macierzy odwrotnej.

WYZNACZNIK MACIERZY

9. Definicje: wyznacznik stopnia drugiego i trzeciego.

10. Definicje: minor elementu macierzy, dopełnienie algebraiczne.

11. Twierdzenie Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika.

12. Trzy dowolne własności wyznacznika

RZĄD MACIERZY

13. Definicja rzędu macierzy.

UKŁAD LINIOWY

14. Definicja układu liniowego nxn. Udowodnić twierdzenie Cramera (dla n=3).

15. Zapis macierzowy układu liniowego nxn i jego rozwiązania.

16. Definicja układu liniowego mxn. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

WEKTOR W PRZESTRZENI

17. Definicja wektora zaczepionego i swobodnego w przestrzeni.

18. Definicje działań na wektorach: suma wektorów, iloczyn liczby przez wektor, różnica wektorów,

iloczyn skalarny wektorów.

19. Własności iloczynu skalarnego.

20. Definicje i własności kosinusów kierunkowych wektora. Udowodnić, że cos²α + cos²β + cos²γ = l.

21. Definicja iloczynu wektorowego. (Zapis bez układu współrzędnych i w układzie

współrzędnych.) Własności i zastosowania geometryczne iloczynu wektorowego.

22.Definicja i własności iloczynu mieszanego. (Zapis bez układu współrzędnych i w układzie współrzędnych.)Własności i zastosowania geometryczne iloczynu mieszanego.

KRZYWE STOŻKOWE

23. Równanie kanoniczne okręgu. Równanie stycznej do okręgu.

24 Równania parametryczne i biegunowe okręgu.

25 Definicja i równanie kanoniczne elipsy.

26. Definicja i równanie hiperboli.

27. Równania kierownic i asymptot hiperboli.

28. Definicja i równanie paraboli. Wyprowadzić równanie stycznej do paraboli (przy pomocy pochodnej).

PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI

29. Równania płaszczyzny: ogólne, trójpunktowe i odcinkowe. )

30. Wzory: kąt między płaszczyznami, kąt między prostą i płaszczyzną.

31. Warunki: równoległość i prostopadłość płaszczyzn.

PROSTA W PRZESTRZENI

32. Równania prostej w przestrzeni: wektorowe, kanoniczne.

33. Równania prostej w przestrzeni: parametryczne, dwupunktowe.

34. Warunki: równoległość i prostopadłość prostych w przestrzeni, równoległość i prostopadłość prostej

do płaszczyzny.

35. Wzory: kąt między prostymi w przestrzeni, kąt między prostat płaszczyzną.

CIĄG LICZBOWY

36. Wzory: granice podstawowe ciągu. Definicja granicy właściwej ciągu.

37. Trzy dowolne własności ciągów zbieżnych. Sformułować i udowodnić twierdzenie o ciągu zbieżnym ograniczonym.

₁

38. Udowodnić, że ciąg (l + —)ⁿ jest monotoniczny. ⁿ

39. Sformułować i udowodnić twierdzenie o

trzech ciągach.

FUNKCJA O JEDNEJ ZMIENNEJ

40. Definicja granicy funkcji w punkcie. Definicja funkcji ciągłej w punkcie i w przedziale <a,b>.

41. Własności funkcji ciągłych w przedziale <a,b>.

POCHODNA ZWYCZAJNA

42. Interpretacja geometryczna i fizyczna pochodnej.

43. Twierdzenia: o pochodnej funkcji złożonej, o pochodnej funkcji odwrotnej.

44. Twierdzenie o pochodnej funkcji określonej parametrycznie.

45. Definicja i interpretacja geometryczna różniczki zwyczajnej.

46.Twierdzenie Fermata. Twierdzenie Rolle'a o wartości średniej. Interpretacja geometryczna.

47.Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej. Interpretacja geometryczna.

48.Sformułować i udowodnić twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej.

49. Twierdzenie de L'Hospitala.

CAŁKA NIEOZNACZONA

50. Warunek wystarczający całkowalności. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.

51. Sformułować i udowodnić twierdzenie o całkowaniu przez części.

52. Wyprowadzić wzór rekurencyjny dla całki ∫sinⁿxdx.

CAŁKA OZNACZONA

53. Definicja całki oznaczonej.

54. Interpretacja geometryczna i fizyczna całki oznaczonej.

55. Własności całki oznaczonej.

56. Sformułować i udowodnić twierdzenie całkowe o wartości średniej.

57. Twierdzenia rachunku całkowego: twierdzenie Newtona-Leibniza, twierdzenie

_x

o całce ∫f(t)dt.

^α

58. Zastosowania geometryczne całki oznaczonej.

59. Całkowanie przez części i podstawienie dla całki oznaczonej.

60. Definicje: całka niewłaściwa I i II rodzaju.

ZBIORY

1

Równość zbiorów

Def. Mówimy, że zbiór A jest równy zbiorowi B i piszemy A = B

jeżeli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, i na odwrót.

Na przykład [x: x∈N ∧ x < 6] = {1,2.3,4,5}. Jeśli zbiór A nie jest równy zbiorowi B, to piszemy A ≠ B.

Działania na zbiorach.

Niech będą dane dwa zbiory: A i B. Określenia sumy A ∪ B, iloczynu A ∩ B, oraz różnicy A-B tych zbiorów.

Def. a ∈ (A∪B) ⇔ [(a ∈ A) ∨ (a ∈ B)]

Do zbioru A∪B należą więc wszystkie i tylko te elementy, które należą do zbioru A lub do zbioru B.

Def. a ∈ (a∩b) ⇔ [(a ∈ A) ∧ (a ∈ B)]

Do zbioru A∩B należą więc wszystkie i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B.

Def. a∈(A-B)⇔[(a∈A) ∧ (a∉B)]

Do zbioru A-B należą więc wszystkie te i tylko te elementy, które należą do zbioru A, natomiast nie należą do zbioru B.

Dopełnienie zbioru. Przypuśćmy że wszystkie zbiory rozpatrywane przez nas w pewnym zagadnieniu są podzbiorami jednego ustalonego zbioru, który oznaczamy „U” . Każdy rozpatrywany przez nas zbiór A ma więc tę właściwość że A⊂U.

Zbiór U nazywamy w takim przypadku przestrzenią . Dopełnieniem zbioru A do przestrzeni U oznaczamy symbolem „A' ”

A'=U-A

x∪x' = 1

2

x∩x' = ∅

(x∪y)' = x'∩y'

(x∩y)' = x'∪y'

Przemienność dodawania

A∪B=B∪A

Przemienność mnożenia

A∩B=B∩A

Łączność dodawania

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

Łączność mnożenia

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

Rozdzielność dodawania względem mnożenia

(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)

Rozdzielność mnożenia względem dodawania

(x∪y)∩z = (x∩z)∪(y∩z)

3

Def. Produktem kartezjanskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych <x, y>, gdzie x ∈ X i y ∈ Y. Produkt kartezjański zbiorów X i Y oznaczamy symbolem X x Y ; zatem

[<x,y> ∈ X x Y]⇔ [(x ∈X)∧(y∈ Y)]

Najprostszym ważnym przykładem produktu kartezjańskiego jest zbiór punktów płaszczyzny, który jest produktem R x R, gdzie R jest zbiorem wszyst­kich liczb rzeczywistych.

Produkt X x Y zbiorów skończonych: k-elementowego zbioru X i l-elementowego zbioru Y zawiera dokładnie k • l-elementów. Podamy teraz kilka własności produktu kartezjańskiego dwóch zbiorów:

AxB=∅ ⇔ A=∅ ∨B=∅

A⊂C ∧B⊂D ⇒ AxB⊂CxD

A x (B∩C) = (AxB)∩ (AxC)

A x (B-C)= (AxB) - (AxC)

Ax(B∪C)= (AxB)∪(AxC)

(AxB)∩(CxD) = (A∩C) x (B∩D)

Relacje.

Niech będzie dany produkt kartezjański X xY dowolnych dwóch zbiorów X i Y,

Def. Relacją R w pwodukcie X x Y nazywamy każdy podzbiór tego pro­duktu.

Jeżeli R ⊂ X x Y, to zamiast <x,y>∈ R będziemy pisać również x R y i czytać: x pozostaje w relacji R z y.

MACIERZ

4

Def. Działań na macierzach: suma macierzy, iloczyn liczby przez macierz.

Def. Gdy A=[a_ik]_m×n i B=[b_ik]_m×n, to A+B:=[a_ik+b_ik]_m×n tzn. element sumy macierzy jest sumą odpowiednich elementów składników tej sumy C=A+B⇔c_ik=a_ik+b_ik, i≤m; k≤n.

Def. Gdy α∈K i A=[a_ik]_m×n, to αA:=[αa_ik]_m×n tzn. element iloczynu skalara i macierzy jest iloczynem skalara i odpowiedniego elementu tej macierzy D=αA⇔d_ik=αa_ik, i≤m; k≤n.

5

Def.działań na macierzach: iloczyn macierzy, macierz odwrotna.

Def. Gdy A=[aij]m×p i B=[bjk]p×n, to
tzn. element iloczynu macierzy, znajdujący się w i-tym wierszu i k-tej kolumnie, jest zbudowany z elementow aij i-tego wiersza pierwszej macierzy oraz elementów bjk k-tej kolumny drugiej macierzy:
i≤m; k≤n.

Def. Jeżeli macierze A i B ∈ do zbioru wszystkich macierzy kwadratowych mają właściwość AB=BA=I to macierz B nazywamy odwrotną do macierzy A i oznaczamy symbolem B=A^-1.

Tw. Dla każdej macierzy kwadratowej A-nieosobliwej jstnieje dokładnie jedna macierz odwrotna określona wzorem
.

6

Def. Macierzy transponowanej. A^T.

Macierz A^T, zwana macierzą transponowaną macierzy A, powstaje w wyniku przestawienia wierszy macierzy A w miejsce kolumn (i odwrotnie) z zachowaniem ich kolejności. A_m×n→B=A^T_n×m:a_ik→b_ik=a_ik, i≤m; k≤n.

Def. Macierz minorów. M_ij.

Minorem elementu a_ij macierzy A∈ do zbioru wszystkich macierzy kwadratowych nazywamy liczbę M_ij.

7

Macierz dopełnień algebraicznych. A^k.

A∈ (n,n)

A^k∈ (n,n)

A^k=[A_ij]_n×n

Def. Macierz dołączona. A^D.

Macierzą dołączoną A^D macierzy kwadratowej A nazywamy macierz transponowaną macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A A^D:=[A_ij]^T.

8

Własności macierzy odwrotnej.

1. Macierz odwracalna (do której istnieje macierz odwrotna) Jest macierzą nieosobliwą. AA^-1=I=1 więc A≠0. 2. Macierz odwracalna A^-1 do macierzy nieosobliwej A jest nieosobliwa. 3. Wyznacznik macierzy odwrotnej A^-1 jest równy odwrotności wyznacznika macierzy odwracanej A. A^-1=A^-1. 4. Macierzą odwrotną do macierzy jednostkowej I jesr sama macierz I. I^-1=I. 5. Odwrotność iloczynu macierzy nieosobliwych jest równa iloczynowi odwrotności czynników, branych w przeciwnym porządku. (AB)^-1=B^-1A^-1.

WYZNACZNIK MACIERZY

9

Wyznacznik II stopnia to wyznacznik oznaczony symbolem

detA=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁

jest to wyznacznik macierzy 2x2

Wyznacznik stopnia 3 to wyznacznik macierzy 3x3

Wyznacznik stopnia III możemy obliczyć metodą Sarrusa.

10

Def. Minora elementu macierzy.

Minorem wyznacznika przynależnym do elementu a_ik macierzy tego wyznacznika nazywamy ten podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z macierzy danego wyznacznika wiersz oraz kolumnę, na przecięciu których znajduje się ten element.

Def. Dopełnienia algebraicznego. A_ik.

Dopełnieniem algebraicznym A_ik elementu a_ik wyznacznika nazywamy iloczyn minora tego wyznacznika przynależnego do elementu a_ik oraz czynnika (-1)^i+k. A_ik=(-1)^i+kM_ik.

11

Tw. Laplace′a o rozwinięciu wyznacznika.

Wyznacznik jest równy sumie iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia albebraicznego: A=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in (1≤i≤n) A=a_1kA_1k+a_2kA_2k+…+a_nkA_nk (1≤k≤n).

12

Trzy dowolne własności wyznacznika.

1. Wyznacznik macierzy o dwoch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zeru. 2. Mnożąc wiersz (kolumnę) macierzy przez liczbę mnożymy przez tę liczbę cały wyznacznik tej macierzy kwadratowej. 3. Wyznacznik macierzy mającejwiersz (kolumnę) zerową jest równy zeru.

RZĄD MACIERZY

13

Definicja rzędu macierzy.

Rzędem macierzy o wymiarze m×n nazywamy: 1. liczbę R równą najwyższemu ze stopni jej różnych od zera minorów, gdy macierz jest niezerowa,

2. liczbę zero, gdy macierz jest zerowa. Rząd macierzy spełnia następującą nierówność: 0≤R≤min(m,n).

UKŁAD LINIOWY

14

Układ liniowy nxn zapisujemy w postaci ogólnej

A₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=b₁

{klamra} a₂₁x1+a₂₂x₂+...+a_2nx_n=b₂

:

:

a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n=b_n

gdzie

x_i , i=1,2,...n - niewiadome

Liczby rzeczywiste a_ik oraz b_i

a_ik , i,k=1,2...n

b_i , i=1,2...n

Układ Cramera to taki układ nxn w którym wyznacznik ≠0.

Według układu Cramera obliczamy kolejno wyznaczniki |W| , |X| , |Y| , |Z|

a niewiadome obliczamy ze wzoru:
x=|X|/|W| , y=|Y|/|W| , z= |Z|/|W| (|W|≠0)

15

16

TWIERDZENIE KRONECKERA-CAPELLIEGO1'

Dotychczas rozpatrywaliśmy układy równań liniowych o liczbie niewiadomych równej liczbie równań, i to tylko układy Cramera. Obecnie rozważymy układ liniowy złożony z m równań o n niewiadomych

i współczynnikach a_ik oraz b_i należących do ciała liczbowego K.

Macierzą układu (III.97) nazwiemy macierz A jego współczynników przy zmiennych

macierzą rozszerzoną macierz C powstałą z macierzy A przez dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych

Przez rozwiązanie układu będziemy rozumieć ciąg n liczb (α₁,α₂, ..., α_n) należących do wymienionego ciała liczbowego, które wstawione do układu na miejsce niewiadomych spełniają ten układ, tzn. zmieniają go w tożsamość, a więc ciąg

x₁=α₁ , x₂ = α₂,...,x_n=α_n

Tw. (Kroneckera-Capelliego). Układ jest rozwiązalny wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(C), przy czym gdy R(A) = R(C) = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy zaś

R(A)=R(C) = r < n, to układ ma nieskoń-nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów,

WEKTOR W PRZESTRZENI

17

Wektor swobodny

Def.Wektorem swobodnym nazywamy każdą niepustą klasę równoważności wektorów zaczepionych. Wektory swobodne oznaczamy zazwyczaj małymi literami.

Wektor zaczepiony

Def.wektory mające ustalony początek. Wektorom tym możemy tak samo jak wektorom swobodnym przypisać długość, kierunek i zwrot.

18

Suma wektorów

Def.Sumą wektorów a i b oznaczoną przez a+b nazywamy wektor o początku wektora a i końcu w końcu wektora b gdy początek wektora b pokrywa się z końcem wektora a

Iloczyn wektora i liczby

Def.Iloczynem różnej od 0 liczby λ i niezerowego wektora a nazywamy wektor o długości |λ| a zgodnie równoległy z wektorem a gdy λ>0, a przeciwnie równoległy gdy λ<0; w przypadku gdy a=o lub λ=0 iloczyn λa=o.

Różnica wektorów

DefRóżnicą wektorów b, a∈A nazywa się wektor b+(a). Różnica b-a wektorów b i a jest jedynym wektorem u∈A takim, że a+u=b.

Iloczyn skalarny wektorów

Def.Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów a i b oznaczanym przez a•b nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi zawartego

a•b=abcos(a,b)

19

1.b•a=a•b (przemienność)

2.a•(b+c)=a•b+a•c (rozdzielność względem

dodawania)

3.(λa)•b=λ(a•b) (dla dowolnego λ∈R

4.a•a>0 dla a≠o i a•a=0 dla a=o

20

Def. Ortokartezjańskimi współrzędnymi wektora a w przyjętym układzie ortokartezjańskim OXYZ, oznaczonymi przez a_x, a_y, i a_z nazywamy współrzędne tego wektora na kolejnych osiach tego układu.. Związek dla wektora a i osi układu OXYZ przybiera następującą postać

a_x=acosα, a_y=acosβ, a_z=acosγ

Kąty kierunkowe wektora nie są zależne . Mianowicie kosinusy , zwane kosinusami kierunkowymi wektora spełniają związek

cos²α + cos²β + cos²γ = l, wynikający z własnosci kątów kierunkowych :

cosα=a_x/a, cosβ=a_y/a, cosγ=a_z/a

oraz z długosci wektora

a=√a_x²+a_y²+a_z²

21

Def. Iloczynem wektorowym pary (a,b) wektorów a i b w przestrzeni zorientowanej, oznaczamy przez a x b nazywamy wektor zerowy, gdy wektory a i b są kolinearne, w przypadku zaś przeciwnym wektor o długości równej iloczynowi długości tych wektorów i sinusa kąta między nimi zawartego |a x b|=absin(a,b) prostopadły do obu wektorów a i b.

(a x b) ⊥a, i (a x b) ⊥b i o takim zwrocie że trójka (a,b,axb) ma orientację zgodną z orientacją przestrzeni.

Równość |a x b|=absin(a,b) interpretujemy geometrycznie w następujący sposób: moduł iloczynu wektorowego a i b jest równy polu równoległoboku rozpietego na wektorach a i b tzn równoległobok o bokach a i b oraz kątach ϕ=∠(a,b) i π-ϕ./

Tw. Iloczyn wektorowy uporządkowanej pary wektorów jest wektorem osiowym.

Własności iloczynu wektorowego.

1.b x a = - (a x b) - antyprzemienność

2.a x (b+c)=a x b+a x c - rozdzielność

względem dodawania

3.(λa) x b = λ(a x b) - dla dowolnego λ∈R

4.a x b = o ⇔ a || b

22

Def.Iloczynem mieszanym trójki (a,b,c) wektorów a,b,c w przestrzeni zorientowanej , oznaczanym przez abc nazywamy liczbę

a•(b x c).

Tw.1.W układzie ortokartezjańskim OXYZ iloczynem mieszanym wektorów a=[a_x,a_y,a_z], b=[ b_x,b_y,b_z] i c=[ c_x,c_y,c_z] wyraża się wzorem

| a_x a_y a_z |

abc = | b_x b_y b_z |

| c_x c_y c_z |

Tw.2.Komplementarność trzech wektorów a,b,c zachodzi ⇔ gdy ich iloczyn mieszany jest równy 0.

Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego:

Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego trzech wektorów jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach, zaczepionych we wspólnym początku.

---